高数函数,极限和连续总结

第一章 函数.极限和连续

第一节 函数

1. 决定函数的要素：对应法则和定义域

2. 基本初等函数：（六类）

（1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）；

（3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1）

（5）三角函数；（6）反三角函数。

注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数

3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。

4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。

5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

第二节 极限

1.分析定义

∀&>0(任意小) ∃∂>0

当|x |>ð（或0<|x −x 0|<ð ）时

总有 |f (x )−A |<&

称 lim x→∞f (x )=0 (或lim x→x0f (x )=A)

2.极限存在的充要条件

lim x→x0f (x )=A ↔lim x→x 0+f (x )=lim x→x 0

−f (x )=A 3.极限存在的判定准则

（1）夹逼定理

f 1（x ）≤f(x)≪f 2(x) ,且 lim x→x0f 1(x )=A = lim x→x0f 2(x ) 所以lim x→x0f (x )=A

（2）单调有界准则

单调有界数列一定有极限。

4.无穷小量与无穷大量

，则称 时，f （x ）为无穷小量 ， 则称 时，f （x ）为无穷大量 注：零是唯一的可作为无穷小的常数。

性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。

注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量

性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。

5. 定义 设 是同一极限过程中的无穷小， 则

若 则称 α 是β比高阶的无穷小,记作

若 则称α是比β 低阶的无穷小

∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 0

0)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0

)(,)(x x ββαα==,

0)(≠x β且,0lim =βα);

(βαo =,lim ∞=βα,0lim ≠=C βα

若 则称 α 是β的同阶无穷小;

特别地，当c=1 时，则称α 是β的等价无穷小,记作

若 则称α是关于β 的 k 阶无穷小。

6.在求两个无穷小量之比的极限时，分子及分母都可以用各自的等价无穷小， 当x →0时，

sin x ~x ， tan x~x ， arc sin x ~x, 1−cos x~12x 2, √1+x n −1~1n

x, ln(1+x )~x

第二节 函数的连续性

1.f(x)在x 0处连续的充要条件： lim x→x 0+f (x )=f （x 0）=lim x→x 0

−f (x ) 2.函数的间断点

3.初等函数的连续性

性质1：连续函数的四则运算也连续。

性质2：连续函数的复合运算也连续。

对连续函数求极限时，极限符号和连续函数符号，可交换顺序。

4.闭区间连续函数的性质

（1）最值定理 （2）介值定理（零点定理）

);

(βαO =;

~βα,0lim ≠=C k βα