数学单元综合测试三

单元综合测试三

时间：120分钟 分值：150分

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝( )

A ．a ＋b －c

B ．a －b ＋c

C ．－a ＋b ＋c

D ．－a ＋b －c

解析：结合图形，得A 1B →＝A 1A →＋AC →＋CB →＝－c －a ＋b ＝－a ＋b －c ，故选D.

答案：D

2．已知a ＝(－5,6,1)，b ＝(6,5,0)，则a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 答案：A

3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( )

A ．4

B ．－4 C.1

2

D ．－6 解析：a ＋b ＝(－2,1,3＋x )，由(a ＋b )⊥c ， ∴(a ＋b )·c ＝0.∴－2－x ＋2(3＋x )＝0，得x ＝－4.

答案：B

4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a ，b 的夹角的余弦值为8

9

，则λ等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或－2

55

解析：a·b ＝2－λ＋4＝6－λ＝5＋λ2×3×89.解得λ＝－2或2

55.

答案：C

5．已知空间四边形ABCD 每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，则a 2是下列哪个选项的计算结果( )

A ．2BC →·CA →

B ．2AD →·DB →

C ．2FG →·AC →

D ．2EF →·CB

→ 解析：2BC →·CA →＝－a 2，A 错；2AD →·DB →＝－a 2，B 错；2EF →·CB →＝－12

a 2

，D 错；只有C 对． 答案：C

6．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )

A ．19

B ．－8

7

C.87

D.1914

解析：AB

→＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则|AB →|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2

＝

14x 2－32x ＋19

＝

14(x －87)2＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值，故选C. 答案：C

7．已知ABCD ，ABEF 是边长为1的正方形，FA ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与EF 所成的角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析：如图1，由于EF ∥AB 且∠BAC ＝45°，所以异面直线AC 与EF 所成的角为45°，故选B.

答案：B

图1

图2

8．如图2所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM

→〉的值为( ) A.12 B.21015 C.

23 D.1115

解析：以DA ，DC ，DD ′所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，

M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，则DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，－12，0，cos 〈DB ′→，CM →〉＝

1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015. 答案：B

图3

9．如图3，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ，BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为( )

A ．1

B ．2 C. 2 D. 3

解析：|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝ 2.

答案：C

10．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；

③对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝2OA →－2OB

→－OC →，则P 、A 、B 、C 四点共面； ④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；

⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：①错，应为充分不必要条件．②错，应强调b≠0.③错，∵2－2－1≠1.⑤错，由数量积的运算性质判别．

答案：C

11．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A－PB－C的平面角的正切值为()

A. 6

B. 3

C.

6

6 D.

6

2

解析：设PA＝AB＝2，建立空间直角坐标系，平面PAB的一个

法向量是m＝(1,0,0)，平面PBC的一个法向量是n＝(

3

3，1,1)．

则cos〈m，n〉＝

m·n

|m||n|＝

3

3

|m||n|＝

3

3

1×

21

3

＝

7

7.

∴正切值tan〈m，

n〉＝ 6.

答案：A

图4

12．(2011·辽宁高考)如图4，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，

SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确

．．．的是()

A．AC⊥SB