第1章 线性空间与线性变换
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则称1,2,,r 线性相关；如果向量组 1,2,,r 不线性相关，就称为线性无关。
例题1 证明C[0，1]空间中的向量组{ex， e2x，e3x …，enx}，x[0，1] 线性无关。
定理 1 设线性空间V 中向量组1,2,,r 线性无关，而向量组1,2,,r,线性 相关，则β可由 1,2,,线r 性表示，
(1) ；
(2 )( ) ( );
(3) 在 V中有一 0(称 个为 元零 )素 对 , 元 V 于 中 素 任
一元 都 素 有 0;
(4) 对于V中每一个元 ,都 素有V中的元素 使得
0(称为的负元)素 ,记为;
(5) 1;
(6 ) k(m ) (k)m ;
(7 )(k m ) k m ;
，
=
n x i i ，则x1
i1
x2， …， x要n点是：在坐基标与{基i}有下关的坐标。
坐标的表达形式
例1：求 R22中向量 下的坐标。
3 4
1
5
在基{Eij}
• 例2 设空间P4[x]的两组基为： {1，x，x2，x3}和
{1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3}
并且表示法是唯一的。
定义 2 极大线性无关组，秩，基
二、线性空间的基和维数
• 基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2 • 常见线性空间的基与维数：
Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n
Rmn ，自然基n{E1 ij}，dim Rmn =mn。
Pn [x]={p(x)= a i x i ：aiR}
(8 )k ( ) k k ,
常见的线性空间
F=R或C
• F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}
运算：向量加法和数乘向量
• F mn = {A=[aij]mn：a ijF}；R mn ；C mn 运算：矩阵的加法和数乘矩阵
n 1
• Pn [x]={p(x)= a i x i ：aiR} i0
C[a，b]， {1，i 0x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]， dim C[a，b]=
• 约定：
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间
Vn(
F) ，
的一组基，
Vn(
F
)
矩阵论
课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 36学时 （36 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著），
华中科技大学出版社，2019 任课教师： 李锐 联系方式： liruihhu.edu
前言
一、课程介绍
• 研究内容：
矩阵与线性空间和线性变换
以矩阵为工具研究问题 在其中发展矩阵理论
V n （F），X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
• 在关系下，线性空间V n （F）和Fn同构 。
同构的性质
• 定理1.3:V n （F）中向量{1，2，…n} 线性相关它们的坐标{X1 , X2, … ,Xn}在 Fn中线性相关。
• 同构保持线性关系不变。 • 应用：
矩阵在各种意义下的化简与分解 矩阵的分析理论 各类矩阵的性质研究
• 矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用 问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
二、教学安排
• 学时配置
讲授第1章至第5章 (36学时)
第1章：8学时;
第2章：7学时
第3章：7学时；
第4章：6学时
第5章：8学时
考核方式：课程结束考试
四、基变换和坐标变换
• 讨论：
不同的基之间的关系
同一个向量在不同基下坐标之间的关系
借助于空间Fn中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。
• 例题2 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1Leabharlann BaiduA3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的
线性组合.
• C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘 • 例 4： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
线性空间的一般性的观点：
• 线性空间的一般形式：
V（F），元素被统称为向量：， ，，
• 线性空间的简单性质（共性）：
定理1 . 1：V（F）具有性质：
（1） V（F）中的零元素是惟一的。
（2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的 。
数（0 3）数零和零元素的性质：
0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0
（4） = （1）
向量0
二、线性空间的基和维数
• 向量的线性相关与线性无关
设V 是数域 F 上的线性空间，1,2,,r(r1)
是V 中一组向量，如果存在r个不全为零的数
k1,k2,,krF，使得 k 11 k 22 k r r 0
求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标 。
归纳：
任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。
每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这 组基下，向量的坐标容易求得。
2、 线性空间V n（F）与Fn的同构
坐标关系
• V n （F）
Fn
基{1，2，。。。 n}
• 由此建立一个一一对应关系
卷面成绩为最终成绩
第1章：线性空间与线性变换
• 内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法
• 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间
一、线性空间的概念
• n 维向量空间的回顾 • 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
• 定义1.1（P .1）
要点：
集合V 与数域 F 向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画
线性空间的定义
• 定义 1.1 设V 是一个非空集合，F 是一个 数域。在V上定义了一种代数运算，称为 加法，记为“+”；定义了F 与V 到V 的一 种代数运算，称为数量乘法（简称数乘 ），记为“·”。如果加法与数量乘法满 足如下规则：
例题1 证明C[0，1]空间中的向量组{ex， e2x，e3x …，enx}，x[0，1] 线性无关。
定理 1 设线性空间V 中向量组1,2,,r 线性无关，而向量组1,2,,r,线性 相关，则β可由 1,2,,线r 性表示，
(1) ；
(2 )( ) ( );
(3) 在 V中有一 0(称 个为 元零 )素 对 , 元 V 于 中 素 任
一元 都 素 有 0;
(4) 对于V中每一个元 ,都 素有V中的元素 使得
0(称为的负元)素 ,记为;
(5) 1;
(6 ) k(m ) (k)m ;
(7 )(k m ) k m ;
，
=
n x i i ，则x1
i1
x2， …， x要n点是：在坐基标与{基i}有下关的坐标。
坐标的表达形式
例1：求 R22中向量 下的坐标。
3 4
1
5
在基{Eij}
• 例2 设空间P4[x]的两组基为： {1，x，x2，x3}和
{1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3}
并且表示法是唯一的。
定义 2 极大线性无关组，秩，基
二、线性空间的基和维数
• 基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2 • 常见线性空间的基与维数：
Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n
Rmn ，自然基n{E1 ij}，dim Rmn =mn。
Pn [x]={p(x)= a i x i ：aiR}
(8 )k ( ) k k ,
常见的线性空间
F=R或C
• F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}
运算：向量加法和数乘向量
• F mn = {A=[aij]mn：a ijF}；R mn ；C mn 运算：矩阵的加法和数乘矩阵
n 1
• Pn [x]={p(x)= a i x i ：aiR} i0
C[a，b]， {1，i 0x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]， dim C[a，b]=
• 约定：
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间
Vn(
F) ，
的一组基，
Vn(
F
)
矩阵论
课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 36学时 （36 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著），
华中科技大学出版社，2019 任课教师： 李锐 联系方式： liruihhu.edu
前言
一、课程介绍
• 研究内容：
矩阵与线性空间和线性变换
以矩阵为工具研究问题 在其中发展矩阵理论
V n （F），X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
• 在关系下，线性空间V n （F）和Fn同构 。
同构的性质
• 定理1.3:V n （F）中向量{1，2，…n} 线性相关它们的坐标{X1 , X2, … ,Xn}在 Fn中线性相关。
• 同构保持线性关系不变。 • 应用：
矩阵在各种意义下的化简与分解 矩阵的分析理论 各类矩阵的性质研究
• 矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用 问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
二、教学安排
• 学时配置
讲授第1章至第5章 (36学时)
第1章：8学时;
第2章：7学时
第3章：7学时；
第4章：6学时
第5章：8学时
考核方式：课程结束考试
四、基变换和坐标变换
• 讨论：
不同的基之间的关系
同一个向量在不同基下坐标之间的关系
借助于空间Fn中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。
• 例题2 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1Leabharlann BaiduA3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的
线性组合.
• C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘 • 例 4： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
线性空间的一般性的观点：
• 线性空间的一般形式：
V（F），元素被统称为向量：， ，，
• 线性空间的简单性质（共性）：
定理1 . 1：V（F）具有性质：
（1） V（F）中的零元素是惟一的。
（2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的 。
数（0 3）数零和零元素的性质：
0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0
（4） = （1）
向量0
二、线性空间的基和维数
• 向量的线性相关与线性无关
设V 是数域 F 上的线性空间，1,2,,r(r1)
是V 中一组向量，如果存在r个不全为零的数
k1,k2,,krF，使得 k 11 k 22 k r r 0
求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标 。
归纳：
任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。
每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这 组基下，向量的坐标容易求得。
2、 线性空间V n（F）与Fn的同构
坐标关系
• V n （F）
Fn
基{1，2，。。。 n}
• 由此建立一个一一对应关系
卷面成绩为最终成绩
第1章：线性空间与线性变换
• 内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法
• 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间
一、线性空间的概念
• n 维向量空间的回顾 • 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
• 定义1.1（P .1）
要点：
集合V 与数域 F 向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画
线性空间的定义
• 定义 1.1 设V 是一个非空集合，F 是一个 数域。在V上定义了一种代数运算，称为 加法，记为“+”；定义了F 与V 到V 的一 种代数运算，称为数量乘法（简称数乘 ），记为“·”。如果加法与数量乘法满 足如下规则：