水星进动的计算

一、水星进动的计算

由水星的轨道，可以计算出其离心率。即

a+c=0.4612AU

a−c=0.3075AU

解得a=0.38435AU ,c=0.07685AU ,ε=0.2 。由第一次作业的解析推导结果，可以计算得出K=1.2499。

首先假设水星的进动是线性的，为了计算方便，取十个周期(880天)的进动值进行计算，时间间隔是0.0001。将不同的α值代入经相对论修正过的万有引力

分析以上数据，α与θ似乎有类似正比例的关系，但是仔细分析数据就会发

现，实际上并不是严格的正比。这个问题是比较复杂的，可能有理论上的原因，也有计算误差的问题。总趋势是α越大，误差越大。由于α=1.1×10−8AU2是很小的数值，其可能存在的高次项作为高阶无穷小量可以略去。所以即使整体上两者不是正比例关系，但是在局部近似的情况下，是可以接受的。原则上来讲，寻找α与θ的关系时，应该使试探值小到与α可比拟，但是此时要求计算步长必须也极小，操作起来比较繁琐。故在实际计算时舍去最大的α值。由上表中前四个值计算关系，

ω=2.037×106α （秒880天

）

将α=1.1×10−8AU 2代入，并做单位变换

ω=2.037×106α02=2.037×106×1.1×10−8AU 222×3674天880天

=43.98（秒百年

） 文献上的数据是43.11秒百年

，二者相当接近。这验证了数值计算的可行性与正确性。

二双子星轨道的模拟计算

双星的计算过程与卫星无异，只是加了一组方程，两者相互作用。

首先考虑两颗完全相同的天体，速度也对称。在分别计算K=2,K=4和K=6的情况，如下图。呈现了逃逸，恰好束缚和束缚三种状态。

引入非对称的情况，如果质量相同，速度不同。体系有一个向上的总动量。则就会看到如下结果。两颗星相互缠绕，共同运动。

然而这种视角是一种“宇宙超级视角”，如果我们就处在这个双星系统当中的话，是无法感受到一个向上的总动量的。所以把坐标系改为与两个双星的质心共同运动。质心永远处于原点处。则会得到如下图结果。

双星还是在一个稳定的轨道上做圆周运动，如果我们处在其中的一个星体上，观察另一颗星。

可以看到，如果将一颗星放在坐标原点不动，另一颗星将绕其做圆周运动。这也更直观地说明了双星是相互缠绕的。需要注意的是，这里我们并没有考虑到星体的自转作用。考虑自转问题会更复杂一些，比如如果一颗星的自转与另一颗星绕其旋转同步，那么处在这颗星上，我们将会看到另一颗星永远在天上固定的位置。如果两颗星质量不同，例如一颗星是另一颗的一半。取K1=4,K2=8

两星相互缠绕，并且两个圆周不再对称。如果改变观察视角，则会得到与前面类似的结果。这里不再赘述。

双星涉及到的动力学问题更加复杂一些，曾经尝试向单个星体在有心力场中那样，得到归一化常数K与圆锥曲线参数之间的关系。未果，因此只能做一些简单的观察。