1-作业详解

第一节 二阶与三阶行列式

(1)

1sin cos cos sin sin cos 22=+=-x x x

x x x

(2)

0 223322=+-+--=--x a x a a a x a x a x

a

a x a

a a

a a

【思考题】求一个二次多项式()c bx ax x f ++=2，使得()()().2833201 =-==f f f ，， 解 根据题意，有

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=-=++==++=2839)3(324)2(0)1(c b a f c b a f c b a f

上式可看做是以a,b,c 为未知量的线性方程组，其系数行列式

20 1

3912

4

1

11 ≠-=-=D

故方程组有唯一解。由

40

1

32812

3

110 1-=-=D ，

60

1

28913

4

101 2==D

20

28

3932

4

011 3-=-=D

得

1 ,3 ,2321==-====

D

D c D D b D D a

于是，所求的多项式为().1322

+-=x x x f

第二节 全排列及其逆序数

1. 计算排列的逆序数，并判断奇偶性

(1) 1 3 4 2 6 5 ； (2) 2 4 ... (2n) (2n-1) (2n-3) (1)

解 (1)

逆序数t = 0 + 0 + 0 + 2 + 0

+ 1 = 3

该排列为奇排列。

(2) 逆序数t = 0 + 0 + … + 0 +

1 + 3 + … + (2n-1) = n 2

当n 为奇数时，该排列为奇排列；当n 为偶数时，该排列为偶排列。 【思考题】分别用两种方法求排列 16352487 的逆序数

解 方法一：求出每个元素的逆序数（即每个元素左边比它小的数的个数）, 并相加，得

t = 0+0+1+1+3+2+0+1 = 8 方法二：求出每个元素右边比它小的数的个数，并相加，得

t = 0+4+1+2+0+0+0+1 = 8

第三节 对换

1. 以下变换需要经过多少次相邻对

换才能实现？

(1) 将 n 元排列 a 1, a 2, …, a n 左

右翻转得 a n , …, a 2, a 1;

(2) 将 k+m 元排列 a 1, a 2, …, a k ;

b 1, b 2, …, b m 的左右两部分交换，得 b 1, b 2, …, b m ; a 1, a 2, …, a k . 解 (1) 从a 1, a 2, …, a n 开始，将最左边的元素依次移到a n 的右侧，即

a 1, a 2, a 3, …, a n-1, a n

−−−−−→−-次相邻对换

1n a 2, a 3, …, a n-1, a n ；

a 1

−−−−−−→−-次相邻对换

2n a 3

, …, a n-1, a n ；

a 2, a 1

→

a n-1, a n ；

a n-2,…,a 3, a 2, a 1

562431

1)32()12()2(42--n n n

−

−

−

−

−→

−次相邻对换

1a n, a n-1, …, a3, a2, a1

所做的相邻对换的次数为：(n-1)+

(n-2)+…+1=2)1

(-

n

n

(2) 从a1, a2, …, a k; b1, b2, …, b m 开始，将b1, b2, …, b m 依次移到a1的左侧，即

a1, a2, …, a k; b1, b2, …, b m

−

−

−

−

−→

−次相邻对换

k b1； a1, a2, …, a k; b2, …, b m

−

−

−

−

−→

−次相邻对换

k b1,b2,； a1, a2, …, a k; b3, …, b m

→

b1,…, b m-1；a1, a2, …, a k; b m

−

−

−

−

−→

−次相邻对换

k b1, b2, …, b m；a1, a2, …, a k .

所做的相邻对换的次数为：km

2. 不计算逆序数，判断排列 216345 的奇偶性.

[分析] 对216345，将1,2做一次对换，再将6依此与右边的3,4,5做三次对换，可得标准排列123456，对换次数为偶数次.

解从216345开始，经偶数次的对换可得标准排列123456，故216345是偶排列.

【思考题】证明：在全部n元排列中(n ≥ 2)，奇偶排列各占一半.

证设在全部n元排列中有s个奇排列，t个偶排列.

对s个不同的奇排列，将前两个数对换，则变成s个偶排列 (一次对换改变排列的奇偶性)，并且它们彼此不同 (否则，再次对换前两个数变回原来的奇排列，其中会出现相同的奇排列，矛盾)，于是

s ≤ t ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅①

同理， t 个不同的偶排列，将前两个数对换，则变成t个不同的奇排列，于是

t ≤ s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅②

综合①②两式，有 s = t.

第四节 n阶行列式

1. 写出六阶行列式中含因子56

42

31

23

a

a

a

a

的项

[分析] 六阶行列式的每一项都含有不同行、不同列的六个数的乘积。

设含有因子a23a31a42a56的项为(-1)t a1i a23a31a42a56a6j (行标排列采取标准次序排列，t是列标排列的逆序数)，显然列标i和j是4,5的某个排列，有两种可能性。

当ij = 45时，列标排列的逆序数为t(431265)=6，是偶排列，符号项取“+”。

当ij = 54时，列标排列的逆序数为t(531264)=7，是奇排列，符号项取“-”。

解所求的项分别为

+a14a23a31a42a56a65和 -a15a23a31a42a56a64

的公式进行计算

1

1

,2

1

2

)1

(

1

,

1

2

1

,2

1

)1

(n

n

n

n

n

nn

n n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

-

-

-

--

=

(2) 根据定义，行列式算式 (4!项的代数和) 的一般项可表示为