分数阶微积分简介(大三下)
分数阶总结
t 1 ,t 0 h(t ) ( ) 0 ,t 0
则
Dt f (t ) h(t ) f (t )
及
t D f (t ) h(t ) f (t )
因此有
F ( Dt f (t )) F (h(t )) F ( f (t )) (i) f ()
a
J t a J t f (t )
t 1 (t ) 1 ( s) 1 f ( )dsd a ( )( ) a t t 1 f ( s) (t ) 1 ( s) 1dsd s ( )( ) a
对内部积分做变量代换 (t ) / (t s)
(i ) n ( n ) f ( ) (i ) f ( )
同理
F ( t D f (t )) (i) f ()
5. Riemann-Liouville 微积分的 Laplace 变换 令 f (t ) 的 Laplace 变换为 f ( ) 。 令 f (t ) 定义在区间 (, ) 上， 则 Riemann-Liouville 积分算子的 Laplace 变换 为
a Dtn a J tn f (t ) f (t )
因此， 我们也记左侧 Riemann-Liouville 分数阶积分算子 a J t f (t ) 为 a Dt f (t ) ， 即 a J t f (t ) a Dt f (t ) ，为了方便和更加明了，以下我们会经常用 a Dt f (t ) 算子 代替 a J t f (t ) 。 更一般的，对于连续的 f (t ) ，且导数 a Dt - f (t ) 存在，则有
a J t f (t )
拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程
拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程分数阶微积分是一种新兴领域，在近年来得到了越来越多的关注。
它是传统微积分的扩展，将传统的整数阶导数引入了非整数的情况。
在工程、物理、生物学等很多研究领域中，分数阶微积分有着广泛的应用。
因此解决分数阶微分方程成为了重要的课题之一。
本文将从拉普拉斯变换的角度出发，介绍使用该方法解决分数阶微分方程的基本思路和方法。
一、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的一类微分方程。
分数阶导数可以描述在非连续介质中的扩散、渐近行为以及超弹性函数等现象。
分数阶微分方程的形式一般为：$$ \begin{aligned} D^{\alpha}y(t)&=f(t)\\y(0)&=y_0,\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}=y_1,\\beta\in[0,\alpha) \end{aligned} $$其中，$D^{\alpha}y(t)$为分数阶导数，$f(t)$为已知函数。
$y(0),\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}$是初始条件，$y_0,y_1$为已知初值。
一般情况下，分数阶微分方程无法通过传统的解析方法求解，因此需要采用不同的数值方法和函数变换方法。
下文将介绍使用拉普拉斯变换来解决分数阶微分方程的方法。
二、拉普拉斯变换方法简介拉普拉斯变换方法是一种常用的函数变换方法，它将一个函数在实线上的时间域（t域）转化为复平面上的复变量域（s域）上的函数。
它的核心是拉普拉斯积分：$$ F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\s=x+jy\in R $$其中，$f(t)$为实函数，$e^{-st}$为复指数函数，$x,y$为实数。
当$y<0$时，$F(s)$是收敛的；当$y>0$时，$F(s)$是发散的。
通过拉普拉斯变换，可以将微分和积分转化为代数运算，进而可以更方便地解决微分方程等问题。
下面将介绍具体的解决分数阶微分方程的过程。
分数阶微积分及其应用
分数阶微积分及其应用分数阶微积分是一种扩展了传统整数阶微积分概念的数学工具，在过去的几十年中，其应用在物理、工程、生物、经济等多个领域取得了显著的进展。
在分数阶微积分中，函数的导数和积分的阶数可以是非整数，这使得分数阶微积分能够更灵活地描述现实世界中的复杂现象。
分数阶微积分的基本概念包括幂级数、勒让德符号等。
幂级数是一种用无穷级数表示函数的方法，通过幂级数，我们可以将一个函数表示成无限多个因子的乘积。
而勒让德符号则是一种表示分数阶导数和积分的符号，它能够简洁地描述分数阶微积分中的运算。
分数阶微积分在实际生活中的应用非常广泛。
例如，在信用卡计息中，分数阶微积分可以描述复利计息的规律，更好地拟合实际数据。
在股票投资中，分数阶微积分可以用于描述股票价格的动态变化，从而帮助投资者更好地预测股票价格的走势。
此外，分数阶微积分在科学研究和工程实践中也有广泛的应用，例如在电磁学、流体动力学、控制理论等领域都有重要的应用。
学习分数阶微积分需要掌握一些基本的技巧。
首先，需要熟悉函数的导数和不定积分的概念，这是学习分数阶微积分的基础。
其次，需要学会使用幂级数和勒让德符号进行运算，这可以帮助我们更准确地描述复杂的函数。
最后，需要掌握分数阶微积分的算法和计算方法，例如通过数值方法和软件包进行分数阶微积分的计算。
总之，分数阶微积分是一种具有重要应用价值的数学工具，它能够更灵活地描述现实世界中的复杂现象。
随着科学技术的不断发展，分数阶微积分的应用前景将更加广阔。
未来，分数阶微积分的研究和应用可能会涉及更多的领域，例如、大数据分析、化学反应动力学等。
随着分数阶微积分理论的不断完善，其应用也将越来越成熟和广泛。
因此，我们应该积极学习和掌握分数阶微积分这一重要的数学技能，为未来的科学研究和工程实践打下坚实的基础。
引言分数阶微积分是一种扩展了传统整数阶微积分概念的数学工具，它允许我们处理具有非整数阶导数的函数。
在过去的几十年里，分数阶微积分在物理学、工程学、生物学等许多领域发现了广泛的应用。
分数阶微分方程解法
分数阶微分方程解法1、分数阶微积分介绍分数阶微积分是传统微积分的推广和扩展，在这门学科中，函数的导数和积分的阶数可以为分数，有时也可以是负数或复数。
与传统微积分相比，分数阶微积分的应用更加广泛，可以通过它来解释和研究各种复杂的自然现象，例如金融市场的非平稳性、地震的时序性等。
2、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程的微分阶数为分数，例如阶为1.5或2.7的微分方程。
在实际应用中，分数阶微分方程被广泛地用于描述自然现象的动态行为，例如分形、非线性动力学、力学、电动力学和生物学等。
3、分数阶微分方程的解法分数阶微分方程的解法是与传统微分方程不同的。
下面介绍两种常用的解法。
3.1、分式变换法分式变换法是最常用的解分数阶微分方程的方法之一。
它的基本思想是将分数阶微分方程转化为一些常见的函数或微分方程。
例如，我们考虑一个分数阶微分方程：D^βy(t)=f(t)，其中D^β表示分数阶导数运算符，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数。
现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式：y(t)=1/Γ(α)(d/dt)^α∫_0^t f(u)(t-u)^{α-1}du其中α和β之间的关系可以用以下公式表示：α=β-n这里，n是一个正整数，它满足0<n<=β。
通过这个公式，分数阶微分方程就被转化为常数阶微分方程和分式变换的形式。
3.2、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法也是解分数阶微分方程的有效方法。
它的基本思想是将分数阶微分方程转化为常数阶微分方程，然后通过拉普拉斯变换及其逆变换来得到方程的解。
例如，我们考虑一个分数阶微分方程：D^βy(t)+ay(t)=f(t)，其中a是常数，D^β表示分数阶导数运算符，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数。
现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式：L{D^βy(t)}+aL{y(t)}=L{f(t)}其中L表示拉普拉斯变换，而L{D^βy(t)}和L{f(t)}分别是D^βy(t)和f(t)的拉普拉斯变换。
数学物理学中的分数阶微积分
数学物理学中的分数阶微积分分数阶微积分是数学物理学中的一个重要分支，它在描述动力学系统、复杂网络、信号处理等领域具有广泛的应用。
相比于传统的整数阶微积分，分数阶微积分更适用于揭示非局域性、非马尔可夫性以及非线性特征等复杂现象。
本文将介绍分数阶微积分的基本概念和应用，并探讨其在数学物理学中的重要性。
一、分数阶微积分的基本概念分数阶微积分是对传统整数阶微积分的推广，它将微积分的概念扩展到了分数阶导数和分数阶积分。
分数阶导数可以理解为连续导数的分数次幂，而分数阶积分则是对函数进行分数次积分。
分数阶微积分的基本概念源自于Riemann-Liouville和Caputo定义，这两种定义在具体应用中有不同的适用范围和数学性质。
Riemann-Liouville定义适用于初始条件为连续的情况，而Caputo定义适用于初始条件为非连续的情况。
二、分数阶微积分的应用领域1. 动力学系统：分数阶微积分在描述动力学系统中的复杂行为方面有着重要的应用。
通过引入分数阶导数，可以更准确地描述系统的长时记忆效应和非局域性以及其对系统稳定性的影响。
2. 复杂网络：复杂网络中的节点和边往往具有非线性和非局域的特性，传统的整数阶微积分无法很好地描述网络的演化行为。
而分数阶微积分可以刻画网络的非局域耦合和长尾分布等特性，从而更好地理解和研究复杂网络的性质和动力学行为。
3. 信号处理：在信号处理领域，分数阶微积分可以用于对非平稳信号进行精确建模和分析。
通过引入分数阶导数，可以捕捉到信号的长记忆性、非马尔可夫性以及多尺度特性，从而提高信号处理的效果。
三、分数阶微积分的重要性分数阶微积分在数学物理学研究中具有重要的地位和作用。
首先，它能够更好地刻画和解释自然界和人工系统中的复杂现象，能够提供更精确和准确的描述。
其次，分数阶微积分能够揭示传统整数阶微积分无法涵盖的非局域性、非线性特性等重要特征，从而推动了相关领域的研究和应用发展。
此外，分数阶微积分的理论和方法也为其他学科领域的研究提供了新的思路和工具。
分数阶微积分简介(大三下)讲解共35页文档
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪Hale Waihona Puke 29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
分数阶微积分简介(大三下)讲解
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
riemann-liouvile}型分数阶微积分
Riemann-Liouville型分数阶微积分是近年来微积分领域的一个热门研究方向，它延续了传统微积分理论的思想，同时又拓展了微积分的应用范围。
本文将通过对Riemann-Liouville型分数阶微积分的理论基础、应用与研究进展等方面进行系统的介绍，旨在加深对这一领域的理解，促进读者对分数阶微积分的探索与应用。
一、Riemann-Liouville型分数阶微积分的基本概念1.1 分数阶微积分的起源和发展背景分数阶微积分作为微积分的一种新的分支，在20世纪引起了学术界的广泛关注。
它的研究起源于对非整数阶微分方程的求解问题，随着分数阶微积分理论的不断发展，逐渐涉及到了信号处理、控制系统、金融工程等众多领域。
1.2 Riemann-Liouville型分数阶微积分的定义Riemann-Liouville型分数阶微积分是分数阶微积分理论中最经典的一种类型，其定义如下：对于函数f(x)和实数α，Riemann-Liouville型分数阶积分的定义如下：\[D^{\alpha}_{a+}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{n-\alpha-1}f(t)dt\]1.3 Riemann-Liouville型分数阶微积分的性质及其意义Riemann-Liouville型分数阶微积分具有一系列与传统整数阶微积分不同的性质，如线性性质、微分学基本定理、分部积分等。
这些性质的存在使得Riemann-Liouville型分数阶微积分在实际问题中具有更加灵活的应用。
二、Riemann-Liouville型分数阶微积分的应用2.1 信号处理中的应用在信号处理领域，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于分析非平稳信号和非线性系统，提高信号处理的精度和效果。
2.2 控制系统中的应用在控制系统理论中，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于描述复杂系统的动态特性，并设计出更加优越的控制算法，提高控制系统的稳定性和鲁棒性。
分数阶微积分的定义
分数阶微积分的定义分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。
首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为：（1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时，m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为：[()/]()lim ()t a h at i h i D f t hf t ih αααω--→==-∑（2.1）其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整，= (-1)i i i ααω⎛⎫ ⎪⎝⎭是多项式系数，(1)(2)(1)=!i i i ααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，我们可以用以下递推公式直接求出该系数：01+11,1,1,2,...,i i i n i ααααωωω-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭（2.2）进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：0,0()lim ()()()1()()(1)(1)a t h nh t ai i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i αααααξξξαα-→=--+-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭-=+-Γ-++Γ-+∑⎰ （2.3）其中，()Γ•为欧拉gamma 函数，10()t z z e t dt ∞--Γ=⎰，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。
若：()=0i f t ，,q p R ∈，则微分算子D 满足式（2.4）：（2.4）（2）Riemann -Liouville 分数阶微分定义 对于1,m m m N α-<<∈，有11()()()()m ta t mm a d f D f t d m dt t ααττατ-+=Γ--⎰（2.5）其中，当R α∈，上述定义也称为Riemann -Liouville 分数阶微积分定义。
分数阶耦合解
分数阶耦合解（一）分数阶微积分1. 定义- 分数阶微积分是对传统整数阶微积分的推广。
传统的微积分主要涉及一阶（导数表示变化率）和二阶（例如在物理中与加速度相关）等整数阶的运算。
而分数阶微积分中，导数和积分的阶数可以是任意实数（分数形式）。
- 例如，对于函数y = f(x)，其α阶分数阶导数（0<α<1时）的定义有多种形式，如Riemann - Liouville定义：D^αf(x)=(1)/(Gamma(1 - α))(d)/(dx)∫_{a}^x(f(t))/((x - t)^α)dt，其中Gamma是伽马函数。
2. 意义- 在实际应用中，分数阶微积分可以更好地描述具有记忆和遗传性质的物理过程。
比如在材料的粘弹性研究中，分数阶导数模型能够更准确地刻画材料在应力和应变下的行为，因为材料的当前状态往往与其过去的历史状态有关，而分数阶微积分可以将这种历史记忆效应包含在模型中。
（二）耦合1. 定义- 在数学和物理学等领域，耦合是指两个或多个系统之间相互作用、相互影响的关系。
例如，在一个由多个振子组成的系统中，如果振子之间存在力的相互作用，使得一个振子的运动状态会影响到其他振子的运动状态，这种系统就是耦合系统。
- 从方程的角度看，对于两个变量x和y，如果它们满足方程组cases((dx)/(dt)=f(x,y)(dy)/(dt)=g(x,y))，这里x和y的变化率不仅取决于自身，还取决于对方，这就是一种耦合关系。
2. 类型- 线性耦合：如果耦合项在方程中是线性形式。
例如在方程组cases((dx)/(dt)=ax + by(dy)/(dt)=cx+dy)中，b和c表示线性耦合系数。
- 非线性耦合：当耦合项是非线性形式时。
如cases((dx)/(dt)=x^2+xy(dy)/(dt)=y^3-x^2y)，这里的xy和x^2y等项体现了非线性耦合。
二、分数阶耦合方程的求解方法（一）解析方法1. 级数解法- 对于一些简单的分数阶耦合方程，可以尝试使用级数展开的方法求解。
浅谈分数阶微积分
其中 [r] 表示 r 的整数部分； Grunwald-Letnikov 分数阶积分如下
G a x
I f x lim
1
[ x a
x 0
x
i 1
x
]
-1 f x - ix i
i
分数阶微积分的主流定义
思路二：基于函数 n 重积分的表达式
x 0
1
-1
f s ds
为 f x 的 Riemann-Liouville 分数阶积分。
分数阶微积分的主流定义
（3）Riemann-Liouville 分数阶导数
在（2）的基础上，定义 Riemann-Liouville 分数阶导数如下
D x f x =D I
m
RL 0
m - 0 x
dm f x = m dx
x m - -1 1 f s ds , x - s 0 m -
m 其中 m 1 m, m , D 通常表示 m 阶导数。
分数阶微积分的主流定义
（4）Caputo 分数阶导数
如果 f x C m 0, , 那么称
分数阶微积分的应用
概括起来主要具有以下几方面特点： 1. 软物质。既不属于理想固体，也不属于牛顿流体的物质。例 如聚合物、泡沫、生物体、石油、汽油等。分数阶微分是刻 画软物质行为的有力数学工具。 2. 幂律现象。在复杂网络、蛋白质的结构、放射性物质的衰减 过程、人口的分布等领域幂律现象广泛存在，其物理和力学 演化有明显的记忆、路径依赖性质，而分数阶导数可以较好 地表征这些性质。 3. 分形的微分描述。在现象表现复杂、混沌的问题中，如材料 不光滑的表面、混乱的湍流体、裂缝的扩展、非均匀介质中 的不规则扩散中，分形描述具有独特的优势，而分数阶微分 可以为描述分形提供准确的模型。
分数阶微分方程
p >0
基于广义函数的分数阶微积分定义： aDtp f (t) = f (t)∗Φ−p(t)
Φp
(t)
=
⎧ t p−1 ⎪⎨Γ( p)
,
t
>
0
⎪⎩0 , t ≤ 0
缺点：定义域较窄计算复杂
优点：定义域较宽 缺点：Laplace变换较复杂
优点：Laplace较简洁 缺点：定义域太窄
Байду номын сангаас
优点：有利于工程中对系统 的描述
（1） 需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假 设条件；
（2） 因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型； （3） 这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。 基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理 来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传 性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描 述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
2、研究现状
在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进 行，似乎它只对数学家们有用。然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的 被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、 控制和机器人及其他应用领域中的问题。分数阶微积分理论也受到越来越多的国 内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数 学工作者的研究热点。随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论 对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。然而由于分 数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画 的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。
（四）分数阶微积分
（四）分数阶微积分我们重点考察R −L 型分数阶微积分的性质，简记RL 0D βt =D βt ，若⽆特殊说明。
a). 线性性D βt [f (t )+g (t )]=D βt f (t )+D βt g (t )D βt λf (t )=λD βt f (t )证明:直接带⼊定义验算即可.设m =[β]+1RL 0D βtf (t )=1Γ(m −β)d m dt m ∫t0(t −τ)m −β−1f (τ)d τb). 积分的叠加性D −αt D −βt f (t )=D −α−βt f (t ) (α,β>0)证明:对整数阶积分结论是显然的,对于分数阶R-L 积分仍然具有叠加性。
由定义知0D −βt f (t )=1Γ(β)∫t0(t −x )β−1f (x ):=g (t )那么D −αt g (t )=1Γ(α)∫t0(t −τ)α−1g (τ)d τ=1Γ(α)Γ(β)∫t 0(t −τ)α−1d τ∫τ0(τ−x )β−1f (x )dx=1Γ(α)Γ(β)∫t 0f (x )dx ∫tx (t −τ)α−1(τ−x )β−1d τ(交换积分次序)=1Γ(α)Γ(β)∫t 0f (x )dx ∫10(t −x )α+β−1(1−ξ)α−1ξβ−1d ξ (Let ξ=τ−xt −x )=B (α,β)Γ(α)Γ(β)∫t0(t −x )α+β−1f (x )dx=1Γ(α+β)∫t0(t −x )α+β−1f (x )dx=0D −α−βt f (t )由此我们也得到了积分满⾜交换性，即D −αt D −βt f (t )=D −α−βt f (t )=D −βt D −αt f (t ) (α,β>0)c). 上式考虑了积分叠加的情形，对于连续函数f (t )考虑混合运算“先积分再微分”.（还记得R-L 定义思路D β=D m D −(m −β)）0D αt 0D −βt f (t )=0D α−βt f (t ) (α>0,β>0)证明:先探讨⼀种特殊的情形D λD −λf (t )=f (t ) (λ>0)当λ为整数时结论显然成⽴。
分数阶微积分与分数阶微分方程
分数阶微积分与分数阶微分方程分数阶微积分是微积分学中的一个重要分支，它涉及到非整数阶的导数和积分。
与传统的整数阶微积分不同，分数阶微积分引入了分数阶导数和分数阶积分的概念，使得我们能够更好地描述和解决一些复杂的现实问题。
一、分数阶导数传统的微积分中，我们熟悉的导数是整数阶的，比如一阶导数表示一个函数的变化率，二阶导数表示一个函数的曲率。
而分数阶导数则是将导数的概念推广到了非整数阶。
对于一个连续函数f(x)，其一阶导数可以表示为：D^αf(x) = 1/Γ(n-α) ∫[a,x] (f(t)/(x-t)^(α+1-n)) dt其中，D^α表示分数阶导数，Γ(n)表示伽玛函数，a为常数，n为整数。
该公式给出了分数阶导数的定义，可以看到，它是通过积分来定义的。
二、分数阶积分与分数阶导数类似，分数阶积分也是将积分的概念推广到了非整数阶。
对于一个函数f(x)，其分数阶积分可以表示为：I^αf(x) = 1/Γ(α) ∫[a,x] (f(t)/(x-t)^(α+1)) dt其中，I^α表示分数阶积分，Γ(α)表示伽玛函数，a为常数。
与分数阶导数类似，分数阶积分也是通过积分来定义的。
三、分数阶微分方程分数阶微分方程是指方程中包含了分数阶导数的微分方程。
与常见的整数阶微分方程不同，分数阶微分方程在数学和物理学上有着广泛的应用。
以分数阶常微分方程为例，其一般形式可以表示为：D^αy(x) = f(x,y(x))其中，D^α表示分数阶导数，y(x)表示未知函数，f(x,y(x))表示已知函数。
分数阶微分方程的求解是一个复杂而有挑战性的问题，需要运用分数阶微积分的理论和方法进行求解。
四、分数阶微积分的应用分数阶微积分在许多领域中都有重要的应用，比如信号处理、金融工程、生物医学等。
以信号处理为例，分数阶导数可以用来描述非平稳信号的长期记忆特性，从而更准确地分析和处理信号。
此外，分数阶微积分还可以应用于模糊逻辑、控制系统等领域。
分数阶微积分
6
Fractional Calculus
.T. heorem .1.3 For n ∈ N,we have (n − 1)! = Γ(n).
.P. roof. 用归纳法证明。
n
=
1,
Γ(1)
=
∫∞
0
e−1dt
=
1.
假设 n = k − 1 时成立，那么 n = k 时,
.ΓΓ1)((kk∫0)∞−=t1k)∫−0=∞2et−∫k0t∞−d1ttek=−−12(dekt−−=td1t−).Γt(kk−−1e1−)t|=∞ 0
∫x
a
ϕ(τ )(x
−
τ )m+n−1dτ
=
Jam+nϕ(x).
almost everywhere on [a, b]. Moreover,by the classical theorems on parameter integrals,if ϕ ∈ C[a, b] then also Janϕ ∈ C[a, b], and therefore .JamJanϕ ∈ C[a, b], and Jam+nϕ ∈ C[a, b] too.
a continuous nth derivatives on the interval [a, b].Then,
.
Dnf = DmJam−nf.
5
Fractional Calculus
. p. roof of lemma 1.2. By DnJanf = f ,we have f = Dm−nJam−nf. Applying the operator Dn to both sides of this relation and using the fact that
分数阶微积分学与分数阶控制
分数阶微积分学与分数阶控制分数阶微积分学和分数阶控制是近年来发展起来的新兴领域。
作为传统微积分学和控制论的延伸，它们已经在许多领域得到了广泛的应用，例如信号处理、通信、控制系统的设计等领域中。
本文将从分数阶微积分学和分数阶控制两个方面依次介绍其相关知识。
一、分数阶微积分学传统的微积分学主要研究整数阶微积分。
而分数阶微积分学研究的是分数阶微积分，即微积分的幂次不再是整数，而是分数。
在分数阶微积分学中，有一种特殊的微积分运算——分数阶导数。
它是一种非整数次的微积分表达式，可以描述某些非线性系统中的行为。
分数阶导数的应用可以涉及到许多领域。
例如，分数阶微积分运算在经济学、物理学、化学和生物学等领域中被广泛应用。
在不同领域中，分数阶微积分的应用范围也不尽相同。
但总的来说，它可以用来描述许多非线性系统的动态行为和响应，如热传导、电路传输和弹性等现象。
二、分数阶控制分数阶控制是指一种基于分数阶微积分学原理的控制方法。
分数阶控制的基本思想是通过引入分数阶微分方程建立系统模型，并使系统动力学行为的性质通过数学优化的方式得到优化。
这种控制方法可以适用于非线性和时变系统，尤其是具有混沌性的系统。
分数阶控制的应用范围广泛。
例如，它可以应用于水平控制、天线跟踪等领域。
另外，在电力系统和机械系统等领域中，分数阶控制也有着重要的应用，例如，分数阶PID控制可以在系统响应速度和稳定性之间取得一个平衡点，从而实现最佳控制效果。
最后，总体来看，分数阶微积分学和分数阶控制虽然相对于传统微积分学和控制论更加晦涩难懂，但它们能够更精细地描述某些特殊的现象，并且在控制系统设计领域中能够取得更好的控制性能。
在未来的发展中，它们无疑将会有更广泛的应用。
分数阶微积分简介(大三下)讲解
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t dn 1 n 1 ( t x ) f ( x)dx f (t ) n dt (n 1)! 0
以上公式说明
t 1 n 1 J f (t ) ( t x ) f ( x)dx (n 1)! 0 1 t n 1 ( t x ) f ( x)dx ( n) 0 n t
两边作Laplace变换得
ˆ (t ) t h ,
0
1 t
e dt t 1et dt
0
( )( ) 2 .
两边再取Laplace逆变换得
( )( ) 1 h , (t ) t . ( )
若 1 ，则
( ) h ,1 (t ) t . ( 1)
下面例证整数阶导数的结论在分数阶 导数定义中是否成立？对于幂函数有
m t 1 d n m 1 n Dt x ( t s ) s ds m 0 (m ) dt 1 dm h (t ) m m , n 1 (m ) dt
1 d t Dt 1 ( t s ) ds 0 (1 ) dt
1 d 1 1 t (1 ) dt 1 1 t 0. (1 )
这导致了分数阶导数其他定义形式的产生
Caputo导数
函数 f (t ) 的 阶Caputo导数定义如下
其中 0, m 表示不小于 的最小整数。
引入分数阶导数的定义后，整数阶导数
就成为分数阶导数的特殊情况. 我们自然希望：在分数阶导数定义中 取整数时，已有整数阶导数的结论依然 成立.
我们先得介绍一下Laplace变换和Beta函数。
分数阶微积分理论
分数阶微积分理论分数阶微积分理论2.1 引⾔⼀般我们熟知的微积分理论都是整数阶的，⽐如⼀阶微分⽅程，⼆阶微分⽅程，⼀重积分、⼆重积分等等，⽽分数阶微积分，指的是微积分的阶次可以为包括整数以内的其它任意数，⽐如⼩数、有理数、⽆理数等，可以说分数阶微积分可以描述任何对象，它的作⽤要远超常规整数阶微积分。
虽然在⽆数的学者前赴后继地努⼒下，分数阶微积分理论⽅⾯的研究成果丰硕，⽽关于分数阶微积分的定义，不同的学者表述上有所区别，综合各个理论层⾯的评估，同时具有实际⼯程上的应⽤可⾏性的分数阶微积分定义只剩下三种，分别是Grünwald -Letnikov 定义，Caputo 定义，Riemann -Liouville 定义[64]。
2.2 分数阶微积分的定义分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统⼀分数阶微分和分数阶积分得到的。
⾸先介绍常⽤的三种分数阶微分定义，具体为：（1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时，m ⾄少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为：[()/]()lim ()t a h at i h i D f t hf t ih αααω--→==-∑（2.1）其中，α表⽰阶次，h 为采样步长，a 表⽰初始时间，[]表⽰取整，= (-1)i i i ααω?? ???是多项式系数，(1)(2)(1)=!i i i ααααα??---+，我们可以⽤以下递推公式直接求出该系数：01+11,1,1,2,...,i i i n i ααααωωω-??==-=（2.2）进⼀步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：0,0()lim()()()1()()(1)(1)a t h nh t ai i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i αααααξξξαα-→=--+-=??=--=+-Γ-++Γ-+∑? （2.3）其中，()Γ?为欧拉gamma 函数，10()t z z e t dt ∞--Γ=?，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。
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设
h , (t)
t (t s) 1 s 1ds
0
则
h , (1) B( , ),
h, (t) 为函数 t1 和 t 1 的卷积。
两边作Laplace变换得
hˆ, (t)
t e 1 tdt
0
t 1etdt
因此,用分数阶的对流—弥散方程比二阶对 流—弥散方程能更好的描述溶质在多孔介质中的 弥散. 更多的应用可参阅参考文献.
参考文献
1. 徐明瑜,谭文长.中间过程、临界现象—分数阶算子理论、 方法、进展及其在现代力学中的应用.中国科学 G辑 2006.
2. 陈崇希,李国敏.地下水运移理论及模型. 武汉：中国地质 大学出版社,1992.
分数阶微积分简介
分数阶微积分已有300多年历史，早在1695年，
Leibniz和L’Hospital曾以书信的方式探讨过分数阶微 积分, L’ Hospital提出问题：
1
1
d2x
f (x) x, n 2
1 ? dx 2
124年之后(1819年) ，Lacroix首次给出这一
问题的正确解答:
函数 f (t) 的 阶Caputo导数定义如下
Dt
f
(t )
J
m t
Dtm
f
(t )
1
(m )
t 0
(t
s)m
1
d
mf ds
(
m
s)ds,
其中 f Cm1([0,T ], X ).
Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo 分数阶导数是分数阶导数最常用的两种定义 形式。
16世纪前后200年的时间，常量数学基本完成，也是变 量数学的酝酿时期，微分法和积分法已有雏形。
17世纪前后半期，Newton和Leibniz在前一时期数学成 就的基础上各自独立建立微分运算和积分运算，并建 立二者之间的联系，揭开了数学历史的新篇章。
18世纪是微积分的基础讨论和研究时期。
19世纪Cauchy和Weierstrass等确定微积分的现代形式， Dekind和Cantor奠定了牢固的基础。
xn
1
(m )
dm dt m
t (t s)m 1snds
0
1
(m )
dm dt m
hm ,n1(t)
1
(m
)
dm dt m
(m )(n 1) (m n 1)
t mn
(n 1) tn .
(n 1)
1
d2x
1
dx 2
21 x2.
以上结果是如何得到的？为弄清这个问题，我们 首先要了解Gamma函数
(n 1) n! xnexdx , n N. 0
将Gamma函数推广到 n 取正实数的情况
( ) x 1exdx, 0 0
有
( 1) ().
d dt
J1t
f
(t)
d2 dt 2
J
2 t
f
(t)
dn dt n
Jtn
f
(t)
d dt
f (t)
d2 dt 2
J1t f (t)
d n 1 dt n
Jtn
f
(t)
通常积分运算要比求导运算复杂，从而我们 希望多求导少积分，这将导致以下定义的产生
Riemann-Liouville分数阶导数
经过D’Alembert、Euler、Lagrange等人的努力， 微积分严格化到19世纪初终于见到效果。 Bolzano、Cauchy、Weierstrass等人对微积分严 格化做出最突出的贡献。
在微积分的创立上，Newton和Leibniz分享荣 誉，但是微积分发明权之争论是“科学史上最不 幸的一章”。英国数学家固守Newton的传统而使 自己远离分析的主流，分析的进步在18世纪主要 是由欧陆国家的数学家在Leibniz微积分方法的基 础上而取得的。
随后越来越多的数学工作者开始关注分 数阶微积分，由于缺少物理力学背景支持,
其理论和应用发展都非常缓慢.
1974年首届分数次演算国际会议召开； 随后耶鲁大学教授Mandelbrot 指出：自然界 和科学技术中存在大量的分数维，分数阶布朗 运动和Riemann-Liouville分数阶微积分有着紧 密的联系.
0
f (t)
以上公式说明
Jtn f (t)
1 (n 1)!
t (t x)n1 f (x)dx
0
1 t (t x)n1 f (x)dx (n) 0
我们已经推广了Gamma函数，自然地，上面的整 数次积分能否推广到分数次？答案是肯定的。
Riemann-Liouville分数次积分
定义函数 f (t)的 次积分如下
其中
J
t
f
(t)
1
(
)
t (t s)1 f (s)ds,
0
> 0, f L1([0,T ], X ), t 0.
结合卷积的定义
t
(h f )(t) 0 h(t s) f (s) ds,
令
g (t)
1 t 1,0 ( ( ) 2.两边再取Laplace逆变换得
h ,
(t)
( )( ) ( )
t 1.
若 1 ，则
h ,1(t)
( ) ( 1)
t
.
下面例证整数阶导数的结论在分数阶 导数定义中是否成立？对于幂函数有
Dt
当 取整数时，与整数阶导数结果
完全吻合。
再看常数函数，若 0 1
Dt 1
1
(1
)
d dt
t (t s) ds
0
1
(1 )
d dt
1
1
t1
1 t 0.
(1 )
这导致了分数阶导数其他定义形式的产生
Caputo导数
代数与几何相结合的产物----解析几何将 变量引进了数学（变量数学），为微积分 的创立搭起了舞台。积分学可追溯到古代 （面积和体积的计算），数学分析书中 Kepler“行星运动三大定律”→现代定积分 思想的雏形。其实“分割、求和、取极限” 方法计算不规则图形面积的思想追溯到古 希腊Archimedes的“穷竭法” pp. 262-264
( )
t
0,
则
J
t
f
(t)
1
(
)
t (t x)1 f (x) dx
0
(g f )(t).
问题：上面介绍的是分数次积分，那 么分数阶导数又该如何定义？
在允许相差常数的意义下，积分和求导是 逆运算的关系，那么能否借助前面分数次积 分来定义分数阶导数呢？
例如
f
(t)
我们自然希望：在分数阶导数定义中
取整数时，已有整数阶导数的结论依然 成立.
我们先得介绍一下Laplace变换和Beta函数。 函数 f (t) 的Laplace变换
Beta函数
fˆ () et f (t) dt 0
B( , ) 1(1 s) 1 s 1ds, , 0 0
3. 杨金忠等.多孔介质中水分及溶质运移的随机理论.北京:科 学出版社, 2000.
4.常福宣等.考虑时空相关的分数阶对流—弥散方程及其解. 水动力学研究与进展, 2005,20(3)。
C(x,t) g[vC(x,t) DC(x,t)] t
其中C(x,t)表示在时刻 t 位于空间点 x 处的溶
质浓度, v表示对流速度, D为弥散系数。
对于稳定流问题,上式中的弥散系数D被看作 是一常数,与溶质运移过程的尺度无关。但在实 际中存在弥散的尺度效应，即弥散系数随着运移 距离的增加而增大，弥散系数不能再被看作常数。
分数阶微积分简介
数学史上的丰碑 ——微积分
由Newton和Leibniz创立的微积分是变量数学时期（17世 纪后期）最主要的成就； 微积分的诞生是全部数学史上，也是人类历史上最 伟大最有影响的创举；
微积分导致后来一切科学和技术领域的革命； 离开微积分，人类将停顿前进的步伐…… 在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪后半叶微 积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。
这些都促使分数阶微积分理论及应用迅猛 发展. 如今，分数阶微积分理论已经广泛应用 于水动力学、生物力学、量子力学、控制论、 医学等众多领域.
例如，多孔介质中的溶质运移问题是地下水动 力学研究的重要内容之一 ，传统的多孔介质中 水动力弥散理论采用如下的二阶对流—弥散方 程来描述溶质在多孔介质中的运移行为 ：
其次，我们再回顾一下变上限函数求导公式
d
t
f (x)dx f (t)
dt 0
d2 t
dt 2
(t x) f (x)dx f (t)
0
d3 1 t (t x)2 f (x)dx f (t)
dt3 2 0
... ... ... ...
dn
dt n
1 (n 1)!
t (t x)n1 f (x)dx
段，而所有这些所面临的数学困难. 具体地，
从埃及尼罗河沿岸每年丈量土地开始，人们就在寻 求一种计算不规则图形面积的方法.
许多迫切待解决的问题：描述处理运动、曲线的切线、 曲线的长度、曲面的面积、曲面围成的多面体的体积、极 大极小问题…..
微积分的奠基人是英国的Newton和德国 的Leibniz。牛顿的微积分包括“流数法”和 “求积法”两种方法，莱布尼茨使用“差的计 算”和“求和计算”。