排列组合典型例题(带详细答案)

例1用O到9这10个数字•可组成多少个没有重复数字的四位偶数?

例2三个女生和五个男生排成一排

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法?

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法.

例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车

辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种?

例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表•如果有4所重点院校，每所院校有3个专业

是你较为满意的选择•若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？

例7 7名同学排队照相.

（1）若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法?

（2）若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？

（3）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？

（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？

例8计算下列各题:

(1) A15 ；⑵A6；

例9 a,b,c,d,e,f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法.

例10八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有

多少种安排办法？

例11计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有

例12由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数

共有（）•

例13用1,2,3,4,5 ,这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）•

例14用0、1、2、3、4、5共六个数字，组成无重复数字的自然数，（1）可以组成多少个无重

复数字的3位偶数？（2）可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？

1、解法1当个位数上排“ O”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A个；当个位上在“

2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有

A4 A A I（个）•「•没有重复数字的四位偶数有Ag + A；.A；'A2 =504 + 1792 =2296

2、解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样

同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有A6种不同排法•对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有A对种不同的排法，因此共有A（6 Aa =4320种不同的排法.

（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女

生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻•由于五个男生排成一排有A5种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中

3 5 3

选出三个来让三个女生插入都有A6种方法，因此共有A A6 = 14400种不同的排法.

（3）解法1:（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有As种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有Af种排法，所以共有

A A=14400种不同的排法.

.. 8 2 6

（4）3个女生和5个男生排成一排有A种排法，从中扣去两端都是女生排法 A A种，

就能得到两端不都是女生的排法种数•因此共有A； - A；∙A65 = 36000种不同的排法.

3、解：（1）先排歌唱节目有A）种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入

舞蹈节目，共有A64中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有： A A = 43200.

（2）先排舞蹈节目有A：中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱

节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：A： A f = 2880种方法。

4、A6 - 2 A f A4 =504 （种）.

5、A A f= 36 种.

6、解：填表过程可分两步.第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有A3种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其

2 2 2

顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有A人3 A3种.综合以上两步，由分步计数

2∙A3 =5184种.

原理得不同的填表方法有：A43 A f A

7、解:(1) A；風=A；=5040 种.(2) A3 A I A^ =1440 种.(3) A l Al= 720 .

⑷A As ^1440 种.

8、解：(1) A25 =15 14=210 ；(2) A = 6! = 6 5 4 3 2 1= 720 ；

(n —1) ! 1 (n — 1)! 1

⑶原式(n-m)! (n -m)! 1 ;

[n _1_(m—1)!] (n— 1)! (n — m)! (n— 1)!

9、A

10、解法1:可分为"乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐

在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：

A，A2 A；人5 =8640(种).

2

11、将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有A2种排列.但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求•所以共有A2 A： Af种陈列方式.

2

12、300 13、将符合条件的偶数分为两类•一类是2作个位数，共有A A个，另一类是4

作个位数，也有A个•因此符合条件的偶数共有A J A J= 24个.

14、解：(1)就个位用0还是用2、4分成两类，个位用0,其它两位从1、2、3、4中任取两

数排列，共有A A =12 (个)，个位用2或4 ,再确定首位，最后确定十位，共有

2 4 4 =32(个)，所有3位偶数的总数为：12 • 32 =44(个).

⑵从0、1、2、3、4、5中取出和为3的倍数的三个数，分别有下列取法：(0 12)、

(0 15)、(0 2 4)、(0 4 5)、(12 3)、(1 3 5)、(2 3 4)、(3 4 5),前四组中有0 ,

后四组中没有0 ,用它们排成三位数，如果用前4组，共有4 2 Af =16(个)，如果用后

四组，共有4 Aa = 24(个)，所有被3整除的三位数的总数为16 24 = 40(个).