几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复

几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略

初中数学传统上分为几何和代数（以下简称“几代”）两部分，于是几、代的有机结合也就成为初中数学的一个落脚点，因此几代相结合的综合题型也就理所当然成为中考的重点、难点与焦点。几代相结合的综合题常以“起点低、入口宽、步步高”的特点呈现，并以“思想方法立意”和“能力立意”为创新点。从某一角度上讲可分为“几何背景代数解法”和“代数背景几何解法”两大类。下面就谈谈几代相结合的综合题型的复习要点和复习策略：

一、几代综合题的复习要点

1、基础知识的复习仍是几代综合题复习的前提与基础，否则几代综合题的复习就成为无本之木，无源之水

几代综合题是基于几何、代数基本知识之上，它的解法其实就是对各基础知识的综合、灵活的运用，因此全面复习好几何与代数基础知识，对于几代综合题的复习至关重要。其包含的基础知识主要有：

代数基础知识：数的运算、式的变形、方程、不等式的解法、函数的图象与性质。

几何基础知识：几何变换、平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定（含全等三角形）、 勾股定理与三角函数、圆中的位置关系及其判定。

【例1】已知，在Rt △OAB 中，∠OAB =90°，∠BOA =30°，AB =2. 若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内. 将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在点C 处.

（1）直接写出A 的坐标；

（2）若抛物线bx ax y +=2

（0≠a ）经过C 、A 两点，

求此抛物线的解析式；

（3）若(2)中抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段 DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M. 问：是否存

在这样的点P ，使得四边形CDPM

. 简析：

（1）利用特殊三角形的性质直接写出A

的坐标是解直角三角形的最基本的知识。

（2）通过解直角三角形求点C 的坐标，并利用待定系数法求解析式是确定解析式的基本方法。

(3) 在作好图形的基础上，探索要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CM=DP ，从而转化为方程问题并求解，这也是对于等腰梯形判定的最低要求。

由此可见，基础知识的复习是解题的基础，实不可忽视。

2、数学思想方法及其灵活运用永远是数学复习的重点内容，也是几代综合题解法的关键所在

对于初中阶段常见的数学思想、方法应熟练地掌握，并灵活地运用。如：数形结合、分类讨论、运动变化、方程、不等式、函数、转化化归等数学思想；待定系数法、面积法、配方法、图象法、公式法、反证法等数学方法。

【例2】如图2—①，已知直线128

:33

l y x =

+与直线2:216l y x =-+相交于点C ，1l 、2l 分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线1l 、2l 上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合． （1）求点B 、点D 的坐标； （2）求ABC △的面积；

（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位 长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与

ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出

相应的t 的取值范围．

简析：（1）（2）略

（3）解题的关键是利用数形结合，结合运动变化思想，通过分类讨论、把问题转化为①当03t <≤时，（如图2—②）、②当38t ≤<时，（如图2—③）、③ 当812t ≤≤时，（如图2—④）等三种情况并加于解决，其中还用到了方程思想、图象法等数学思想方法。

（图2—①）

A D

B

E O R

F x y

M （图2—④）

G C A D B E O C F x y G （图2—②）

R M H

A D E O C F x y

G （图2—③）

R M Q

所以数学思想方法是数学的灵魂，也是几代综合题解题的灵魂。

3、应体现列代数式是基础，方程是核心，函数是纽带，不等式发挥着重要作用的观点 对于初中阶段常见的方程和函数应该做到：准确、迅速利用通法和必要的技巧（特法）解各类方程，熟练掌握、灵活运用函数图象及其性质解决有关问题。 【例3】如图3，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰

AB 的长为x 米.

(1)请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）； （2）若∠BAD =60°, 该花圃的面积为S 米2.

①求S 与x 之间的函数关系式（要指出自变量x 的取值范围），并求当

S =393时x 的值；

②如果墙长为24米，试问S 有最大值还是最小值？这个值是多少？简析：

（1）布列代数式：BC=40-AB-CD=（40-2x ） （2）①利用几何计算求出解析式和自变量的取值范围：

S=21(40-2x+40-x)·23x=43x(80-3x)=32034

3

2+-x (0＜x ＜20)，同时转化为方程

39332034

3

2=+-

x 并求解。 ②在利用不等式求取值范围的前提下，利用二次函数的图像和性质求最值。

所以，复习时要特别注意代数的各部分知识间的相互联系，互相补充，形成系统，才能更好的解决几代综合题。

4、应熟练掌握几何计算的方法与途径

几何的计算从广义上讲大都可以转化为线段的计算，因此几何计算是顺利解决几代综合题的关键环节，应充分关注：利用勾股定理布列方程计算、利用三角函数布列方程计算、利用相似三角形的方程计算、利用坐标的几何意义进行计算、利用面积法进行计算等重要而常见的几何计算方法与途径，从而为几代综合题的解题提供保障。 【例4】如图4—①，在平面直角坐标系中，直线l ：b x y +=2与x 轴交于点A （4-，0）， 与y 轴交于点B.

（1）填空：=b ；

（2）已知点P 是y 轴上的一个动点．．，以P 为圆心，3为半径作⊙P . ①若PA =PB ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由. ②当⊙P 与直线l 相切时，求点P 与原点O 间的距离. 简析： （1）8=b ；

（2）在Rt △AOP 中，利用勾股定理布列方程并求出圆心到直线的距离OP ，并通过d

与r 的关系判定⊙P 与x 轴相切.

（3）分“当点P 在点B 下方时”和“和当点P 在点B 上方时”，两种

情况(如图4—

②)：既可由△1BMP ∽△BOA 得

AB

BP OA

MP 11=

，也可在OAB Rt ∆和B

MP Rt 1∆中，由

AB

OA MP BP ABO =

=

∠1

1

tan 列方程，并解得531=BP ，并求得1OP ，同理求2OP

由此可见，几何计算在几代综合题中占着重要的地位和作用。

5、应关注几何变换在解题中的应用

图3

O

A

B P

图4—①

O

A

B

M

N 图4—②