几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复
中考压轴题目归类总结代数几何综合板块
中考压轴题目归类总结代数几何综合板块.doc 中考压轴题目归类总结：代数几何综合板块引言介绍中考压轴题目的重要性代数几何综合板块在中考中的地位归类总结的目的和意义代数几何综合板块概述代数几何综合板块的定义该板块涵盖的主要内容代数方程几何图形函数与图形几何证明代数几何综合题目特点结合代数和几何的解题思路需要综合运用多种数学知识题目通常具有较高的难度和综合性代数几何综合题目解题策略分析题目要求，确定解题方向利用代数方法解决几何问题利用几何直观辅助代数计算综合运用函数、方程、不等式等数学工具代数几何综合板块常见题型题型一：代数方程与几何图形结合例题分析解题步骤易错点提示题型二：几何图形中的代数问题例题分析解题步骤易错点提示题型三：函数与几何图形的结合例题分析解题步骤易错点提示题型四：几何证明中的代数应用例题分析解题步骤易错点提示代数几何综合题目解题技巧转化思想：将几何问题转化为代数问题建模思想：建立数学模型解决实际问题归纳推理：通过已知条件推导未知结论逆向思维：从结论出发，逆向求解代数几何综合板块备考建议系统复习代数和几何基础知识多做综合题目，提高解题能力总结解题规律，形成自己的解题方法培养空间想象能力和逻辑推理能力经典例题解析选取几道历年中考中的代数几何综合题目分步骤解析解题过程总结解题思路和技巧结语强调代数几何综合板块在中考中的重要性鼓励学生通过不断练习提高解题能力表达对学生中考取得优异成绩的祝愿。
中考数学代数+几何知识点总结
中考数学代数+几何知识点总结第一章 实数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
几何与代数知识的融合应用的综合题
几何与代数基础知识
第一章
几何与代数的概念
几何：研究空间结构及性质的一门 学科，包括点、线、面、体等基本 元素和形状、大小、位置关系等基 本概念。
几何与代数的融合：在数学中，几 何与代数是相互联系、相互渗透的， 代数的方法可以用来研究几何问题， 而几何的直观性也可以帮助理解代 数问题。
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题目：已知双曲线 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √3，且过点 (√3,1/2)。
题目：已知圆 C：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线 l：mx - y + n = 0，若直线 l 与圆 C 相切，则 m、n、a、b、r 间满足的关系式为 _______．
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验证物理理论：几何与代数在验证物理理论 方面也发挥了重要作用，如通过实验数据绘 制图表、计算相关物理量等。
几何与代数在计算机科学中的应用
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计算机图形学：几何与代数在计算机图形学中广泛应用，用于 描述三维物体的形状、位置和运动。
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计算机视觉：通过几何与代数的方法，可以对图像和视频进行 预处理、特征提取和识别。
实例：在研究经济增长时，可以通过解析几何与代数的方法来建立经济增长模型，从 而更好地预测未来的经济走势。
实例：在研究国际贸易时，可以通过解析几何与代数的方法来建立贸易模型，从而更 好地分析国际贸易的利弊。
实例：在研究投资组合时，可以通过解析几何与代数的方法来建立投资组合模型，从 而更好地优化投资组合。
检查结果：最后检查结果是否符合题目的要求。
几何与代数知识的融合应用 实例
2024年中考重点之几何与代数的综合应用
2024年中考重点之几何与代数的综合应用随着科技的迅猛发展，数学在当今社会中扮演着日益重要的角色。
作为数学的两大重要分支，几何和代数在中学数学教育中占据着重要地位。
这两个学科的综合应用不仅可以增强学生的数学素养，还能培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
因此，在2024年的中考中，几何和代数的综合应用被确定为重点内容。
本文将分别从几何和代数两个方面，探讨中考对几何和代数综合应用的考查要求和解题技巧。
一、几何与代数的综合应用在中考中的考查要求在几何与代数的综合应用方面，中考要求学生能够灵活运用几何和代数的相关知识解决实际问题。
其中的考查重点主要涵盖以下几个方面：1. 图形的坐标表示与性质：学生需要掌握如何用坐标表示平面图形，并能解释图形的性质和特点。
例如，在解决矩形面积最大问题时，学生需要将矩形的顶点坐标用代数形式表示，并通过代数方法推导出最大面积的条件。
2. 图形的变换与运动：学生需要了解平移、旋转和翻转等几何变换的基本概念和性质，并能将其与代数表示相结合。
例如，在解决图形对称性问题时，学生可以运用坐标系和代数表示，分析图形的对称轴和对应点的关系。
3. 直角三角形与勾股定理：学生需要掌握直角三角形的基本性质，特别是勾股定理的应用。
例如，在解决海伦公式问题时，学生可以通过运用勾股定理和代数计算，求解不规则三角形的面积和边长。
4. 寻找规律与数列：学生需要通过观察、总结和推理，寻找规律性和代数模式，并能通过数学语言和符号表示。
例如，在解决数列问题时，学生需要通过找出通项公式和递推关系，确定数列的特性并求解相关问题。
二、几何与代数的综合应用解题技巧在中考中，几何与代数的综合应用题目常常以情境化和探究性的方式出现，要求学生从实际问题出发，灵活运用几何与代数知识解决问题。
以下是几种常见的解题技巧：1. 建立数学模型：对于实际问题，学生首先需要思考如何用数学语言和符号建立合理的模型，通过引入合适的变量和关系，将复杂的问题简化为数学问题。
中考复习之代几综合问题知识讲解
代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1， 即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出． 【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5， 此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值． 解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2）， （2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。
中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题四代数与几何综合问题的基本类型和解题策略第一节用数学思想方法解
专题四 代数与几何综合问题根本类型与解题策略 类型与策略 几何与代数综合题一般题量较大、梯度明显，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强题型，试题中综合题大多以代数与几何综合题形式出现，而且留有自主探究空间，表达个性开展与新课程标准理念，代数与几何大型综合题为以下类型：①在几何图形背景下建立函数或方程；②坐标系下几何图形；③函数图象与几何图形相结合问题：近几年来中考几何与代数综合题主要以压轴题形式出现，涉及到题型有关开放性探索问题、动点问题、存在性问题等居多．解答这类综合题，一般要仔细读题，细致分析，找到切入点，迅速解决第一问，然后抓住关键，由此及彼，逐层深入，合理猜测，细致演练确保第二问正确，在时间充裕情况下攻克第三问，需综合运用几何、代数方法及分类讨论思想逐一解决．规律与预测纵观遵义近5年中考，其综合压轴题，一般以二次函数为背景与几何图形综合，由浅入深设置多问，难度较大，考察方式综合运用知识与解决问题能力，预计2021年遵义中考压轴题也会是代数几何综合题，要有针对性剖析训练．第一节 用数学思想方法解决问题,中考重难点突破)数学思想方法是指对数学知识与方法形成规律性理性认识，是解决数学问题根本策略．数学思想方法提醒概念、原理、规律本质，是沟通根底知识与能力桥梁，是数学知识重要组成局部．数学思想方法是数学知识在更高层次上抽象与概括，它蕴含于数学知识发生、开展与应用过程中．中考常用到数学思想方法有：整体思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它实质，就可以把所学知识融会贯穿，解题时可以举一反三．【例1】(2021遵义二中二模)如图，菱形ABCD 对角线长分别为3与4，P 是对角线AC 上任一点(点P 不与A ，C 重合)，且PE∥BC 交AB 于点E ，PF ∥CD 交AD 于点F ，那么图中阴影局部面积________．【学生解答】3【规律总结】在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目题设与结论中所隐含信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．【例2】(2021随州中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)局部图象如下图，图象上点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2，以下结论：①4a＋b ＝0；②9a＋c>3b ；③8a＋7b ＋2c>0；④假设点A(－3，y 1)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，y 2，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72，y 3在该函数图象上，那么y1<y3<y2；(5)假设方程a(x＋1)(x－5)＝－3两根为x1与x2，且x1<x2，那么x1<－1<5<x2.其中正确结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【学生解答】B【例3】(2021遵义六中二模)⊙O半径为2，弦BC＝23，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，那么AD长为________．【学生解答】1或3【规律总结】在几何题没有给出图形时，最好先画出图形，运用数形结合与分类讨论数学思想进展解答，防止出现漏解．【例4】(2021三明中考)如图，AB是⊙O直径，分别以OA，OB为直径作半圆．假设AB＝4，那么阴影局部面积是________．【学生解答】2π【规律总结】此类题就是化未知为、化繁为简、化难为易，通过一定策略与手段，使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象问题具体化．具体地说，比方把隐含数量关系转化为明显数量关系；把从这一个角度提供信息转化为从另一个角度提供信息，转化内涵非常丰富，与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题转机．模拟题区1．(2021遵义航中二模)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，假设△PAD与△PBC 是相似三角形，那么满足条件点P个数是( C)A．1个B．2个C．3个D．4个(第1题图)(第2题图)2．(2021红花岗二模)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如下图，那么以下结论：①ac＞0；②方程ax2＋bx＋c＝0两根之与大于0；③y随x增大而增大；④a －b＋c＞0，其中正确是( A)A．②B．②④C．①②④D．①②③④3．(2021金华中考)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH 垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，那么y关于x函数关系用图象大致可以表示为( D),A) ,B),C) ,D)4．(2021淄博中考)如图，△ABC面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H 在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形，那么图中阴影局部面积是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6(第4题图)(第5题图)5．(2021岳阳中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k 、b 为常数，且k≠0)与反比例函数y ＝4x (x>0)图象交于A ，B 两点，利用函数图象直接写出不等式4x<kx ＋b 解集是__1<x<4__．6．(2021 遵义十一中二模)如图，正方形边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，那么图中阴影局部面积为__8－2π__．(结果用含π式子表示)中考真题区7．(2021 温州中考)假设a ＋b ＝22，ab ＝2，那么a 2＋b 2值为( B ) A ．6 B ．4 C ．3 2 D ．238．(2021凉山中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象如图，那么反比例函数y ＝－a x与一次函数y ＝bx －c 在同一坐标系内图象大致是( C ) ,A ) ,B ),C ) ,D )9．(2021 牡丹江中考)矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点P 是直线BD 上一点，且DP ＝DA ，直线AP 与直线BC 交于点E ，那么C E ＝__5－2或5＋2__．10．(2021德州中考)如图，半径为1半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧中点M 与圆心O 重合，那么图中阴影局部面积是__32－π6__．。
代数与几何的结合中考数学重要知识点详解
代数与几何的结合中考数学重要知识点详解代数与几何的结合是中考数学中的重要知识点之一。
在解题过程中，我们经常会遇到需要运用代数和几何知识相结合的情况。
本文将详细介绍中考数学中与代数与几何结合相关的重要知识点，包括方程与图像的关系、平面几何中的代数方法以及应用题的求解方法等。
一、方程与图像的关系在中考数学中，我们经常会遇到利用方程与图像的关系来解题的情况。
以一次函数为例，一次函数的图像是一条直线，且方程y=kx+b中的k表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。
通过方程与图像的关系，我们可以推断出一次函数图像的特点，进而解答与之相关的问题。
二、平面几何中的代数方法在中考数学的几何部分，我们通常会遇到一些需要运用代数方法解题的情况。
比如，给定一个正方形的对角线长度为x，我们可以设正方形的边长为a，则根据勾股定理可得x^2=a^2+a^2=2a^2，进而求得a=x/根号2。
通过代数方法，我们可以简化一些几何问题的求解过程。
三、应用题的求解方法在应用题中，代数与几何的结合尤为重要。
通过将实际问题转化为代数表达式，并运用几何知识进行求解，我们可以更好地理解问题的本质和解题方法。
以面积和周长问题为例，在求解过程中，我们可以利用代数方法表示出图形的面积和周长，并通过几何知识的应用求解出未知数。
综上所述，代数与几何的结合是中考数学中的重要知识点。
通过运用代数与几何知识相结合的方法，我们可以更好地解答与图形、几何性质相关的问题。
在学习数学的过程中，我们要注重理解代数与几何的关系，灵活运用这种结合的方法解题，从而提高数学的应用能力和解题水平。
几何与代数的结合知识点
几何与代数的结合知识点几何和代数是数学中的两个重要分支，它们在解决问题和研究数学关系时相互结合，并互补彼此的不足。
本文将介绍几何与代数相结合的一些主要知识点，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、向量与坐标系向量既可以用几何的方式表示，也可以用代数的方式表示。
几何上，向量可以用有向线段表示，代数上，向量可以用有序数组表示。
向量的运算规则可以用几何的方式解释，例如向量的加减法、数量乘法等。
而在代数中，向量的运算可以用坐标系内的点的运算来表示。
向量在几何与代数中的结合使得我们可以更方便地研究几何问题，同时也可以用代数的方式来解答和验证几何问题。
二、平面与直线的方程平面和直线有各自的几何定义，也有代数上的表示方式。
例如，平面可以用点法式方程或者一般式方程表示，直线可以用点斜式方程或者两点式方程表示。
这些几何与代数的结合形式将平面和直线的性质用代数的方式来描述，使得我们可以通过方程的运算，快速解决几何问题。
三、三角函数与三角恒等式三角函数是几何与代数相结合的典型例子。
正弦、余弦、正切等三角函数的概念可以通过几何中的角度和三角比定义，而在代数中，它们可以用无理数的无限小数部分来定义。
此外，三角恒等式是几何与代数结合的重要工具，它们可以用几何的方式证明，也可以用代数的方式推导和验证。
几何与代数的结合使得我们可以更深入地理解三角函数的特性，并应用于测量、图形变换等数学领域。
四、曲线的方程几何中的曲线可以用方程的形式表示，通过代数的运算，我们可以研究和解决与曲线相关的问题。
例如，抛物线、圆、椭圆等曲线的方程可以用二次方程来表示，而直角坐标系中的曲线方程实际上是代数方程。
几何与代数的结合使得我们可以通过方程来描述和研究曲线的性质，从而更全面地理解曲线的几何特性。
五、立体图形的体积和表面积立体图形的体积和表面积是几何中的重要概念，与代数相结合可以用代数的方式计算和表示。
例如，长方体的体积可以用代数中的长度、宽度和高度的乘积来计算，球体的表面积可以用半径和π的乘积来表示。
复习学案代数与几何综合运用
一、考标要求1可分为：（1方法和证明思路。
（2方法。
一、典例精析例1（07交x轴于A、B顶点，点A(1)求m、n的值；(2）求直线PC的解析式；(3）请探究以点APC的位置关系，1.73≈≈解：(1)经过A(-3，0)、B∴903,210.2m nm n⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得31,2m n==-．(2) ∵21322y x x=+-，∴P(-1，-2)，C3(0,)2-．设直线PC的解析式是y kx b=+，则2,3.2k bb-=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得13,22k b==-．∴直线PC的解析式是1322y x=-．(3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．设直线PC与x轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)．在Rt△O CD中，∵O C=23，3OD=，∴CD=．∵ O A=3，3OD=，∴AD=6．∵∠C O D=∠AED=90o，∠CD O公用，∴△C O D∽△AED．∴OC CDAE AD=，即3226AE=．∴AE=．∵ 2.688 2.5≈>，∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离．【点评】这道题利用了转化和数形结合的数学思想，把二次函数与方程的根，三角函数，三角形相似等有机地结合起来，的确是一道好题．例2，（07年梅州市）直角梯形ABCD中，90643AB CD A AB AD DC∠====∥，°，，，,动点P从点A出发，沿A D C B→→→方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程A BCDPQ为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出x y ，的取值范围；（2）当PQ AC ∥时，求x y ，的值； （3）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．解：（1）过C 作CE AB ⊥于E ，则34CD AE CE ===，，可得5BC =， 所以梯形ABCD 的周长为18．PQ 平分ABCD 的周长，所以9x y +=， 因为06y ≤≤，所以39x ≤≤，所求关系式为：939y x x =-+，≤≤． （2）依题意，P 只能在BC 边上，79x ≤≤． 126PB x BQ y =-=-，，因为PQ AC ∥，所以BPQ BCA △∽△，所以BP BQBC BA=，得 12656x y --=，即6542x y -=， 解方程组96542x y x y +=⎧⎨-=⎩， 得87121111x y ==，． （3）梯形ABCD 的面积为18．当P 不在BC 边上，则37x ≤≤，（a ）当34x <≤时，P 在AD 边上，12APQ S xy =△． 如果线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy = 可得：918.x y xy +=⎧⎨=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，；（63x y ==，舍去）．（b ）当47x ≤≤时，点P 在DC 边上，此3。
初中数学知识归纳几何与代数的综合应用
初中数学知识归纳几何与代数的综合应用初中数学知识归纳——几何与代数的综合应用数学是一门既抽象又具体的学科，其中几何和代数是其两个重要的分支。
几何研究的是形状、空间和位置等概念，而代数则关注数、变量和运算等内容。
在初中阶段，学生们学习了丰富的几何与代数知识，这些知识可以在实际生活和问题解决中得到应用。
本文将探讨初中数学知识在几何与代数综合应用方面的价值和意义。
一、平面几何和代数的综合应用1. 平面几何图形的面积和周长计算在初中数学中，学生们学习了各种平面几何图形，如矩形、三角形和圆等。
而这些图形的面积和周长计算则涉及到代数知识的应用。
以矩形为例，其面积可以表示为长乘以宽，可以用代数式子表示为A = l* w。
通过代数计算，我们可以快速准确地求解不同形状和尺寸的矩形的面积和周长。
2. 多边形的内角和外角计算对于多边形而言，其内角和外角和的性质是初中数学的重要内容。
通过代数的综合运用，我们可以得到多边形内角和的计算公式：内角和 = (n - 2) * 180°，其中n表示多边形的边数。
例如，对于三角形而言，其内角和为180°；对于四边形而言，其内角和为360°。
这些代数公式可以帮助我们以更高效的方式计算各种多边形的内角和。
3. 相似三角形的性质应用相似三角形是初中几何中的重要概念，它们具有相等的对应角度，并且对应边的比例相等。
通过代数的知识，我们可以利用相似三角形的性质解决实际问题。
例如，我们可以利用相似三角形的比例关系计算建筑物或塔楼的高度，或者根据相似三角形的特点绘制地图上的比例尺等。
二、空间几何和代数的综合应用1. 空间几何图形的体积和表面积计算在初中数学中，我们学习了球体、长方体、正方体等空间图形的性质和计算方法。
这些图形的体积和表面积计算需要运用代数知识，例如球的体积公式为V = (4/3)πr³，其中π为圆周率，r为半径，通过代数计算我们可以得到球体的准确体积值。
7.11 代数与几何综合问题
§7.11 代数与几何综合问题（节选）浙江舟山南海实验学校初中部 张宏政（316021）1.专题说明聚焦近年来中考试题中的压轴题,大多是以代数几何综合题的形式出现.它覆盖面广,综合性强,其命题的主要结合点是方程与几何、坐标与几何,函数与几何等,解题关键点是充分借助几何直观,灵活运用数形结合思想,由形导数,以数促形.它既是对初中数学基础知识,基本技能的全面考查,也是对初中阶段重要的数学思想和数学方法掌握、运用的检验.2.学习要点代数与几何综合题考查的知识点众多,主要有方程、不等式的解法；用待定系数法求函数解析式,用配方法求二次函数的最大(小)值及相关函数图像的性质；几何中全等、相似,特殊三角形、四边形的性质与判定,解直角三角形及圆中的有关性质等等.解答这类试题,要善于应用一些重要的数学思想,如转化、数形结合、分类讨论及方程、函数思想等,这些思想是解代数与几何综合题的关键.3.典型例题选讲例1 （08年湖北恩施）如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角△ABC 和AFG 摆放在一起,A 为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC 固定不动,∆AFG 绕点A 旋转,AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E(点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE=m ，CD=n .（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形,（2）求m 与n 的函数关系式,直接写出自变量n 的取值范围. （3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图2).在边BC 上找一点D 使BD=CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证BD 2＋CE 2=DE 2.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2＋CE 2=DE 2若成立,请证明,若不成立,请说明理由.解析:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA .∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA , 又∠B=∠C=45°∴∆ABE∽∆DCA.(2)∵∆ABE∽∆DCA, ∴CD BACA BE =由题意可知,CA =BA =2,∴n m 22=,即2m n =,其中1＜n ＜2.(3)由BD=CE 可得BE=CD,即m n =,∵2m n=,∴m n ==2 ∵OB=OC=21BC=1,∴OE=OD=2－1,即D(1－2, 0). ∴BD =OB －OD=2－2=CE, DE=BC －2BD=22－2,∵BD 2＋CE 2=2 BD 2=2(2－2)2=12－82, DE 2=(22－2)2= 12－82 ∴BD 2＋CE 2=DE 2 (4)成立.证明:由题意知,BD=2n -,CE=2m -,DE=2m n +-,则222222(2)(2)448BD CE n m m n m n +=-+-=+--+, 而2222(2)2444DE m n m n mn m n =+-=++--+. 由于2mn =,则222BD CE DE +=.评注:第(4)问也可以通过图形变换,使BD,CE,BD 构成一个直角三角形（请读者自行完成证明.）例2 （08年浙江绍兴）将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t =时，如图3，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图4．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．解析：（1）6OP t =-，23OQ t =+．图3（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图5，则53DQ QO ==，43QC =，1CD ∴=，(13)D ∴，． （3）①PQ 能与AC 平行．若PQ AC ∥，如图6，则OP OA OQ OC=，即66233t t -=+，149t ∴=，而703t ≤≤，149t ∴=．②PE 不能与AC 垂直．若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图7，则23335t QF OQAC OC +==．23QF t ⎫∴=+⎪⎭．EF QF QE QF OQ ∴=-=-2233t t ⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭21)1)3t =+． 又Rt Rt EPF OCA △∽△，PE OC EF OA ∴=，63261)3t t -∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，3.45t ∴≈，而703t ≤≤，t ∴不存在．例3 （08年浙江湖州）已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图7所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值， 最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折 后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在， 请说明理由．解析：（1）设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，图5图7由题意得11k y x =，22k y x =．1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==．12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 1111432234ECFS EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△， 11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形,2211122(6)31212OEF ECF ECF S S S k S k k k ∆∆∆∴=-=--=-+=--+.∴当6k =时，S 有最大值．且最大值为3．（3）设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N (如图8).由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠．又90ENM MBF ∠=∠=，ENM MBF ∴△∽△．EN EMMB MF ∴=，即343MB =，94MB ∴=． 222MB BF MF +=，222913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218k =．21432k BF ∴==． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．例4(08年深圳)如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上 是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为 平行四边形？若存在，请求出点F （3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径 的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．图8（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.解析：（1）由已知得：C （0，－3），A （－1，0）设该表达式为：)3)(1(-+=x x a y 将C 点的坐标代入得：1=a ,故二次函数的表达式为=y （2）存在，F 点的坐标为（2，－3）理由：易得D （1，－4），故直线CD 的解析式为：3--=x y ，∴E 点的坐标为（－3，0）. 如以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形,则易知F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）,经检验，只有（2，－3）符合，∴存在点F ，坐标为（2，－3）. （3）如图11，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ）， 代入抛物线的表达式，解得2171+=R .②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0），则N （r+1代入抛物线的表达式，解得2171+-=r . ∴圆的半径为2171+或2171+-．（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ．2213127(2)3()2228APG APQ GPQ S S S x x x ∆∆∆=+=-++⨯=--+, 当21=x 时，△APG 的面积最大,此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,21，827的最大值为APG S ∆． 评注:第(4)问也可以从图形的直观性考虑.由于△APG 的边AG 保持不变,则要使它的面积最大,即P 点到AG 边的高最长.则显然过P 点且与直线AG 平行的直线应与抛物线相切 (具体解答留给读者).4.课后作业1.(08年湖北荆门)某人定制了一批地砖，每块地砖（如图18所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图19所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图19中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料 费用最省？2.(08年浙江金华)如图20，已知双曲线(0)ky k x=>与直线y k x '=交于A ,B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题:（1）若点A 的坐标为（4,2）,则点B 的坐标为 ▲；若点A 的横坐标为m , 则点B 的坐标可表示为▲ ；（2）如图21,过原点O 作另一条直线l,交双曲线(0)ky k x=>于P,Q 两点,点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A,P 的横坐标分别为m,n, 四边形APBQ 可能是矩形吗? 可能是正方形吗?若可能, 直接写出m,n 请说明理由.3.(08年山东青岛)已知：如图22，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ BC ∥？（2）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图23，连接PC ,并把PQC △沿QC 翻折,得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．图19AB图18D4.(08年北京)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点． （1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．5．（08年福州）如图24，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．课后作业参考答案1. 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图19可以看作是由四块图18所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的,故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形.因此四边形EFGH 是正方形. (2)设CE =x , 则BE =0.4－x ,每块地砖的费用为y ,那么 y =21x 2×30+21×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-21x 2-21×0.4×(0.4-x )×10]=10(x 2-0.2x +0.24) =10［(x -0.1)2+0.23］ (0＜x ＜0.4) ． 当x =0.1时,y 有最小值,即费用为最省,此时CE =CF =0.1． 答:当CE =CF =0.1米时,总费用最省. 2.解：（1）A （-4,-2）；B （-m ,－k'm ）或 （－m , km- ） （2）① 由勾股定理OA=OB==图24∴OA=OB.同理,OP=OQ ， 故四边形APBQ 一定是平行四边形. ②四边形APBQ 可能是矩形.m,n 应满足的条件是mn=k 四边形APBQ 不可能是正方形.∵点A,P 不可能达到坐标轴,即∠POA ≠900. 3.解：（1）在Rt △ABC 中，522=+=AC BC AB ，由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ， 若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ，∴=AC AQ AB AP ，即542t t -=，∴10=t ．（2）如图22,过点P 作PH ⊥AC 于H ． ∵△APH ∽△ABC ，∴=BC PH AB AP ，即=3PH 55t -，∴PH =∴t t t t PH AQ y 353)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=． （3）若PQ 把△ABC 周长平分，则AP+AQ=6．∴(5)26t t -+=，解得：1=t ．若PQ 把△ABC 面积平分，则ABC APQ S S ∆∆=21， 即－253t ＋3t =3．∵ t =1代入方程不成立， ∴不存在这一时刻t ，把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． （4）如图23,过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，若四边形PQP ′ C 是菱形，则PQ ＝PC ．∵PM ⊥AC 于M ，∴QM=CM=2t -,则AM=2t +.易知△APM ∽△ABC ．∴AP AM AB AC=，即5254t t -+=,解得:=t ∴当910=t 时，四边形PQP ′ C 是菱形. 此时37533=-=t PM ，829CM t =-=，在Rt △PMC 中，9505816494922=+=+=CM PM PC ，∴菱形PQP ′ C 边长为9505．4.解: ⑴y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ，(03)C ∴，．设直线BC 的解析式为3y kx =+．(30)B ，在直线BC 上，330k ∴+=．解得1k =-．∴直线BC 的解析式为3y x =-+．抛物线2y x bx c =++过点B C ，，9303b c c ++=⎧∴⎨=⎩，．,解得b c =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为243y x x =-+．⑵ 由243y x x =-+．可得(21)(10)D A -，，，． 3OB ∴=，3OC =，1OA =，2AB =．图22BB x可得OBC △是等腰直角三角形．45OBC ∴∠=，CB =如图25，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，112AF AB ∴==．过点A 作AE BC ⊥于点E ．90AEB ∴∠=．可得BE AE ==，CE =． 在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=，ACE APF ∠=∠，AEC AFP ∴△∽△．AE CEAF PF∴==2PF =． 点P 在抛物线的对称轴上，∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，．⑶ 解法一：如图26，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A '，则(A '连结A C A D ''，，可得A C AC '==OCA OCA '∠=∠． 由勾股定理可得220CD =，210A D '=． 又210A C '=，222A D A C CD ''∴+=．A DC '∴△是等腰直角三角形，90CA D '∠=，45DCA '∴∠=．45OCA OCD '∴∠+∠=．45OCA OCD ∴∠+∠=．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45．解法二：如图27，连结BD ．同解法一可得CD =AC 在Rt DBF △中，90DFB ∠=，1BF DF ==， DB ∴．在CBD △和COA △中，1DB AO ==，3BC OC =CD CA = DB BC CDAO OC CA∴==．CBD COA ∴△∽△． BCD OCA ∴∠=∠．45OCB ∠=，45OCA OCD ∴∠+∠=．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45．5.解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在Rt △EBF 中,∠B=900，所以EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),其中n ＞0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a ≠0) ．①如图28,当EF=PF 时,EF 2=PF 2,所以12+(n-2)2=5,解得n 1=0(舍去),n 2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2． ②如图29,当EP=FP 时,EP 2=FP 2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=52-(舍去)． ③当EF=EP 时,由于E 点到y 而5＜3,故这种情况不存在.x图26x图27综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2． (3)存在点M 、N,使得四边形MNFE 的周长最小．由于四边形中EF 长度不变,只需MN+NF+ME 最短即可.由于“两点之间线段最短”,故考虑把这三边通过变换形成一条线段.所以如图30,作点E 关于x 轴的对称点E /,作点F 关于y 轴的对称点F /,连接E /F /,分别与x 轴、y 轴交于点M 、N,则点M 、N 就是所求.所以E /(3,-1)、F /(-1,2),NF=NF /,ME=ME /,所以BF /=4,BE /=3,所以FN+NM+ME=F /N+NM+ME /=F /E /=2243 =5.又。
初三数学重要知识总结几何与代数的综合运用
初三数学重要知识总结几何与代数的综合运用初三数学重要知识总结：几何与代数的综合运用数学是一门综合性强的学科，其中几何和代数作为数学的两个重要分支，在初三阶段更是有着非常重要的知识点。
几何注重空间形状和图形的运算，代数则侧重于符号和式子的变量规律。
在初三数学中，几何和代数这两个部分经常需要进行综合运用。
本文将重点总结初三数学中几何与代数的综合运用的知识点和方法。
1. 平面几何知识在初三数学中，平面几何的知识点非常重要，其中包括：平行线与垂直线的性质、三角形的性质、相似三角形的判定和性质等。
这些知识点常常需要通过代数方法进行求解和证明。
2. 代数方程的应用代数方程是数学中的一种重要工具，可以用于表示和解决实际问题。
在初三数学中，常常通过代数方程来解决几何问题。
例如，通过设未知数x表示一个角的大小，根据已知条件列出方程，通过求解方程得到问题的解。
3. 代数式的变形在初三数学中，代数式的变形是解决几何与代数综合运用问题的重要方法。
通过对代数式进行等价变形，可以推导出与几何形状相关的关系式，进而解决问题。
例如，通过变形二次根式可以转化为一次根式，从而简化计算。
4. 利用几何关系构建代数方程利用几何关系构建代数方程是几何与代数综合运用的常见方法。
例如，通过面积和周长的关系构建方程，通过角的性质构建方程等。
通过将几何问题转化为代数问题，可以更加灵活地解决问题。
5. 代数与几何的证明几何证明和代数证明是数学中常见的证明方法。
在初三数学中，常常需要通过几何与代数的综合运用来进行证明。
例如，通过数学归纳法证明等式或不等式的成立，通过几何图形的性质证明代数关系等。
6. 解析几何与坐标系解析几何是几何与代数综合运用的重要手段之一，在初三数学中也是常见的知识点。
通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，可以更加直观地解决问题。
例如，通过坐标系求解直线与曲线的交点、判定三角形的位置关系等。
综上所述，初三数学中几何与代数的综合运用是重要的知识点。
2018中考几何综合重点以及代数综合重点汇总
核心知识： 对称性、增减 性 核心素养： 几何直观（数 形结合）
代数综合题
ym x2 2m xm1 ymx ( 1 )2 1
m1
m?
代数综合题
缺少画图的意识，没有形成利用图象来 分析问题的想法.
代数综合题
临界点找对，不管三七二十一拿起来就算
四、教学实施建议
几何综合题解题思路产生的过程
波利亚《怎样解题》 理解题目 拟定方案 执行方案 回顾反思 熟悉题目 条件 是什么？
在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P 是线段BC上一动点（与点B，C不重合），连接 AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作 QH⊥AP于点H，交AB于点M． （1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式 子表示）； （2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系， 并证明．
四、教学实施建议
几何综合题解题思路产生的过程
波利亚《怎样解题》 理解题目 拟定方案 执行方案 回顾反思 熟悉题目 已知数据 是什么？
在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P 是线段BC上一动点（与点B，C不重合），连接 AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作 QH⊥AP于点H，交AB于点M． （1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式 子表示）； （2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系， 并证明．
-1
，把（ ,0)、（
，0）、（3,0）、（4,0
）都代入抛物线解析式，计算出错导致临界 值错误，进而得到错误的答案.
代数综合题
由临界点找出两个临界值 1 1 .
4 和 9
，进而得出 1 1
m＜ 4 9
代数综合题
核心知识： 对称性、增减 性 核心素养： 几何直观（数 形结合）
数学中考备考代数与几何重点知识点整理与归纳
数学中考备考代数与几何重点知识点整理与归纳在中考数学考试中，代数与几何是两个重要的考点，而备考这两个部分的知识点是非常关键的。
为了帮助同学们更好地备考数学中考，本文将对代数与几何的重点知识点进行整理与归纳。
以下是具体内容：一、代数1. 整式与多项式- 定义：整式是由常数、未知数以及它们的乘积及幂幂次方的和差运算得到的式子。
- 因式分解：利用因式分解的方法可将多项式进行转化，方便计算与处理。
- 基础运算：加法、减法、乘法与乘方等基本运算是代数中必备的核心内容。
2. 分式与分式方程- 定义：分式是由两个整式用除法表示的式子，其中分母不能为0。
- 分式的化简与运算：在解决分式相关问题时需要掌握分式化简与运算法则。
- 分式方程：利用方程的思想处理分式方程的运算与解题方法。
3. 一元一次方程- 定义：一元一次方程是一个未知数的一次方程。
- 解方程的基本方法：可采用加法消元、代入法、等式法等方法解决一元一次方程题目。
4. 二元一次方程组- 定义：包含两个未知数的一次方程组。
- 消元与代入法：通过消元与代入法，可以解决二元一次方程组的解题问题。
5. 不等式与不等式方程- 定义：对于未知数而言，不等式是不等关系的数学表示。
- 不等式的运算与解题：在解决不等式相关问题时，需掌握不等式的运算方法。
二、几何1. 直线与角- 定义：直线是在平面上两点间最短的连续曲线，角是由两条直线或线段公共端点所形成的图形。
- 直线的性质：如交角、对顶角等的基础性质与形态特征。
- 角的度量：角度的测量方法、角度的大小与关系。
2. 三角形与四边形- 基本概念：三角形是由三条边和对应的三个角组成的图形，四边形是由四条边和对应的四个角组成的图形。
- 三角形的性质：如三角形的内角和、外角和、三边关系、等腰三角形、等边三角形等。
- 四边形的性质：如平行四边形、矩形、菱形、正方形等，以及对角线的性质。
3. 圆与圆的切线- 基本概念：圆是由平面上的一点到另一点的距离相等的所有点所组成的图形。
专题五 代数几何综合
2 2 2 2
2 2 2 ①若∠FMN=90°，则 FN MN MF
2 即 4 x 16 4 x 6 x x 4 2 2 2
2 整理得，x 6 x 12 0 ∵ 36 48 0 ，方程无实根
90°或两边互相垂直；②勾股定理逆定理；③若三角形一边上的中 线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形.
典例解析
【分析】本题是双动点问题，是一道与矩形、相似三角形、 勾股定理、二次函数最值相关的综合题.解题的关键是利用勾 股定理计算运动过程中相关线段的长度.
【解答】
（1）证明：
∵PQ∥FN，PW∥MN
∴∠FMN≠90°. ②若∠FNM=90°，则 MF 2 FN 2 MN 2
2 即 x 4 4 x 16 4 x 6 x 2 2 2
x1 4, x2 10 （舍去）. 解得，
③若∠MFN=90°，则 MN 2 MF 2 FN 2
考点统计
广东省省卷近八年中考统计：
年份 题号、分值 图形背景 运动方式 问题的核心
2006
2007
22题、9分
22题、9分
梯形
正方形
单点运动
双点运动
探索变化过程中的某种瞬时状态
求三角形面积与线段长度的函数 关系式 求重叠部分面积与线段长度的函 数关系式 求梯形面积与线段长度的函数关 系式
2008
2009
典例解析
【解答】（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，
∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1） 又∵由抛物线经过C（－2，6）， ∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1 ∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为： y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4
几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略
几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略初中数学传统上分为几何和代数（以下简称“几代”）两部分，于是几、代的有机结合也就成为初中数学的一个落脚点，因此几代相结合的综合题型也就理所当然成为中考的重点、难点与焦点。
几代相结合的综合题常以“起点低、入口宽、步步高”的特点呈现，并以“思想方法立意”和“能力立意”为创新点。
从某一角度上讲可分为“几何背景代数解法”和“代数背景几何解法”两大类。
下面就谈谈几代相结合的综合题型的复习要点和复习策略：一、几代综合题的复习要点1、基础知识的复习仍是几代综合题复习的前提与基础，否则几代综合题的复习就成为无本之木，无源之水几代综合题是基于几何、代数基本知识之上，它的解法其实就是对各基础知识的综合、灵活的运用，因此全面复习好几何与代数基础知识，对于几代综合题的复习至关重要。
其包含的基础知识主要有：代数基础知识：数的运算、式的变形、方程、不等式的解法、函数的图象与性质。
几何基础知识：几何变换、平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定（含全等三角形）、 勾股定理与三角函数、圆中的位置关系及其判定。
【例1】已知，在Rt △OAB 中，∠OAB =90°，∠BOA =30°，AB =2. 若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内. 将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在点C 处.（1）直接写出A 的坐标；（2）若抛物线bx ax y +=2（0≠a ）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若(2)中抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段 DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M. 问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.简析：（1）利用特殊三角形的性质直接写出A 的坐标是解直角三角形的最基本的知识。
2023年中考数学总复习：代数几何综合问题
2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。
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几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略初中数学传统上分为几何和代数（以下简称“几代”）两部分，于是几、代的有机结合也就成为初中数学的一个落脚点，因此几代相结合的综合题型也就理所当然成为中考的重点、难点与焦点。
几代相结合的综合题常以“起点低、入口宽、步步高”的特点呈现，并以“思想方法立意”和“能力立意”为创新点。
从某一角度上讲可分为“几何背景代数解法”和“代数背景几何解法”两大类。
下面就谈谈几代相结合的综合题型的复习要点和复习策略：一、几代综合题的复习要点1、基础知识的复习仍是几代综合题复习的前提与基础，否则几代综合题的复习就成为无本之木，无源之水几代综合题是基于几何、代数基本知识之上，它的解法其实就是对各基础知识的综合、灵活的运用，因此全面复习好几何与代数基础知识，对于几代综合题的复习至关重要。
其包含的基础知识主要有：代数基础知识：数的运算、式的变形、方程、不等式的解法、函数的图象与性质。
几何基础知识：几何变换、平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定（含全等三角形）、 勾股定理与三角函数、圆中的位置关系及其判定。
【例1】已知，在Rt △OAB 中，∠OAB =90°，∠BOA =30°，AB =2. 若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内. 将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在点C 处.（1）直接写出A 的坐标；（2）若抛物线bx ax y +=2（0≠a ）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若(2)中抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段 DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M. 问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM. 简析：（1）利用特殊三角形的性质直接写出A的坐标是解直角三角形的最基本的知识。
（2）通过解直角三角形求点C 的坐标，并利用待定系数法求解析式是确定解析式的基本方法。
(3) 在作好图形的基础上，探索要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CM=DP ，从而转化为方程问题并求解，这也是对于等腰梯形判定的最低要求。
由此可见，基础知识的复习是解题的基础，实不可忽视。
2、数学思想方法及其灵活运用永远是数学复习的重点内容，也是几代综合题解法的关键所在对于初中阶段常见的数学思想、方法应熟练地掌握，并灵活地运用。
如：数形结合、分类讨论、运动变化、方程、不等式、函数、转化化归等数学思想；待定系数法、面积法、配方法、图象法、公式法、反证法等数学方法。
【例2】如图2—①，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C ，1l 、2l 分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线1l 、2l 上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合． （1）求点B 、点D 的坐标； （2）求ABC △的面积；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位 长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．简析：（1）（2）略（3）解题的关键是利用数形结合，结合运动变化思想，通过分类讨论、把问题转化为①当03t <≤时，（如图2—②）、②当38t ≤<时，（如图2—③）、③ 当812t ≤≤时，（如图2—④）等三种情况并加于解决，其中还用到了方程思想、图象法等数学思想方法。
（图2—①）A DBE O RF x yM （图2—④）G C A D B E O C F x y G （图2—②）R M HA D E O C F x yG （图2—③）R M Q所以数学思想方法是数学的灵魂，也是几代综合题解题的灵魂。
3、应体现列代数式是基础，方程是核心，函数是纽带，不等式发挥着重要作用的观点 对于初中阶段常见的方程和函数应该做到：准确、迅速利用通法和必要的技巧（特法）解各类方程，熟练掌握、灵活运用函数图象及其性质解决有关问题。
【例3】如图3，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米.(1)请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）； （2）若∠BAD =60°, 该花圃的面积为S 米2.①求S 与x 之间的函数关系式（要指出自变量x 的取值范围），并求当S =393时x 的值；②如果墙长为24米，试问S 有最大值还是最小值？这个值是多少？简析：（1）布列代数式：BC=40-AB-CD=（40-2x ） （2）①利用几何计算求出解析式和自变量的取值范围：S=21(40-2x+40-x)·23x=43x(80-3x)=3203432+-x (0＜x ＜20)，同时转化为方程3933203432=+-x 并求解。
②在利用不等式求取值范围的前提下，利用二次函数的图像和性质求最值。
所以，复习时要特别注意代数的各部分知识间的相互联系，互相补充，形成系统，才能更好的解决几代综合题。
4、应熟练掌握几何计算的方法与途径几何的计算从广义上讲大都可以转化为线段的计算，因此几何计算是顺利解决几代综合题的关键环节，应充分关注：利用勾股定理布列方程计算、利用三角函数布列方程计算、利用相似三角形的方程计算、利用坐标的几何意义进行计算、利用面积法进行计算等重要而常见的几何计算方法与途径，从而为几代综合题的解题提供保障。
【例4】如图4—①，在平面直角坐标系中，直线l ：b x y +=2与x 轴交于点A （4-，0）， 与y 轴交于点B.（1）填空：=b ；（2）已知点P 是y 轴上的一个动点．．，以P 为圆心，3为半径作⊙P . ①若PA =PB ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由. ②当⊙P 与直线l 相切时，求点P 与原点O 间的距离. 简析： （1）8=b ；（2）在Rt △AOP 中，利用勾股定理布列方程并求出圆心到直线的距离OP ，并通过d与r 的关系判定⊙P 与x 轴相切.（3）分“当点P 在点B 下方时”和“和当点P 在点B 上方时”，两种情况(如图4—②)：既可由△1BMP ∽△BOA 得ABBP OAMP 11=，也可在OAB Rt ∆和BMP Rt 1∆中，由ABOA MP BP ABO ==∠11tan 列方程，并解得531=BP ，并求得1OP ，同理求2OP由此可见，几何计算在几代综合题中占着重要的地位和作用。
5、应关注几何变换在解题中的应用图3OAB P图4—①OABMN 图4—②ABE图6—②EAB图6—③新课程把“几何变换”的问题作为初中数学的教学内容来研究，凸显了它的意义和作用。
平移、对称、旋转是生活中常见的活动，而平移、对称、旋转又是几何的重要组成部分，因为平移、对称、旋转等几何变换既能充分体现合情推理和演绎推理的有机结合，又能与代数充分结合在一起，因而以几何变换为背景的几代综合题也成了综合题的一个亮点。
【例5】如图5—①，在6×12的方格纸MNEF 中，每个小正方形的边长都是1。
Rt △ABC 的顶点C 与N 重合，两直角边AC 、BC 分别在MN 、NE 上，且AC =3，BC =2。
现Rt △ABC 以每秒1个单位长的速度向右平移，当点B 移动至点E 时，Rt △ABC 停止移动。
（1）请在图5—②中，画出Rt △ABC 向右平移4秒时所在的图形；（2）如图5—②，在Rt △ABC 向右平移的过程中，△ABF 能否成为直角三角形？如果能，请求出相应的时间t ；如果不能，请简要说明理由；（3）如图5—②，在Rt △ABC 向右平移的过程中（不包括平移的开始与结束时刻），其外接圆与直线AF 、直线BF 分别有哪几种位置关系？请直接写出这几种位置关系及所对应的时间t 的范围（不必说理）。
简析： （1）略（2）能。
如图Rt △ABC 向右平移t （ⅰ）当2AB 为Rt △。
即：22222)12(36)1013t t -+=+-+（）（ 并解得t =1 （ⅱ）当222BF AF AB =+时，由勾股定理的逆定理得，∠BAF =90º，即△ABF 为Rt △。
即：222226)10()12(313+-=-++t t ）（,解得t =7.5 （3）关注几何变换，动静结合，把握临界位置，显然有：当t =7.5时,直线AF 与Rt △ABC 的外接圆相切；当0<t <7.5或7.5<t <10时,直线AF 与Rt △ABC 的外接圆相交。
当t =1时,直线BF 与Rt △ABC 的外接圆相切；当0<t <1或1<t <10时,直线BF 与Rt △ABC 的外接圆相交。
所以，在解以几何变换为背景的几代综合题时要本着“动中有静”，“静中有动”的思想，特别关注几何变换前后的位置变化和“变与不变量”，在画好图形的基础上解决问题。
6、关注几代综合题与生活实际的联系，体现数学来源于生活而又应用于生活的新课程理念几何与代数都是来源于生活，几代结合也必更有利于生活中实际问题的解决。
在几代综合题的复习时，要更加关注生活背景，通过数学建模，从生活到数学，再通过问题解决使数学回归生活。
【例6】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图6—①所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；（3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由． 简析：（1）从生活中抽象出几何图形，并计算出面积。
.（2）在分类讨论的基础上，抽象出图6—②（0＜x ≤1）和图6—③（1＜x ＜31+）两个图形并利用几何知识求得：（3图②图①A MN(C)图5—① 图5—②EA B图6—①AOB C DExy图7—①数学建模是生活走向数学的必由之路，数学问题的解决也必将促使生活问题的解决。
从而体现数学的实用价值。
几代结合是解决生活问题的重要方法之一，在总复习时应充分关注。
7、应关注问题解决的全过程与综合解题能力的提升新课程要求重视学生数学的学习与研究过程，并在过程中获取知识，提升能力。