24.1.2 垂直于弦的直径(2) 市级课件比赛一等奖

O E B
命题三：弦的垂直平分线经过圆心， 命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧。 弦所对的两条弧。
已知：AB是弦，CD平分 ，CD ⊥AB。 已知： 是弦， 平分AB， 。 是弦 平分 求证：CD是直径， AD＝BD，AC＝BC 求证： 是直径， ⌒ ＝ ⌒ ， ⌒＝ ⌒ 是直径
垂径定理
定理
C
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
⊥ 如图∵ 是直径, 如图∵ CD是直径 CD⊥AB, 是直径
B O
A
M└ └
●
∴AM=BM,
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD.
⌒
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 对的两条弧。
A B
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（ 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长） 37.4米 拱高（ 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距 7.2米 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
•
B O
问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（ 的弦的长） 37.4米 拱高（弧的中点到弦的距离） 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
课堂讨论
根据已知条件进行推导： 根据已知条件进行推导： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 ① ③ ① ⑤
① ② ② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤ ① ④ ⑤
③ ② ④ ③ ② 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。 弦所对的另一条弧。 （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
连接OC. 解:连接OC.
设 路 半 为 m 则 F =(R−90)m 弯 的 径 R , O . ∵ E ⊥CD O , 1 1 ∴ F = C = ×600 =300(m C D ). 2 2 O 2 =C 2 +O 2,即 F F 根 勾 定 ,得 C 据 股 理
2
C E F
●
Oபைடு நூலகம்
R2 =3002 +(R−90) . D 解 个 程得 =5 5 这 方 , R 4. ∴ 段 路 半 约 545m 这 弯 的 径 为 .
船能过拱桥吗
表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, O,半径为 解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 如图, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足, AB的垂线OD,D为垂足 相交于点C. C.根 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D AB的中点,C是 ,D是 的中点,C 的中点,CD就是拱高. ,CD就是拱高 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 (1)如图,已知⊙ AB与半径 OA的夹角为 如图 的长. 30 °,求弦 AB 的长.
O 6 O A
30° 30°
E
B
M A
B
C (2)如图 已知⊙ 如图, AB与半径 OC互相平分 互相平分, (2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分, 的长. 交点为 M , 求 弦 AB 的长.
.
D
命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， A 并且平分弦所对的另一条弧。 并且平分弦所对的另一条弧。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知： 是直径 是直径， 是弦 并且AD＝ 是弦， 已知：CD是直径，AB是弦，并且 ＝BD （AC＝BC）。 ＝ ）。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证： 平分 平分AB， ＝ （ ＝ ） 求证：CD平分 ，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB
C
A r
D
•
B O
• 例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, CD,点 CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点 的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, OE⊥CD垂足为 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为 F,EF=90m.求这段弯路的半径 求这段弯路的半径. F,EF=90m.求这段弯路的半径.
B M A
O
N C
练习： 在 ，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦 的两条弦， 练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、 为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于 ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ． 求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形． 求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形． ＡＤＯＥ是正方形
Ｃ Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ
三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的两条弧。 ⌒ ＝BD，AC＝BC ⌒ ， ⌒＝ ⌒ 求证： ⊥ ， 求证：CD⊥AB，AD＝
已知： 是直径 是直径， 是弦 并且CD平分 是弦， 平分AB。 已知：CD是直径，AB是弦，并且 平分 。 C
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米 10 桥拱的跨度AB=16 AB=16米 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
D
O
B
船能过拱桥吗? 船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米 如图 7.2 2.4米 现有一艘宽3 船舱顶部为长方形并高出水面2 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
AB = 7.2, CD = 2.4, HN = MN = 1.5. 2 1 1 AD = AB = × 7.2 = 3.6, 2 2 OD = OC − DC = R − 2.4.
OA2 = AD 2 + OD 2 , 即R 2 = 3.6 2 + ( R − 2.4) 2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 △ 中 由勾股定理，
D
A
O ┌ E
A
600
B
O ø 650
D
D
600
B
C
C
M
E A
.O
小结: 小结:
B
A C
. E
O
D B
C A
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线， 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 过圆心作弦的垂线 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线， 等辅助线 理创造条件。 理创造条件。
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得 （ ） △ 中 由勾股定理，
OH = ON 2 − HN 2 , 即OH = 3.9 2 − 1.52 = 3.6. 此货船能顺利通过这座拱桥. ∴ DH = 3.6 − 1.5 = 2.1 > 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥
1.过 内一点M的最长的弦长为10 10㎝ 最短弦长为8 1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 那么⊙ ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ ㎝ 2.已知 已知⊙ 的弦AB=6 AB=6㎝ 直径CD=10 CD=10㎝ AB⊥CD,那 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 ㎝ 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ AB的距离等于 ㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 3.已知⊙ 的弦AB=4㎝ 圆心O AB的中点C的距离为1 已知 AB=4 的中点 那么⊙ 5 Cm 那么⊙O的半径为 4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC, 中弦AB⊥AC, 4.如图, 如图 OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M, OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M, 垂足分别为 N,且OM=2,0N=3,则 N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示. 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示. 650mm的圆柱形油槽内装入一些油后
若油面宽AB 600mm，求油的最大深度. 若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
D
600
B
C
在直径为650 的圆柱形油槽内装入一些油后， 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 求油的最大深度. AB = 600mm，求油的最大深度.
注意要点
根据垂径定理与推论可知： 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备： 线来说，如果具备： ① ② ③ ④ ⑤ 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
那么， 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。 三个结论。
1. 平分已知弧 AB . 你会四等分弧AB吗 你会四等分弧AB吗? AB