概率复习题

第一章复习题解答

1.某科技馆在某一星期里(7天)曾接待过3位专家来访•求这3位专家在同一天来访的概

率•

C 1

解：A = “三位专家同一天来访”，则P(A) C 7 0.0204 。

73

2•设A,B 是两随机事件，且 P(A B) 0.3 ,

(1 )若A,B 互不相容，求 P(A)； (2) 若 A,B 独立，P(B) 0.1,求 P(A)； (3) 若 P(B | A) 0.4，求 P(A)； (4) 若 P(A B) 0.7，求 P(B).

解：(1)P(A B) P(A) P(AB)

因为A 、B 互不相容，所以 P(AB) 0，P(A) P(A B) 0.3

(2)因为 A, B 独立，所以 P(AB) P(A)P(B).

0.3 P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)

所以，P(A)

3•设某地区成年居民中肥胖者占 10%,不胖不瘦者占82%,瘦者占8%,又知肥胖者患高血压

的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%,瘦者患高血压病的概率为 5%.

(1) 求该地区居民患高血压病的概率；

P(A) P(A) 0.1 0.9P(A)

(3) 0.4 P(B| A)

P(AB) P(A B) P(A) P(A) P(A)

P(A B) 0.4

03 0.75 0.4

(4) 0.7 P(A B) P(B) P(AB) P(B) P(A B)

P(B) 0.7 P(A B)

0.7 0.3 0.4

(2)现知该地区某一成年居民患有高血压病，求其是肥胖者的概率

解：(1 )设A , A2, A3分别表示该地区居民为肥胖者、不胖不瘦者、瘦者，B表示该地区居民患高血压病•

据全概率公式知：

P(B) P(B|A)P(A) P(B|")P(A) P(B|A3)P(A3)

0.2 0.1 0.1 0.82 0.05 0.08 0.106

(2)据贝叶斯公式知：

P(A|B) P(AB)/P(B) [P(B| A)P(AJ]/P(B) [0.2 0.1]/0.106 10/53

第二章复习题解答

x , 1 x 0

1.随机变量X〜f (x) As in x , 0 x

2

0 ,其他

求：(1)A (2) X 的分布函数F(x) (3)P(0 X -)

0 - 解：(1)1-1(-x)dx 021

Asin xdx，求得A .

2

⑵X 的分布函数F(x)

解：当x 1时, F(x) P(X x) x f (t)dt 0

当1 x 0时, F(x) P(X x) x f (t)dt x

1(

t)dt 1x2

2 2

当0 F(x) P(X x) x 0 t)dt x sint . , cosx

x 时，

2

f(t)dt 1( dt 1 -

0 2 2

x 0 /2

sint ‘

当_

2 x 时，F(x) P(X x) f(t)dt 1( t)dt 0 dt 1

2

7

x 1

1 x2

— -------- 1 x 0

2 2

因此：F(x)

1cosx ,0 x __

2 2

(3) P(0 X -) F( —) F(0) 1

-

4 4

2 4

2

2.某地考生高考总成绩 X 〜N(400,100 ),现在要从20000名考生中择优录取 1000 人.

当地考生若能被录取其成绩至少为多少分 ((1.64) 0.95)。

解：设当地考生若能被录取其成绩至少为

1000 2 P(X a)

，由于 X 〜N(400,1002

),则

20000 P(X a) 1 P(X a) 1

(

a 400

) -

1000， (-a 400

) 0.95

100 20000 100

又因为(1.64)

0.95，所以 a 400

1.64，a 564.

100

3.在某公共汽车站甲、 乙、丙三人分别独立的等 1, 2，3路汽车。设每个人等车时间 X (单

位：分钟)均服从［0,5］上的均匀分布。求三人中至少有两人等车时间不超过两分钟的概率。 解：设Y 表示甲、乙、丙三人中等车时间不超过

2分钟的人数，则 Y 〜B(3, p).其中p 表

所求概率

解：随机变量Y 的分布函数

0时，F Y W) 0

X ，Y 的联合概率分布如下表

1.已知随机变量

a 分，则

示每个人等车时间不超过

2分钟的概率，则

P P{ X 2}

2

1

dx 0.4 0

5

P{Y 2} c ； 0.42

0.6 C ； 0.43

0.352

4.随机变量 X 〜N(0,1) ，Y e

，求随机变量 Y 的概率密度函数

f Y (y).

0时，F Y (y) P{Y

y} P{e X

y} P(X In y)

In y

1

2 e

T

dx

对上两式两端对 y 求导，可得f Y (y)

(ln y)2

2

1 y 、

2 e

第3章 复习题解答