南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2020届高三年级第四次模拟考试

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2020届高三年级第四次模拟考试

数学Ⅰ

参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高；

锥体的体积1

3

V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高；

圆锥的侧面积S rl π=，其中r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合{}02|A x x =≤<，集合{}1,0,1,2B =-，则A

B =________．

2．已知复数12i z =+（i 为虚数单位），则2z 的实部为________．

3．某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8，现用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高三年级抽取的学生的人数为________．

4．运行右图所示的伪代码，输出的T 的值为________．

5．从集合122,3,,23⎧

⎫⎨⎬⎩⎭

中取两个不同的数a ，b ，则log 0a b >的概率为________．

6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2

2

210y x b b

-=>的一个焦点到一条渐

近线的距离为3，则此双曲线的离心率为________．

7．已知4cos sin 65παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则7sin 6πα⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值为________．

8．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20101030201

3

S S S S -=-，则数列{}n a 的公

比为________．

9．在平面直角坐标系xOy 中，过直线2y x =上一点P 作圆()()2

2

:311C x y -+-=的切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．若直线P A ，PB 关于直线2y x =对称，则线段P A 的长度为________．

10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为11,V S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为22,V S ，若

123V V π=，则12

S

S 的值为________．

11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()25f x x x =-，则不等式()()2f x f x ->的解集为________．

12．已知函数()

02,

2,

2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()

*n k n ∈N ，直线

n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n +个不同的交点，则数列{}2

n k 的前n 项

和为________．

13．设H 为△ABC 的垂心（三角形三条高的交点），且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠的值为________． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其接圆半径为R ．已知1c =，且△ABC 的面积()()22sin sin S R B A B A =-+，则a 的最小值为________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ∥CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =。 （1）求证：AB ∥平面11D DCC ； （2）求证：AB ⊥平面1A BC ．

16．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3cos 5

A =． （1）若△ABC 的面积为3，求A

B A

C ⋅的值；

（2）设2sin ,1,cos ,cos 22B B B ⎛⎫⎛

⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭m n ，且∥m n ，求()sin 2B C -的值．

17．（本小题满分14分）

如图，海岸公路MN 的北方有一个小岛A （大小忽略不计）盛产海产品，在公路

MN 的B 处有一个海产品集散中心，点C 在B 的正西方向10km 处，4

t

n 3

a ABC ∠=

，

4

ACM π

∠=

，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心．现有两种方案：①沿线段AB 开辟海上航线：②在海岸公路MN 上选一点P 建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN 运送到集散中心．已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/km 、200元/km ． （1）求方案①的运输费用；

（2）请确定P 点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过31,2⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，且右焦

点坐标为()1,0．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设A ，B 为椭圆的左，右顶点，C 为椭圆的上顶点，P 为椭圆上任意一点（异于A ，B 两点），直线AC 与直线BP 相交于点M ，直线BC 与直线AP 相交于点N ，求证：MC NC =． 19．（本小题满分16分） 已知函数()()1

ln 1

x f x x a a x -=-⋅

∈+R ． （1）若2x =是函数()f x 的极值点，求a 的值；

（2）令()()()1g x x f x =+⋅，若对任意e x ≥，有()0g x >恒成立，求a 的取值范围；

（3）设m ，n 为实数，且m n >，求证：2

e e e e e 2

m n

m n m n

m n +-+<<

-． 20．（本小题满分16分）

若存在常数m ∈R ，使对任意的*n ∈N ，都有1n n a ma +≥，则称数列{}n a 为()Z m 数列．

（1）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ．若n S 是()1Z 数列，求1a 的取值范围；

（2）已知数列{}n b 的各项均为正数，记数列{}n b 的前n 项和为n R ，数列{}

2n b 的

前n 项和为n T ，且2

*34,n n

n T R R n =+∈N ．