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协方差同理。
方差膨胀因子(variance-inflating factor, VIF)
1 VIF 1 r223
所以 var b2
2
x22i VIF
2-21
8.5 多重共线性的诊断
在任一给定的情况下，特别是在涉及多于两 个解释变量的模型中，我们怎么知道有没有 共线性？
2-22
1.多重共线性是一个程度问题而不是有无问 题。有意义的区分不在于有无之间，而在于 程度大小。
因为 数。
b2 b3 是一个方程，却有两个未知
对给定的alpha和lamda值，有无穷多个解。
2-15
出现“高度”但“不完全”多重共线性 时的估计问题
仍以上述三变量回归模型为例。 假定 X3i X 2i vi ，其中 vi x2i 0
回归系数估计：
b2
yi x2i 2 x22i vi2
yi x2i
第8章 多重共线性：解释变量
相关会有什么后果？
McGraw-Hill/Irwin
Copyright © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
问题
多重共线性的性质是什么？ 多重共线性是否是一个严重的问题？ 多重共线性的理论后果是什么？ 多重共线性的实际后果是什么？ 实践中如何诊断多重共线性？ 消除多重共线性的补救措施有哪些？
但在应用计量经济学中，我们的宗旨就是区 分每个变量的单独影响。
2-13
把 X3i yi
X 2i 代入回归方程： b2 x2i b3 x2i ei b2 b3 x2i ei
x2i ei
利用OLS公式得：
b2 b3
x2i yi x22i
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诊断方法比较
检验统计量
检验统计量提供量化指标，可以 明确指出多重共线性的程度，但 其依赖于样本数据，稳定性相对
较差。
图形化诊断
图形化诊断直观易理解，但可能存 在主观性，并且难以量化多重共线 性的程度。
综合运用
在实际应用中，应综合运用多种方 法进行多重共线性的诊断，以确保 诊断结果的准确性和可靠性。
Condition Index
Condition Index是诊断多重共线性的另一种统计量，当某些Condition Index值特别 大时，可能存在多重共线性问题。
图形化诊断
散点图
通过绘制自变量间的散点图，可以直 观地观察到是否存在线性关系，从而 初步判断是否存在多重共线性问题。
相关系数矩阵
通过绘制相关系数矩阵，可以观察到 自变量间的相关系数，当某两个自变 量的相关系数接近1或-1时，可能存 在多重共线性问题。
多重共线性的影响
参数估计值不稳定
01
模型中的参数估计值会随着样本的微小变化而发生较大的变化
，导致模型预测的不稳定性。
模型预测精度降低
02
由于参数估计值的不准确，会导致模型的预测精度降低，预测
结果的可信度下降。
模型解释性差
03
由于解释变量之间的高度相关关系，使得模型难以解释各个解
释变量对因变量的影响程度，降低了模型的解释性。
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目 录
• 多重共线性的定义 • 多重共线性的成因 • 多重共线性的诊断 • 多重共线性的处理 • 案例分析
01
多重共线性的定义
什么是多重共线性
1
共线性是指解释变量之间存在高度相关性的现象 。
2
在多元线性回归模型中，如果解释变量之间存在 高度相关关系，会导致模型估计的参数不准确， 甚至出现完全错误的结论。
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第八章 多重共线性
多重共线性
多重共线性及其影响 多重共线性的发现和检验 多重共线性的克服和处理
引子： 发展农业和建筑业会减少财政收入吗？
为了分析各主要因素对财政收入的影响，建立财政收
入模型:
CSi 0 1NZi 2GZi 3JZZi
4TPOPi 5CUMi 6SZMi ui
性（approximate multicollinearity）或交互相关 (intercorrelated)。
注意：
完全共线性的情况并不多见，一般出现 的是在一定程度上的共线性，即近似共线 性。
但无论是解释变量之间严格的线性关 系还是较严重的近似线性关系，都会给多 元线性回归分析造成严重的不利影响，甚 至导致回归模型完全失效。
完全多重共线性及其危害
严格多重共线性不是由于数据原因引起，通常是由于模型 把有严格联系的变量引进同一个模型，或者由于虚拟变量 设置不当（如陷入虚拟变量陷阱的情况）而引起的。
对模型
Y X
的最小二乘估计量为 ˆ ( X X )1 X Y
如果存在完全共线性，则 ( X X )1不存在，无法得到参数的
Variable 农业增加值NZ 工业增加值GZ 建筑业增加值JZZ 总人口TPOP 最终消费CUM 受灾面积SZM
截距项 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
模型估计与检验结果分析
●可决系数为0.995，校正的可决系数为0.993，模型 拟合很好。模型对财政收入的解释程度高达99.5%。 ●F统计量为632.10，说明0.05水平下回归方程整体 上显著。 ● t 检验结果表明，除了工业增加值和总人口以外， 其他因素对财政收入的影响均不显著。 ●农业增加值和建筑业增加值的回归系数是负数。 农业和建筑业的发展反而会使财政收入减少吗？! 这样的异常结果显然与理论分析和实践经验不相符。 若模型设定和数据真实性没问题，问题出在哪里呢？
多重共线性
多重共线性及其影响 多重共线性的发现和检验 多重共线性的克服和处理
引子： 发展农业和建筑业会减少财政收入吗？
为了分析各主要因素对财政收入的影响，建立财政收
入模型:
CSi 0 1NZi 2GZi 3JZZi
4TPOPi 5CUMi 6SZMi ui
性（approximate multicollinearity）或交互相关 (intercorrelated)。
注意：
完全共线性的情况并不多见，一般出现 的是在一定程度上的共线性，即近似共线 性。
但无论是解释变量之间严格的线性关 系还是较严重的近似线性关系，都会给多 元线性回归分析造成严重的不利影响，甚 至导致回归模型完全失效。
完全多重共线性及其危害
严格多重共线性不是由于数据原因引起，通常是由于模型 把有严格联系的变量引进同一个模型，或者由于虚拟变量 设置不当（如陷入虚拟变量陷阱的情况）而引起的。
对模型
Y X
的最小二乘估计量为 ˆ ( X X )1 X Y
如果存在完全共线性，则 ( X X )1不存在，无法得到参数的
Variable 农业增加值NZ 工业增加值GZ 建筑业增加值JZZ 总人口TPOP 最终消费CUM 受灾面积SZM
截距项 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
模型估计与检验结果分析
●可决系数为0.995，校正的可决系数为0.993，模型 拟合很好。模型对财政收入的解释程度高达99.5%。 ●F统计量为632.10，说明0.05水平下回归方程整体 上显著。 ● t 检验结果表明，除了工业增加值和总人口以外， 其他因素对财政收入的影响均不显著。 ●农业增加值和建筑业增加值的回归系数是负数。 农业和建筑业的发展反而会使财政收入减少吗？! 这样的异常结果显然与理论分析和实践经验不相符。 若模型设定和数据真实性没问题，问题出在哪里呢？
计量经济学43 多重共线性.44页PPT
—爱献 生
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
计量经济学43 多重共线性.
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
计量经济学43 多重共线性.
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
多重线性-PPT课件
• 滞后变量的引入
在计量经济模型中，往往需要引入滞后经济变 量来反映真实的经济关系。 例如，消费=f(当期收入, 前期收入） 显然，两期收入间有较强的线性相关性。
• 一般经验
对于采用时间序列数据作样本、以简单线性形 式建立的计量经济学模型，往往存在多重共线性。
以截面数据作样本时，问题不那么严重，但 多重共线性仍然是存在的。
解 该 线 性 方 程 组 得 ：
xy xy ˆ x xx
1 i i 2 i i 2 1 i 1 2 y x 0 0 xx x x x x x
1 i 2 i 2 2 i 1 i i 2 1 i i 2 1 i 2 1 i 2 1 i 2 1 i 1 i 2 i 2 2 i 2 2 1 i 2 1 i
第六章 多重共线性 (Multi-Collinearity)
• 第一节 多重共线性的定义 • 第二节 多重共线性的检验 • 第三节 多重共线性的消除
第一节 多重共线性的定义
多重量共线性及产生原因 多重共线性的后果
一、多重共线性的概念及其产 生原因
解释变量之间存在较强的线性相关关系,使 得 XT X 的行列式值近似于0(等于0是完全共 线性),逆阵可求得,但不稳定。出现于多元线 性模型。例：生产函数、需求函数.
在矩阵表示的线性回归模型 Y=XB+N 中，完全共线性指：秩(X)<k+1，即矩阵
1 1 X 1 X11 X21 X12 X22 X1n X2n Xk1 Xk2 Xkn
中 ， 至 少 有 一 列 向 量 可 由 其 他 列 向 量 （ 不 包 括 第 一 列 ） 线 性 表 出 。
多重共线性问题课件
多重共线性通常出现在多元回归分析 中，当两个或多个自变量之间存在高 度相关或完全相关时，会导致模型估 计的参数不稳定。
多重共线性的表现形式
相关性矩阵
通过计算自变量之间的相关性矩阵，可以发现高度相关的自变量 。
特征值
在多重共线性情况下，某些特征值的绝对值会接近于0，这表明自 变量之间存在高度相关。
方差膨胀因子
数据收集阶段预防
总结词
在数据收集阶段，预防多重共线性的关键是保证 数据的准确性和完整性，以及合理的数据样本量 。
总结词
在数据收集阶段，可以通过增加样本量来降低多 重共线性的影响。
详细描述
数据的质量直接关系到模型的准确性和可靠性， 因此需要确保数据的准确性和完整性。此外，合 理的数据样本量可以降低随机误差的影响，提高 模型的稳定性和可靠性。
多重共线性问题的
03
诊断
特征值诊断法
总结词
通过计算模型中自变量的特征值来判断是否存在多重共线性问题。
详细描述
特征值诊断法是通过计算自变量的特征值来判断自变量之间的相关性。如果自变量的特征值接近于零 ，说明该自变量与其他自变量高度相关，存在多重共线性问题。
条件指数法
总结词
通过计算自变量之间的条件指数来判断 是否存在多重共线性问题。
VS
详细描述
条件指数是一种衡量自变量之间相关性的 指标，如果条件指数大于一定阈值，说明 自变量之间存在多重共线性问题。
方差膨胀因子法
总结词
通过计算自变量的方差膨胀因子来判 断是否存在多重共线性问题。
详细描述
方差膨胀因子是衡量自变量对因变量 影响的放大程度，如果方差膨胀因子 大于一定阈值，说明自变量之间存在 多重共线性问题。
Байду номын сангаас
多重共线性的表现形式
相关性矩阵
通过计算自变量之间的相关性矩阵，可以发现高度相关的自变量 。
特征值
在多重共线性情况下，某些特征值的绝对值会接近于0，这表明自 变量之间存在高度相关。
方差膨胀因子
数据收集阶段预防
总结词
在数据收集阶段，预防多重共线性的关键是保证 数据的准确性和完整性，以及合理的数据样本量 。
总结词
在数据收集阶段，可以通过增加样本量来降低多 重共线性的影响。
详细描述
数据的质量直接关系到模型的准确性和可靠性， 因此需要确保数据的准确性和完整性。此外，合 理的数据样本量可以降低随机误差的影响，提高 模型的稳定性和可靠性。
多重共线性问题的
03
诊断
特征值诊断法
总结词
通过计算模型中自变量的特征值来判断是否存在多重共线性问题。
详细描述
特征值诊断法是通过计算自变量的特征值来判断自变量之间的相关性。如果自变量的特征值接近于零 ，说明该自变量与其他自变量高度相关，存在多重共线性问题。
条件指数法
总结词
通过计算自变量之间的条件指数来判断 是否存在多重共线性问题。
VS
详细描述
条件指数是一种衡量自变量之间相关性的 指标，如果条件指数大于一定阈值，说明 自变量之间存在多重共线性问题。
方差膨胀因子法
总结词
通过计算自变量的方差膨胀因子来判 断是否存在多重共线性问题。
详细描述
方差膨胀因子是衡量自变量对因变量 影响的放大程度，如果方差膨胀因子 大于一定阈值，说明自变量之间存在 多重共线性问题。
Байду номын сангаас
《多重共线性》PPT课件_OK
( X ' X )1不存在，从( X ' X ) ＝X 'Y
中没法解出唯一的 来。 （2）参数估计值的方差无限大；
15
例如：对一个离差形式的二元回归模型
y 1 x1 2 x2
如果两个解释变量完全相关，如x2 x1 ，则有
X X
x12i x2i x1i
x1i x2i x22i
当完全共线时，r 2 =1，var( ˆ1 )
22
4.2.2 参数估计量经济含义不合理
如果模型中两个解释变量具有线性相关性，例 如X1和X2，那么它们中的一个变量可以由另一个变 量表征。
这时，X1和X2前的参数并不反映各自与被解释 变量之间的结构关系，而是反映它们对被解释变量 的共同影响。
所以各自的参数已经失去了应有的经济含义， 于是经常表现出似乎反常的现象，例如本来应该是 正的，结果恰是负的。
第四章 多重共线性
1
问题的提出
• 在前述基本假定下OLS估计具有BLUE的优良性。 • 然而实际问题中，这些基本假定往往不能满足，
使OLS方法失效不再具有BLUE特性。 • 估计参数时，必须检验基本假定是否满足，并针
对基本假定不满足的情况，采取相应的补救措施 或者新的方法。 • 检验基本假定是否满足的检验称为计量经济学检 验
7
4.1 多重共线性的实例、定义、 产生背景
• 4.1.1 实例 • 例一 消费与收入、家庭财富
例二 汽车保养费与汽车行驶里程、拥有汽 车时间
8
4.1.2 多重共线性的定义
• 多重共线性：在多元线性回归模型中，解 释变量之间存在着完全的线性关系或近似 的线性关系
Yi b0 b1X1i b2 X2i i
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（3）t检验失效，区间估计失去意义；估计量的 方差很大，相应标准差增大，进行t检验时，接 受零假设相反。得出完全错误的结论。
多重共线性分类的矩阵形式
多重共线性表现为两种情况： （1）完全多重共线性：
r( X ) k,也就是| X'X |＝0（, X'X）－1不存在 （2）不完全多重共线性：（实际中多为此情况） | X'X | 0，（X'X）－1对角线元素较大
4.1.3 产生多重共线性的背景
（1）时间序列数据中经济变量在时间上常有共 同的变动趋势；时间序列样本：经济繁荣时 期，各基本经济变量（收入、消费、投资、 价格）都趋于增长；衰退时期，又同时趋于 下降。
只能确定综合参数 1 2 的估计值：
ˆ1 ˆ2 x1i yi
x12i
4.2.2 不完全多重共线性下的 后果
（1）参数估计仍是无偏估计，但不稳定；估计量 及其标准差非常敏感，观测值稍微变化，估计 量就会产生较大的变动。
（2）参数估计式的方差随着共线性程度的增大而 增大。
x1i yi 2
x12i 0
x1i x2i
x12i x12i
0
x22i
x12i 2 x12i
ˆ1 为不定式； 同理， ˆ2 也为不定式，其值无法确定。
事实上，当 x2 x1 时，原二元回归模型退 化为一元回归模型：
y (1 2 )x1
( X ' X )1不存在，从( X ' X ) ＝X 'Y
中没法解出唯一的 来。
（2）参数估计值的方差无限大；
例如：对一个离差形式的二元回归模型
y 1 x1 2 x2
如果两个解释变量完全相关，如x2 x1 ，则有
X X
回顾6项基本假定
（1）解释变量间不相关（无多重共线性）
（2）E(ui)=0
（随机项均值为零）
（3）Var(ui)=2 （同方差）
（4）Cov(ui, uj)=0（随机项无自相关） （5）Cov(X, ui)=0（随机项与解释变量X
不相关）
（6）随机扰动服从正态分布。
不满足基本假定的情形（1）
1、通常不会发生随机扰动项均值不等于0 的情形。若发生也不会影响解释变量的系 数，只会影响截距项。
2、随机扰动项正态性假设一般能够成立， 就算不成立，在大样本下也会近似成立的。 所以不讨论此假定是否违背。
不满足基本假定的情形（2）
3、解释变量之间相关=>多重共线 4、随机扰动项相关=>序列自相关
显然，两期收入间有较强的线性相关性。
有的学者认为多重共线性是一个数据样本的问题。
一般经验
对于采用时间序列数据作样本、以简单线性 形式建立的计量经济学模型，往往存在多重共线 性。
以截面数据作样本时，问题不那么严重，但 多重共线性仍然是存在的。
back
4.2 多重共线性的后果
4.2.1 完全多重共线性下的后果 （1）参数估计值不确定；
（2）经济变量之间本身具有内在联系（常在截 面数据中出现）；横截面数据：生产函数中， 资本投入与劳动力投入往往出现高度相关情 况，大企业二者都大，小企业都小。
4.1.3 产生多重共线性的背景
（3）由于某种决定性因素的影响可能使各个变量向着同 方向变化；
（4）滞后变量引入模型，同一变量的滞后值一般都存在 相互关系；在计量经济模型中，往往需要引入滞后经 济变量来反映真实的经济关系。 例如，消费=f(当期收入, 前期收入）
4.1 多重共线性的实例、定义、 产生背景
4.1.1 实例 例一 消费与收入、家庭财富
例二 汽车保养费与汽车行驶里程、拥 有汽车时间
4.1.2 多重共线性的定义
多重共线性：在多元线性回归模型中， 解释变量之间存在着完全的线性关系或 近似的线性关系
Yi b0 b1X1i b2 X 2i i
或
ˆ1 x12i ˆ2 x1i x2i x1i yi
ˆ1 x2i x1i ˆ2 x22i x2i yi
解该线性方程组得：
x1i yi
ˆ1
x2i yi x12i
x2i x1i
x1i x2i
x1i yi x12i
x22i
完全多重共线性 近似多重共线性
1 X1i 2 X 2i 0 1X1i 2 X 2i vi 0
4.1.2 多重共线性的定义－－矩阵 形式
在多元线性回归模型Y X中，对X的
基本假定是: 矩阵X的各列向量之间是 线性无关的,即有：
r( X ) k (k n), 即| X'X | 0 如果这一假定不满足，则称模型存在 多重共线性。
第四章 多重共线性
问题的提出
在前述基本假定下OLS估计具有BLUE的优良性。 然而实际问题中，这些基本假定往往不能满足，
使OLS方法失效不再具有BLUE特性。 估计参数时，必须检验基本假定是否满足，并
针对基本假定不满足的情况，采取相应的补救 措施或者新的方法。 检验基本假定是否满足的检验称为计量经济学 检验
x12i x2i x1i
x1i x2i
x
2 2i
x12i x12i
2
x12i x12i
x12i
1
2
X Y
x1i x2i
yi yi
1
x1i yi
该回归模型的正规方程为
(XX)Bˆ XY
时间序列数据经常出现序列相关
5、随机扰动项方差不等于常数=>异方差
截面数据时，经常出现异方差
解决问题的思路
1、定义违反各个基本假定的基本概念 2、违反基本假定的原因、背景 3、诊断基本假定的违反 4、违反基本假定的补救措施（修正）
本章主要介绍
4.1 多重共线性的实例、定义、产生背景； 4.2 多重共线性产生的后果； 4.3 多重共线性的检验； 4.4 多重共线性的修正。 4.5 违反三个假定的总结 4.6 案例
多重共线性分类的矩阵形式
多重共线性表现为两种情况： （1）完全多重共线性：
r( X ) k,也就是| X'X |＝0（, X'X）－1不存在 （2）不完全多重共线性：（实际中多为此情况） | X'X | 0，（X'X）－1对角线元素较大
4.1.3 产生多重共线性的背景
（1）时间序列数据中经济变量在时间上常有共 同的变动趋势；时间序列样本：经济繁荣时 期，各基本经济变量（收入、消费、投资、 价格）都趋于增长；衰退时期，又同时趋于 下降。
只能确定综合参数 1 2 的估计值：
ˆ1 ˆ2 x1i yi
x12i
4.2.2 不完全多重共线性下的 后果
（1）参数估计仍是无偏估计，但不稳定；估计量 及其标准差非常敏感，观测值稍微变化，估计 量就会产生较大的变动。
（2）参数估计式的方差随着共线性程度的增大而 增大。
x1i yi 2
x12i 0
x1i x2i
x12i x12i
0
x22i
x12i 2 x12i
ˆ1 为不定式； 同理， ˆ2 也为不定式，其值无法确定。
事实上，当 x2 x1 时，原二元回归模型退 化为一元回归模型：
y (1 2 )x1
( X ' X )1不存在，从( X ' X ) ＝X 'Y
中没法解出唯一的 来。
（2）参数估计值的方差无限大；
例如：对一个离差形式的二元回归模型
y 1 x1 2 x2
如果两个解释变量完全相关，如x2 x1 ，则有
X X
回顾6项基本假定
（1）解释变量间不相关（无多重共线性）
（2）E(ui)=0
（随机项均值为零）
（3）Var(ui)=2 （同方差）
（4）Cov(ui, uj)=0（随机项无自相关） （5）Cov(X, ui)=0（随机项与解释变量X
不相关）
（6）随机扰动服从正态分布。
不满足基本假定的情形（1）
1、通常不会发生随机扰动项均值不等于0 的情形。若发生也不会影响解释变量的系 数，只会影响截距项。
2、随机扰动项正态性假设一般能够成立， 就算不成立，在大样本下也会近似成立的。 所以不讨论此假定是否违背。
不满足基本假定的情形（2）
3、解释变量之间相关=>多重共线 4、随机扰动项相关=>序列自相关
显然，两期收入间有较强的线性相关性。
有的学者认为多重共线性是一个数据样本的问题。
一般经验
对于采用时间序列数据作样本、以简单线性 形式建立的计量经济学模型，往往存在多重共线 性。
以截面数据作样本时，问题不那么严重，但 多重共线性仍然是存在的。
back
4.2 多重共线性的后果
4.2.1 完全多重共线性下的后果 （1）参数估计值不确定；
（2）经济变量之间本身具有内在联系（常在截 面数据中出现）；横截面数据：生产函数中， 资本投入与劳动力投入往往出现高度相关情 况，大企业二者都大，小企业都小。
4.1.3 产生多重共线性的背景
（3）由于某种决定性因素的影响可能使各个变量向着同 方向变化；
（4）滞后变量引入模型，同一变量的滞后值一般都存在 相互关系；在计量经济模型中，往往需要引入滞后经 济变量来反映真实的经济关系。 例如，消费=f(当期收入, 前期收入）
4.1 多重共线性的实例、定义、 产生背景
4.1.1 实例 例一 消费与收入、家庭财富
例二 汽车保养费与汽车行驶里程、拥 有汽车时间
4.1.2 多重共线性的定义
多重共线性：在多元线性回归模型中， 解释变量之间存在着完全的线性关系或 近似的线性关系
Yi b0 b1X1i b2 X 2i i
或
ˆ1 x12i ˆ2 x1i x2i x1i yi
ˆ1 x2i x1i ˆ2 x22i x2i yi
解该线性方程组得：
x1i yi
ˆ1
x2i yi x12i
x2i x1i
x1i x2i
x1i yi x12i
x22i
完全多重共线性 近似多重共线性
1 X1i 2 X 2i 0 1X1i 2 X 2i vi 0
4.1.2 多重共线性的定义－－矩阵 形式
在多元线性回归模型Y X中，对X的
基本假定是: 矩阵X的各列向量之间是 线性无关的,即有：
r( X ) k (k n), 即| X'X | 0 如果这一假定不满足，则称模型存在 多重共线性。
第四章 多重共线性
问题的提出
在前述基本假定下OLS估计具有BLUE的优良性。 然而实际问题中，这些基本假定往往不能满足，
使OLS方法失效不再具有BLUE特性。 估计参数时，必须检验基本假定是否满足，并
针对基本假定不满足的情况，采取相应的补救 措施或者新的方法。 检验基本假定是否满足的检验称为计量经济学 检验
x12i x2i x1i
x1i x2i
x
2 2i
x12i x12i
2
x12i x12i
x12i
1
2
X Y
x1i x2i
yi yi
1
x1i yi
该回归模型的正规方程为
(XX)Bˆ XY
时间序列数据经常出现序列相关
5、随机扰动项方差不等于常数=>异方差
截面数据时，经常出现异方差
解决问题的思路
1、定义违反各个基本假定的基本概念 2、违反基本假定的原因、背景 3、诊断基本假定的违反 4、违反基本假定的补救措施（修正）
本章主要介绍
4.1 多重共线性的实例、定义、产生背景； 4.2 多重共线性产生的后果； 4.3 多重共线性的检验； 4.4 多重共线性的修正。 4.5 违反三个假定的总结 4.6 案例