正弦函数图像变换(一看就会!!!!)
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三角函数图像变换ppt
4 (C)向左平移 个长度单位 2
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
正弦函数余弦函数的图象精品PPT课件
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
x0 sinx 0 1+sinx 1
3 22
1 0 -1 0
21 0 1
y 2 1
O -1
y=1+sinx
3
π
2
2
2π x
x0 cosx 1 0 -cosx -1 0
3 22
-1 0 1 1 0 -1
y
y=-cosx
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π] 是否为周期函数？周期函数的定义域有 什么特点？
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正 周期是多少？
思考5：一般地，函数y A sin( x ) (A 0, 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
由诱导公式可知，y=cosx与
y sin( 2 x) 是同一个函数，如何作函
数y
பைடு நூலகம்
sin( 2
x )在[0，2π]内的图象？
y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
思考4：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键
作用的点有哪几个？
y 1
O
π
2π x
-1
2
2
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
对于函数f(x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
x0 sinx 0 1+sinx 1
3 22
1 0 -1 0
21 0 1
y 2 1
O -1
y=1+sinx
3
π
2
2
2π x
x0 cosx 1 0 -cosx -1 0
3 22
-1 0 1 1 0 -1
y
y=-cosx
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π] 是否为周期函数？周期函数的定义域有 什么特点？
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正 周期是多少？
思考5：一般地，函数y A sin( x ) (A 0, 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
由诱导公式可知，y=cosx与
y sin( 2 x) 是同一个函数，如何作函
数y
பைடு நூலகம்
sin( 2
x )在[0，2π]内的图象？
y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
思考4：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键
作用的点有哪几个？
y 1
O
π
2π x
-1
2
2
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
对于函数f(x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
正弦型函数图象的变换
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R的图象
可以看作是由y=sinx的图象通过下面的变换得到的:
①先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ<0) 平行移动| φ|个单位得到y=sin(x+φ)的图像(左右平移变换 或相位变换）;
②再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长 (0< ω<1)到原来的1/ ω倍(纵坐标不变)得到 y=sin(ωx+φ)的图像（横向伸缩变换或周期变换）;
(1)先左右平移后横向伸缩
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R的图
象可以看作是y=sinx的图象用下面的方法得到的:
①先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ<0) 平行移动| φ|个单位得到y=sin(x+φ)的图像;
②再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长 (0< ω<1)到原来的1/ ω倍(纵坐标不变)得到y=sin(ωx+φ) 的图像;
2
0
4
3
3 2
22
2－1 0
y sin x
1x 2 sin1 x
2
0 0 0
2
3
2 y1 sin 1 0x
2
3 4
3 42
2x
－1 0
利用这两个函数的周期性，把各函数一个周期的简图向左、
右分别扩展，从而得到它们在 x R 时的简图.
归纳总结三：
函数 y sinx（ 0 且 1 ）的图像,可以看做是把 y sin x
wxckt@ 新疆奎屯 ·2007·
1.4.1正弦型图象变换
向右平移 个单位 6
2. 将y=2sin2x的图象作怎样的变换可得到 y=2sin(2x-π/4)的图象?
向右平移 个单位 8
3. 将y=3sin(3x +π/4)的图象向_____ 右 平移
12 个单位便可得到y=2sin3x的图象. ______
4.要得到y sin 2 x 的图象, 只要将y sin 2 x 3
方法2:先伸缩后平移一般规律
（1）横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
1 2
倍
y=Sin2x的图象
（2） 向左平移 6
y=Sin(2x+ ) 的图象 3 y=3Sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
方法2:先伸缩后平移演示
y
3 2 1
y=3sin(2x+ )③ 3
只需把正弦曲线上的所有的点的（ A ） A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变．
1 B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变． 5
C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变．
1 D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变． 5
1 2．为了得到函数 y sin x , x R 的图象， 4
只需把正弦曲线上的所有的点的（ D ） A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变．
时）到原来的 1 倍（纵坐标不变）而得到的．这种变换称为周期 2 变换，它是由 的变化而引起的， 与周期 T 的关系为T ．
一:图象变换与函数解析式变化之间的 内在联系 3．
A对
y A sin x , x R 的图象的影响:
⑵ y 2 sin x , x R
正弦函数完整ppt课件
-2
1
-
o
-1
正弦曲线
2
3
4
精选编辑ppt
5 6x
3
五y点作图法
1-
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
-1 -
简图作法
(五点作图法)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
( ,1) 图象的最高点 2
x 与x轴的交点
(0,0) ( ,0) (2,0)
图象的最低点
7 6
4
3 3 2
y
3
y=sinx ( x[0, 2] )
1
●
●
●
●
●
6
7 4 3 5 11 6 3 2 3 6 2
2
●
0
11
6
32
2 5 ●
36
●
●
x
●
5
6
-1
●
●
●
3
精选编辑ppt
2
正弦函数的图象
y 1
o
2
2
-1
3
2
2
x
y=sinx x[0,2] y
y=sinx xR
-4 -3
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T ，
使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
f ( x＋T )＝ f (x)
，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个
函数的周期．
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个
最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
正余弦函数的图像变换
思考1：将函数 y sin x的图象经过几次 变换，可以得到函数 y 3sin( 2x )的图象
3
思考2：你能设计一个变换过程完成上
述变换吗？ 左移
p
y sin x
3
y = sin(x + p )
横坐标缩短到原来的 1
2
3
y = sin(2x + p )
3
纵坐标伸长到原来的3倍 y = 3 sin(2x + p )
3.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的三角
函数，在物理中，简谐运动中的单摆对平衡
位置的位移y与时间x的关系，交流电的电流y
与时间x的关系等都是形如y Asin( x )的
函数.
那么函数 y Asin( x )与函数y=sinx
有什么关系呢?
从解析式上来看函数y=sinx就是函数
y sin( x )在一个周期内的图象，比较
它与函数
3
y
sin
x
的图象的形状和位置，
你又有什么发现？
y y = sin x
y sin( x )
4 11 37
3
o 5 π
63
2π x
32 6
y
sin x的图象
向右平移 ＜ 03
y sin(x )的图象
A≠1），函数
的图象
是由函数
的图象经过怎
样的变换而得到的？
函数 y Asin( x ) 的图象，可以看
作是把函数 y sin( x )的图象上所
有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短 （当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标 不变）而得到的.
思考5：上述变换称为振幅变换，据此
3
思考2：你能设计一个变换过程完成上
述变换吗？ 左移
p
y sin x
3
y = sin(x + p )
横坐标缩短到原来的 1
2
3
y = sin(2x + p )
3
纵坐标伸长到原来的3倍 y = 3 sin(2x + p )
3.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的三角
函数，在物理中，简谐运动中的单摆对平衡
位置的位移y与时间x的关系，交流电的电流y
与时间x的关系等都是形如y Asin( x )的
函数.
那么函数 y Asin( x )与函数y=sinx
有什么关系呢?
从解析式上来看函数y=sinx就是函数
y sin( x )在一个周期内的图象，比较
它与函数
3
y
sin
x
的图象的形状和位置，
你又有什么发现？
y y = sin x
y sin( x )
4 11 37
3
o 5 π
63
2π x
32 6
y
sin x的图象
向右平移 ＜ 03
y sin(x )的图象
A≠1），函数
的图象
是由函数
的图象经过怎
样的变换而得到的？
函数 y Asin( x ) 的图象，可以看
作是把函数 y sin( x )的图象上所
有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短 （当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标 不变）而得到的.
思考5：上述变换称为振幅变换，据此
正弦函数图象及其变换
π π π 2π 6 3 2 3 3 1 3 1 2 2 2
5π π 7π 4π 3π 5π11π 6 6 3 2 3 6 2π 3 3 10 1 0 1 1 1 2 2 2 2 2
.
π/2
o1
A
.o
-1
. π
3π/2
2
.π
x
.
函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象 函数 ∈ π 的图象
五点画图法
A
y=
1 2
5π π 12
A
-A
0
5π π 6
x
(3) y=sin2x
解: x 2x 0 0
π 4 π 2 π 2 3π 4 π 3π 2π π 2
1 (4) y=sin x 2
x
1 x 2 1 sin x 2
0 0 0
π
π 2
2π 3π 4π π π π
π
π
3π 2π π 2
sin2x 0 y 1 o -1
π/2
y=1+sinx, x∈[0,2π] ∈ π
.
π 3π/2
.
o
.
2π
实质: 实质:f(x)=sinx向左平 向左平 移π/2,即f(x+π/2)=sin , (x+ π/2)=cosx
y
1
π -4
π -3
π -2
-π
-1
o
π/2 π 3π/2 2 π
3 π
4 π
x
函数y=cosx x∈R的图象 函数 ∈ 的图象
变换后正弦函数的五点法作图
y=Asin(wx+φ)(A>0, w>0)中的常数 ,w, φ 中的常数A, , 中的常数 的作用 正数A决定了? 正数 决定了? 决定了
1.5正弦函数图像变换
y 1 sin x 2
2 O
3
4 x
1
y sin x
y sin x 2 2
1
1
例3 作函数 y sin( x
) 及y sin( x
4 3
) 的图象。
7 3
2
x
x
3
3
3 5
6
2
4 11
6
3 2
3
0
sin( x
)
0
1 y
1
0
2
3 2
2 0 0
1
0 0
1
2
2
0
1 2
0
1 2
0
2. 描点、作图：
y 2 1 O 1 2
1 2
y=2sinx y=sinx
2 x
y= sinx
周期相同
y 2
1 O 1 2
y=2sinx y=sinx
2 y 2 x
y= sinx
2
1
1
2
O
1 2
x
一、函数y=Asinx(A>0)的图象
方法二：先把函数 y sin x 的图象上各点的 1 横坐标变为原来的 倍，得到函数 y sin x 图象；再把 y sin x 的图像向左（右）平 移 | |个单位长度，得到函数 y sin( x ) 的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原 来的A倍，就得到函数 y A sin( x ) 的 图象.
x A 、y=4 sin - 2 3 x C 、y=4 sin + 2 3
2 O
3
4 x
1
y sin x
y sin x 2 2
1
1
例3 作函数 y sin( x
) 及y sin( x
4 3
) 的图象。
7 3
2
x
x
3
3
3 5
6
2
4 11
6
3 2
3
0
sin( x
)
0
1 y
1
0
2
3 2
2 0 0
1
0 0
1
2
2
0
1 2
0
1 2
0
2. 描点、作图：
y 2 1 O 1 2
1 2
y=2sinx y=sinx
2 x
y= sinx
周期相同
y 2
1 O 1 2
y=2sinx y=sinx
2 y 2 x
y= sinx
2
1
1
2
O
1 2
x
一、函数y=Asinx(A>0)的图象
方法二：先把函数 y sin x 的图象上各点的 1 横坐标变为原来的 倍，得到函数 y sin x 图象；再把 y sin x 的图像向左（右）平 移 | |个单位长度，得到函数 y sin( x ) 的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原 来的A倍，就得到函数 y A sin( x ) 的 图象.
x A 、y=4 sin - 2 3 x C 、y=4 sin + 2 3
正弦函数图象变换(修改版)
2
4
5π 4.下列函数中 其图象关于直线x= 4.下列函数中，其图象关于直线x= 6 下列函数中， π 5π A. y=2sin(x－ 6 ) B. y=4sin(x－ 3 ) － －
对称的是（ 对称的是（
）
C. y=2sin(x+ 6 )
π
D. y=4sin(x+ 3 )
π
初相
y=Asin(ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
振幅 相位
周期T =
2π
ω
1 频率f = T
例４：画出函数 y=３sin（2x+ π ）, x∈ R ３ （ ∈ 3 的简图。 的简图。
步骤1 步骤
画出正弦曲线在长度为2π 画出正弦曲线在长度为 π的某闭区间 上的简图 沿x轴 平行移动
步骤2 步骤
例1：画出函数 y=2sinx, x∈ R ： ∈ y= 的简图。 的简图。
解：利用列表描点法： 利用列表描点法：
1 2
sinx, x∈ R ∈
x sinx 2sinx
1 sin x 2
0 0 0 0
π
2
π
3π 2
2π
1 2
1 2
0 0 0
-1 -2
1 − 2
0 0 0
小结一： 小结一： 函数y=Asinx A>0, A≠1)的图 函数y=Asinx (A>0,且A≠1)的图 y=sinx上所有点的 可以看作把y=sinx上所有点的纵坐标伸 象，可以看作把y=sinx上所有点的纵坐标伸 A>1时 缩短（ 0<A<1)到原来的A 长（当A>1时）或缩短（当0<A<1)到原来的A 横坐标不变）而得到。函数y=Asinx y=Asinx的值 倍（横坐标不变）而得到。函数y=Asinx的值 域是[ 域是[-A,A].
4
5π 4.下列函数中 其图象关于直线x= 4.下列函数中，其图象关于直线x= 6 下列函数中， π 5π A. y=2sin(x－ 6 ) B. y=4sin(x－ 3 ) － －
对称的是（ 对称的是（
）
C. y=2sin(x+ 6 )
π
D. y=4sin(x+ 3 )
π
初相
y=Asin(ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
振幅 相位
周期T =
2π
ω
1 频率f = T
例４：画出函数 y=３sin（2x+ π ）, x∈ R ３ （ ∈ 3 的简图。 的简图。
步骤1 步骤
画出正弦曲线在长度为2π 画出正弦曲线在长度为 π的某闭区间 上的简图 沿x轴 平行移动
步骤2 步骤
例1：画出函数 y=2sinx, x∈ R ： ∈ y= 的简图。 的简图。
解：利用列表描点法： 利用列表描点法：
1 2
sinx, x∈ R ∈
x sinx 2sinx
1 sin x 2
0 0 0 0
π
2
π
3π 2
2π
1 2
1 2
0 0 0
-1 -2
1 − 2
0 0 0
小结一： 小结一： 函数y=Asinx A>0, A≠1)的图 函数y=Asinx (A>0,且A≠1)的图 y=sinx上所有点的 可以看作把y=sinx上所有点的纵坐标伸 象，可以看作把y=sinx上所有点的纵坐标伸 A>1时 缩短（ 0<A<1)到原来的A 长（当A>1时）或缩短（当0<A<1)到原来的A 横坐标不变）而得到。函数y=Asinx y=Asinx的值 倍（横坐标不变）而得到。函数y=Asinx的值 域是[ 域是[-A,A].
正弦函数、余弦函数的图像(基础知识+基本题型)(含解析)
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（基础知识+基本题型）知识点一 正弦函数的图象 1.正弦曲线的几何作法正弦函数sin ,y x x R 的图象如图，我们把正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图，在直角坐标系的x 轴上取一点1O ，以1O 为圆心，单位长为半径作圆，从圆1O 与x 轴的交点A 起，把圆1O 分成12等份（份数越多，画出的图象越精确）.过圆1O 上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0,,,,,2632等角的正弦线，相应地，再把x 轴上从0到2这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑曲线连接起来，即得sin ,[0,2]y x x 的图象.2.用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的简图在函数sin ,[0,2]y x x 的图象上，起关键作用的点有五个：(0,0)，(,1)2，(,0)，3(,1)2，(2,0). 一般地，在精确度要求不高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到正弦函数在[0,2]上的简图.这种方法叫“五点法”.【提示】（1）“五点法”作三角函数图象的实质是分别找到函数图象的最高点、最低点及三个平衡点，这五个点大致确定了函数图象的位置与形状.（2）用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的图象后，将其向左右平移(每次2个单位长度)，可得出sin ,y x x R 的图象.知识点二 余弦函数的图象 1.利用图象变换作余弦函数的图象 由诱导公式六，有cos sin()2y x x .因此，将正弦函数sin ,y x x R 的图象向右平移2个单位长度，就得到函数sin()cos ,2y x x x R 的图象. 我们把余弦函数cos ,y x x R 的图象叫做余弦曲线，如图所示.2.用“五点法”作cos ,[0,2]y x x 的简图在函数cos ,[0,2]y x x 的图象上，起关键作用的点是它与x 轴的交点、函数图象的最高点和最低点，它们的坐标依次为：(0,1)，(,0)2，(,1)，3(,0)2，(2,1).用光滑的曲线将它们连接起来，就得到余弦函数在[0,2]上的简图.【提示】（1）作余弦函数图象时，可通过正弦函数的图象平移得到，但要注意平移的单位长度. （2）作x R 的余弦函数图象，可由cos ,[0,2]y x x 的图象左右平移得到，也可由 sin ,y x x R 的图象向左平移2个单位长度得到.考点一 通过图象变换作函数的图象 【例1】作函数32sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 解：3sin |cos |2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos 22,Z 22,3cos 22,Z .22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象实际就是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图由于余弦函数的图象是利用诱导公式依据图象变换画出的，故掌握利用诱导公式化简三角函数式也是画三角函数图象的切入点。
正弦函数图像变换.
各点横坐标伸长到原来的 2 倍
y=sinx
（周期变换）
y=sin 1 x
2
所有点向右平移于 2 个单位
3y=sin(源自1x-)（变相位换）
23
各点纵坐标伸长到原来的 3
倍
1
y=3sin(
x-
)
（振幅变换）
23
上一张 下一张 图象
小结 先相位变换再周期变换
1、相位变换：把的图象上所有点向左(>0)或向
右(<0)平移 个单位。
2、周期变换：把所有点的的横坐标缩短(>1)或
伸长 (0<<1)到原来的 1 倍。(纵坐标不变)
3、振幅变换：把所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩
短(0<A<1)到原来的 A 倍。(横坐标不变)
上一张 下一张 图象
小结 先周期变换再相位变换
1、周期变换：把所有点的的横坐标缩短(>1)或
设计与制作： 顺德市北滘中学
雷沅江
问题1
函数y=sinx与函数y=Asinx(A>0)的 图象间有何关系？
观察结果： 在y=sinx的基础上，把所有各点的纵坐标
伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍
（横坐标不变）得到y =Asinx图象。
上一张 下一张 图象
问题2
函数y=sinx与函数y=sinx( >0)图 象间有何关系？
移 个4 单位,得到的函数( )C的图象。
(A)y=cos(2x+ 4) (B)y=cos(x 2 - 4) (C)y=cos( x 2- 8) (D)y=cos( x 2+ 8)
上一张 下一张 图象 总结1 总结2
人教版高中数学正弦函数、余弦函数的图像(共21张PPT)教育课件
0
1
0
-1
0
y=-sin x
0
-1
0
1
0
描点得y=-sin x的图象
y y=sin x x∈[0,2π]
1
． ． ．π
0
2
-y1=-sin x x∈[0,2π]
． ． 3
2
2π
x
(2) 列表:
x
0
2
y=sin x
0
1
3
2
2
0
-1
0
y=1+sin x
1
2
1
0
1
描点得y=1+sin x的图象 y=1+sin x x∈[0,2π] y
图象的最低点(
3
2,
1)
图象的最高点(0,1) (2,1)
y co x ,x s0 ,2
图象与x轴的交点(
2
,0)
(
3 2
,0)
图象的最低点(,1)
三、例题分析
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
解 (1)列表:
x
0
3
2
2
2
y=sin x
y
1
4
3
2
7
5
3
2
2
2
0
2
2
-1
2
3 2
3
4
5
7
x
2
2
y=sin x, x∈R
3.函数 ycox,sxR的图象:
由诱导公式 ycoxssinx () 可以看出：
正弦函数、余弦函数的图象和性质
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
图象的最低点 ( ,1)
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π]
（2）y=－cosx , x∈[0,2π] 解:（2 1）列表
xx
cos x x 01 sin sin cosx x 1 1 -1
2。用平移诱变法，由正弦图象平移得到佘弦 函数图象，这不是新问题，在函数一章学习 平移作图时，就使用过，请同学多作比较。 应该说明的是平移量是不唯一的，方向也可 左可右。
单位 ：蠡县南庄实验中学 网址 ：
;
/
y sin x, x [0,2 ]
2
2 2
xx
y cos x, x [0,2 ]
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y
x
总结提炼
1。本节课介绍了四种作函数图象的方 法，其中五点作图法最常用，要牢记五 个关键点的选取特点。
-1
o
-1 -
6
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
2
x
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
图象的最低点 ( 3 ,1)
2
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
利用变换法作余弦函数的图像
三角函数图像变换课件
利用三角函数的和差 化积公式，将复杂波 形分解为简单波形的 组合。
考虑不同波形的振幅、 频率和相位差，合理 调整参数以生成目标 波形。
利用傅里叶级数展开分析复杂波形
傅里叶级数是一种将周期函数表示为 无穷级数的方法，适用于分析复杂波 形。
利用傅里叶级数的系数，可以定量描 述波形中各频率成分的振幅和相位。
波形
正弦函数的图像呈现出 平滑的波形，具有连续
性和可导性。
余弦函数图像特点
01
02
03
04
周期性
余弦函数同样是周期函数，其 图像在x轴上无限延伸，且每隔
2π个单位重复一次。
振幅
余弦函数的振幅也是1，表示 图像在y轴上的最大偏移量为1。
相位
余弦函数的相位与正弦函数相 差π/2，因此其图像相对于正
弦函数有一定的平移。
鼓励学生提出自己的见解和思考， 促进课堂交流和互动。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
波形
余弦函数的图像也呈现出平滑 的波形，与正弦函数类似，但
相位不同。
正切函数图像特点
周期性
正切函数是周期函数，其周期为π，图像 在x轴上无限延伸，且每隔π个单位重复一
次。
趋于无穷
当x趋近于(kπ + π/2)时，正切函数的值会 趋于无穷大或无穷小，因此在这些点上图
像会出现垂直渐近线。
不连续性
正切函数在(kπ + π/2)处存在间断点，其 中k为整数，因此在这些点上图像不连续。
应用举例
在振动分析、图像处理等领域中，伸缩变换常用于调整信 号的频率、幅度等参数。
周期性和对称性变换
周期性定义
三角函数具有周期性，即函数值在一定区间内重 复出现。通过周期性变换，可以实现函数图像的 重复和延拓。
正弦函数图象变换(修改版)
初相
y=Asin(ωx+φ)
振幅 相位
周期 T
2
1 频率 f T
例４：画出函数 y=３sin（2x+ ）,正弦曲线在长度为2π 的某闭区间 上的简图 沿x轴 平行移动
步骤2
得到sin(x+Φ),x∈R在长度为2π 的某闭 区间上的简图 横坐标 伸长或缩短
是奇函数，则φ= ，
，
5 3.函数y=sin(2x+ )的一条对称轴的方程是（ 2
）
A.x= 5
4
B.x=－
C.x=
8
D.x=－
2
4
5 4.下列函数中，其图象关于直线x= 6 5 A. y=2sin(x－ 6 ) B. y=4sin(x－ 3 )
对称的是（
）
C.
y=2sin(x+ 6 )
5.将y=sin2x的图象向右平移 3 个单位长度，再将所得 图象作关于y轴的对称变换，则最后得到图象的解析 式为 。
6.如图是y=Asin(ωx+φ)的图象的 一段（其中A>0, ω>0,|φ|< )
2
2
１
5 12
则其周期是
，振幅是
，
初相是
解析式是
，
。
12
－2
7.y=Asin(ωx+φ)（其中A>0, ω>0,|φ|< 期内，当x=
例3：画出函数 y=sin(x-
3
), x∈ R
y=sin(x+ 的简图。
), x∈ R 4
小结一：
函数y=sin(x+φ) (φ≠ 0)的图象， 可以看作把y=sinx上所有点向左（当φ>0时） 或向右（当φ<0)平行移动|φ|个单位长度而 得到。
1MXT-正弦函数的图像变换(3)
的图象
y 1
2 2
sin(2x
π4)
的图象
例 5 若函数 f (x) sin 2x a cos2x 的图象
关于直线
x
8
对称，则 a
____
.
解： f
(x) 图象关于直线
x
8
对称
|
f
(
8
)
|
1 a2
即
|
sin(
4
)
a
cos(
4
)
|
1 a2
|
2 2
2 2
a
|
1 a2
(
2 2
2 2
a)2
1
a2
解得 a 1.
4
各点的横坐标缩短为原来的1/2倍
第2步: y=sin(x -4 )的图象 (纵坐标不变)
y=sin(2x
-
4
)的图象
第3步:
y=sin(2x
-4
各点的纵坐标伸长到原来的
2 2
)的图象
y
(横坐标不变)
倍 2 2
sin(2x
π4) 的图象
各点沿y轴向上平移1个单位长度
第4步:
y
2 2
sin(2x
π4)
若函数 f (x) sin 2x a cos2x 的图象
关于直线
x
8
对称，则
a
____
.
解法2： f (x) sin 2x a cos2x
1 a2 sin(2x ) ，其中 tan a .
又 sin(2x ) 的对称轴方程为：
2x
k
2
，k Z
，即
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正弦函数图像的变化类型：面试讲课
时间：2010年05月15日
地点：哈尔滨市第四中学
主讲人：陈熙
一、课题名称：正弦函数的图像变换 二、授课时间：2010年5月15日 三、教学目标
（一）、知识目标：（1）掌握五点作图法做正弦型函数的图像
（2）通过正弦函数的图像变换作出正弦型函数的图像
（二）、能力目标：通过本节学习，培养学生作图像解决问题的能力 。
（三）、情感目标：通过三角函数图像变换的学习，培养学生对三角函数的学习兴趣。
四、教学重点：五点作图法做三角函数图像
教学难点：由sin y x =的图像怎样变换得到sin()y A x ωϕ=+的图像 五、教学过程。