北师大版高二数学椭圆及其标准方程练习题
北师大版数学高二-选修1试题 椭圆及其标准方程
2.1.1椭圆及其标准方程同步练习一、选择题1.已知动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数，则动点M 的轨迹是.A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在2.若方程m x -252+m y +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( ) A.(-16，25) B.( 29，25) C.(-16，29) D.( 29，+∞) 3.已知M 是椭圆14922=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ⋅的最大值是（ ）A 、4B 、6C 、9D 、124. 椭圆ax 2＋by 2＋ab=0(a<b<0)的焦点坐标为 ( )(A)(0，±) (B)(±，0) (C)(0，±) (D)(±，0)二、填空题5．点 是椭圆22110064x y +=上一点，12F F 是其焦点，若1260F PF ∠=，则1F PF 的面积为 ．6.与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．三、解答题7.设12F F ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右两个焦点． （1）若椭圆C 上的点312A ⎛⎫⎪⎝⎭，到12F F ，两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程．8．已知椭圆的焦点是12(10)(10)F F -，，，，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 和2PF 的等差中项．（1）求椭圆的方程；（2）若点P 在第三象限，且12120PF F ∠=，求12tan F PF ∠． 参考答案 一、选择题1. C2. B3. C4. C二、填空题5. 6.三、解答题7. 解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12F F ，两点的距离之和是4， 得24a =，即2a =．又点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，因此22231212b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=， 得23b =，且21c =． 所以椭圆C 的方程为22143x y +=，焦点为12(10)(10)F F -，，，； （2）设椭圆C 上的动点11()K x y ，，线段1F K 的中点()Q x y ，，满足112x x -+=，12y y =， 即121x x =+，12y y =．因此，22(21)(2)143x y ++=，即2214123y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭为所求的轨迹方程． 8. 解：（1）由题设，得12122F F PF PF =+， 24a ∴=，即2a =．又1c =，b ∴=∴椭圆的方程为22143x y +=； （2）设12F PF θ∠=，则2160PF F θ∠=-． 由正弦定理，得1221sin sin120sin(60)F F PF PF θθ==-． 由等比定理，得1212sin sin120sin(60)F F PF PFθθ+=+-．2sinθ∴=．整理，得5sin cos )θθ=+．sin1cos θθ∴=+ 故tan 25θ=，1232535tan tan 311125F PF θ∠===-。
2021年高中数学 第3章 椭圆及其标准方程同步练习 北师大版选修2-1
2021年高中数学第3章椭圆及其标准方程同步练习北师大版选修2-1【选择题】1．椭圆的焦点坐标为（A）(0, ±3) （B）(±3, 0) （C）(0, ±5) （D）(±4, 0)2．在方程中，下列a, b, c全部正确的一项是（A）a=100, b=64, c=36 （B）a=10, b=6, c=8（C）a=10, b=8, c=6 （D）a=100, c=64, b=363．已知a=4, b=1，焦点在x轴上的椭圆方程是（A）（B）（C）（D）4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a=6的椭圆方程是（A）（B）（C）（D）5．若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是（A）4 （B）194 （C）94 （D）146．已知F1, F2是定点，| F1F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段7．过点(3, －2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是（A）（B）（C）（D）8．若椭圆a2x2－=1的一个焦点是(－2, 0)，则a=（A）（B）（C）（D）9．点P为椭圆上一点，以点P以及焦点F1, F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标是（A）(±, 1) （B）(, ±1) （C）(, 1) （D）(±, ±1)10．化简方程=10为不含根式的形式是（A）（B）（C）（D）11．已知椭圆方程为中，F1, F2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有①焦点在x轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P到F1的距离为10，则P到F2的距离为4；③焦点在y轴上，其坐标为(0, ±2)；④ a=49, b=9, c=40，（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个12．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（A）（B）（C）（D）13．设椭圆的标准方程为，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是（A）k>3 （B）3<k<5 （C）4<k<5 （D）3<k<414．若AB为过椭圆中心的弦，F(c, 0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值是（A）b2（B）bc（C）ab（D）ac【填空题】15．两焦点坐标分别为(0, 2), (0, －2)，且经过点(－, )的椭圆的标准方程是 .16．当a+b=10, c=2时的椭圆的标准方程是 .17．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程为 .18．经过点M(, －2), N(－2, 1)的椭圆的标准方程是 .19．过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2围成的三角形△ABF2的周长是 .20．点P为椭圆上的一点，F1和F2是其焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为 . 21．椭圆(a>b>0)的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标为c，则椭圆的离心率为 .22．若y2－lga·x2=－a表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是 .23．若方程x2cosα－y2sinα+2=0表示一个椭圆，则圆(x+cosα)2+(y+sinα)2=1的圆心在第象限。
高中数学北师大版高二选修2-1练习：第三章1.2椭圆的简单性质(一)2含解析
[A.基础达标]1．已知椭圆x 216＋y 29＝1及以下3个函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝cos x ，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f (x )＝x ，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝cos x 为偶函数，故①②满足要求．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个顶点在直线x ＋43y ＝4上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±5，0)B ．(0，±5)C ．(±7，0)D ．(0，±7)解析：选C.直线x ＋43y ＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a ＝4，b ＝3，所以c ＝42－32＝7，故椭圆的焦点坐标为(±7，0)．3.如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52B.5－1C.2－12D.2－1解析：选A.因为Rt △AOB ∽Rt △BOC ，所以a b ＝bc ，即b 2＝ac ，又b 2＝a 2－c 2，所以a 2－c 2＝ac ， 即c 2＋ac －a 2＝0，所以e 2＋e －1＝0，又e ∈(0，1)， 所以e ＝－1＋52.4．如图，已知ABCDEF 是边长为2的正六边形，A 、D 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，BC 、EF 分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y23＝1 B.x 23＋y24＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 23＋y 2＝1 解析：选A.因为a ＝|AO |＝2，b ＝2×32＝ 3.故该椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a解析：选D.设F 2为椭圆的右焦点，|F 1P i |＋|F 2P i |＝2a (i ＝1，2，…，99)，P 1，P 2，…，P 99关于y 轴成对称分布，∑i ＝199（|F 1P i |＋|F 2P i |）＝2a ×99＝198a ，∑i ＝199| F 1P i |＝12∑i ＝199 (|F 1P i |＋|F 2P i |)＝99a .又因为|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，所以|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |＝99a ＋2a ＝101a .6．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．解析：由题意知，2a ＝20，a ＝10，e ＝c a ＝35，所以c ＝6，b 2＝a 2－c 2＝64.故椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x264＝17．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________．解析：将椭圆化为标准方程为x 21m ＋1＋y 21m ＝1，则必有m >0.因为m ＋1>m >0，所以1m ＋1<1m.所以a 2＝1m ，a ＝m m ，2a ＝2mm .答案：2m m8．若椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率e ∈⎣⎡⎭⎫22，1，则实数m 的取值范围为________．解析：当焦点在x 轴上时，可得：⎩⎨⎧0＜m ＜4，22≤4－m 2＜1，解得m ∈(0，2]； 当焦点在y 轴上时，可得：⎩⎨⎧m ＞4，22≤m －4m ＜1，解得m ∈[8，＋∞)， 故m ∈(0，2]∪[8，＋∞)． 答案：(0，2]∪[8，＋∞)9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，因为m －mm ＋3＝m （m ＋2）m ＋3>0，所以m >mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m （m ＋2）m ＋3.由e ＝32得m ＋2m ＋3＝32，所以m ＝1. 所以椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.所以a ＝1，b ＝12，c ＝32.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－32，0)，(32，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－12)，(0，12)．10．(1)已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.求椭圆E 的方程．(2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，所以椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2，3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，所以P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .又PF 2∥AB ，所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝b a，所以b ＝2c .所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15.所以e ＝c a ＝55.[B.能力提升]1．已知直线x ＝t 与椭圆x 225＋y 29＝1交于P ，Q 两点，若点F 为该椭圆的左焦点，则使FP →·FQ →取得最小值时，t 的值为( )A ．－10017 B ．－5017C.5017D.10017解析：选B.若P 在x 轴上方，则P (t ，9（1－t 225）)，Q (t ，－9（1－t 225）)，所以FP →＝(t ＋4，9（1－t 225）)，FQ →＝(t ＋4，－9（1－t 225）)，FP →·FQ →＝3425t 2＋8t ＋7，t ∈(－5，5)，其对称轴为t ＝－5017∈(－5，5)，故当t ＝－5017时，FP →·FQ →取最小值．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，B 为上顶点，F 为左焦点，A 为右顶点，且右顶点A 到直线FB 的距离为2b ，则该椭圆的离心率为( )A.22B ．2－ 2 C.2－1 D.3－ 2解析：选C.由题意知，A (a ，0)，直线BF 的方程为x－c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，由题意得|ab ＋bc |b 2＋c2＝2b ，即a ＋c a ＝2，1＋c a ＝2，ca＝2－1，所以e ＝2－1.3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是________．解析：由已知得e ＝c a ＝12，则c ＝a 2.又x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a ，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2＜2a 2a2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内． 答案：点P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率为________．解析：由|AO →||AF →|＝|AP →||AB →|＝23＝aa ＋c ，得a ＝2c .故e ＝c a ＝12.答案：125．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A (0，1)，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 是椭圆上的一点，求|AP |的最大值．解：(1)因为过点A (0，1)，所以b ＝1， 又因为离心率为32，所以a ＝2，c ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，则满足x 204＋y 20＝1，得x 20＝4(1－y 20)，所以|AP |2＝x 20＋(y 0－1)2＝4(1－y 20)＋(y 0－1)2，整理得|AP |2＝－3y 20－2y 0＋5＝－3(y 0＋13)2＋163， 所以当y 0＝－13时，|AP |max ＝433.6．(选做题)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝120°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 120°＝(m ＋n )2－mn ＝4a 2－mn ≥4a 2－(m ＋n 2)2＝4a 2－a 2＝3a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．所以c 2a 2≥34，即e ≥32.又0<e <1，所以e 的取值范围是[32，1)． (2)证明：由(1)知mn ＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12mn sin 120°＝3b 2，即△F 1PF 2的面积只与短轴长有关．。
311椭圆及其标准方程(同步练习)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
3.1.1椭圆及其标准方程一、单选题1．若椭圆2219x y +=上一点A 到焦点1F 的距离为2，则点A 到焦点2F 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知方程22132x y k k+=+-表示椭圆，则实数k 的取值范围是（）A ．113,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．113,222⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．(),3-∞-3．设P 是椭圆221259x y +=上的点，P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离为（）A ．2B ．4C ．8D ．164．焦点坐标为()0,4-，（0，4），且长半轴6a =的椭圆方程为（）A ．2213620x y +=B ．2212036x y +=C ．2213616x y +=D ．2211636x y +=5．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则PA PF +的最小值为（）A ．3B C 12D 1二、多选题6．已知P 是椭圆2214945x y +=上一动点，M ，N 分别是圆221(2)16x y ++=与圆221(2)16x y -+=上一动点，则（）A ．||||PM PN +的最小值为272B ．||||PM PN +的最小值为252C ．||||PM PN +的最大值为252D ．||||PM PN +的最大值为2927．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，则（）A ．a =时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有2个B ．a 时，满足1290F PF ∠=︒的点P有4个C ．12PF F △的周长等于4aD ．12PF PF ⋅的最大值为a 28．已知椭圆E ：22194x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，若12F PF △是直角三角形，则12F PF △的面积可能为（）A ．5B ．4C D 三、填空题9．若椭圆的两焦点分别为()14,0F -，()24,0F ，点P 在椭圆上，且三角形12PF F 的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．10．若椭圆23x m ＋221y m +＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是_______11．已知点()()5,0,5,0M N -，MNP △的周长是36，则MNP △的顶点P 的轨迹方程为___.四、解答题12．曲线C 任意一点P 到点()2,0F 的距离与它到直线4x =的距离之比等于2，求C 的方程.13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的长半轴为10a =，半焦距长为6c =；（2）经过点(2,3)，且与椭圆229436x y +=有共同的焦点；（3）经过(2)P Q --两点．14．已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且椭圆的长轴长为（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.参考答案1．D 【分析】利用椭圆的定义有12||||2AF AF a +=，结合已知即可求A 到焦点2F 的距离.【详解】由椭圆方程知：3a =，又12||||2AF AF a +=，1||2AF =，∴21||2||624AF a AF =-=-=.故选：D 2．B根据方程表示椭圆列不等式，由此求得k 的取值范围.【详解】由于方程22132x y k k +=+-表示椭圆，所以3011203,,22232k k k k k+>⎧⎪⎛⎫⎛⎫->⇒∈--⋃-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+≠-⎩.故选：B 3．C 【分析】根据椭圆的定义即可求出．【详解】设该椭圆左焦点为1F ，右焦点为2F ，由题可知5a =，所以12210PF PF a +==，而12=PF ，所以28PF =．故选：C ．4．B 【分析】根据题意可知4,6c a ==，即可由222b a c =-求出2b ，再根据焦点位置得出椭圆方程．【详解】因为4,6c a ==，所以22220b a c =-=，而焦点在y 轴上，所以椭圆方程为2212036x y +=．故选：B ．5．A 【分析】由椭圆定义把PF 转化为P 到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.【详解】设椭圆的右焦点为2F (1,0)，21AF =，22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，又2||||PA PF -≤2||AF ，222||||||||AF PA PF AF --≤≤，当2P A F ，，三点共线时取等号，||||PA PF +的最小值为3（取最小值时P 是射线2F A 与椭圆的交点），故选：A.6．AD利用圆的方程求出圆心与半径，判断圆心与椭圆的焦点坐标重合，利用圆的性质求解最值即可.【详解】解：圆221(2)16x y ++=与圆221(2)16x y -+=的圆心分别为：(2,0)A -；(2,0)B ，则A 、B 是椭圆2214945x y +=的两个焦点坐标，两个圆的半径为14，所以||||PM PN +的最大值为11129||||2224222PA PB a ++⨯=+=⨯=；||||PM PN +的最小值11127||||2224222PA PB a +-⨯=+=⨯=.故选：AD.7．ABD 【分析】对A 和B ，椭圆中使得12F PF ∠最大的点P 位于短轴的两个端点，利用余弦定理与基本不等式即可得到答案；对C ，结合椭圆定义及a 和c 的大小关系即可得到答案；对D ，结合椭圆定义及基本不等式即可得到答案.【详解】对A 和B ，2222212121212121212||||||(||||)||cos 12||||2||||PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+-∠==-⋅⋅又 12||||2PF PF a+=∴212122cos 1||||b F PF PF PF ∠=-⋅又 21212||||||||()2PF PF PF PF +⋅≤∴2221221212222cos 111||||||||()2b b b F PF PF PF PF PF a ∠=-≥-=-+⋅当a =时，2210b a-=，两个短轴端点恰能使1290F PF ∠=︒，A 正确；当a >时，2210b a-<，P 点位于短轴端点时，12F PF ∠为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使1290F PF ∠=︒，B 正确；对C ， a c >，∴12F PF △的周长为1212||||||224PF PF F F a c a ++=+<，C 错误；对D ， 12||||2PF PF a +=，∴221212||||||||()2PF PF PF PF a +⋅≤=，D 正确.故选：ABD .8．BC 【分析】根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，求出1PF 的长，再由面积公式即可求面积，当12PF PF ⊥时，结合122PF PF a +=，()222122PF PF c +=求出12PF PF ⋅，再由面积公式即可求面积.【详解】由22194x y +=可得3a =，2b =，所以c ==根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，将x =22194x y +=可得43y =±，如图：122F F c ==143PF =，所以12F PF △的面积为1423⨯=当12PF PF ⊥时，由椭圆的定义可知：1226PF PF a +==，由勾股定理可得()22212220PF PF c +==，因为()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，所以1220362PF PF =-⋅，解得：128PF PF ⋅=，此时12F PF △的面积为12142PF PF ⋅=，综上所述：12F PF △的面积为445故选：BC.9．221259x y +=##【分析】根据三角形12PF F 的面积的最大值求得b ，进而求得a ，从而求得椭圆方程.【详解】依题意4,28c c ==，椭圆焦点在x 轴上，三角形12PF F 的面积的最大值为181232b b ⨯⨯=⇒=，所以229165a b c =+=+=，所以椭圆方程为221259x y +=.故答案为：221259x y +=10．01m <<【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点在y 轴上，列出不等关系，求解即可【详解】由题意，2221,3a m b m=+=21030213m m m m +>⎧⎪∴>⎨⎪+>⎩解得：01m <<则实数m 的取值范围是01m <<故答案为：01m <<11．()2210169144x y y +=≠【分析】由于点P 满足36102610PM PN +=-=>，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且226a =的椭圆（由于P 与M 、N 不共线，故0y ≠），再利用待定系数法求解.【详解】由于点P 满足36102610PM PN +=-=>，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且226a =的椭圆（由于P 与M 、N 不共线，故0y ≠），∴13a =，又5c =，∴22222135144b a c =-=-=，故MNP △的顶点P 的轨迹方程为()2210169144x y y +=≠，故答案为：()2210169144x y y +=≠.12．22184x y +=【分析】设点()P x y ，，根据条件建立等式，化简即可；【详解】设()P x y ，()()2221242x y x ⇒-+=-，化简得：22184x y +=，即C 的方程为：22184x y +=.13．（1）22110064x y +=，或22164100x y +=；（2）2211015x y +=；（3）221155x y +=。
高中数学北师大选修1-1练习：第二章 §1 1.1 椭圆及其标准方程
[A 组 基础巩固]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．1解析：由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.答案：A2．已知△ABC 的两个顶点的坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 解析：顶点C 到两个定点A ，B 的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程． 答案：D3．已知椭圆的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴|F 1F 2|＝2，又∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，即2a ＝4.又c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. 答案：C4．“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若方程x 27－m ＋y2m －5＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0m －5>07－m ≠m －5，解得5<m <7且m ≠6，所以“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选C.答案：C5．已知P 是椭圆x 2100＋y 236＝1上一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1交椭圆于另一点A ，则△P AF 2的周长为( )A ．10B ．16C ．20D ．40解析：设△P AF 2的周长为l ，则l ＝|P A |＋|PF 2|＋|AF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|AF 1|＋|AF 2|)＝2×10＋2×10＝40.答案：D6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 答案：y 216＋x 2＝17．若方程x 2a 2－y 2a ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________；若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________．解析：方程变形为x 2a 2＋y 2－a＝1，当焦点在y 轴上时，有－a >a 2，所以－1<a <0；当焦点在x 轴上时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>－a ，－a >0，所以a <－1.答案：(－1,0) (－∞，－1)8．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27.由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且过点(1，23)和(2,0)，求椭圆的方程． (2)焦点在x 轴上，焦距是4，且经过点M (3，－26)． 解析：(1)由焦点在y 轴上，故设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a2＝1.∵点(1,23)和(2,0)在椭圆上，∴⎩⎨⎧1b 2＋12a 2＝1，4b 2＋0a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝4.故所求的椭圆方程为x 24＋y 216＝1.(2)由焦点在x 轴上，焦距是4，得焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，且c ＝2.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(3＋2)2＋(－26)2＋(3－2)2＋(－26)2＝12，所以a ＝6.所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32.因此，所求椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1.10.如图所示，已知椭圆的两焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求该椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解析：(1)由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2， 所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|.由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，所以|PF 1|＝65，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335.[B 组 能力提升]1．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝( )A.23 B ．1 C.43D.53解析：椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)中，a ＝1，∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，相加得|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4－|AF 1|－|BF 1|＝4－|AB |.∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，于是2|AB |＝4－|AB |，∴|AB |＝43.答案：C2．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝⎛⎭⎫52，－32的椭圆的标准方程是( ) A.x 210＋y 26＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫322＝3102＋102＝210. ∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6. 答案：A3．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：因为F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且正三角形POF 2的面积为3，所以S △POF 2＝12|OF 2|·|PO |·sin 60°＝34c 2＝3，所以c 2＝4.所以点P 的坐标为(c 2，32c )，即(1，3)，所以1a 2＋3b 2＝1，又b 2＋c 2＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3a 2＝a 2b 2a 2＝4＋b 2，解得b 2＝2 3. 答案：2 34．设P 是椭圆 x 29＋y 25＝1上一点，F 1，F 2是其左、右两焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝8，则|OP |＝________.解析：由题意，|PF 1|＋|PF 2|＝6，两边平方得|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝36.因为|PF 1|·|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.以PF 1，PF 2为邻边做平行四边形，则|OP |正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP |)2＋(2c )2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)．所以4|OP |2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP |＝ 6.答案： 65．在椭圆9x 2＋25y 2＝225上求点P ，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍． 解析：原方程可化为x 225＋y 29＝1.其中a ＝5，b ＝3，则c ＝4.∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)．设P (x ，y )是椭圆上任一点，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，又|PF 2|＝4|PF 1|，解得|PF 1|＝2，|PF 2|＝8，即{ (x ＋4)2＋y 2＝2，(x －4)2＋y 2＝8，解得⎩⎨⎧ x ＝－154y ＝347或⎩⎨⎧x ＝－154，y ＝－347.故P 点坐标为(－154，347)或(－154，－347)．6．设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 216＝1上的点且点P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k P A ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：因为点P 的纵坐标y ≠0，所以x ≠±5.所以k P A ＝y x ＋5，k PB ＝yx －5.所以k P A ·k PB ＝y x ＋5·y x －5＝y 2x 2－25.因为点P 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以y 2＝16×(1－x 225)＝16×25－x 225.把y 2＝16×25－x 225代入k P A ·k PB ＝y 2x 2－25，得k P A ·k PB ＝16×25－x 225x 2－25＝－1625.所以k P A ·k PB 为定值，这个定值是－1625.由Ruize收集整理。
2022-2023学年北师大版高二下数学：椭圆(附答案解析)
2022-2023学年北师大版高二下数学：椭圆
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•定远县期末）P是椭圆x2+4y2＝16上一点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝（）A．1B．3C．5D．9
2．（2021秋•泸州期末）已知条件p：m＞3，条件q ：+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，
则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
3．（2021秋•河南期末）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，且椭圆C 的离心率为，面积为8π，则椭圆C的方程为（）
A ．
B ．
C
．D
．
4．（2021秋•龙凤区校级期末）设椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，O为坐标
原点．过点F
且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且|OF|＝|OQ|，
则C的离心率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（2021秋•南岗区校级期末）
若方程表示椭圆C，则下面结论正确的是（）A．k∈（1，9）
B．椭圆C
的焦距为
C．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈（1，5）D．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈（5，9）
第1页（共20页）。
北京高二数学椭圆练习题
北京高二数学椭圆练习题椭圆是数学中的一种特殊曲线，具有许多重要的性质和应用。
在高二数学学习阶段，学生需要通过解决练习题来巩固对椭圆的理解和应用能力。
以下是一些北京高二数学椭圆练习题，希望能够帮助同学们提高他们的数学能力和解题技巧。
练习题一：曲线方程1. 给定椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中a，b为正实数，且a>b。
如果c表示椭圆E的焦点到原点的距离，根据椭圆的性质，求出c与a、b的关系式。
解析：根据椭圆的定义，可以得到c关于a、b的关系式：$c=\sqrt{a^2-b^2}$。
2. 已知椭圆E的焦点F1(-3, 0)，F2(3, 0)，离心率e=2/3。
求椭圆E的方程。
解析：根据椭圆的性质，可以得到椭圆E的方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中a表示焦点到原点的距离，根据离心率的定义，可以得到$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，而焦点到原点的距离为3，因此c=2。
根据焦点与顶点的关系，a和b的关系为：$a^2=b^2+c^2$，代入已知条件，可以得到$a^2=b^2+4$。
综上所述，椭圆E的方程为$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{36} = 1$。
练习题二：参数方程1. 设椭圆E的焦点为F1(-3, 0)，F2(3, 0)，离心率为e。
令椭圆E的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，求a、b与e的关系式。
解析：根据椭圆的性质，焦点到原点的距离为a，而且$\frac{c}{a}=e$。
由于焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，所以a为3。
又因为离心率的定义为$e=\frac{c}{a}$，所以e=1。
2. 已知椭圆E的焦点为F1(-1, 0)，F2(1, 0)，离心率为0.8。
令椭圆E的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，求a、b的值。
2024-2025学年高二上数学课时作业22：椭圆及其标准方程
2024-2025学年高二上数学课时作业(二十二)椭圆及其标准方程[练基础]1．已知椭圆x 225＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一焦点的距离为()A ．1B ．3C ．5D ．72．设P 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则|PF 2|＝()A ．32B ．52C ．72D ．1523．“2＜m ＜4”是“方程x 2m －2＋y 24－m＝1表示椭圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．以F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点，且经过点(1，32)的椭圆的标准方程为()A ．x 23＋y 22＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 23＋y 24＝1D ．x 24＋y 2＝15．(多选)已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为()A ．x 212＋y 29＝1B ．x 245＋y 248＝1C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝16．椭圆C 上一点P 到两个焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)的距离之和等于6，则C 的标准方程为________．7．一动圆与圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0外切，同时与圆x 2＋y 2－6x －91＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为________．8．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[提能力]9．如图，F 1，F 2是平面上的两点，且|F 1F 2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F 1，F 2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，点A ，B ，C ，D ，E 是图中两组同心圆的部分公共点．若点A 在以F 1，F 2为焦点的椭圆M 上，则()A ．点B 和C 都在椭圆M 上B ．点C 和D 都在椭圆M 上C ．点D 和E 都在椭圆M 上D ．点E 和B 都在椭圆M 上10．(多选)设椭圆C ：x 27＋y 216＝1的焦点为F 1、F 2，M 在椭圆上，则()A ．|MF 1|＋|MF 2|＝8B ．|MF 1|的最大值为7，最小值为1C ．|MF 1||MF 2|的最大值为16D ．△MF 1F 2面积的最大值为1011．若椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是________．12．设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F 1PF 2＝60°.(1)求△F 1PF 2的面积；(2)求点P 的坐标．[培优生]13．F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，设点A (12，12)，则|MA |＋|MF 2|的最小值为()A ．4－102B ．2－102C ．4＋102D ．2＋102答案解析1．解析：设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2,由已知条件得a ＝5，由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，其中|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.答案：D2．解析：根据P 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上一点，则有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝225＝10，又|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 2|＝104＝52.答案：B3．解析：∵方程x 2m －2＋y 24－m ＝1表示椭圆，－2＞0，－m ＞0，－2≠4－m .解得2＜m ＜3或3＜m ＜4，故“2＜m ＜4”是“方程x 2m －2＋y 24－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案：B4．解析：因为焦点在x 轴上，所以C 不正确；又因为c ＝1，故排除D代入x 23＋y 22＝1得13＝3524≠1，故A 错误，所以选B.答案：B5．解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝3.因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，所以a ＝23.所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：AC6．解析：因椭圆C 上一点P 到两个焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)的距离之和等于6，则该椭圆长半轴长a ＝3，而半焦距c ＝2，于是得短半轴长b ，有b 2＝a 2－c 2＝5，所以C 的标准方程为x 29＋y 25＝1.答案：x 29＋y 25＝17．解析：圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0的圆心为A (－3，0)，半径为2；圆x 2＋y 2－6x －91＝0的圆心为B (3，0)，半径为10.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为x ，则|MA |＝2＋r ，|MB |＝10－r ，于是|MA |＋|MB |＝12＞|AB |＝6，所以，动圆圆心M 的轨迹是以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为12的椭圆．a ＝6，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝27，所以M 的轨迹方程为x 236＋y 227＝1.答案：x 236＋y 227＝18．解析：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2).由椭圆的定义知，2a ＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.9．解析：因为|AF 1|＋|AF 2|＝3＋9＝12，所以椭圆M 中2a ＝12，因为|BF 1|＋|BF 2|＝5＋9≠12，|CF 1|＋|CF 2|＝5＋6≠12，|DF 1|＋|DF 2|＝5＋7＝12，|EF 1|＋|EF 2|＝11＋1＝12，所以D ，E 在椭圆M 上．答案：C10．解析：由椭圆方程知：a ＝4，b ＝7，c ＝3，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝8，故A 正确．|MF 1|max ＝a ＋c ＝7，|MF 1|min ＝a －c ＝1，故B 正确．|MF 1||MF 2|≤（|MF 1|＋|MF 2|）24＝16，此时M 在椭圆左右顶点上，同时△MF 1F 2面积也最大，为37，故C 正确，D 错误．答案：ABC11．解析：因为椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在x 轴上，所以3m ＞2m ＋1＞0，解得m ＞1，所以实数m 的取值范围是(1，＋∞).答案：(1，＋∞)12．解析：(1)由椭圆方程，知a 2＝25，b 2＝754，则c 2＝254，c ＝52，2c ＝5.在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.①由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|，则100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.②②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，则|PF 1|·|PF 2|＝25，故△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2534.(2)设点P(x0，y0)，则△F1PF2的面积S＝12·|F1F2|·|y0|，由(1)可得2534＝12×5|y0|，解得|y0|＝532.又点P在椭圆上，所以x2025754＝1，解得x0＝0，于是点P.13.解析：由椭圆方程得F1(－1，0)，F2(1，0)，如图，连接MF1，由于|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，所以|MF2|＝4－|MF1|，所以|MA|＋|MF2|＝|MA|＋4－|MF1|＝4＋|MA|－|MF1|，因为||MA|－|MF1||≤|AF1|，当且仅当M，A，F1三点共线时等号成立，所以－|AF1|≤|MA|－|MF1|≤|AF1|，所以|MA|＋|MF2|＝4＋|MA|－|MF1|≥4－|AF1|＝4－102.答案：A。
北师大版高中数学选修椭圆同步练习(1)
椭圆同步练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有 （ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴 6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）A ．41B ．22 C ．42 D ．21 7．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P（1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25 B ．27 C ．3D ．410．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．21D ．－21 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ . 12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是________________ ． 14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．(12分)16．已知A 、B 为椭圆22a x +22925a y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．(12分)17．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、 B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点． （1）若0=⋅，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）(12分)18．椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.(12分)19．一条变动的直线L 与椭圆42x +2y 2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．（14分）20．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明λ-=.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+x y 12．1101522=+y x 13．]13,13[- 14．54三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) [解析]:由 2223254c b a a c e b =-===⇒ 812==c a ，∴椭圆的方程为：18014422=+y x 或18014422=+x y .16．(12分) [解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 58，∴x 1+x 2=a 21， 即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．17．(12分)[解析]：（1）PB PA ⊥∴=⋅0∴OAPB 的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±） （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x 0，y 0）即x 1x 0+y 1y 0=4，x 2x 0+y 2y 0=4，∴AB 的直线方程为：x 0x +y 0y=4（3）由)0,4(4000x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||210000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆22)48(22|222|24||20200000=+≤⋅=y x y x y x 22228||800=≥=∴∆y x S MON当且仅当22,|2||22|min 00==∆MON S y x 时. 18．（12分）[解析]：设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0①01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 又将代入x y -=1 12222=+by a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221b a a x x +=+∴>∆ 222221)1(b a b a x x +-=代入①化简得 21122=+b a . (2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==a b ab a b ac e 又由（1）知12222-=a a b 26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5]. 19．(14分)[解析]：设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y 的解，消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m 2－12(2m 2－4)>0，∴－6<m<6，且x 1+x 2=－3m 4，x 1x 2=34m 22-，又∵|MP|=2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x －x 1||x －x 2|=1，也即|x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13423422=-++m mx x ∵m=y －x ，∴|x 2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2－4=3，得椭圆172722=+x x 夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1．20．(14分) [解析]：（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y ax .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a ，所以椭圆的方程为12622=+y x ，离心率36=e .（2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ①136272221+-=k k x x . ②，由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③∵0=⋅，∴02121=+y y x x . ④，由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k .所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .（2）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--= .而),21(),2(222y y x λλ-=-=，所以λ-=.。
北师大版高中数学选修椭圆同步练习
椭圆AⅠ 学习目标1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的两种标准方程．2．掌握椭圆的几何性质，椭圆方程中的a ，b ，c ，e 的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．长半轴长为4，短半轴长为1，且焦点在x 轴上的椭圆标准方程是( )(A )1422=+y x (B )1422=+y x(C )11622=+y x(D )11622=+y x2．椭圆1251622=+y x 的焦点坐标是( )(A )(0，3)，(0，－3) (B )(3，0)，(－3，0) (C )(0，5)，(0，－5)(D )(4，0)，(－4，0)3．若椭圆13610022=+y x 上一点P 到其焦点F 1的距离为6，则P 到另一焦点F 2的距离为( ) (A )4 (B )194 (C )94 (D )14 4．已知F 1、F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) (A )椭圆 (B )直线 (C )圆 (D )线段5．如果方程x 2＋ky 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) (A )k ＜1 (B )k ＞1 (C )0＜k ＜1 (D )k ＞1，或k ＜0 二、填空题6．经过点M (3，－2)，N (－23，1)的椭圆的标准方程是____________． 7．设a 、b 、c 分别表示离心率为21的椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a 、b 、c 的大小关系是____________．8．设P 是椭圆14522=+y x 上一点，若以点P 和焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标为____________．9．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的△ABF 2的周长是____________.10．已知∆ABC 的周长为20，B (－4，0)，C (4，0)，则点A 的轨迹方程是____________． 三、解答题11．设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，314||,34||21==PF PF ，求椭圆C 的方程．12．已知椭圆164100:221=+y x C ，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．13．求出直线y ＝x ＋1与椭圆12422=+y x 的公共点A ，B 的坐标，并求线段AB 中点的坐标．椭圆BⅠ 学习目标1．能初步应用椭圆的定义、几何性质解决与椭圆有关的简单问题．2．通过解决与椭圆的有关问题，进一步体会数形结合的思想、函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．椭圆)2(12522>=-++m m y m x 的焦点坐标是( )(A )(±7，0)(B )(0，±7)(C ))0,7(±(D )(0，±7)2．过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点的椭圆方程是( )(A )1101522=+y x(B )110522=+y x(C )1151022=+y x(D )1202522=+y x3．曲线192522=-y x 与)9(192522<=-+-k k y k x 有相同的( ) (A )短轴(B )焦点(C )长轴(D )离心率4．已知F (c ，0)是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点，设b ＞c ，则椭圆C 的离心率e 满足( ) (A )0＜e ＜2(B )0＜e ＜22(C )0＜e ＜21 (D )22＜e ＜1 5．已知两定点M (－1，0)，N (1，0)，直线l ：y ＝－2x ＋3，在l 上满足|PM |＋|PN |＝4的点P 有( ) (A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )3个 二、填空题6．若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是______． 7．若椭圆)8(19822->=++k y k x 的离心率21=e ，则k 的值为______．8．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心的直线l 与椭圆相交于两点A 、B ，设F 2为该椭圆的右焦点，则△ABF 2面积的最大值是______．9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点F 1的距离为2，点N 是MF 1的中点，设O 为坐标原点，则|ON |＝______．10．P 为椭圆16410022=+y x 上一点，左右焦点分别为F 1，F 2，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为______．三、解答题11．求直线y ＝x ＋1与椭圆1222=+y x 的公共点A ，B 的坐标，并求|AB|.12．设椭圆C ：14922=+y x 的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 上的动点，若1· 2PF 0<，求点P 的横坐标的取值范围．13．已知点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一个动点，A (0，5)，求|PA |的最大值和最小值．Ⅲ 拓展性训练14．我们把由半椭圆)0(12222≥=+x b y a x 与半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 合成的曲线称作“果圆”，其中a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞c ＞0．如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x ，y 轴的交点，M 是线段A 1A 2的中点．(1)若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；(2)设P 是“果圆”的半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 上任意一点．求证：当|PM |取得最小值时，P 在点B 1，B 2或A 1处；(3)若P 是“果圆”上任意一点，求|PM |取得最小值时点P 的横坐标．答案椭圆A一、选择题1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 二、填空题6．151522=+y x 7．a ＞b ＞c 8．)1,215(±± 9．22 10．)0(1203622=/=+y y x三、解答题11．因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，所以a ＝3．在Rt ≥PF 1F 2中，52||||||212221=-=PF PF F F ， 故椭圆的半焦距5=c ，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以，椭圆C 的方程为14922=+y x .12．(1)长半轴长10，短半轴长8，焦点坐标(6，0)、(－6，0)，离心率53=e ； (2)椭圆164100:222=+x y C ，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④离心率：53=e ． 13．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝x ＋1代入椭圆方程12422=+y x ，得3x 2＋4x －2＝0，解得3102,310221--=+-=x x ， 所以)3101,3102(),3101,3102(---++-B A ，故AB 中点)2,2(2121y y x x ++的坐标为)31,32(-．(注：本题可以用韦达定理给出中点横坐标，简化计算)椭圆B一、选择题1．C 2．A 3．B 4．B 5．C 二、填空题 6．2529<<m 7．4或45- 8．22b a b - 9．4 10．3364三、解答题11．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝x ＋1代入椭圆方程：1222=+y x ，消去y ，得3x 2＋4x ＝0，解得x 1＝0，342-=x ， 因为点A 、B 在直线y ＝x ＋1上，所以y 1＝1，312-=y ， 所以，公共点A (0，1)，)31,34(--B ，则234)311()340(||22=+++=AB ．12．由题意，)0,5(),0,5(21F F -，设P (x ，y )，则),5(1y x PF ---=，),5(2y x PF --=，所以052221<+-=⋅y x PF PF ，由14922=+y x ，得94422x y -=，代入上式，得094122<--x x ，解得553553<<-x . 13．设P (x ，y )，则2510)5(||2222+-+=-+=y y x y x PA ，因为点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一点，所以x 2＝98－2y 2，－7≤y ≤7， 则148)5(2510298||222++-=+-+-=y y y y PA ，因为－7≤y ≤7，所以，当y ＝－5时，372148||max ==PA ；当y ＝7时，|PA |min ＝2． 14．(1)∵),0(),,0(),0,(2222210c b F c b F c F ---，∴12||,1)(||22222220=-===+-=c b F F b c c b F F l ，于是47,432222=+==c b a c ，所求“果圆”方程为)0(134),0(1742222≤=+≥=+x x y x y x ． (2)∵M 是线段A 1A 2的中点，又A 1(－c ，0)，A 2(a ，0)，∴)0,2(ca M -， 设P (x ，y )，则12222=+cx b y ，即22222x c b b y -=，又222)2(||y c a x PM +--=0,4)()()1(22222≤≤-+-+---=x c b c a x c a x cb ，0122<-cb ∴|PM |2的最小值只能在x ＝0或x ＝－c 处取到．即当|PM |取得最小值时，P 在点B 1，B 2或A 1处．(3)∵|A 1M |＝|MA 2|，且B 1和B 2同时位于“果圆”的半椭圆)0(12222≥=+x by a x 和椭圆)0(12222≤=⨯x cx b y 上，所以，由(2)知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆 )0(12222≥=+x b y a x 上的情形即可． 222)2(||y c a x PM +--=22222222224)(4)(]2)([c c a a c a b cc a a x a c ---++--=． 当a x c a a x ≤-=222)(，即a ≤2c 时，|PM |2的最小值在222)(cc a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(cc a a -． 当a cc a a x >-=222)(，即a ＞2c 时，由于|PM |2在x ＜a 时是递减的，|PM |2的最小值在x ＝a 时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若a ≤2c ，当|PM |取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若a ＞2c ，当|PM |取得最小值时，点P 的横坐标是a 或－c ．。
x年高二数学全套备课精选同步练习椭圆及其标准方程北师大版选修.doc
x 章 圆锥曲线与方程§1 椭 圆1.1 椭圆及其标准方程课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的概念：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于________(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作________．这两个定点叫作椭圆的________，两焦点间的距离叫作椭圆的________．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为__________________，焦距为____________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段2．椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．43．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A .⎝⎛⎭⎫0，±66 B ．(0，±1)C ．(±1,0)D .⎝⎛⎭⎫±66，04．方程x 2|a|－1＋y2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A .y 28＋x 24＝1 B .y 210＋x26＝1 C .y 24＋x 28＝1 D .y 26＋x 210＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝____________，∠F 1PF 2的大小为________．8．P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是________，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米． 三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52.x ．已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．能力提升x.若点O 和点F 分别为椭圆22143yx+=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 13.如图△ABC 中底边BC ＝x ，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆，如果2a＝|F1F2|，轨迹是线段F1F2，如果2a<|F1F2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)．x章圆锥曲线与方程§1椭圆1.1椭圆及其标准方程知识梳理1．常数椭圆焦点焦距2.x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)F1(－c，0)，F2(c，0)2cy2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)作业设计1．D 2．B 3．D 4．B5．D 6．D 7．2 x0° 解析∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝x0°.8．4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x(2a －x)， 因a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，即1≤x ≤3.∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴k max ＝4，k min ＝3. 9．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋Ra －c ＝n ＋R，则2c ＝m －n.10．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a>b>0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22 ＝3102＋102＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.x ．解 ∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO 1|＝4， ∴|PO 1|＋|PA|＝4，又∵|O 1A|＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆，∴c ＝3，a ＝2，b ＝1，∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.x ．C13．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B(6,0)，C(－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30. 由重心性质可知|GB|＋|GC|＝23(|BD|＋|CE|)＝20.∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>x ，∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c ＝|BC|＝x ，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1，去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G(x ′，y ′)，A(x ，y)，则有x ′2100＋y ′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 3.故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1.即x 2900＋y2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．1.2 椭圆的简单性质课时目标 1.掌握椭圆上点的集合范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的 位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准 方程范围顶点轴长 短轴长＝______，长轴长＝______焦点焦距对称性 对称轴是__________，对称中心是______ 离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A .x 236＋y 216＝1 B .x 216＋y 236＝1 C .x 26＋y 24＝1 D .y 26＋x 24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A . 3B .32C .83D .234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A .－1＋52B ．1－22C .2－1D .225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．06.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B .⎝⎛⎦⎤0，12C .⎝⎛⎭⎫0，22D .⎣⎡⎭⎫22，1 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_________________________________．9．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________． 三、解答题 10.如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)上且位于x 象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点， H 是直线x ＝－a 2c(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e.x ．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．能力提升x ．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A .45B .35C .25D .1313．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用． 3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．1.2 椭圆的简单性质知识梳理 1.焦点的 位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准 方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0) y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a>b>0) 范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a顶点 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a)轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 (±c,0) (0，±c)焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率e ＝ca，0<e<1 作业设计 1．B 2．A 3.B 4．A 5．B 6. C 7.x 245＋y 236＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.8.255解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝ca＝255. 9．x ＋2y －4＝0解析 设弦的两个端点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.10．解 依题意知H ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，F(c,0)，B(0，b)． 设P(x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程， 得y P ＝b 2a.∴P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c ＝b 2ac .∴ab ＝c 2.∴e ＝c a ＝bc ，∴e 2＝a 2－c 2c 2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e<1，∴e ＝5－12. x ．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0. 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m)－(x 2＋m) ＝x 1－x 2， ∴d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x.x ．B13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)，M(x ，y)，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又∵x 204＋y 20＝1，∴(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．x 章 框 图 §1 流程图课时目标 1.通过具体实例，进一步认识程序框图.2.了解各种流程图.3.会画简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．1．框图是表示一个系统__________________之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达________________________的关系．2．用流程图可以表示________________，特点是______________．一、选择题1．流程图的基本单元之间的连接是用()A．流向线B．虚线C．流程线D．波浪线2．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是()A．a→b→c→d→e→fB．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→fD．b→a→c→d→f→e3．工艺流程图中，设备采购的下一道工序是()A．设备安装B．土建设计C．厂房土建D．工程设计4．如图所示的程序框图能判断任意输入的整数x的奇偶性，其中判断框内应填入()A．m＝0? B．x＝0?C．x＝1? D．m＝1?5．阅读图中的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为()A．－1 B．0 C．1 D．3二、填空题6．如图所示的程序框图的输出结果是________．7．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内应为________．8．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______．三、解答题9．某公司业务销售的工作流程是：与客户接洽，商讨单价及数量，签订销售合同、销售订单，之后，发货并装货，开票据付款，凭交款单送货．试画出它的流程图．10．设计一个程序框图，当输入x 的值时，输出y 的值，其中y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1 (x <0)，1 (x ＝0)，x 2＋1 (x >0).能力提升x ．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如下：从上图可得在审查过程中可能不被审查通过的环节有( ) A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处x ．画出求满足1＋22＋32＋…＋n 2>20 000的最小自然数n 的流程图．1．明确流程图的作用，正确解读流程图；2．明确流程图各部分的关系，画出正确的流程图；3．流程图的各部分是先后顺序关系．x章框图§1流程图答案知识梳理1．各部分和各环节比较复杂的系统各部分之间2．各种工作程序直观、清楚作业设计1．C 2.C 3.A4．A5．B6．20解析S＝1×5×4＝20，输出结果为20.7．k>4？(k≥5？)解析①k＝2，S＝4，②k＝3，S＝x，③k＝4，S＝26，④k＝5，S＝57.循环终止，则k＝5符合条件．8．63解析由算法流程图知，当n＝1时，S＝1＋21＝3；当n＝2时，S＝3＋22＝7；当n＝3时，S＝7＋23＝15；当n＝4时，S＝15＋24＝31；当n＝5时，S＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S的值是63.9．解流程图如下所示：与客户接洽↓商讨单价及数量↓签订销售合同、销售订单↓发货并装货↓开票据付款↓凭交款单送货10．解x．Cx．解流程图如下：§2 抛物线(一)课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条直线l (l 不过点F)距离________的点的集合叫作抛物线，点F 叫作抛物线的________，直线l 叫作抛物线的________． 2．抛物线的标准方程 (1)方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py(p>0)叫作抛物线的________方程．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向 ________．(3)抛物线y 2＝－2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向 ________．(4)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向 ________．(5)抛物线x 2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向 ________．一、选择题1．抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A .|a|4 B .|a|2 C ．|a| D ．－a 22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p4．过点M(2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－26．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( )A .45B .23C .47D .12二、填空题7．抛物线x 2＋xy ＝0的准线方程是__________．8．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x 2＝y ＋1上一定点A(－1,0)和两动点P ，Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是______________． 三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．x ．求焦点在x 轴上且截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15的抛物线的标准方程．能力提升x ．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A .12B ．1C ．2D ．4 13．求与圆(x －3)2＋y 2＝9外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程．1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．2．焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2＝2py 通常又可以写成y ＝ax 2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y ＝ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．§2 抛物线(一)知识梳理1．相等 焦点 准线2．(1)标准 (2)(p 2，0) x ＝－p2向右(3)(－p 2，0) x ＝p2 向左(4)(0，p 2) y ＝－p2 向上(5)(0，－p 2) y ＝p2向下作业设计 1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A得k 2x 2－(23k 2＋2)x ＋3k 2＝0，则x 1＋x 2＝23k 2＋2k 2.因为|BF|＝2，所以|BB ′|＝2.不妨设x 2＝2－12＝32是方程的一个根，可得k 2＝3⎝⎛⎭⎫32－32，所以x 1＝2. S △BCF S △ACF ＝12|BC|·d12|AC|·d ＝|BC||AC|＝|BB ′||AA ′|＝22＋12＝45.]7．y ＝3解析 抛物线x 2＋xy ＝0，即x 2＝－xy ，故其准线方程是y ＝3. 8．y ＝4x 29．(－∞，－3]∪抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. x ．解 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．① 直线方程变形为y ＝2x ＋1，② 设抛物线截直线所得弦为AB.②代入①，整理得4x 2＋(4－a)x ＋1＝0，则|AB|＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －442－4×14＝15.解得a ＝x 或a ＝－4.∴所求抛物线方程为y 2＝xx 或y 2＝－4x.x ．C13．解 设定圆圆心M (3,0)，半径r ＝3，动圆圆心P(x ，y)，半径为R ，则由已知得下列等式⎩⎪⎨⎪⎧|PM|＝R ＋3|x|＝R， ∴|PM|＝|x|＋3.当x>0时，上式几何意义为点P 到定点M 的距离与它到直线x ＝－3的距离相等， ∴点P 轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x ＝－3， ∴p ＝6，抛物线方程为y 2＝xx. 当x<0时，|PM|＝3－x ，动点P 到定点M 的距离等于动点P 到直线x ＝3的距离，点P 轨迹为x 轴负半轴， 当x ＝0时，不符合题意，舍去．∴所求轨迹方程为y 2＝xx (x>0)或y ＝0 (x<0)．§2 抛物线(二)课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫作________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的____________．抛物线的顶点为_______．(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的____，用e 表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________． 2．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程________的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴______________，此时直线与抛物线有______个公共点． 3．抛物线的焦点弦设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．(1)以AB 为直径的圆与准线相切．(2)|AB|＝2(x 0＋p2)(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172B ．3C . 5D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB .12aC ．4aD .4a题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．x ．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．能力提升x ．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF|等于( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16 13.已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若|AF|＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．§2抛物线(二)知识梳理1．(1)x≥0右增(2)x轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点(4)离心率1(5)p p 22．k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0两一没有平行或重合一作业设计1．B2．A3．A如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF|.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.]4．B 5．C 6．D 7．y 2＝4x解析 设抛物线方程为y 2＝ax.将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x. 8．2解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． ∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x. 将其代入y 2＝4x ，得A(0,0)、B(4,4)． ∴|AB|＝4 2.又F(1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2.9.13解析 抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝33x ＋p2，消去x ，得xy 2－20py ＋3p 2＝0，解得y 1＝p 6，y 2＝3p2.由题意可设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF||FB|＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p 23p 2＋p 2＝13.10．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m.由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y. x ．解 方法一 设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，①y 22＝8x 2，②∵Q(4,1)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)， 即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 方法二 设弦AB 所在直线方程为y ＝k(x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ， 得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k ，又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0. x.B13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F(1,0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为 (3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k(x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k 2.由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以，|AB|≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。
北师版高中数学选择性必修第一册课后习题 第2章 圆锥曲线 1.1 椭圆及其标准方程 (6)
第二章§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程 A 级必备知识基础练1.已知A(-5,0),B(5,0).动点C 满足|AC|+|BC|=10,则点C 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线C.线段D.点2.设P 是椭圆x 216+y 212=1上一点,点P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2,则△PF 1F 2是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3.已知椭圆x 2k +y 2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=( )A.√3B.√5C.3D.54.(多选题)已知P 为椭圆C 上一点,F 1,F 2为椭圆的焦点且|F 1F 2|=2√3,若2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|,则椭圆C 的标准方程为( ) A.x 212+y 29=1 B.y 212+x 29=1C.x 248+y 245=1D.y 248+x 245=15.设定点F 1(0,-3),F 2(0,3),动点P 满足条件|PF 1|+|PF 2|=a 2-2a+7(a ∈R),则动点P 的轨迹是( ) A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.双曲线6.[上海奉贤高二校考期末]如图,把椭圆x 225+y 216=1的长轴AB 分成8等份,过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的左焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|= .B 级关键能力提升练7.已知F 1,F 2分别是椭圆x 29+y 2m =1(0<m<9)的左、右焦点,P 是椭圆上异于左、右顶点的一点,若△PF 1F 2的周长为8,则m=( ) A.1 B.2√2C.8D.4√28.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使M 与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD 与OM 交于点P,则点P 的轨迹是( )A.圆B.双曲线C.抛物线D.椭圆9.已知定圆C 1:(x+5)2+y 2=1,C 2:(x-5)2+y 2=225,动圆C 满足与C 1外切且与C 2内切,则动圆圆心C 的轨迹方程为( ) A.x 264+y 239=1 B.y 264+x 239=1 C.x 2256+y 2241=1 D.y 2256+x 2241=110.已知椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 . 11.已知F 1,F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9,求b 的值.C 级学科素养创新练12.设F 1,F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点,B 为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求|PF 1|·|PF 2|的最大值; (2)若C 为椭圆上异于B 的一点,且BF ⃗⃗⃗⃗ 1=λCF ⃗⃗⃗⃗ 1,求λ的值.13.如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.参考答案 第二章 圆锥曲线§1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程1.C 由|AC|+|BC|=10=|AB|,知点C 的轨迹是线段AB.2.B 由椭圆定义,知|PF 1|+|PF 2|=2a=8,不妨设|PF 1|>|PF 2|,因为|PF 1|-|PF 2|=2,所以|PF 1|=5,|PF 2|=3.又因为|F 1F 2|=2c=4,所以由勾股定理可知△PF 1F 2为直角三角形. 3.D4.AB 由已知得2c=|F 1F 2|=2√3,所以c=√3.因为2a=|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|=4√3,所以a=2√3,所以b 2=a 2-c 2=9.故椭圆C 的标准方程是x 212+y 29=1或y 212+x 29=1.5.C 由题得,|F 1F 2|=6,|PF 1|+|PF 2|=a 2-2a+7=(a-1)2+6≥|F 1F 2|=6,所以动点P 满足条件|PF 1|+|PF 2|=|F 1F 2|或|PF 1|+|PF 2|>|F 1F 2|,则点P 的轨迹是线段或椭圆.6.35 由已知得a=5,如图,设E 是椭圆的右焦点,由椭圆的对称性知|FP 1|+|FP 7|=|EP 7|+|FP 7|=2a,同理,其余两对的和也是2a. 又|FP 4|=a,∴|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P 5F|+|P 6F|+|P 7F|=7a=35. 7.C 因为P 是椭圆上一点,所以△PF 1F 2的周长=|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=2a+2c=8,由椭圆方程得2a=6,又a 2=b 2+c 2,解得{b =2√2,c =1,所以m=b 2=8. 8.D9.A 设动圆圆心C 的坐标为(x,y),半径为r,则|CC 1|=r+1,|CC 2|=15-r,所以|CC 1|+|CC 2|=r+1+15-r=16>|C 1C 2|=10,由椭圆的定义知,点C 的轨迹是以C 1,C 2为焦点的椭圆,则2a=16,a=8,c=5,b 2=82-52=39,故圆心C 的轨迹方程为x 264+y 239=1.10.2 120°11.解∵F 1,F 2是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,12|PF 1|·|PF 2|=9,∴(|PF 1|+|PF 2|)2=4c 2+36=4a 2,∴36=4(a 2-c 2)=4b 2,∴b=3.12.解(1)因为椭圆的方程为x 24+y 2=1,所以a=2,b=1,c=√3,即|F 1F 2|=2√3.又因为|PF 1|+|PF 2|=2a=4, 所以|PF 1|·|PF 2|≤|PF 1|+|PF 2|22=422=4,当且仅当|PF 1|=|PF 2|=2时,等号成立,所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4. (2)设C(x 0,y 0).因为B(0,-1),F 1(-√3,0),所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(-√3,1),CF⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(-√3-x 0,-y 0). 因为BF⃗⃗⃗⃗⃗ 1=λCF ⃗⃗⃗⃗⃗ 1,即(-√3,1)=λ(-√3-x 0,-y 0),得x 0=√3(1-λ)λ,y 0=-1λ.又x 024+y 02=1,所以有λ2+6λ-7=0,解得λ=-7或λ=1.因为C 异于B 点,故λ=1舍去,所以λ=-7.13.解以BC 边所在直线为x 轴,BC 边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD 为AB,AC 边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=20>12.∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,∴G 点的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(不包括与x轴交点),∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故G点的轨迹方程为x2 100+y264=1(x≠±10).设G(x',y'),A(x,y),则有x'2100+y'264=1.由重心坐标公式知{x'=x3,y'=y3,故A点轨迹方程为(x3)2100+(y3)264=1,整理得x2900+y2576=1(x≠±30).。
高中数学北师大版选修2-1练习：第三章1椭圆及其标准方程1
D． 1x020＋ 2y225＝ 1
解析：选 A. c2＝ 9－ 4＝ 5，由题意可设所求椭圆方程为
x2 b2＋
5＋
y2 b2＝
1，代入
(－
Hale Waihona Puke 3，2)得9 b2＋
5
＋
4 b2＝
1，
∴
b
2＝
10，
椭圆方程为
x2 ＋ y2 ＝ 1. 15 10
22
5.如图，
椭圆
x ＋y 25 9
＝1
上的点
M 到焦点
F1 的距离为
k<5
时
，
方程 x2 ＋ y2 ＝1 表示椭圆． k－ 2 5－ k
答案： (2，72)∪ (72， 5) 9.设 F1，F2 为椭圆 x92＋y42＝ 1 的两个焦点， P 为椭圆上的一点， (1) PF1⊥ PF 2，且 |PF 1|>|PF2 |，
求|PF 1|的值． |PF 2|
(2)当∠ F 1PF 2 为钝角时， |PF 2|的取值范围． 解： (1)∵ PF 1⊥ PF 2，∴∠ F1 PF2 为直角 ， 则 |F1 F2|2＝ |PF1|2＋ |PF 2|2.
∴ b2＝ a2－ c2＝ 3， 轨迹方程为 x42＋ y32＝ 1.
答案： x2＋y2＝1 43
7.已知
F 1， F 2
为椭圆
x2 ＋ y2＝ 1 25 9
的两个焦点，过
F 1 的直线交椭圆于
A， B 两点．若 |F2A|
＋|F2B|＝ 12，则 |AB |＝________ ．
解析： 由于 |AB|＋ |F2A|＋ |F 2B|＝ 4a＝ 20，∴ |AB |＝ 20－ (|F2A|＋ |F2B|)＝20－ 12＝ 8.
2021年高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程练习 北师大版选修2-1
一、选择题1．命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0为常数)；(2)命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B[解析] 若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．2．椭圆x28＋y2m＝1的焦距是2，则m的值是( )A．9 B．12或4 C．9或7 D．20 [答案] C[解析] 2c＝2，c＝1，故有m－8＝1或8－m＝1，∴m＝9或m＝7，故选C．3．动点M到两点A(－1,0)、B(1,0)的距离和为2，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆B．线段C．直线D．不存在[答案] B[解析] 因为距离和为2等于|AB|，所以不是椭圆，而是线段AB．故选B．4．已知△ABC的两个顶点的坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )A．x225＋y29＝1 B．y225＋x29＝1(y≠0)C．x216＋y29＝1(y≠0)D．x225＋y29＝1(y≠0)[答案] D[解析] 顶点C到两个定点A，B的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程．5．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )A．(0，＋∞)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(0,1)[答案] D[解析] 先将方程x 2＋ky 2＝2变形为x 22＋y 22k ＝1.要使方程表示焦点在y 轴上的椭圆，需2k＞2，即0<k <1.6．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )A ．y 225＋x 2＝1B ．x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C ．x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对 [答案] A[解析] 设椭圆方程为：Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝11625A ＋9B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝1B ＝125.二、填空题7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝______________；∠F1PF2的大小为________________．[答案] 2 120°[解析] 考查椭圆定义及余弦定理．由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1||PF2|＝16＋4－2816＝－12.∴∠F1PF2＝120°.8．动点P到两定点A(0，－2)、B(0,2)距离之和为8，则点P的轨迹方程为________________．[答案] y216＋x212＝1[解析] ∵|AB|＝4<8，∴P点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，∴c＝2，又由条件知a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，∵焦点在y轴上，∴椭圆方程为y216＋x212＝1.三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别为(0，－2)、(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)．[解析] (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵c ＝4,2a ＝10，∴b 2＝a 2－c 2＝9，所以所求的椭圆方程为x 225＋y 29＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆定义知2a ＝－322＋52＋22＋－322＋52－22＝210.即a ＝10，又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6，所以所求椭圆的方程为y 210＋x 26＝1. 10．求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程．[解析] 设所求的椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0且A ≠B )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1⇒⎩⎨⎧A ＝5B ＝4∴所求方程为5x 2＋4y 2＝1，即椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.一、选择题1．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．ac[答案] B[解析] S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2B ． ∴△ABF 面积的最大值为bC ．2．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．且b ＝3＞7＝C ． ∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94. 3．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m ) D ．(±n －m ，0)[答案] C[解析] 椭圆方程mx 2＋ny 2＋mn ＝0可化为x 2－n ＋y2－m＝1，∵m <n <0，∴－m >－n ，椭圆的焦点在y 轴上，排除B 、D ，又n >m ，∴m －n 无意义，排除A ，故选C ．4．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[答案] A[解析] 不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)，由条件知P (3，±32)，即|PF 2|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，|PF 1|＝732，|PF 2|＝32， 即|PF 1|＝7|PF 2|. 二、填空题5．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________________. [答案] 3[解析] 本题考查椭圆的定义及整体代换的数学思想． 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.6．已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________________[答案] 1＜k ＜3[解析] 因为方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1，k ∈R 表示焦点在x 轴上的椭圆.⎩⎨⎧3－k ＞0k ＋1＞0k ＋1＞3－k .⇒1＜k ＜3.三、解答题7．(xx·四川省绵阳中学月考)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)ac ＝135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋2＋22＋32＋2－22＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又ac ＝135，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x2169＋y2144＝1或y2169＋x2144＝1.[总结反思] 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行“定量”，即求a、b的大小，a、b、c满足的关系有：①a2＝b2＋c2；②a>b>0；③a>c>0.若不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．8．已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．[分析] 利用椭圆定义先判断P的轨迹是椭圆．[解析] 如图所示，连结AP，∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|，∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4.∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.精品文档实用文档 ∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1. [总结反思] (1)先根据定义判断轨迹的类型，再用待定系数法求轨迹方程的方法叫作定义法．(2)求动点的轨迹方程时，应首先充分挖掘图形的几何性质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以致陷入繁琐的化简运算之中．{7y34729 87A9 螩D37685 9335 錵 J•^31157 79B5 禵:23120 5A50 婐i。
北师大版数学高二-2012数学练习 第十单元 第五节 椭圆
第十单元 第五节一、选择题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A ．5 B ．3 C ．5或3 D ．8【解析】 ∵c ＝1，∴⎩⎨⎧ m －4＝1m >0或⎩⎪⎨⎪⎧4－m ＝1，m >0， ∴m ＝3或m ＝5.【答案】 C2．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 5【解析】 椭圆的标准方程是y 25k＋x 2＝1，则5k－1＝4，解得k ＝1. 【答案】 B3．短轴长为5，离心率e ＝23的椭圆两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．6C ．12D ．24【解析】 ∵b ＝52，c a ＝23，∴a 2＝94，a ＝32. 由椭圆定义得△ABF 2周长＝4a ＝6.【答案】 B4．经过点(2，－3)，且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同焦点的椭圆方程为( )A.x 210＋y 215＝1B.x 220＋y 225＝1 C.x 28＋y 213＝1 D.x 215＋y 210＝1 【解析】 椭圆9x 2＋4y 2＝36化为x 24＋y 29＝1，其焦点为(0，5)，(0，－5)，设所求方程为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)． ∵2a ＝4＋(3－5)2＋4＋(3＋5)2＝3(6－25)＋3(6＋25)＝(5－1)3＋(5＋1)3＝215， ∴a ＝15，b 2＝10.∴方程为x 210＋y 215＝1. 【答案】 A5．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34B ．±32C ．±22D ．±34【解析】 ∵a 2＝12，b 2＝3，∴c ＝3，F 1(±3,0)．设P (x 1，y 1)，M (0，y )，由中点坐标公式得x 1＝±3，y 1＝2y ，将x 1，y 1代入椭圆方程，得y ＝±34.所以M 的纵坐标y ＝±34. 【答案】 A6．已知动圆M 过定点A (－3,0)并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 216＋y 27＝1B.x 27＋y 216＝1 C.x 216－y 27＝1 D.x 27－y 216＝1 【解析】 ∵点A 在圆B 内，∴过点A 的圆与圆B 只能内切，∴圆心距|BM |＝8－|MA |，即|MB |＋|MA |＝8，∴点M 轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1， 又a ＝4，c ＝3，b 2＝7，∴方程为x 216＋y 27＝1. 【答案】 A7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8【解析】 易知F (－1,0)，设P (x ，y )，其中－2≤x ≤2，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2，∵点P 在椭圆x 24＋y 23＝1上，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3， 当x ＝2时，取得最大值6.【答案】 C二、填空题8．已知方程x 2m －1＋y 21＋2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2m >m －1，m －1>0，解得m >1. 【答案】 m >19．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．【解析】 依题意2a ＝12，c a ＝32，∴a ＝6，c 2＝27，b 2＝9. ∴方程为x 236＋y 29＝1. 【答案】 x 236＋y 29＝1 10．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【解析】 由题意知长轴长2a ＝6，焦距2c ＝27，由椭圆的定义得|PF 2|＝6－4＝2；由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°. 【答案】 2 120°三、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP→＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．【解析】 (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1， 整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22， 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得，x 1＋x 2＝－42k 1＋2k2，② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22，③而A (2，0)，B (0,1)，AB →＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k . 12. 如图，从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程．【解析】 (1)∵MF 1⊥x 轴，∴x M ＝－c ，代入椭圆方程得y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac.又∵k AB＝－b a且OM ∥AB ， ∴－b 2ac ＝－b a ，故b ＝c ，从而e ＝22. (2)∵b ＝c ，a ＝2c ，∴设椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1. ∵PQ ⊥AB ，k AB ＝－22，∴k PQ ＝ 2. ∴直线PQ 的方程为y ＝2(x －c )． 代入椭圆方程，得5x 2－8cx ＋2c 2＝0. ∴|PQ |＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫85c 2－4×2c 25(1＋2)＝652c . 又F 1到PQ 的距离d ＝263c ， ∴S △F 1PQ ＝12d |PQ |＝12×236c ×625c ＝435c 2. 故453c 2＝203，得c 2＝25，故2c 2＝50. ∴所求椭圆方程为x 250＋y 225＝1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ）A.(±5，0)B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ）A.228m -B.2m -22C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） Ａ. 838παπ≤≤-Ｂ. k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ）Ｃ. 838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ）6．判断下列方程是否代表椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④369422=+x y7 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为8．方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围9 化简方程：10)3()3(2222=-++++y x y x10． 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是11 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿1．设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是 （ ）A.椭圆B.直线C.圆D.线段2.椭圆171622=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ） A.32 B.16 C.8 D.43.设α∈(0,2π)，方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈ ( )A.(0,4π] B.(4π,2π) C.(0,4π) D.［4π,2π) 4.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是______.5.方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______.6.在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程.７．平面内两个定点21,F F 之间的距离为2，一个动点M 到这两个定点的距离和为6.建立适当的坐标系，推导出点M 的轨迹方程.高二(2)部数学《椭圆及其标准方程》同步训练三班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿１．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 （ ） A.2 B.3 C.5 D.7２．已知椭圆方程为1112022=+y x ,那么它的焦距是 （ ）A.6B.3C.331D.31３．如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是A.（0，+∞）B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)４．已知椭圆的两个焦点坐标是F 1（-2，0），F 2（2，0），并且经过点P （23,25-），则椭圆标准方程是_____５．过点A （-1，-2）且与椭圆19622=+y x 的两个焦点相同的椭圆标准方程是____答６．过点P （3，-2），Q （-23，1）两点的椭圆标准方程是______７．已知圆22y x +＝１，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M 的轨迹. ______８．△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-94，求顶点A 的轨迹方程. ______９．已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -，Ｐ为椭圆上一点，且｜21F F ｜是｜1PF ｜和｜2PF ｜的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F .班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿1．若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的３倍，则椭圆的离心率e ＝ 。
2．若椭圆的长轴长不大于短轴长的２倍，则椭圆的离心率∈e 。
3． 若椭圆13622=+m y x 的焦点在x 轴上，离心率e =32，则m= 。
4、椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为1:4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是 . 5、F 、A 分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长为6，且2cos 3OFA ∠=，则椭圆的标准方程为 .6、椭圆2214x y +=长轴的一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是 . 7．已知椭圆的两条准线方程为9±=y ，离心率为31，求此椭圆的标准方程8．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率9. 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出它的简图．班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿1、曲线221259x y +=与221(9)259x y k k k+=<--有相同的（）A 、长轴B 、准线C 、焦点D 、离心率2、椭圆的两条准线间的距离是该椭圆的焦距的两倍，则该椭圆的离心率是（）A 、14B 、12C D 3、椭圆的中心在原点，准线方程为92x =±，长轴长为6的椭圆方程为（ ）A 、2218177x y += B 、22195x y += C 、22194x y += D 、2213x = 4、F 1、F 2是椭圆的两个焦点，以F 1为圆心且经过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，F 2M与圆相切，则椭圆的离心率是 （ ）A 1B CD 、25、F 1、F 2是椭圆2212x y +=的两个焦点，过F 2作倾斜角为4π的弦AB ，则1F AB ∆的面积为（）A B C D 、436、下列关于椭圆221169x y +=的说法正确的有 （ ）①椭圆的长轴长为8，短轴长为6，焦距为e =；③椭圆的准线方程为167x =±；④该椭圆比221167x y +=更接近圆. ( )A 、①②B 、①③④C 、①②③D 、①②④7、将椭圆1C ：2224x y +=上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆2C ，则2C 与1C 有（）A 、相等的短轴长B 、相等的焦距C 、相等的离心率D 、相同的准线8、若椭圆22189x y k +=+的离心率是12，则k 的值是9..已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于10.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是11.已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为__________；12、设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 。
13.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2(,0)ac 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =。
14．P 为椭圆 192522=+y x 上的点，且P 与21,F F 的连线互相垂直，求P 点坐标 。
15．椭圆 192522=+y x 上不同三点),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证:21=+x x高二(2)部数学《椭圆的简单性质》同步训练三班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿1.M 是椭圆141622=+y x 上任意一点，1F 、2F 是椭圆的左右焦点，则：（1）21MF MF ⋅的最大值为 ；2221MF MF +的最小值为 ；（2）已知()1,1A ，则MA MF +1的最小值为 ，最大值为 。
（3）21MF F ∠的最大值为 ；2.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是3.椭圆14922=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。
4. 椭圆14922=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。
5．已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围_______。
6．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
7．P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若321π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积等于。
高二(2)部数学《椭圆》综合练习一班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿一．选择题：（60分）1．已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C 上，那么 （ ） （A ）曲线C 上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0 （B ）凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C 上（C ）在曲线C 上的点的坐标不一定都适合F(x,y ）=0（D ）不在曲线C 上的点的坐标有些适合F(x,y ）=0，有些不合适F(x,y ）=02．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是 （ ） （A ）x –y = 0 （B ）x + y =0 （C ）|x|=|y| （D ）y =|x |3．已知椭圆方程为x 28 + y 2m2= 1 ，焦点在x 轴上，则其焦距等于 （ ）（A ）28–m2 （B ）222–|m |（C ）2m 2–8 （D ）2|m |–2 24．已知椭圆192522=+y x 上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 为原点，则|ON|等于 （A ）2 （B ） 4 （C ） 8（D ）23（ ） 5．已知F 是椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O为原点), 则该椭圆的离心率是（A ）22 （B ）42（C ）21(D) 236．命题A ：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点λg(x,y)=0(λ为常数）过点P(x 0,y 0)，则命题A 是命题B 的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹方程是 （ ） （A ）3x –4y =0, 且x ＞0（B ）4x –3y=0, 且0≤y ≤4（C ）4y –3x =0,且0≤x ≤3 （D ）3y –4x =0,且y ＞08．椭圆x 2m + y 24= 1 的焦距为2,则m 的值等于（ ） （A ）5或3（B ）8（C ）5（D ）169．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2 + y 2b2 = 1(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB, 若△AF 1B 的周长为16,椭圆的离心率e= 32, 则椭圆的方程为 （ ）（A ）x 24 + y 23= 1（B ）x 216 + y 23 = 1 （C ）x 216 + y 212 = 1 （D ）x216 + y24= 110．若椭圆x 216 + y 2m = 1的离心率为13, 则m 的值等于（ ）（A ）18或1249 （B ）18或1289 （C ）16或1249 （D ）16或128911．若实数x ，y 满足x y x =+224，则x 2 + y 2有（ ）（A ）最小值31-，无最大值 （B ）最小值31-，最大值16 （C ）最小值0，无最大值 （D ）最小值0，最大值1612. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A （B （C ）2（D 1 二．填空题：（16分）13．椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P 到一条准线的距离是52，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则△PF 1F 2的面积等于 .14．已知P 是椭圆x 225 + y 29 = 1 上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于8, 则点P 的横坐标是 。