输流管道流_固耦合振动的固有频率分析

W ickert和 Mote[ 14 ]发展了适用于陀螺连续体的复 模态分析方法 ,由基于正交的模态函数导出了轴向运 动梁对任意初始条件和激励的响应 。
本文研究不同阶数 Galerkin方法 [ 15 ]离散后系统的 固有频率 ,与用复模态方法得到的各阶固有频率比较 , 验证不同截断阶数 Galerkin方法在输流管道振动分析 中的适用性 。
分控制方程离散化为常微分方程组 ,从而可以得到前 N 阶系统的固有频率 。为了验证 Galerkin截断方法因为假设模态函 数所造成的误差 ,用复模态分析方法得到的系统各阶固有频率与对应不同阶数 Galerkin方法所得固有频率进行比较 。结 果发现 ,当 Galerkin方法截断到某一阶次时 ,对其相应较低阶固有频率的分析有相当好的精确性 。
(β24n (β24n
-
β2 1n
)
( eβi 2n
-
β2 3n
)
( eβi 2n
-
e ) βi 1n e e ) βi 3n
βi 3nx
-
1-
(β24n (β24n
-
β2 1n
)
( eβi 3n
-
β2 2n)ຫໍສະໝຸດ ( eβi 3n-
eβi 1n ) eβi 2n ) -
(β24n
-
β2 1n
)
( eβi 2n
··
u
+ρ( 2γ·u′+
(γ2
-
1) u″+κu(4) )
=0
(3)
考虑两端铰支情况 ,则有无量纲化边界条件
u ( 0, t) = u ( 1, t) = 0
92 u 9x2
( 0, t)
=
92 u 9x2
( 1, t)
=0
(4)
采用 Galerkin截断 ,设方程 (1)的解为
N
∑ u ( x, t) = qn ( t) sin ( nπx)
[ 3 ] M eo M , Zumpano G. Op timal sensor p lacement on a large scale civil structure [ C ]. Proceedings of SP IE2The Interna2 tional Society for Op tical Engineering, v5394, Health Monito2 ring and Smart Nondestructive Evaluation of Structural and B i2 ological System s III, 2004: 108—117.
ρ(κβ4in
+ (γ2
- 1 )β2in
+ 2γi ωnβin )
-
ω2 n
=0
( 16)
由边界条件 ,可以得到第 n阶特征函数为
φ n
( x)
e = βi 1nx -
(β24n (β24n
-
β2 1n
)
( eβi 3n
-
β2 2n
)
( eβi 3n
-
e ) βi 1n e e ) βi 2n
βi 2nx
两端铰支支承间距离为 L,管道线密度 m , 刚度为 E, 转
动惯量为 I,内部有流体线密度为 M , 流体沿 X 向以速
度 Г流动 。仅考虑管道横向变形 U,设管道两端拉力 P
及流体压力 N 不随时间变化 , 分别分析梁及流体微元
段的受力情况 ,得到运动偏微分方程
(M
+m )
92 U 9T2
+
2MΓ
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(1)
= 0,φ″n ( 0)
=φ″n ( 1)
= 0 (14)
为求解式 (13) ,可设
φ n
( x)
=
C1n e( βi 1nx + C2n eβi 2nx + C3n eβi 3nx + C4n eβi 4nx )
其中
β in
(
i
= 1,
2,
3,
4;
n = 1, 2…)为特征根 ,满足
( 15 )
求解无穷维连续系统的动力偏微分方程 , Galerkin 方法离散 [ 3, 4, 7 ]方法可以把偏微分方程化为常微分方程 组 ,从而使问题简化 。 Paidoussis[ 8, 9 ]等研究了悬臂输流 管道采用不同位移基函数时 Galerkin方法的效果 。他 们发现采用单纯梁模型的特征函数做为位移基函数 , 取较高的离散阶数才可以得到满意的结果 ,而采用“恰 当的正交模态 ”则可以在低阶离散时即得到较满意的 结果 。最近 ,任建亭等用行波方法分析了不同支承条 件下的输液管流固耦合横向振动波导方程 [ 10 ] 。徐鉴与 杨前彪利用多尺度方法讨论了悬臂输液管道油流引发 的内共振及其分岔问题 [ 11, 12 ] 。另外 ,王琳与倪樵研究 了输液曲管非线性振动的特性 [ 13 ] 。
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图 1 2阶 Galerkin方法与复模态方法结果比较
( a) 第一阶固有频率
( b) 第二阶固有频率
( c) 第三阶固有频率
( d) 第四阶固有频率
图 2 4阶 Galerkin方法与复模态方法结果比较
由图 1可知采用 2阶 Galerkin截断方法所得到的 第一阶固有频率具有较高的精确性 ,但当速度较大时 第二阶固有频率误差较大 。观察图 2,当管道内液体流 速较大时 ,由 4阶 Galerkin方法所得到的前两阶固有频 率有非常好的精确度 ,第三阶固有频率误差也并不十 分明显 ,但第四阶固有频率结果误差非常严重 。
(下转第 86页 )
86
振 动 与 冲 击 2008年第 27卷
同时又保证了遗传算法的收敛性 ,确保遗传迭代向有 利于最优解的方向发展 。
3) 通过对工程实例的测点优化布置 ,可以看出改 进遗传算法比传统的序列法能够用较少的传感器把握 住桥梁的整体性态 ,在实际应用中前者的识别精度也 高于后者 ,具有较高的实用价值 。
92 U 9X 9T
+ MΓ2
92 U 9X2
-
(P - N)
92 U 9X2
+
E
I
94 U 9X4
=0
(1)
当研究刚度较大材料管道时 , 本方程有很好的准确性 。
引入无量纲化参数
x = X , u = U , γ =Γ M
L
L
P-N
t = T P - N , ρ = M
(2)
LM
M +m
则运动微分方程无量纲化的形式为
ω 2
J
( 10)
ω
ω N
J
其中 J 是 2 ×2 辛矩阵
0 -1 J=
( 11)
10
由式 ( 7)特征根就可以得到离散化后的系统的前 N 阶
固有频率
ω i
(
i
=
1,
2, …,
N)。
2 复模态分析方法
设微分方程 ( 3)式的某阶解为
u
=
φ n
( x)
eωi nt
( 12)
1 控制方程及 Galerkin截断
众所周知 ,输流管道中的流体当达到一定的流速
收稿日期 : 2007 - 01 - 05 修改稿收到日期 : 2007 - 04 - 04 第一作者 杨晓东 男 ,博士 ,副教授 , 1977年生