输流管道流_固耦合振动的固有频率分析
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关键词 : 输流管道 ;固有频率 ; Galerkin方法 ;复模态分析 中图分类号 : O326 文献标识码 : A
输流管道的流固耦合振动问题可归结为典型的无 穷维连续陀螺系统动力学模型 。对于输流管道的研究 大约起源于上世纪 50 年代 , A shley和 Haviland[ 1 ]尝试 解释阿拉伯半岛输油管道的振动情况 ,因而建立了输 流管道横向振动的运动微分方程 。随后 Paidoussis对 输流管道 特 别 是 悬 臂 输 流 管 道 进 行 细 致 和 系 统 的 研 究 ,其成果可见于他的两篇综述性文章 [ 2, 3 ]及专著 [ 4 ] 。 在国内 ,对各类输流管道的动力学行为的研究也有大 量的工作及进展 ,相关成果可以分别参见黄玉盈及徐 鉴的综述文献 [ 5, 6 ] 。
图 1及图 2分别给出了 2阶 Galerkin方法所得前 两阶固有频率以及利用 4 阶 Galerkin方法所得前四阶 固有频率与复模态方法计算得到固有频率的比较 ,其 中直线表示用 Galerkin方法得到的结果 ,而星号表示复 模态方法得到的结果 。
( a) 第一阶固有频率
( b) 第二阶固有频率
bridge health monitoring system in Japan[ C ]. Proceedings of SP IE2The International Society for Op tical Engineering, v4337, 2001: 517—524.
[ 2 ] Ko J M , N i Y Q. Technology developments in structural health monitoring of large2scale bridges [ J ]. Engineering Structures, 2005, 27 (12) : 1715—1725.
1 控制方程及 Galerkin截断
众所周知 ,输流管道中的流体当达到一定的流速
收稿日期 : 2007 - 01 - 05 修改稿收到日期 : 2007 - 04 - 04 第一作者 杨晓东 男 ,博士 ,副教授 , 1977年生
时会导致管道失稳 。现在用 Galerkin方法分析欧拉梁
模型的管道固有频率与速度的关系 。设有输流管道在
-
eβi 1n )
(β24n
-
β2 3n
)
( eβi 2n
-
eβi 3n)
eβi 4nx
( 17)
其中
ω n
、βin
(
i
= 1,
2,
3,
4;
n = 1, 2 …)可以用数值方法
求得 。
3 结果比较
分析式 ( 7)的系数矩阵 , 利用不同截断阶数 Galer2 kin方法可以得到相应阶数的固有频率 。令 N = 2, 则 可以用 2阶的 Galerkin方法得到系统前两阶固有频率 。 令 N = 4, 则可以用 4 阶的 Galerkin方法得到系统的前 四阶固有频率 。
ω 2
J
( 10)
ω
ω N
J
其中 J 是 2 ×2 辛矩阵
0 -1 J=
( 11)
10
由式 ( 7)特征根就可以得到离散化后的系统的前 N 阶
固有频率
ω i
(
i
=
1,
2, …,
N)。
2 复模态分析方法
设微分方程 ( 3)式的某阶解为
u
=
φ n
( x)
eωi nt
( 12)
··
u
+ρ( 2γ·u′+
(γ2
-
1) u″+κu(4) )
=0
(3)
考虑两端铰支情况 ,则有无量纲化边界条件
u ( 0, t) = u ( 1, t) = 0
92 u 9x2
( 0, t)
=
92 u 9x2
( 1, t)
=0
(4)
采用 Galerkin截断 ,设方程 (1)的解为
N
∑ u ( x, t) = qn ( t) sin ( nπx)
(下转第 86页 )
86
振 动 与 冲 击 2008年第 27卷
同时又保证了遗传算法的收敛性 ,确保遗传迭代向有 利于最优解的方向发展 。
3) 通过对工程实例的测点优化布置 ,可以看出改 进遗传算法比传统的序列法能够用较少的传感器把握 住桥梁的整体性态 ,在实际应用中前者的识别精度也 高于后者 ,具有较高的实用价值 。
图 1 2阶 Galerkin方法与复模态方法结果比较
( a) 第一阶固有频率
( b) 第二阶固有频率
( c) 第三阶固有频率
( d) 第四阶固有频率
图 2 4阶 Galerkin方法与复模态方法结果比较
由图 1可知采用 2阶 Galerkin截断方法所得到的 第一阶固有频率具有较高的精确性 ,但当速度较大时 第二阶固有频率误差较大 。观察图 2,当管道内液体流 速较大时 ,由 4阶 Galerkin方法所得到的前两阶固有频 率有非常好的精确度 ,第三阶固有频率误差也并不十 分明显 ,但第四阶固有频率结果误差非常严重 。
第 27卷第 3期
振 动 与 冲 击 JOURNAL OF V IBRATION AND SHOCK
Vol. 27 No. 3 2008
输流管道流 - 固耦合振动的固有频率分析
杨晓东 , 金基铎
(沈阳航空工业学院工程力学系 ,沈阳 110136)
摘 要 : 研究两端铰支的输流管道在不同流速下固有频率的变化情况 。利用 N 阶的 Galerkin方法把系统的偏微
92 U 9X 9T
+ MΓ2
92 U 9X2
-
(P - N)
92 U 9X2
+
E
I
94 U 9X4
=0
(1)
ห้องสมุดไป่ตู้
当研究刚度较大材料管道时 , 本方程有很好的准确性 。
引入无量纲化参数
x = X , u = U , γ =Γ M
L
L
P-N
t = T P - N , ρ = M
(2)
LM
M +m
则运动微分方程无量纲化的形式为
ρ(κβ4in
+ (γ2
- 1 )β2in
+ 2γi ωnβin )
-
ω2 n
=0
( 16)
由边界条件 ,可以得到第 n阶特征函数为
φ n
( x)
e = βi 1nx -
(β24n (β24n
-
β2 1n
)
( eβi 3n
-
β2 2n
)
( eβi 3n
-
e ) βi 1n e e ) βi 2n
βi 2nx
[ 6 ] John B Kosmatka, JamesM R icles. Damage detection in struc2
tures by modal vibration characterization [ J ]. Journal of Structural Engineering, 1999, 125 (12) : 1384—1392. [ 7 ] 袁慧梅. 具有自适应交换率和变异率的遗传算法 [ J ]. 首 都师范大学学报 (自然科学版 ) , 2000, 21 (3) : 14—20. [ 8 ] 戈 壻 ,闫云聚 ,陈换过. 基于 CM SE理论和小生境遗传 算法的 结 构 多 损 伤 检 测 方 法 研 究 [ J ]. 振 动 与 冲 击 , 2007, 26 (1) : 84—89. [ 9 ] 王小平 ,曹立明. 遗 传 算 法 ———理 论 、应 用 与 软 件 实 现 [M ]. 西安 :西安交通大学出版社 , 2002: 136—141. [ 10 ] 雷英杰 ,张善文 ,李续武 ,周创明. MATLAB 遗传算法工具 箱及应用 [M ]. 西安 : 西安电子科技大学出版社 , 2005: 48—52.
4) 本文提出的优化布置方法基于有限元模型 ,所 以不可避免存在有限元建模误差 ,从而对优化结果产 生不利影响 ,因此考察模型误差对优化布置的影响将 是下一步研究的重点 。
参考文献
[ 1 ] Sum itro S, Kono M , Okamoto T, Fujii K,M atsui Y. Long span
两端铰支支承间距离为 L,管道线密度 m , 刚度为 E, 转
动惯量为 I,内部有流体线密度为 M , 流体沿 X 向以速
度 Г流动 。仅考虑管道横向变形 U,设管道两端拉力 P
及流体压力 N 不随时间变化 , 分别分析梁及流体微元
段的受力情况 ,得到运动偏微分方程
(M
+m )
92 U 9T2
+
2MΓ
(1)
= 0,φ″n ( 0)
=φ″n ( 1)
= 0 (14)
为求解式 (13) ,可设
φ n
( x)
=
C1n e( βi 1nx + C2n eβi 2nx + C3n eβi 3nx + C4n eβi 4nx )
其中
β in
(
i
= 1,
2,
3,
4;
n = 1, 2…)为特征根 ,满足
( 15 )
Λ ij
=
i2π2
0
i=j
i≠ j
j ( - 1) i+j - 1 + ( - 1) i- j - 1
B ij =
i+j
i- j
i≠ j
0
i=j
( i, j = 1, 2, …, N )
(9)
不考虑系统的阻尼 ,由式 ( 7)定义的陀螺系统的特征根
都为纯虚数 ,所以存在变换
ω 1
J
TTA T =
W ickert和 Mote[ 14 ]发展了适用于陀螺连续体的复 模态分析方法 ,由基于正交的模态函数导出了轴向运 动梁对任意初始条件和激励的响应 。
本文研究不同阶数 Galerkin方法 [ 15 ]离散后系统的 固有频率 ,与用复模态方法得到的各阶固有频率比较 , 验证不同截断阶数 Galerkin方法在输流管道振动分析 中的适用性 。
(5)
n =1
如果试函数也采用两端铰支静止梁的正弦模态函数 ,
则利用 N 阶 Galerkin截断得到
∑ ··
qn
- 2γρ
N
k
k = 1, k≠n
(-
1) n +k n +k
1
+ (-
1) n +k n- k
1
·
qk
-
ρ( v2 - 1) n2π2 qn +ρβ2 n4π4 qn = 0
( n = 1, 2, . . . , N )
求解无穷维连续系统的动力偏微分方程 , Galerkin 方法离散 [ 3, 4, 7 ]方法可以把偏微分方程化为常微分方程 组 ,从而使问题简化 。 Paidoussis[ 8, 9 ]等研究了悬臂输流 管道采用不同位移基函数时 Galerkin方法的效果 。他 们发现采用单纯梁模型的特征函数做为位移基函数 , 取较高的离散阶数才可以得到满意的结果 ,而采用“恰 当的正交模态 ”则可以在低阶离散时即得到较满意的 结果 。最近 ,任建亭等用行波方法分析了不同支承条 件下的输液管流固耦合横向振动波导方程 [ 10 ] 。徐鉴与 杨前彪利用多尺度方法讨论了悬臂输液管道油流引发 的内共振及其分岔问题 [ 11, 12 ] 。另外 ,王琳与倪樵研究 了输液曲管非线性振动的特性 [ 13 ] 。
[ 4 ] 郑荣跃 ,许凯明 ,唐国金 ,黄剑源. 斜拉桥监测系统传感器 位置的寻优 [ J ]. 国防科技大学学报 , 2005, 27 (2) : 107—
110.
[ 5 ] 孙晓丹 ,李宏伟 ,欧进萍. 大型桥梁动力检测测点优化的 改进遗传算法及其应用 [ J ]. 西安建筑科技大学学报 (自 然科学版 ) , 2006, 38 (5) : 624—628.
分控制方程离散化为常微分方程组 ,从而可以得到前 N 阶系统的固有频率 。为了验证 Galerkin截断方法因为假设模态函 数所造成的误差 ,用复模态分析方法得到的系统各阶固有频率与对应不同阶数 Galerkin方法所得固有频率进行比较 。结 果发现 ,当 Galerkin方法截断到某一阶次时 ,对其相应较低阶固有频率的分析有相当好的精确性 。
[ 3 ] M eo M , Zumpano G. Op timal sensor p lacement on a large scale civil structure [ C ]. Proceedings of SP IE2The Interna2 tional Society for Op tical Engineering, v5394, Health Monito2 ring and Smart Nondestructive Evaluation of Structural and B i2 ological System s III, 2004: 108—117.
这里第
n
阶
模态
函数
φ n
为
复
数
形式
,
而
不是
Ga le rk in
方法中所用的没有考虑管道内流体影响的正弦序列 。
把式 (12)代入式 (3)中 ,得到
ρ(κφn(4) + (γ2 - 1)φ″n + 2γi ωnφ′n )
-
ω2φ nn
=0
( 13 )
由边界条件可知模态函数满足
φn ( 0)
=
φ n
(β24n (β24n
-
β2 1n
)
( eβi 2n
-
β2 3n
)
( eβi 2n
-
e ) βi 1n e e ) βi 3n
βi 3nx
-
1-
(β24n (β24n
-
β2 1n
)
( eβi 3n
-
β2 2n
)
( eβi 3n
-
eβi 1n ) eβi 2n ) -
(β24n
-
β2 1n
)
( eβi 2n
(6)
可以把微分方程组写成矩阵形式
·
y = Sy
(7)
第 3期 杨晓东等 : 输流管道流 - 固耦合振动的固有频率分析
81
其中
q
0
I
y=
· ,S = q
ρ(γ2 - 1)Λ - ρβ2Λ2
2γρB
(8)
上式中 , q为由 qn组成的列向量 , O 和 I分别为 N ×N 的 零矩阵和 N ×N 单位矩阵 ,而 Λ和 B 分别由下式决定
输流管道的流固耦合振动问题可归结为典型的无 穷维连续陀螺系统动力学模型 。对于输流管道的研究 大约起源于上世纪 50 年代 , A shley和 Haviland[ 1 ]尝试 解释阿拉伯半岛输油管道的振动情况 ,因而建立了输 流管道横向振动的运动微分方程 。随后 Paidoussis对 输流管道 特 别 是 悬 臂 输 流 管 道 进 行 细 致 和 系 统 的 研 究 ,其成果可见于他的两篇综述性文章 [ 2, 3 ]及专著 [ 4 ] 。 在国内 ,对各类输流管道的动力学行为的研究也有大 量的工作及进展 ,相关成果可以分别参见黄玉盈及徐 鉴的综述文献 [ 5, 6 ] 。
图 1及图 2分别给出了 2阶 Galerkin方法所得前 两阶固有频率以及利用 4 阶 Galerkin方法所得前四阶 固有频率与复模态方法计算得到固有频率的比较 ,其 中直线表示用 Galerkin方法得到的结果 ,而星号表示复 模态方法得到的结果 。
( a) 第一阶固有频率
( b) 第二阶固有频率
bridge health monitoring system in Japan[ C ]. Proceedings of SP IE2The International Society for Op tical Engineering, v4337, 2001: 517—524.
[ 2 ] Ko J M , N i Y Q. Technology developments in structural health monitoring of large2scale bridges [ J ]. Engineering Structures, 2005, 27 (12) : 1715—1725.
1 控制方程及 Galerkin截断
众所周知 ,输流管道中的流体当达到一定的流速
收稿日期 : 2007 - 01 - 05 修改稿收到日期 : 2007 - 04 - 04 第一作者 杨晓东 男 ,博士 ,副教授 , 1977年生
时会导致管道失稳 。现在用 Galerkin方法分析欧拉梁
模型的管道固有频率与速度的关系 。设有输流管道在
-
eβi 1n )
(β24n
-
β2 3n
)
( eβi 2n
-
eβi 3n)
eβi 4nx
( 17)
其中
ω n
、βin
(
i
= 1,
2,
3,
4;
n = 1, 2 …)可以用数值方法
求得 。
3 结果比较
分析式 ( 7)的系数矩阵 , 利用不同截断阶数 Galer2 kin方法可以得到相应阶数的固有频率 。令 N = 2, 则 可以用 2阶的 Galerkin方法得到系统前两阶固有频率 。 令 N = 4, 则可以用 4 阶的 Galerkin方法得到系统的前 四阶固有频率 。
ω 2
J
( 10)
ω
ω N
J
其中 J 是 2 ×2 辛矩阵
0 -1 J=
( 11)
10
由式 ( 7)特征根就可以得到离散化后的系统的前 N 阶
固有频率
ω i
(
i
=
1,
2, …,
N)。
2 复模态分析方法
设微分方程 ( 3)式的某阶解为
u
=
φ n
( x)
eωi nt
( 12)
··
u
+ρ( 2γ·u′+
(γ2
-
1) u″+κu(4) )
=0
(3)
考虑两端铰支情况 ,则有无量纲化边界条件
u ( 0, t) = u ( 1, t) = 0
92 u 9x2
( 0, t)
=
92 u 9x2
( 1, t)
=0
(4)
采用 Galerkin截断 ,设方程 (1)的解为
N
∑ u ( x, t) = qn ( t) sin ( nπx)
(下转第 86页 )
86
振 动 与 冲 击 2008年第 27卷
同时又保证了遗传算法的收敛性 ,确保遗传迭代向有 利于最优解的方向发展 。
3) 通过对工程实例的测点优化布置 ,可以看出改 进遗传算法比传统的序列法能够用较少的传感器把握 住桥梁的整体性态 ,在实际应用中前者的识别精度也 高于后者 ,具有较高的实用价值 。
图 1 2阶 Galerkin方法与复模态方法结果比较
( a) 第一阶固有频率
( b) 第二阶固有频率
( c) 第三阶固有频率
( d) 第四阶固有频率
图 2 4阶 Galerkin方法与复模态方法结果比较
由图 1可知采用 2阶 Galerkin截断方法所得到的 第一阶固有频率具有较高的精确性 ,但当速度较大时 第二阶固有频率误差较大 。观察图 2,当管道内液体流 速较大时 ,由 4阶 Galerkin方法所得到的前两阶固有频 率有非常好的精确度 ,第三阶固有频率误差也并不十 分明显 ,但第四阶固有频率结果误差非常严重 。
第 27卷第 3期
振 动 与 冲 击 JOURNAL OF V IBRATION AND SHOCK
Vol. 27 No. 3 2008
输流管道流 - 固耦合振动的固有频率分析
杨晓东 , 金基铎
(沈阳航空工业学院工程力学系 ,沈阳 110136)
摘 要 : 研究两端铰支的输流管道在不同流速下固有频率的变化情况 。利用 N 阶的 Galerkin方法把系统的偏微
92 U 9X 9T
+ MΓ2
92 U 9X2
-
(P - N)
92 U 9X2
+
E
I
94 U 9X4
=0
(1)
ห้องสมุดไป่ตู้
当研究刚度较大材料管道时 , 本方程有很好的准确性 。
引入无量纲化参数
x = X , u = U , γ =Γ M
L
L
P-N
t = T P - N , ρ = M
(2)
LM
M +m
则运动微分方程无量纲化的形式为
ρ(κβ4in
+ (γ2
- 1 )β2in
+ 2γi ωnβin )
-
ω2 n
=0
( 16)
由边界条件 ,可以得到第 n阶特征函数为
φ n
( x)
e = βi 1nx -
(β24n (β24n
-
β2 1n
)
( eβi 3n
-
β2 2n
)
( eβi 3n
-
e ) βi 1n e e ) βi 2n
βi 2nx
[ 6 ] John B Kosmatka, JamesM R icles. Damage detection in struc2
tures by modal vibration characterization [ J ]. Journal of Structural Engineering, 1999, 125 (12) : 1384—1392. [ 7 ] 袁慧梅. 具有自适应交换率和变异率的遗传算法 [ J ]. 首 都师范大学学报 (自然科学版 ) , 2000, 21 (3) : 14—20. [ 8 ] 戈 壻 ,闫云聚 ,陈换过. 基于 CM SE理论和小生境遗传 算法的 结 构 多 损 伤 检 测 方 法 研 究 [ J ]. 振 动 与 冲 击 , 2007, 26 (1) : 84—89. [ 9 ] 王小平 ,曹立明. 遗 传 算 法 ———理 论 、应 用 与 软 件 实 现 [M ]. 西安 :西安交通大学出版社 , 2002: 136—141. [ 10 ] 雷英杰 ,张善文 ,李续武 ,周创明. MATLAB 遗传算法工具 箱及应用 [M ]. 西安 : 西安电子科技大学出版社 , 2005: 48—52.
4) 本文提出的优化布置方法基于有限元模型 ,所 以不可避免存在有限元建模误差 ,从而对优化结果产 生不利影响 ,因此考察模型误差对优化布置的影响将 是下一步研究的重点 。
参考文献
[ 1 ] Sum itro S, Kono M , Okamoto T, Fujii K,M atsui Y. Long span
两端铰支支承间距离为 L,管道线密度 m , 刚度为 E, 转
动惯量为 I,内部有流体线密度为 M , 流体沿 X 向以速
度 Г流动 。仅考虑管道横向变形 U,设管道两端拉力 P
及流体压力 N 不随时间变化 , 分别分析梁及流体微元
段的受力情况 ,得到运动偏微分方程
(M
+m )
92 U 9T2
+
2MΓ
(1)
= 0,φ″n ( 0)
=φ″n ( 1)
= 0 (14)
为求解式 (13) ,可设
φ n
( x)
=
C1n e( βi 1nx + C2n eβi 2nx + C3n eβi 3nx + C4n eβi 4nx )
其中
β in
(
i
= 1,
2,
3,
4;
n = 1, 2…)为特征根 ,满足
( 15 )
Λ ij
=
i2π2
0
i=j
i≠ j
j ( - 1) i+j - 1 + ( - 1) i- j - 1
B ij =
i+j
i- j
i≠ j
0
i=j
( i, j = 1, 2, …, N )
(9)
不考虑系统的阻尼 ,由式 ( 7)定义的陀螺系统的特征根
都为纯虚数 ,所以存在变换
ω 1
J
TTA T =
W ickert和 Mote[ 14 ]发展了适用于陀螺连续体的复 模态分析方法 ,由基于正交的模态函数导出了轴向运 动梁对任意初始条件和激励的响应 。
本文研究不同阶数 Galerkin方法 [ 15 ]离散后系统的 固有频率 ,与用复模态方法得到的各阶固有频率比较 , 验证不同截断阶数 Galerkin方法在输流管道振动分析 中的适用性 。
(5)
n =1
如果试函数也采用两端铰支静止梁的正弦模态函数 ,
则利用 N 阶 Galerkin截断得到
∑ ··
qn
- 2γρ
N
k
k = 1, k≠n
(-
1) n +k n +k
1
+ (-
1) n +k n- k
1
·
qk
-
ρ( v2 - 1) n2π2 qn +ρβ2 n4π4 qn = 0
( n = 1, 2, . . . , N )
求解无穷维连续系统的动力偏微分方程 , Galerkin 方法离散 [ 3, 4, 7 ]方法可以把偏微分方程化为常微分方程 组 ,从而使问题简化 。 Paidoussis[ 8, 9 ]等研究了悬臂输流 管道采用不同位移基函数时 Galerkin方法的效果 。他 们发现采用单纯梁模型的特征函数做为位移基函数 , 取较高的离散阶数才可以得到满意的结果 ,而采用“恰 当的正交模态 ”则可以在低阶离散时即得到较满意的 结果 。最近 ,任建亭等用行波方法分析了不同支承条 件下的输液管流固耦合横向振动波导方程 [ 10 ] 。徐鉴与 杨前彪利用多尺度方法讨论了悬臂输液管道油流引发 的内共振及其分岔问题 [ 11, 12 ] 。另外 ,王琳与倪樵研究 了输液曲管非线性振动的特性 [ 13 ] 。
[ 4 ] 郑荣跃 ,许凯明 ,唐国金 ,黄剑源. 斜拉桥监测系统传感器 位置的寻优 [ J ]. 国防科技大学学报 , 2005, 27 (2) : 107—
110.
[ 5 ] 孙晓丹 ,李宏伟 ,欧进萍. 大型桥梁动力检测测点优化的 改进遗传算法及其应用 [ J ]. 西安建筑科技大学学报 (自 然科学版 ) , 2006, 38 (5) : 624—628.
分控制方程离散化为常微分方程组 ,从而可以得到前 N 阶系统的固有频率 。为了验证 Galerkin截断方法因为假设模态函 数所造成的误差 ,用复模态分析方法得到的系统各阶固有频率与对应不同阶数 Galerkin方法所得固有频率进行比较 。结 果发现 ,当 Galerkin方法截断到某一阶次时 ,对其相应较低阶固有频率的分析有相当好的精确性 。
[ 3 ] M eo M , Zumpano G. Op timal sensor p lacement on a large scale civil structure [ C ]. Proceedings of SP IE2The Interna2 tional Society for Op tical Engineering, v5394, Health Monito2 ring and Smart Nondestructive Evaluation of Structural and B i2 ological System s III, 2004: 108—117.
这里第
n
阶
模态
函数
φ n
为
复
数
形式
,
而
不是
Ga le rk in
方法中所用的没有考虑管道内流体影响的正弦序列 。
把式 (12)代入式 (3)中 ,得到
ρ(κφn(4) + (γ2 - 1)φ″n + 2γi ωnφ′n )
-
ω2φ nn
=0
( 13 )
由边界条件可知模态函数满足
φn ( 0)
=
φ n
(β24n (β24n
-
β2 1n
)
( eβi 2n
-
β2 3n
)
( eβi 2n
-
e ) βi 1n e e ) βi 3n
βi 3nx
-
1-
(β24n (β24n
-
β2 1n
)
( eβi 3n
-
β2 2n
)
( eβi 3n
-
eβi 1n ) eβi 2n ) -
(β24n
-
β2 1n
)
( eβi 2n
(6)
可以把微分方程组写成矩阵形式
·
y = Sy
(7)
第 3期 杨晓东等 : 输流管道流 - 固耦合振动的固有频率分析
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其中
q
0
I
y=
· ,S = q
ρ(γ2 - 1)Λ - ρβ2Λ2
2γρB
(8)
上式中 , q为由 qn组成的列向量 , O 和 I分别为 N ×N 的 零矩阵和 N ×N 单位矩阵 ,而 Λ和 B 分别由下式决定