大学物理解题法习题课4(动量 质心)

y 2 0 0
yv
1 3 1 2 gy = ( yv) 3 2
⎛2 ⎞ v = ⎜ gy ⎟ ⎝3 ⎠
1
2
碰 撞
一般情况碰撞 ∵ Fex << Fin ∴ 1 2 3 完全弹性碰撞 动量和机械能均守恒
∑p
i
i
=C
非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒
完全弹性碰撞
∫
例 一质量m1 = 50kg 的人站在一条质量为 m2 = 200kg ， 长度 l = 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 解 ：
y
设 cb 表示 船本身的质心
x1
o
′ x1
′ cb
d
x2 ′ x2
cb
x
当人站在船的左端时 当人站在船的右端时 对船和人这一 系统，在水平方向上 y 不受外力，因而在水 平方向的质心速度不 变。又因为原来质心 静止，所以在人走动 o 过程中质心始终静 止，因而质心的坐标 值不变。
xc =
m 1 x1 + m 2 x 2 m1 + m 2
′ xc =
x1
′ m1 x1 + m2 x′ 2 m1 + m2
′ x1
′ cb d cb
x
x2 ′ x2
′ xc = xc
′d ′ m1 x1 + m2 x2 = m1 x1 + m2 x2 l-d ′ ′ m1 ( x1 − x1 ) = m2 ( x2 − x2 )
例 水枪以v0的速度向一平板喷出水 柱，水枪与平板法线间的夹角为θ，水柱 与平板冲击后，被平板分成左右两注，它 们的速度仍为v0。设平板是光滑的，单位 时间内冲向平板的水的质量（即质量流 量）qm=dm/dt。求 （1）水柱对平板的冲力； （2）冲击后两注水柱的质量流量。
例 一柔软链条长为l， 单位长度的质量为λ，链条放 在有一小孔的桌上，链条一 端由小孔稍伸下，其余部分 堆在小孔周围．由于某种扰 动,链条因自身重量开始下落.
碰前
m1 v10 m2 v 20 A B
碰后
v1
v2
A
B
例
雨滴在重力场中下落，
下落过程中，水蒸气不断凝结成雨 滴。如视雨滴为球状，其质量增加 率dm/dt正比于它的表面积，设开 始时雨滴的半径近似为零，试求雨 滴下落的速度和加速度。
例
无引力空间中的火箭（齐奥
尔科夫斯基第一问题）。当k级运 载火箭在开始发动时，总质量为mi, 燃料与氧全部燃尽后质量为mf，燃 气相对火箭的排出速率为vr。求该 级火箭工作过程中火箭速率提高多 少？（忽略引力作用）
m1 v10 m2 v 20 A B
碰后
由机械能守恒定律得
1 2 1 1 2 1 2 2 m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2 2 2 2 2 2 2 2 2 m1 ( v10 − v1 ) = m2 ( v2 − v20 ) (2)
v1
v2
A
B
由(1)、 可解得： (2)
碰前
v10 + v1 = v2 + v20 v10 − v20 = v2 − v1 (3)
由 (1)、(3) 可解得：
m1 v10 m2 v 20 A B
碰后
(m1 − m2 )v10 + 2m2v20 v1 = m1 + m2 (m2 − m1)v20 + 2m1v10 v2 = m1 + m2
v1
v2
A
B
讨论 （1）若m1 = m2 （2）若m2 >> m1 ,且v20 = 0 则 v1 ≈ −v10 , v2 ≈ 0 （3）若m2 << m1 ,且v20 = 0 则v1 ≈ v10 , v2 ≈ 2v10 则 v1 = v20 , v2 = v10
例 如图，高为h 的平台上 有一质量为m 的小车，用绳子跨 过滑轮，由地面上的人以匀速率 v0 行走向右拉动。当人从平台 底脚处向右走了s 的距离时，人 对小车做了多少功？
例 人在岸上用轻绳拉小船，如图所 示，岸高h，船质量m,绳与水面夹角为Φ 时，人左行速度和加速度分别为v和a。 （1）不计水的水平阻力，假设船未离开水 面，试求人施与绳端拉力提供的功率P； （2）若a=0，v=v0（常量），Φ从较小的锐 角开始，达何值时，船有离开水面趋势（即 此时水面对船的竖直方向支持力为零）？
m2
O
m1 y
y
求链条下落速度v与y之间的关系．设桌面和小 孔处光滑，且认为链条软得可以自由伸开．
例
如图，一长为l质量为m
的链条，开始时，下垂部分长度为 l1，整个链条的速度为零。设桌面 光滑，求当链条的另一端滑到桌边 时，其速率是多少？
解 以竖直悬挂的链条 和桌面上的链条为一系统， 建立坐标系 则 Fex = m1 g = λ yg 由质点系动量定理得
（五个小球质量全同）
设有两个质量分 别为 m1和 m2，速度分别为 v10和 v 20的弹性Biblioteka Baidu球作对心 碰撞，两球的速度方向相 同．若碰撞是完全弹性的， 求碰撞后的速度 v1 和 v 2 ．
例
碰前
m1 v10 m2 v 20 A B
碰后
v1
v2
A
B
解
取速度方向为正向,
碰前
由动量守恒定律得
m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2 m1(v10 − v1) = m2 (v2 − v20) (1)
d=
y
m1 m1 + m2
l = 0.8(m)
′ x1
′ cb d cb
x
x1
o
x2 ′ x2
例
如图，有一半经为R、质量为
M，密度均匀的球中挖一个半径为 R/2的球形空腔。今在距球心O为r的 点P处放一质量为m的质点，求此质
点受到该空腔球体的万有引力。
Rsinθ
y
Rdθ
R
θ
O
dθ
Rcosθ
x
2
y ⋅ σ 2 πR sin θdθ 1 ∫ yC = 2 ∫ ydm = m' σ 2 πR
而 y = R cos θ
Rsin θ
y
Rdθ
R
π 2 0
θ
O
dθ
Rcos θ
x
cos θ sin θ dθ = R 2 r 其质心位矢：C = R 2 j
所以 yC = R
例
重力场中的火箭（齐奥尔科
夫斯基第二问题）。
例
求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心.
Rsin θ
y
Rdθ
R
θ
O
dθ
Rcos θ
x
解
选如图所示的坐标系． 在半球壳上取一如图圆环
圆环的面积 ds = 2 πR sin θ ⋅ Rdθ
Rsinθ
y
Rdθ
R
θ
O
dθ
Rcosθ
x
2
圆环的质量 dm = σ 2 πR sin θ dθ 由于球壳关于y 轴对称，故xc= 0
m2
O
m1 y
y
Fexdt = dp
又
dp = λ d( yv)
∴ λ yg d t = λ d( y v )
d( yv ) yg = dt
d( yv ) y gdy = ydy = yv d( yv ) dt
2
两边同乘以 yd y 则
d( yv ) yg = dt
m2
O
m1 y
y
g ∫ y d y = ∫ yv d( yv)