河北省张家口一中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷(含解析)

2018-2019学年河北省张家口一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线350x +-=的倾斜角为( ) A. 30o - B. 60oC. 120oD. 150o【答案】D 【解析】 【分析】把直线方程的一般式方程化为斜截式方程，求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，求出倾斜角. 【详解】35335033x y y x +-=⇒=-+350x +-=的倾斜角为α， 035tan 15036k ααπ=-=⇒==，故本题选D. 【点睛】本题考查了直线方程之间的转化、利用斜率求直线的倾斜角问题.2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A. 12π B.323π C. 8πD.4π【答案】A 【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为3的外接球的半径为3，所以该球的表面积为243)12ππ⋅=，故选A. 【考点】 正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为a 的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其3a 、2a 和22a. 【此处有视频，请去附件查看】3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若//αβ，α⊂m ，n β⊂，则//m nC. 若m αβ=I ，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D. 若m α⊥，//m n ，n β⊂则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的性质、面面垂直的判定定理对四个选项，逐一判断，最后选出正确答案.【详解】选项A ：直线m ，n 还可以异面、相交，故本命题是假命题； 选项B ：直线m ，n 可以是异面直线，故本命题是假命题；选项C:当αβ⊥时，若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，才能推出n β⊥，故本命题是假命题； 选项D ：因为m α⊥，//m n ，所以n α⊥，而n β⊂，所以有αβ⊥，故本命题是真命题，因此本题选D.【点睛】本题考查了线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的判定与性质，考查了空间想象能力.4.已知圆的方程为2260x y x +-=，过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） A.12B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】试题分析：222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=，最短的弦长为2229(31)22---=，选C. 考点：直线与圆位置关系5.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A.56 -B.5- C.6D.25【答案】D【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），AEu u u r＝（﹣2，1，2），BF＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ＝•AE BFAE BFu u u v u u u vu u u v u u u v35＝255,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为55．故选：D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题. 6.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积()A. 2B. 1C.2D. (212+【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB 2=2，所以原图形的面积为：1×2=2． 故选：A ．【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．7.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ） A. 9 B. 4C.12D.14【答案】A 【解析】圆22x y 2x 4y 10++-+=标准方程为：（x+1）2+（y ﹣2）2 =4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆； 设弦心距为d ，由题意可得 22+d 2=4，求得d=0， 可得直线经过圆心，故有﹣2a ﹣2b +2=0， 即a+b =1，再由a ＞0，b ＞0，可得41a b +=（41a b + ）（a+b ）=5+4b a a b +49b aa b⨯=当且仅当4b a =a b 时取等号，∴41a b+的最小值是9． 故选：A ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.8.已知圆224x y +=，直线l ：y x b =+，若圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为( ) A. ()1,1- B. []1,1-C. 2,2⎡-⎣D. (2,2-【答案】D 【解析】 【分析】圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，所以圆心到直线l ：y x b =+的距离小于1，利用点到直线距离求出b 的取值范围.【详解】因为圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，所以圆心到直线l ：y x b=+的距离小于112222b b b <⇒<⇒-<，故本题选D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想.9.已知直线l 1；2x+y-2=0，l 2：ax+4y+1=0，若l 1⊥l 2，则a 的值为（ ） A. 8 B. 2C. 12-D. 2-【答案】D 【解析】试题分析：根据两直线平行的条件，可得2410{821(2)0a a a ⨯-⨯=⇒=⨯--⨯≠，故选A.考点：1.两直线的位置关系；2.两直线平行的条件.10.当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q 相连，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是()A. 22(3)1x y -+=B. 22(23)41x y -+=C. 22(3)4x y ++=D. 22(23)44x y ++=【答案】B 【解析】 【分析】设00(,)P x y ，(,)M x y ，利用中点坐标公式可以求出00232x x y y =-⎧⎨=⎩，代入圆方程中，可以求出中点M 的轨迹方程.【详解】设00(,)P x y ，(,)M x y ，因为M 是线段PQ 的中点，所以有0000323222x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，点P 在圆221x y +=上，所以有22(23)41x y -+=，故本题选B. 【点睛】本题考查了求线段中点的轨迹方程，考查了中点坐标公式、代入思想.11.直线()24y k x =-+与曲线241x y -+=有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦B. 5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 13,24⎛⎤⎥⎝⎦D. 50,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解：因为曲线y ＝124x -(|x|≤2)与直线y ＝k(x －2)＋4有两个交点时，那么结合图像可知参数k 的取值范围是53(,]124，选A12.已知点A （2，-3），B （-3，-2），直线l 方程为kx +y -k -1=0，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A. 34k ≥或4k ≤- B. 3144k k ≥≤-或C. 434≤≤-k D.443≤≤k【答案】A【解析】【分析】直线l过定点(1,1)P，且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，从而得出l的斜率k的取值范围．【详解】解：∵直线l的方程kx+y-k-1=0可化为k（x-1）+y-1=0，∴直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，如图所示；则直线PA的斜率是k PA=-4，直线PB的斜率是k PB=34，则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是k≤-4或k≥34．故选：A．【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB5BC7AC=2，则此三棱锥外接球的表面积为______．【答案】8【解析】【分析】以PA，PB，PC分棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．【详解】解：如图，PA ，PB ，PC 两两垂直，设PC=h ， 则PB=27h -，PA=24h -，∵PA 2+PB 2=AB 2，∴4-h 2+7-h 2=5，解得h=3，因为三棱锥P-ABC ，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3， ∴以PA ，PB ，PC 分棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC 的外接球， ∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心， 三棱锥的外接球的半径为R=2，所以外接球的表面积为22S 4R 4(2)8πππ==⨯=． 故答案为：8π．【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14.若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 的取值范围是_______．【答案】[2]- 【解析】由题设可知21x b x +=-有解，即21b x x =-有解，令借cos ,[0,]x θθπ=∈，则21sin x θ-=，所以sin cos 2)4b πθθθ=-=-，由于0θπ≤≤，故3444πππθ-≤-≤，结合正弦函数的图像可知2sin()124πθ-≤-≤，则2)[2]4b πθ=-∈-，应填答案[2]-。

点睛：解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程21x b x +=-有解，进而分离参数21b x x=--，然后通过三角换元将其转化为求函数sin cos2sin()4bπθθθ=-=-的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解。