空间向量及其运算

§8.5 空间向量及其运算

1． 空间向量的概念

(1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量．

(2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB →

，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理

对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理

如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律

(1)定义

空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，

则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，

则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，

cos 〈a ，b 〉＝a·b

|a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23

(a ≠0，b ≠0) .

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．

( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )． ( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .

( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．

( × ) (5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0. ( √ ) (6)|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件．

( × )

2． 如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1

的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →

相等的向 量是

( )

A ．－12a ＋1

2b ＋c

B.12a ＋1

2b ＋c C ．－12a －1

2b ＋c

D.12a －1

2

b ＋

c 答案 A

解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →

)

＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1

2

b ＋

c .

3． 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →

，

则x ，y 的值分别为

( )

A ．x ＝1，y ＝1

B ．x ＝1，y ＝1

2

C ．x ＝12，y ＝1

2

D ．x ＝1

2

，y ＝1

答案 C

解析 如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →

)．

4． 同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是_______________．

答案 ⎝⎛⎭⎫13

，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－2

3 解析 设与a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)同时垂直的单位向量是c ＝(p ，q ，r )，

则⎩⎪⎨⎪

⎧

p 2＋q 2＋r 2＝1，

2p ＋2q ＋r ＝0，4p ＋5q ＋3r ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝13

，q ＝－23，

r ＝23，

或⎩⎪⎨⎪⎧

p ＝－13

，

q ＝23，

r ＝－23，

即同时垂直于a ，b 的单位向量为

⎝⎛⎭⎫13

，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23.

5． 在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，D 为BC 的中点，E 为

AD 的中点，则OE →

＝________(用a ，b ，c 表示)． 答案 12a ＋14b ＋14

c

解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →

＝12a ＋14b ＋1

4

c .

题型一 空间向量的线性运算

例1 三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC

的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →

.

思维启迪 利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可． 解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →

＝12OA →＋23(ON →－OA →

) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13

OC →.