2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.3.2诱导公式五六

第2课时 诱导公式五、六

1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、六的推导过程． 2．运用公式五、六进行有关计算与证明． 3．掌握六组诱导公式并能灵活运用．

1．在△ABC 中，角A 2与角B ＋C

2

的三角函数值满足哪些等量关系？

[答案] ∵A ＋B ＋C ＝π，

∴A 2＝π2－B ＋C

2

， ∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2， cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－

B ＋

C 2＝sin B ＋C 2 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α可以是任意角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( ) (3)sin ⎝

⎛⎭

⎪

⎫3π2－α＝cos α.( )

(4)若α＋β＝90°，则sin α＝cos β.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√

题型一利用诱导公式化简求值 【典例1】 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α是第二象限角，则sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α－3π2的结果

是( )

A.45 B ．－45 C ．±45 D.35

(2)化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫7π2－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π2＋α＝________.

[思路导引] 利用诱导公式先化简再求值． [解析] (1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－35

∴sin α＝3

5，且α是第二象限角

∴cos α＝－1－sin 2

α＝－45.

而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α ＝－(－cos α)＝cos α＝－4

5

(2)原式＝sin α·(－cos α)·sin α·co s ⎝

⎛⎭

⎪

⎫

3π2－α－cos α·sin α·[－sin (π－α)]sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α

＝

sin α·(－sin α)

－sin α·cos α

＝tan α

[答案] (1)B (2)tan α

用诱导公式进行化简时的注意点

(1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号．

(4)能求值的一定要求值．

(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．

[针对训练]

1．已知cos θ＝－35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝________. [解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝cos θ＝－35.

[答案] －3

5

2．化简：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α. [解] 原式＝cos[－(π－α)]sin α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－sin α)

＝cos (π－α)sin α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－sin α)

＝

－cos αsin α

·(－cos α)(－sin α)＝－cos 2

α. 题型二利用诱导公式证明三角恒等式

【典例2】 求证：tan (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫3π2－αcos (6π－α)

sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.

[思路导引] 应先利用诱导公式化简较复杂的左边的式子，使其等于右边．

[证明] 左边＝tan (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫3π2－αcos (6π－α)

sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2

＝tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α

＝

－tan αsin αcos α

cos αsin α

＝－tan α＝右边，

所以原等式成立．

三角式恒等证明的原则

对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，

也可

以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

[针对训练]

3．求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2

(π＋θ)

. [证明] 右边＝－2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2－θ·(－sin θ)－1

1－2sin 2

θ

＝

2sin ⎣

⎢⎡⎦

⎥

⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－1

1－2sin 2

θ

＝－2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2

θ

＝

－2cos θsin θ－1

cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2

θ

＝(sin θ＋cos θ)2

sin 2θ－cos 2

θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 所以原等式成立.

题型三诱导公式的综合应用 【典例3】 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α·sin ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫2π3－α的值．

(2)已知

cos α＝－4

5

，且α为第三象限角．求f (α)＝

tan (π－α)·sin (π－α)·si n ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－αcos (π＋α)

的值．

[思路导引] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π；2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α；⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6－α＝π2.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值．

[解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α

＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α

＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·s in ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3＋α