相似三角形讲义圆和相似的分类讨论
2023年中考数学 相似三角形问题精讲
中考相似三角形问题【命题趋势】相似三角形问题是中考数学中的重点题型，也是难点所在．相似三角形问题的难度都比较大，所占分值也比较重，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动态问题、最值（范围）问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大．所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题．【满分技巧】一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似；②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似2、已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似3、已知可能的一个直角三角形①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；②找另一角，两角对应相等，两三角形相似③找两边对应成比例判定定理1或判定定理44、与等腰三角形有关的①找顶角对应相等判定定理1②找底角对应相等判定定理1③找底和腰对应成比例判定定理35、相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
相似三角形中分类讨论
相似三角形中分类思想一、 教学目标：1.1.进一步理解三角形相似的判定方法进一步理解三角形相似的判定方法2. 经历相似三角形中分类讨论问题的解决过程，能根据问题的条件，选择分类，进行有序的思考，掌握运用分类来讨论的方法解决相似三角形的相关问题，体会分类讨论的思想，体会数学思维的条理性、缜密性和科学性，提高分析解决问题的思维品质。
3. 使学生在遇到此类问题后知道如何下手去解决问题。
二、 教学重难点：领悟分类讨论的数学思想选择适当的分类标准三、 教学过程：（一） 复习问题1：相似三角形的判定方法有哪些？问题2：相似三角形的性质有哪些？(二) ) 新授新授相似三角形中为什么需要分类讨论？由于图形的大小，位置不确定，因而在三角形中需要分类讨论1. 1.图形大小的不确定需要分类讨论图形大小的不确定需要分类讨论如：若两个相似三角形的相似比为1∶2,且其中一个的面积为且其中一个的面积为2020，则另一个三角形，则另一个三角形的面积为的面积为的面积为____ ____2.2.图形位置不确定：图形位置不确定：对应角（或者说对应边、对应顶点）的不确定引起相似三角形对应角（或者说对应边、对应顶点）的不确定引起相似三角形的分类讨论、例题1.1.过过Rt Rt△△ABC 的斜边AB 上一点D 作一条直线与另一边ＡＣ或者BC 相交，使截得的小三角形与△相交，使截得的小三角形与△ABC ABC 相似，这样的直线有几条？例题2.2.已知如图，已知如图，已知如图，D D 点是不等边△点是不等边△ABC ABC 的边AC 上一点，过D 点画线段DE DE，使点，使点E 在△在△ABC ABC 的边上，并且点D ，点E 和△和△ABC ABC 的一个顶点组成的小三角形与△组成的小三角形与△ABC ABC 相似。
问：这样的三角形可以画几个？画出DE DE，并且写出添线方法（答出作图依据），并且写出添线方法（答出作图依据）例题 1.1.在方格纸中在方格纸中在方格纸中,,每个小格的顶点称为格点每个小格的顶点称为格点,,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形角形叫做格点三角形,,如图所示如图所示,,在1010××10的方格中的方格中,,已知△已知△OAB. OAB.作一个格点三角形△作一个格点三角形△ABC ABC 与△与△OAB OAB 相似相似,,满足条件的C 有几个？练习如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)A(4,0)、、B(0,2)B(0,2)，如果点，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合不重合))，当点C 的坐标为的坐标为 时，时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与Δ组成的三角形与ΔAOB AOB 相似。
例谈相似三角形分类讨论问题
想方法i 2021年第5期中学数学教学参考（下旬相似三角形分类讨论问题李松（四川省成都市石室天府中学）摘要：分类讨论是重要的数学思想。
分类讨论思想的关键是要清楚为什么要进行分类讨论和分类讨论的依据是什么。
分类讨论思想的培养，需要教师有一个长期的教学规划，为学生提供合适的分类讨论的情境。
关键词：分类讨论；相似三角形；动点问题；折叠问题文章编号：1002-2171 (2021)5-0063-02《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简 称《课标（2011年版）》）指出，“分类讨论是一种重要的数学思想方法，教学时要通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟这种思想方法的精髓。
”例如，在学习“图形的相似”一章时，如果两个相似三角形未指明对应顶点，那么可能存在三种情况，此时 需要分类讨论。
分类讨论思想的渗透是一个较长的过程，所以在教学活动中，教师需要精心准备适切的、足量的、螺旋上升的问题帮助学生积累活动经验，形 成技能.从而使学生体会为什么要分类、如何分类等。
笔者下面以几个经典问题为例，就教学中哪类问题需l_ln(l+f)>l=ln e#0,所以在区间(工。
，|)内/(•T)无零点。
当:|，7r)时，jy^sin单调递减，:y=ln(l+*r)单调递减，则/(X)在区间(|，7t)内单调递减，/(7t)=0—ln(l+7T)<0,所以在区间(晋，K)内 /U)存在一个零点。
当 x6(7r，+°°)时，/(:c)=sin x_ln(1+x) 1—ln(1十7T)<C0 t旦成立，则/(工）在区间（t t，+°°)内无零点。
综上可得，/U)有且仅有2个零点。
7根的分布法对于特定的二次函数零点问题，利用根的分布来 求解也是一个有效的途径。
要分类讨论做归纳整理。
1类型归纳1.1单动点运动的相似问题需要分类讨论单动点运动的相似问题是指一个点在某条直线上运动引起图形变化，而动点运动到某几个位置时，会产生相似三角形的情况。
相似三角形分类讨论类
相似三角形中分类讨论的数学思想（汤杰）相似三角形中分类讨论的数学思想（汤杰）讨论标志一：当两个三角形不用相似符号对应联立的问题讨论标志一：当两个三角形不用相似符号对应联立的问题1.在直角三角形ABC 中，∠B=90°，点D 在边BC 上，过点D 的直线将直角三角形ABC 分成一个三角形和一个四边形，得到的小三角形与原三角形相似，这样的直线可以画几条？并画出示意图。
到的小三角形与原三角形相似，这样的直线可以画几条？并画出示意图。
2.（2013，永州）如图，已知AB ^BD ，CD ^BD （1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD 上是否存在P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；的长；（4）若AB=m ，CD=n ，BD=l ，请问,,m n l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点？两个P 点？三个P 点？点？3（2014•武汉）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．（1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；的值；（2）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP 求t 的值；的值；4.（2012014•4•益阳）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B =60°，AB =10，BC =4，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP =x ．（1）求AD 的长；（2）点P 在运动过程中，是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；的值；若不存在，请说明理由；A B CD P(2013徐州中考）徐州中考）讨论标志二：利用相似三角形解决等腰三角形的讨论问题。
相似三角形详细讲义
知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
圆中的相似三角形
引言概述：相似三角形是高中数学中的一个重要概念，也是几何学中常见的基本概念之一。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
本文将对圆中的相似三角形进行详细探讨和阐述。
圆中的相似三角形具有一些特殊性质和定理，研究这些特性不仅对于数学学科的发展和深化具有重要意义，还对于解决实际问题和各个领域的应用有着广泛而深远的影响。
正文内容：一、圆中相似三角形的概念和基本性质1.定义：圆中的相似三角形是指在同一个圆内部，根据某种比例关系，具有相同形状但大小不同的三角形。
2.判定条件：圆中的两个三角形相似的必要条件是它们的对应边成比例。
3.定理1：如果一个圆内的两个弦经过圆心，则对应的两个弦所对的弧相等，并且这两个弦和圆心所夹的角相等。
4.定理2：如果一个圆内的两弦对应的弧等长，则这两个弦和圆心所夹的角相等。
5.定理3：在一个圆内，如果一条弦平分了另一条弦，那么这两条弦所对的弧也是等长的。
这个定理也适用于相似三角形。
二、圆中相似三角形的关系和性质1.相似三角形的斜边与高的关系：斜边越长，相似三角形的高越长；斜边越短，相似三角形的高越短。
2.相似三角形的周长和面积的关系：周长比例：相似三角形的周长与它们的边长成比例；面积比例：相似三角形的面积与它们的边长平方成比例。
3.相似三角形的位似性：相似三角形的顶点在同一个圆上；相似三角形的高、中线和角平分线相交于同一个点。
4.圆内切相似三角形的性质：内切相似三角形与外接相似三角形共圆；内切相似三角形的内切圆半径与对应边的比例相等。
5.圆的切线与切点构成的三角形与圆内相似三角形的关系：切点到两个切线的距离相等，这个距离等于切点到对应切线的点的距离；切点到圆心的距离与半径成正比。
三、圆中相似三角形的应用1.圆的测量：通过相似三角形的性质，可以利用已知条件测量圆的半径和直径；利用相似三角形的相似比例可以测量难以直接测量的圆内部距离。
2.圆的建模与设计：相似三角形可以用于对圆形对象的建模和设计，如圆形池塘、圆形花坛等。
相似三角形与圆的关系
相似三角形与圆的关系相似三角形与圆的关系是几何学中十分重要的一个概念。
在这篇文章里，我们将探讨相似三角形与圆之间的关联以及应用。
一、相似三角形的基本概念相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形。
其特点是对应角相等，对应边成比例。
我们用符号"∼"表示相似关系。
例如，三角形ABC与三角形DEF在形状上相似可以表示为：△ABC∼△DEF。
二、相似三角形与圆的内切关系当一个圆完全内切于一个三角形时，这个三角形与圆的关系是非常特殊的。
我们把这个圆称为三角形的内切圆。
内切圆与三角形的三边都相切，且各切点处的切线互相垂直。
三、相似三角形与圆的外切关系与内切圆相反，当一个三角形完全外切于一个圆时，这个圆称为三角形的外切圆。
外切圆与三角形的三边都有公切线，且切线相交于圆的圆心。
四、相似三角形与圆的面积关系利用相似三角形的性质，我们可以推导出相似三角形与圆的面积关系。
假设有两个相似的三角形，它们的对应边长比为k，那么它们的面积比就是k的平方。
同样地，如果一个小三角形与一个大三角形相似，那么它们的面积比就是两个三角形对应边长的比的平方。
五、相似三角形与圆的应用相似三角形与圆的关系在实际生活中有许多应用。
例如，通过利用相似三角形的特性，我们可以测量无法直接获取的高度，如高楼或者山脉。
通过测量一个影子与其高度的比例，利用相似三角形原理可以得到物体的实际高度。
此外，在工程设计中，相似三角形与圆的关系也有实际应用。
例如，在建筑设计中，我们可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的比例。
圆的外切或内切关系也可以用于定位和绘图。
总结：相似三角形与圆的关系是几何学中重要的一个主题。
通过了解相似三角形的基本概念、内切关系和外切关系，我们可以更好地理解相似三角形与圆的联系。
此外，相似三角形与圆的面积关系以及实际应用也是我们需要探索和学习的内容。
相似三角形的研究对于几何学的发展具有重要的意义，并在实际中有广泛的应用。
相似三角形分类整理(超全)上课讲义
相似三角形分类整理(超全)第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,A D aB E bC F cAB DE AB DE BC EF BC EF AB BC或或或或可得BC EFEF AC DF AB DF AC DF DE等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB CAD AE BD EC AD AE或或由DE∥BC 可得：ACDB EC AD EA AB.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果abcd，那么ad=bc。
如果ad=bc（a，b，c，d 都不等于0），那么abcd。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除②合比性质：如果abcd，那么a b cdbd。
③等比性质：如果abcd= ???=mn(b+d+ ???+n≠0)，那么abcd??????mnab2＝ad.④b 是线段a、d 的比例中项，则 b典例剖析例1：①在比例尺是1：38000 的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②若ab =23则a bb=__________.③若a2a 2bb=95则a：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
圆内的相似三角形ppt课件
则CH·CK=___1_6___。
ppt课件.
E
K
5
拓展提升，开发思维
问题二： 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD 的交点为E点.若BD平分∠ABC，且BD=9，BE=5。
（3）若圆O的半径为5，AF= ， 求 的值。
ppt课件.
10
课后练习
ppt课件.
11
复习回顾，形成通法
问题：
（1）如图1，在ΔABC中，点D是AB上的一点， 连结CD，请你添加一个条件，使△BCD∽△BAC， 你的添加条件是_________________________。
（2）画一画：如图2，ΔABC的外接圆为⊙O，尝试 根据圆的基本性质在边AB上作出点D，使∠A=∠DCB。
ppt课件.
B D
2
复习回顾，形成通法
问题：
（2）画一画：如图，ΔABC的外接圆为⊙O，尝试 根据圆的基本性质在边AB上作出点D，使得∠A=∠DCB。
D EF
D E
D E
在圆中，证有公共角的两个三角形相似：
方法一是证一组角相等。证等角常利用圆的基本性质。
ppt课件.
3
巩固应用，深化认知
问题一：如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径BD交AC
不是已获得的知识，而是不断的学习；
不是已经达到的高度，而是继续不断的攀登。
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————— 高斯
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课后练习
练习1：已知如图，△ABC内接于圆O，AB为直径， ∠CBA的平分线交AC于点F，交圆O于点D，DE⊥AB 于点E，且交AC于点P，连结AD。 （1）求证：∠DAC=∠DBA。
圆形相似知识点
圆形相似知识点
圆形相似是几何学中的一个重要概念，它在解决各种几何问题中起着关键作用。
本文将从基本定义、性质和应用三个方面来介绍圆形相似的知识点。
一、基本定义 1. 相似三角形：两个三角形如果对应的角相等，那么它们就是相
似的。
类似地，对于圆形，如果两个圆的半径之比相等，那么它们就是相似的。
简而言之，两个圆形相似意味着它们的半径之比相等。
二、性质 1. 长度比例：如果两个圆形相似，那么它们的半径之比等于它们的周
长之比，也等于它们的面积之比。
例如，如果半径比为2:3，那么它们的周长比也
是2:3，面积比也是2:3。
2. 弧度比例：相似圆形的弧度比等于它们的半径比。
这
个性质在解决扇形角度问题时非常有用。
三、应用 1. 长度问题：通过圆形相似可以解决一些关于长度的问题。
例如，已
知一个圆的半径为r，现在需要计算一个相似圆的半径，可以利用半径比例关系来
求解。
2. 面积问题：同样地，圆形相似也可以用于解决面积问题。
例如，已知一
个圆的面积为A，需要计算一个相似圆的面积，同样可以利用面积比例关系来求解。
3. 角度问题：圆形相似还可以用于解决一些角度问题。
例如，已知一个扇形的圆心角度为θ，那么对应的相似圆的圆心角度就是θ乘以圆形相似的弧度比。
总结起来，圆形相似是几何学中一种重要的概念，它可以用于解决长度、面积
和角度等各种问题。
在应用中，我们可以利用圆形相似的性质和公式，通过简单的计算来求解相关的几何量。
中考数学讲义《相似三角形》、《圆》
[考点1]会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算[考点2]会用比例的基本性质解决有关问题[考点3]会利用三角形的相似解决一些实际问题[考点4]会能利用位似变换将一个图形放大或缩小例1（2013北京中考）例1.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC 上，并且点A，E，D在同一条直线上。
若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m例2 （2012北京中考）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边40cmDE=，20cmEF=，测得边DF离地面的高度1.5mAC=，8mCD=，则树高AB=m．例3 如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=例4 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为例5（ZFX / P71例2）已知：如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD与点P，Q.（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）；（2）求BP:PQ:QR的值.例6（ZFX / P71例1）已知：如图，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB=3,BF⊥BP于点B，试在射线BF上找点M，使得以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值.例7（ZFX / P71例3）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点（不与B、C重合）. 连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B(1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么？(2)当点P在底边BC上自点B向C移动过程中，是否存在一点P，使得DE:EC=5:3，如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由.ECFPDCBAEPDC BA例1 在矩形ABCD 中，DC=2，CF ⊥BD 分别交BD 、AD 于点E 、F ，连接BF ．（1）求证：△DEC ∽△FDC ；（2）当F 为AD 的中点时，求sin ∠FBD 的值及BC 的长度例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E 、F 分别在边AC 、BC 上）（1）若△CEF 与△ABC 相似． ①当AC=BC=2时，AD 的长为； ②当AC=3，BC=4时，AD 的长为；（1） 当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由。
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d cb a =4、比例外项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
专题五 相似三角形与圆
专题一、相似三角形与圆一、知识梳理定理1 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理2 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅定理3 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅定理4 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅定理5 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅二、基础过关1.如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 都相切，切点分别为D 、E 、C ，半径OC=1，则AE•BE= ．2.如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，已知CP=3，PD=4，AP=2，那么AB= ．3.如图，点P 为弦AB 上的一点，连接OP ，过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP=9，BP=4，则PC= ．O EDCBADECB PAOPO DCBA第1题第3题第2题4．如图，P 是圆O 外的一点，点B 、D 在圆上，PB 、PD 分别交圆O 于点A 、C ， 如果AP=4，AB=2，PC=CD ，那么PD= ．5.如图，直线PA 过半圆的圆心O ，交半圆于A ，B 两点，PC 切半圆与点C ，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ．6.如图，PC 是⊙O 的切线，切点为C ，PAB 为⊙O 的割线，交⊙O 于点A 、B ，PC=2，PA=1，则PB 的长为 ．三、例题讲解例1．已知AD 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为M ，分别过A ，D 两点作BC 的垂线，垂足分别为B ，C ，AD 的延长线与BC 相交于点E ． （1）求证：△ABM ∽△MCD ；（2）若AD=8，AB=5，求ME 的长．例2.如图，CD 是⊙O 的切线，点C 在直径AB 的延长线上． （1）求证：∠CAD=∠BDC ； （2）若BD=AD ，AC=3，求CD 的长．第4题 第6题第5题例3．如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．（1）求证：CM2=MN•MA；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．例4．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2=EF•ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．例5．如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．（1）求证：△HBE∽△ABC；（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．例6．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC=∠B．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB=12，求AC的长．例7．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．例8．如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．（1）求证：CO2=OF•OP；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=4，PB=4，求GH的长．四、课后练习1.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．2.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．3．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．4.如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD 延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．6．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．7．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC=20，求⊙O的面积．（π取3.14）8．如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．9．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．五、能力提升1．如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度．2．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．。
相似三角形详细讲义(最新整理)
用数学语言表述是：
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
MC
，
AC，ADE＝∠DE于点5，求：；
ADE 与△
3:2=AD 相交于点，若BD O COD ∆接矩形的一边在斜边上，且矩形的DEFG
FC
2
cm
10=DEFG S 矩形3和4，它的内接正方形有情况中正方形的大小。
AC和BC的延长线交于
的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的
7m
A．1.25m B．10m C．20m D．8m
（2008•金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）A．6米B．8米C．18米D．24米
课堂练习
练习题
1、如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.
3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3,则BM=______.
5
4.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为
2105
,AB=8,AD=6,EF垂直平分DBC,BC=,S。
相似三角形---圆和相似的分类讨论
5. (2014•黑龙江牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6， CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发， 沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒． （1）求线段CD的长； （2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是 否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值； 若不存在，说明理由． （3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
5.（2013湖北宜昌）如图9，点A，B，C，D的坐标分别 是(1，7 )，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶 点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是 （
．
）．
• 6.如图，△ABC是格点三角形（三角形的三 个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、 A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等， 则格点P的坐标是 ．
1．（2011•白云区模拟）如图，在直角△ABC内，以A 为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上． （1）用尺规作图，作出点E在BC上的位置（保留作图 痕迹，不写作法和证明）； （2）若AB=6，AC=2，求正方形ADEF的边长．
• 9.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.半径为1的圆 的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动， 设移动时间为t（单位：s）. • （1）当t为何值时，⊙P与AB相切；
• 10.如图，在平面直角坐标系中，直线l∶y＝-2x-8分别 与x轴，y轴相交于A,B两点，点P(0,k)是y轴的负半轴上 的一个动点，以p为圆心，3为半径作 ⊙P . • （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P 与x轴的位置关系， 并说明理由； • （2）当k为何值时，以⊙P 与直线l的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？
圆与相似三角形
圆与相似三角形【知识清单】一、相似三角形证明三角形相似的方法主要有 、 、 、 相似三角形的基本性质1、相似三角形的对应边成比例（称为相似比）。
2、相似三角形的对应角相等3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、圆中的角相等1、在 或 中，相等的弧所对的 或 相等2、弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的 。
3、直径所对的圆周角为 °【典型例题】题型一：通过证明相似，求圆中的比例线段或有关角的运算例一：已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ．连结DE ，DE=15. (1) 求证：AM MB EM MC ⋅=⋅； (2) 求EM 的长； （3）求sin ∠EOB 的值.解：⑴ 连接AC ，EB ，则∠CAM=∠BEM. ……………1分又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC ∽△EMB ．∴EM MBAM MC =，即AM MB EM MC ⋅=⋅．………3分 (2) ∵DC 为⊙O 的直径，∴∠DEC=90°，EC=22228(15)7.DC DE -=-= ………………………4分∵OA=OB=4，M 为OB 的中点，∴AM=6，BM=2． …………………………………5分 设EM=x ，则CM=7－x ．代入(1),得 62(7)x x ⨯=-.解得x1=3，x2=4．但EM ＞MC ，∴EM=4. …………………………………………7分(3) 由(2)知，OE=EM=4．作EF ⊥OB 于F ，则OF=MF=41OB=1． ………………8分 在Rt △EOF 中，EF=,15142222=-=-OFOE …………………………9分A BCEDOM ABCEDO MF∴sin ∠EOB=415=OEEF . ……………………………………………………………10分 变式一：（2012•宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P 、Q 两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q 作CD ⊥PQ ，分别交⊙O1和⊙O2于点C 、D ，连接CP 、DP ，过点Q 任作一直线AB 交⊙O1和⊙O2于点A 、B ，连接AP 、BP 、AC 、DB ，且AC 与DB 的延长线交于点E ． （1）求证：；（2）若PQ=2，试求∠E 度数．考点： 相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。
相似三角形中的分类讨论
相似三角形中的分类讨论
胡柳青
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2015(000)005
【摘要】对应边、对应角或其他因素不确定时，相似三角形问题需要分类讨论，请看以下各例．1．对应边不确定例1要做两个形状相同的三角形框架，其中一个框架的三边长分别是4、5、6，另一个框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？
【总页数】2页(P5-6)
【作者】胡柳青
【作者单位】浙江省桐庐县分水初中教育集团玉华校区,311519
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.分类讨论思想在相似三角形中应用
2.分类讨论思想在相似三角形中的两种不同用法
3.来自分类讨论思想的温馨提示——两种方法助你找到相似三角形的对应关系
4.来自分类讨论思想的温馨提示——两种方法助你找到相似三角形的对应关系
5.小疑大究"小题大做"——以"相似三角形中的分类讨论"专题复习课为例
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相似三角形分类讨论课件
500
700 300 300
D
700
b
B A
700
C a
300
F D
700
E b
200 500
200 300
B
C
F
E
如图,在 如图 在△ABC中,∠C=90°,P为AB上 中∠ ° 为 上 一点,且点 不与点A重合 且点P不与点 重合,过 作 ⊥ 一点 且点 不与点 重合 过P作PE⊥AB 边于点E,点 不与点 重合,若 不与点C重合 交AC边于点 点E不与点 重合 若 边于点 AB=10,AC=8,设AP的长为 四边形 的长为x,四边形 设 的长为 PECB周长为 求y与x的函数关系式 周长为y,求 与 的函数关系式 的函数关系式. 周长为
M
OB=4，OC=2，OA=1 ， ， 在直线AC上是否存在点 ， 在直线 上是否存在点M， 上是否存在点 使得以A， ， 为顶点的三 使得以 ，B，M为顶点的三 角形和△ 相似， 角形和△AOC相似，若不存 相似 请说明理由.若存在 在,请说明理由 若存在 这样 请说明理由 若存在,这样 点共有几个?请求出 的M点共有几个 请求出 点共有几个 请求出AM 的长。 的长。
如图, 如图,在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D=700, ∠B=500, ABC和 DEF中 分成两个三角形, a,把 ABC分成两个三角形 ∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线 b ,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三 分成两个三角形, ABC分成的两个三 把 DEF分成两个三角形 角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标 分成的两个三角形分别相似.( 角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标 注数据) 注数据)