【公开课】人教版九年级数学上册二次函数
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+k的图象和性质》公开课PPT
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），
B（0，-3），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3 。
若点C(-2,m),在函数的图象上，则点C的坐标
为
(-2,5)
.
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(0 ,k) y轴
图象的位置有什么关系?
4
y=x2
函数y= y=x2-2的
2
图象与y=x2的图
象的形状相同吗?
O
5
x 10
y=x2-2
-2
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10
4
y y=-x2+3
2
-5
O
5
x
10
函数y=-x2-2的图
-2 y=-x2
象可由y=-x2的图
向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减
(1)函数y=2x2+5的图象可由y=2x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=2x2-11的图象 可由 y=2x2的图象向下 平移11个单位得到。
(2)将函数y=-5x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-5x2的图象；将y=4x2-7的图象向上平移 7 个 单位得到可由 y=4x2的图象。将y=x2-7的图象
-4
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
-6
图象向上移还是向下移,移多少个-8
y=-x2-2
单位长度,有什么规律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到，
人教版九年级数学上册第22章二次函数全章教学课件
某商店将每商品进价为8元的商品按每10元出售，一天 可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的 办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降 低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价 降低多少时，能使销售利润最大？
1 设每件商品降低x元（0≤x≤2），该商品每天的利润
为y，y是x的函数吗？为什么要限定x的值？
达式分别是 y a x b (a 、 b 为 常 数 ， 且 a 0 )、
yk(k为 常 数 ， 且 k0) x
、
y a x 2 b x c ( a 、 b 、 c 为 常 数 ， 且 a 0 )
。
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、下列函数中，是二次函数的有 A、B、C
思考：你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看 二次项的系数是否为0．
练习： 若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m______
探究１：二次函数的图象
以0为中
1：画出 y= x2 的图象。 解： （1）列表
心选取7个x
值列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y…9 4 1 0 1 4 9…
人教版版九年级数学上册 公开课教学课件
授课人：
§26.1.1二次函数
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
2。一次函数的定义是什么？
形如y=kx+b(其中k ,b为 常数且k≠0)念
试一试：
温馨提示：同桌交 流，互相帮助！
《二次函数》示范公开课教学设计【部编新人教版九年级数学上册】
学生回答列出算式
y=20x²+40x+20
为了让学生了解二次函数解析式中字母的意义
请观察下面三个式子，它们的变量对应关系可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请你结合学习一次函数的经验，给它下个定义.
（1）y=6x²
（2）m= ² - n
（3）y=20x²+40x+20
学生合作探究列出算式思考前面三个问题中的函数有什么共同点
你能给二次函数下一个具有代表意义的定义？
小组讨论二次函数的特征，以小组为单位展示结果
进一步理解二次函数的本质，以便以后能判别一个函数是否为二次函数
归纳抽象，形成概念，教师板书二次函数的定义
谁能说出每个部分的名称？
教师板书二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项
通过学习已经知道了二次函数的定义，针对学生学习的额情况，设计练习题进一步体会二次函数的定义
m= 即m= ² - n
学生回答列出算式
m= ² - n
让学生从生活中发现数学问题，为了进一步得到二次函数的具体定义
问题3某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应该怎样表示
y=20x²+40x+20
《二次函数》教学设计
一、教学目标
1.理解、掌握二次函数的概念和一般形式。
2.会利用二次函数的概念解决问题。
3.列二次函数表达式解决实际问题。
4.了解二次函数在实际问题中的运用价值。
二、教学重难点
重点：理解、掌握二次函数的概念和一般形式。
难点：列二次函数表达式解决实际问题。
三、教学用具
y=20x²+40x+20
为了让学生了解二次函数解析式中字母的意义
请观察下面三个式子，它们的变量对应关系可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请你结合学习一次函数的经验，给它下个定义.
（1）y=6x²
（2）m= ² - n
（3）y=20x²+40x+20
学生合作探究列出算式思考前面三个问题中的函数有什么共同点
你能给二次函数下一个具有代表意义的定义？
小组讨论二次函数的特征，以小组为单位展示结果
进一步理解二次函数的本质，以便以后能判别一个函数是否为二次函数
归纳抽象，形成概念，教师板书二次函数的定义
谁能说出每个部分的名称？
教师板书二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项
通过学习已经知道了二次函数的定义，针对学生学习的额情况，设计练习题进一步体会二次函数的定义
m= 即m= ² - n
学生回答列出算式
m= ² - n
让学生从生活中发现数学问题，为了进一步得到二次函数的具体定义
问题3某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应该怎样表示
y=20x²+40x+20
《二次函数》教学设计
一、教学目标
1.理解、掌握二次函数的概念和一般形式。
2.会利用二次函数的概念解决问题。
3.列二次函数表达式解决实际问题。
4.了解二次函数在实际问题中的运用价值。
二、教学重难点
重点：理解、掌握二次函数的概念和一般形式。
难点：列二次函数表达式解决实际问题。
三、教学用具
人教版九年级上册数学二次函数课件
当a=0时，这个函数不是 二次函数，有可能是一次函数.
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
人教版九年级数上课件：求二次函数的解析式 (公开课课件精品21张ppt)
-16-
(4)抛物线的对称轴为直线 x＝2，且经过点(1，4)和(5，0)； 解：设所求抛物线的解析式为 y＝a(x－2)2＋k，∵抛物线过点(1，4)， (5，0)，∴aa（（15－－22））22＋＋kk＝＝40，，解得ak＝ ＝－92. 12，∴y＝－12(x－2)2＋92＝ －12x2＋2x＋52.
11)，(2，8)，(0，6)，用待定系数法求得 a＝2，b＝－3，c＝6.∴所求抛物
线的解析式为 y＝2x2－3x＋6.
(2)抛物线的顶点坐标为(3，－1)，且经过点(2，3)；
解：设所求抛物线的解析式为 y＝a(x－3)2－1，∵抛物线经过点(2，3)， ∴a(2－3)2－1＝3，∴a＝4.∴y＝4(x－3)2－1＝4x2－24x＋35.
教材感知
课关堂键能检力测
-20-
(2)若抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为点 P，求△ CPB 的面积．
(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴P(2，－1)．过 点 P 作 PH⊥y 轴于点 H，过点 B 作 BM∥y 轴交直线 PH 于点 M，过点 C 作 CN⊥y 轴交直线 BM 于点 N，如 图所示．S△ CPB＝S 矩形 CHMN－S△ CHP－S△ PMB－S△ CNB＝3×4 －12×2×4－12×1×1－12×3×3＝3，即△ CPB 的面积为 3.
3.解： 方程（组） 4.回代： （写解析式）
9a-3b+c=0，
a=-1
a-b+c=0， 解得 ，b=-4
c=-3，
， c=-3
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
第二十二章
分点训练
整合方法
综学合科素探养究
-6-
归纳总结
二次函数人教版九年级上册数学公开课一等奖优秀课件
y x2 2x 1
1
y x2
1
y 2 3x2
3
y 1 (x 5)2 4 3
1 3
2
1
0
0
0
2
10
13
3
3
例题讲解
例2、已知函数 y= （m+3）x m2-7 （1）m取什么值时，此函数是二次函数？ （2）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （3）m取什么值时，此函数是反比例函数？
自学探究
请用适当的解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系·
（2）一个小球由静止开始沿斜坡向下滚动，5s时到达斜坡底部.测得小球滚动的距 离s(cm)与时间t(s)的数据如下表：
自学探究
(3)某企业去年的产值为1200万元.如果三年内该企业年产值平均每年的增长率为x,你能写出明 年该企业年产值y(万元)与x之间的函数表达式.
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) • 二次函数的特殊形式： • 当b＝0时， y＝ax2＋c • 当c＝0时， y＝ax2＋bx • 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例题分析
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,
分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
练一练:
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、二次函数定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）的 函数叫做二次函数。 2、判断一个函数为二次函数的方法与步骤：
（1）先将函数进行整理，使其右边是含自变量的代数式，左边 是应变量；
（2）判别含自变量的代数式是否为整式；
（3）判别含自变量的项的最高次数是否为2；
全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+k的图象和性质》公开课课件
探索二次函数y=ax2的性质
对比函数y =
2
x ，
y=x2 ，y = 2x2的图象，你发现了什么？
1）开口都向上（a>0） ，对称轴都是y轴。
2）当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大。
3）顶点是原点（最小值）。
4）a值越大抛物线开口越小。
y=2x2
y=x2
2
y= x
O
3
x
观察与思考
y
9
观察y=x2的图象，它有什么特征？它的形状像什么？
特征：开口向上的曲线
形状：类似于游乐场中的过山车行驶的路线。
6
3
-3
O
3
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者下。一般地，
二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
x
02
探索二次函数y=ax2的性质
观察y=x2的图象，它的对称轴在哪里？图象与y轴交点坐标？
交点坐标（0,0），
观察图象，当二次函数的x=0时，y=0（最小值）
6
3
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称
轴的交点叫做抛物线的顶点。
【切记】顶点是抛物线的最低点或最高点。
y
9
P(-1,1)
-3
O
P’(1,1)
C．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
【详解】A、二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，说法正确；
人教版九年级数学上册二次函数课件(共15张)
1、y =6x2
2、
3、y=20x2+40x+20 上述问题中的函数解析式具有
哪些共同的特征?
化简后具有y=ax²+bx+c 的情势.
(a,b,c是常数, a≠0 )
二次函数概念
我们把形如y=ax²+bx+c
(其中a,b,C是常数，a≠0)的函 数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
(1)写出y关于x的 函数关系式. (2)当x=3时,矩形 的面积为多少?
x
2、已知二次函数 y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值 为 -5, 求这个二次函数 的解析式.
课堂小结
a≠0
y=ax²+bx+c
二次项 系数
一次项 系数
常数项
每个队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲
队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，
所以比赛的场次数
.即
.
上式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于 n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后 两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加 x倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所 定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?
这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 20(1+x)t，
再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) t，即两年 后的产量 y=20(1+x)2 ， 即 y=20x2+40x+20 .
上式表示两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y 是x的函数.
全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《用待定系数法求二次函数的解析式》公开课课件
精 ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 讲
精 练
用一般式求二次函数解析式(4分钟)
探 【例3】一个二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,
究 求这个二次函数的表达式. 一设、二代、三解、四还原
归 解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经
纳 过点(0,1),可得c=1.又由于其图象经过(2,4),(3,10)两点,
向下 向下
x b
(
b
4ac b2
,
)
2a 2a 4a
x x1 x2
2
(1)a决定抛物线的形状及开口方向及大小,若|a|相等则形状相同.
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置,简称：左同右异
(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
温故知新(2分钟)
导 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几
九年级数学(上)教学课件
第二十二章 二次函数
22.1.4(2) 用待定系数法求二次函数的解析式
温故知新
知识讲解
典例解析
当堂训练
课前诵读(3分钟)
解析式
开口方向 对称轴 顶点坐标 a＞0 a＜0
顶点式 y=a(x-h)2+k
向上 向下 x=h (h,k)
一般式 y=ax2+bx+c
向上
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 向上 一般式：y=ax2+bx+c中a,b,c的作用
纳
可得
精
4a-2b-3=1， a-b-3=0， 解得
a=-1， b=-4，
讲 ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
精 练
用一般式求二次函数解析式(4分钟)
探 【例3】一个二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,
究 求这个二次函数的表达式. 一设、二代、三解、四还原
归 解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经
纳 过点(0,1),可得c=1.又由于其图象经过(2,4),(3,10)两点,
向下 向下
x b
(
b
4ac b2
,
)
2a 2a 4a
x x1 x2
2
(1)a决定抛物线的形状及开口方向及大小,若|a|相等则形状相同.
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置,简称：左同右异
(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
温故知新(2分钟)
导 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几
九年级数学(上)教学课件
第二十二章 二次函数
22.1.4(2) 用待定系数法求二次函数的解析式
温故知新
知识讲解
典例解析
当堂训练
课前诵读(3分钟)
解析式
开口方向 对称轴 顶点坐标 a＞0 a＜0
顶点式 y=a(x-h)2+k
向上 向下 x=h (h,k)
一般式 y=ax2+bx+c
向上
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 向上 一般式：y=ax2+bx+c中a,b,c的作用
纳
可得
精
4a-2b-3=1， a-b-3=0， 解得
a=-1， b=-4，
讲 ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
【公开课】人教版九年级数学上册二次函数
1 若函数 y m2 1 xm2m 为二次函数，求m的值
2、将长为30m，宽为20m的矩形绿地的长、宽 各增加 x m （1）写出扩充后的绿地面积y与x的关系式。 （2）若扩充后的绿地面积是原来的两倍，求x的值。
1、解：由题意可知m2 m 2 2、（1）y=(30+x)(20+x)
解得m1 2, m2 1 又m2 1 0 即m 1
【公开课】人教版九年级数学上册二 次函数
复习回顾
1.什么是函数？
在某一变化过程中: ①有两个变量x和y; ②自变量x在它的取值范围内每一个值，y都有唯一确
定的值与之对应. 我们就把y叫做x的函数.
2.你学过什么函数？说一说你对它的了解。
【公开课】人教版九年级数学上册二 次函数
【公开课】人教版九年级数学上册二 次函数
1 创设情境
引入课题
赛场上腾空的篮球
【公开课】人教版九年级数学上册二 次函数
【公开课】人教版九年级数学上册二 次函数
观察这些图片，这些曲线能否也用函数来表示？
【公开课】人教版九年级数学上册二 次函数
【公开课】人教版九年级数学上册二 次函数
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数
m 2
即y x2 50x 600
（2）由题意可知：
x2 50x 600 30 20 2 解得x1 60(不合题意，舍去) x2 10
【公开课】人教版九年级数学上册二 次函数
【公开课】人教版九年级数学上册二 次函数
5．课堂小结 加深理解
如何判断一个函数是否为二次函数？
【公开课】人教版九年级数学上册二 次函数
m
1 2
n2
,
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第3课时)》示范教学课件
y 轴
向上
观看动图，思考抛物线 y＝ax²＋k(a＞0)与抛物线 y＝ax²(a＞0)有什么关系？
归纳
开口方向
顶点坐标
最大（小）值
对称轴
增减性
二次函数 y＝ax2＋k(a＞0)的图象性质
向上
(0，k)
当 x＝0 时，y最小值＝k
y 轴
当 x＞0 时，பைடு நூலகம் 随 x 的增大而增大；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
4
－4
x
y
x
y
O
y＝－2x2－1
y＝－2x2＋1
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
思考
（1）抛物线 y＝－2x²＋1，y＝－2x²－1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
函数
y＝－2x²＋1
y＝－2x²－1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
y 轴
x
y
y＝－2x2＋1
O
y＝－2x2－1
2
－2
－4
－6
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y＝－2x²＋1， y＝－2x²－1 的图象．
解：先列表，然后描点，再分别画出它们的图象．
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
y＝－2x2＋1
y＝－2x2－1
O
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
2
－2
－4
－6
向上
观看动图，思考抛物线 y＝ax²＋k(a＞0)与抛物线 y＝ax²(a＞0)有什么关系？
归纳
开口方向
顶点坐标
最大（小）值
对称轴
增减性
二次函数 y＝ax2＋k(a＞0)的图象性质
向上
(0，k)
当 x＝0 时，y最小值＝k
y 轴
当 x＞0 时，பைடு நூலகம் 随 x 的增大而增大；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
4
－4
x
y
x
y
O
y＝－2x2－1
y＝－2x2＋1
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
思考
（1）抛物线 y＝－2x²＋1，y＝－2x²－1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
函数
y＝－2x²＋1
y＝－2x²－1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
y 轴
x
y
y＝－2x2＋1
O
y＝－2x2－1
2
－2
－4
－6
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y＝－2x²＋1， y＝－2x²－1 的图象．
解：先列表，然后描点，再分别画出它们的图象．
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
y＝－2x2＋1
y＝－2x2－1
O
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
2
－2
－4
－6
全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程的关系》公开课课件
人教版 数学 九年级 上册
通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的 联系.
能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的 飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单 位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
y = x2＋x－2 1
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根 的关系
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点 有两个交点
有一个交点
没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不相等 的实数根
有两个相等的实 数根
没有实数根
b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
解方程：
20.5 hh=20t-5源自220.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
O
t
你能结合图形指出为什么球
不能达到20.5m的高度?
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
y
-
x2 10
6 10
x
8 5
运行，其中x是
铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达
通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的 联系.
能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的 飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单 位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
y = x2＋x－2 1
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根 的关系
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点 有两个交点
有一个交点
没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不相等 的实数根
有两个相等的实 数根
没有实数根
b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
解方程：
20.5 hh=20t-5源自220.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
O
t
你能结合图形指出为什么球
不能达到20.5m的高度?
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
y
-
x2 10
6 10
x
8 5
运行，其中x是
铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达
初中数学人教版初中九年级上册22.1.1二次函数公开课优质课课件.ppt
系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，
即m是n的函数.
问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划 今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即
22 y=20x2+40x+20
函数都是用 自变量的二次整
式表示的
归纳总结
二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数
叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项 系数、一次项系数和常数项.
温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项.
想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0； (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx ＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y, 后者是0.
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c
② s=3-2t²
③不一y=定x2是，缺少
a≠0的条件.
y= 1 x2
④不是，右边
⑥是分y=式(.x+3)²-x²
不是，x的最 高次数是3.
人教版九年级数学上册 《二次函数》二次函数教育教学课件
AX E
GX C
F X B
练习题
1.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为 x,巨形的面积为y,求：
(1)写出y关与x的函数关系式。
(2)当x=3时,距形的面积为多少? 解:(1)y=x(20-2x)
=-2x2+20x(0<x<10) (2)y=-2×32+20×3=42m
第四页，共十七页。
知识点详解
(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120m ， 室内通道
的尺寸如图，设一条边长为 x (m)， 种植面积为 y (m2)。
y = (60-x-4)(x-2)
1
1
y
1
x
3
第五页，共十七页。
知识点详解
y =πx2 y = 2(1+x)2=2x2+4x+2 y= (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
第二页，共十七页。
问题引入
1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小
明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮 球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，
D
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°，
X H
∴HE2=AE2+AH2=x2+（2-x）2=2x2-4x+4，
GX C
F X B
练习题
1.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为 x,巨形的面积为y,求：
(1)写出y关与x的函数关系式。
(2)当x=3时,距形的面积为多少? 解:(1)y=x(20-2x)
=-2x2+20x(0<x<10) (2)y=-2×32+20×3=42m
第四页，共十七页。
知识点详解
(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120m ， 室内通道
的尺寸如图，设一条边长为 x (m)， 种植面积为 y (m2)。
y = (60-x-4)(x-2)
1
1
y
1
x
3
第五页，共十七页。
知识点详解
y =πx2 y = 2(1+x)2=2x2+4x+2 y= (60-x-4)(x-2) =-x2+58x-112
第二页，共十七页。
问题引入
1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小
明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮 球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，
D
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°，
X H
∴HE2=AE2+AH2=x2+（2-x）2=2x2-4x+4，
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【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
5．课堂小结 加深理解
如何判断一个函数是否为二次函数？
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6．布置作业
教科书习题 22.1 第 1，2 题．
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
⑥y
x4 x2 x2 1
【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
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练习2 函数 y=（m-2）x2+mx-3（m 为常数）． （1）当 m _≠__2___时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=_2___时，这个函数为一次函数．
【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
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练习3 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是_S__=_4_π_r_2__； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
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二次项
常数项
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3．课堂练习、巩固概念
练习1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤ 。
√①y= 2x2 2 ×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
√⑤y=x( x 1)
复习回顾
1.什么是函数？
在某一变化过程中: ①有两个变量x和y; ②自变量x在它的取值范围内每一个值，y都有唯一确
定的值与之对应. 我们就把y叫做x的函数.
2.你学过什么函数？说一说你对它的了解。
1 创设情境 引入课题
赛场上腾空的篮球
观察这些图片，这些曲线能否也用函数来表示？
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数
【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
4．课堂检测，提升能力
1 若函数 y m2 1 xm2m 为二次函数，求m的值
2、将长为30m，宽为20m的矩形绿地的长、宽 各增加 x m （1）写出扩充后的绿地面积y与x的关系式。 （2）若扩充后的绿地面积是原来的两倍，求x的值。
【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
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观察、思考：这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2
m 1 n2 1 n 22
y 20x2 40x 20
【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
解：由题意可得
m2 5m 6 2,
m 4 0,
解得m=1.
当m 1时，函数y (m 4)xm25m6 mx是关于x的二次函数.
1、解：由题意可知m2 m 2 2、（1）y=(30+x)(20+x)
解得m1 2, m2 1 又m2 1 0 即m 1
m 2
即y x2 50x 600
（2）由题意可知：
x2 50x 600 30 20 2 解得x1 60(不合题意，舍去) x2 10
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西山农场学校 段 寒
【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
2．通过实例，归纳概念
1、正方体的棱长为 x ，那么正方体的表面积 y 与 x 之间有什么关系？
2、n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．
比赛的总场数 m 与球队数 n 有什么关系？
3、某种产品现在的年产量是 20吨，计划今后两年增 加产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么 两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定 ，y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
综合应用
7.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从 点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动 点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动， 如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出△PBQ的面积S与 出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围.
【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
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练习4 已知二次函数y x2 2x 3 (1)求当x 0时，函数y的值
（2）求当函数y的值是0时，自变量x的值。
【公开课】人教版九年级数学上册 22.1.1 二次函数(16张PPT）
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y=6x2 ,
m
1 2
n2
,
1 2
n
y=20x2+40x+20 ,
一次项
上述三个函数都是用自变量的二次式表示的。一般地，形如 y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，c分别是函数解 析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.
∵AB=12, ∴PB=12-2t,
∴S
=
1 2
PB•
BQ
=
1 2
(12
-
2
t)
•
4t＝-
4t
2
+
24Leabharlann t.∴ t的取值范围为0≤t≤6.
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拓展延伸
8.m为何值时，函数y (m 4)xm25m6 mx是关于x的二次函数.