典型问题讲学案---空间角(必修二)

典型问题讲学案---空间角（必修二）

异面直线所成的角

【基础知识】

1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的锐角（或直角）

叫做 。 2.范围： ⎥⎦

⎤

⎝

⎛∈2,

0πθ

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并

解三角形求角。 （2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公

式a =

><=cos cos θ

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ⋅

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

),,(111z y x = ),,(222z y x =2

2

22222

1

2

12

12

12121c o s z y x z y x z z y y x x ++++++=

∴θ

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直

线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 21=

【例题讲练】 例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111A B C D A B C D

-中， 12A A A B

=，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为

例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的

角的余弦值。

方法一：过

B 点作 A

C 的平行线（补形平移法） 方法二：过AC 的中点作BD1平行线

方法三：（向量法）

A B 1

B 1

A 1D 1

C C D

例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90

底面ABCD ，且

1

2

PA AD DC ===

，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD

，AB =1BC =，2PA =， E 为PD 的中点 求直线AC 与PB 所成角的余弦值；

1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 。

2.正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，则OA 1和BD 1所成角的大小为 。

3.已知l 为异面直线a 与b 的公垂线，点a p ∈，若a 、b 间距离为

2，点P 到l 的距离为2，P 到b 的距离

为5 ，则异面直线a

4.如图正三棱柱ABC-A 1

A 1

B 1，A 1

C 1

5.如图PD ⊥平面ABCD,AB=2AD=2DP ，E 为（1）AP 与BE （2）若∈F 直线PD 1. θ=30˚行吗？

2. θ=75˚时；

DP

DF

6.空间四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 与各边长均为1，O 为BCD ∆的重心，M 是AC 的中点，E 是 AO

的中点，求异面直线OM 与BE 所成的角 。

7.空间四边形ABCD 中AB=BC=CD ，∠BCD=∠ABC=120˚，AB ⊥CD ，M 、N 分别是中点（1）AC 和BD 所成的角为 。（2）MN 与BC 所成的角为 。

8.已知正方体AC 1中， （1）E 、F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点， 则AE 与CF 所成的角为 （2）M 、N 分别是AA 1，BB 1的中点，

则CM 和D 1N 所成的角是 。

9、如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；

直线和平面所成的角

【基础知识】

1.定义： （①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③αα//l l 或⊂）

2.直线与平面所成角范围是 。

3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）

4. 求法： 几何法 公式法 问量法

（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。

（3）向量法：设直线a 与平面α所成角为θ，直线a 的方向向量与面α的法向量分别是,, 则><=cos sin θ A B C D P

E F

【例题讲解】

例1、在长方体AC 1中，AB=2，BC=CC 1=1，求 （1）CD 与面ABC 1D 1所成的角 （2）A 1C 与平面ABC 1D 1所成的角 （3）A 1C 与平面BC 1D 所成的角

例2、四面体ABCD 中，所有棱长都相等，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的余弦值。

例3、（2007高考全国卷1）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =

∠，2AB =

，BC =

SA SB == （Ⅰ）证明SA BC ⊥；

（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．

例4、如图,2,1l l 是互相垂直的异面直线，M 、N 分别在2,1l l 上，且MN ⊥1l ，MN ⊥2l ，点AB 在1l 上，C 在2l 上，AM=MB=MN 。 （1）证明：AC ⊥NB

（2）若∠ABC=60˚，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。(3

3

)

1、（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1

1为三角形ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值等于 2、（2008上海高考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BC 的中点。求直线DE 与 平面ABCD 所成角的余弦值。 L2C

A

E B 1

D 1

D C 1

A 1

B

C D C A

S