线性代数期末试卷及解析(4套全)2019科大

线性代数期末试卷（一）
一、填空题（每小题3分）
（4）设12243311t -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
A ，
B 为3阶非零矩阵，=AB 0，则t =_________.
解：3-.
若||0≠A ，则A 可逆，由=AB 0知，=B 0，与B 为非零矩阵矛盾， 故 有||0=A . 122||0
811(8)77117(3)0
7
7
t t t -==-=-⋅+⋅=+-A 行
，
所以 3t =-.
二、选择题（每小题3分）
（4）设111122232333,,a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ααα，则三条直线
1110a x b y c ++=
2220a x b y c ++= （其中22
0,1,2,3i i a b i +≠=）
3330a x b y c ++=
交于一点的充要条件是
（A ）123,,ααα线性相关； （B ）123,,ααα线性无关；
（C ）秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα； （D ）123,,ααα线性相关，12,αα线性无关. 解：（D ）正确.
1
12
2123
3(,)a b a b a b ⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A αα，1
1
12
221233
33(,,)a b c a b c a b c -⎛⎫ ⎪
=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ααα 三条直线交于一点的充要条件是方程组3x y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
A α有唯一解，当且仅当()()r r =A A ，且r n =时成
立，即()()2r r ==A A ，这说明12,αα线性无关，123,,-ααα线性相关，也就是123,,ααα线性相关，
12,αα线性无关，故选（D ）.
仅123,,ααα线性相关，不足以保证()()r r =A A ，可能无解，故（A ）不对. 123,,ααα线性无关，()2()3r r =<=A A ，无解，（B ）不对.
当12312(,,)(,)r r =ααααα，说明方程组有解，但无法确保解唯一，故（C ）不对.
七、（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题6分，满分11分）
（1）设B 是秩为2的54⨯的矩阵，T T
12(1,1,2,3),(1,2,4,1),==--αα T 3(5,1,8,9)=--α是齐次
线性方程组=Bx 0的解向量，求x =B 0的解空间的一个标准正交基.
解：因秩()2r =B ，故解空间的维数为422-=. 又 12,αα线性无关，故12,αα是解空间的基. 取 T
11(1,1,2,3)==βα，
2122111(,)(,)=-
αββαβββT T 1(1,1,4,1)(1,1,2,3)3=---T 4210
(,,,2)333=--，
故
T T 122,3),2,1,5,3)==--εε 即是所求的一个标准正交基.
（2）已知111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
A 的一个特征向量.
（i ）试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值；
（ii ）问A 是否相似于对角阵？说明理由. 解：
（i ）由2
121()5310.121a b --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
-=---= ⎪⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭
I A ξλλλλ
即 2120,530,120,a b -++=⎧⎪
-+-+=⎨⎪---=⎩
λλλ
解得 3,0,1a b =-==-λ.
（ii ）由3212212533,||5
33(1),102102---⎛⎫
⎪
=--=-+-=+ ⎪ ⎪--+⎝⎭
A I A λλλλλ 知
1=-λ是A 的三重特征值.
但 秩312()5232101r r --⎛⎫
⎪
--=--= ⎪ ⎪⎝⎭
I A ，
从而1=-λ对应的线性无关特征向量只有一个，故A 不能相似于对角阵.
八、（本题满分5分）
设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . （1）证明B 可逆； （2）求1
-AB .
解 （1）因||0≠A 及||||0=-≠B A ，故B 可逆.
（2）记ij E 是由n 阶单位矩阵的第i 行和第j 行对换后所得到的初等矩阵，则ij =B E A . 因而 1
1111
()ij ij ij ij -----====AB
A E A AA E E E .
线性代数期末试卷（二）
试卷（二）
一、填空题（每小题3分）
（5）已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t =-==-ααα的秩为2，则t =__________. 解： 3 .
13212111211045204522000422t t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−
→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭行ααα121104520030t -⎛⎫ ⎪
−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭
行 由向量组123,,ααα秩为2，知3t =.
三、（6）（本题满分5分）
已知111011001-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
A ，且2-=A A
B I ，其中I 是三阶单位矩阵，求矩阵B .
解：由
2
()-=-=A AB A A B I ，及||10=-≠A ，知1
--=A B A ，
即 1
-=-B A A ，
又 1
112011001---⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
A .
从而 11111202101101
1000001001000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B .
四、（本题满分8分）
λ取可值时，方程组1231231
2321,
2,4551
x x x x x x x x x +-=⎧⎪
-+=⎨⎪=-=-⎩λλ无解，有唯一解或有无究多解？并在有无穷多解时写出方
程组的通解.
解法1 原方程组的系数行列式
22
1
1154(1)(54),4
5
5
-∆=-=--=-+-λ
λ
λλλλ 故当1≠λ，且4
5
≠-λ时，方程组有唯一解. 当1=λ原方程组为
1231231
2321,2,455 1.
x x x x x x x x x +-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=-⎩
对其增广矩阵施行行初等变换：
211103331112111245510999---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111201110000-⎛⎫
⎪
→-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为123
1,1,().x x k x k k =⎧⎪
=-+⎨⎪=⎩为任意实数
[或T T T
123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].
当4
5
=-
λ时，原方程组的同解方程组为 1231231
2310455,45510,4551,
x x x x x x x x x --=⎧⎪
+-=-⎨⎪+-=-⎩
对其增广矩阵施行行初等变换：
10455104554
55104551045510009----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
， 由此可知当4
5
=-λ时，原方程组无解.
解法2 对原方程组的增广矩阵施行行初等变换：
21
12111122103455165506--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→+-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝
⎭⎝⎭λ
λλ
λλλ211210354009-⎛⎫ ⎪
+- ⎪ ⎪+⎝⎭
λλλλ.
于是，当4
5=-λ时，原方程组无解，
当1≠λ且4
5
≠-λ时，原方程组有唯一解，
因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为123
1,1,().x x k x k k =⎧⎪
=-+⎨⎪=⎩为任意实数
[或T T T
123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].
线性代数期末试卷（三）
一、填空题（每小题3分）
（4）若二次型222
1231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是__________.
二次型的矩阵为2101
12012
t t ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
， 1阶顺序主子式为1, 2阶顺序主子式为
2110,311
=>阶顺序主子式为21
021
11
102220
1
1
2
2
t
t t
t =2
202t -=>，
故2
20t -
>，即
t <<
二、选择题（每小题3分）
（3）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 （A ）122331,,++-αααααα （B ）1223123,,2++++ααααααα （C ）1223212,2,3+++αααααα
（D ）123123123,2322,355++-++-ααααααααα
解：（C ）正确
对于（A ）向量组：考虑线性式112223331()()()k k k ++++-=αααααα0
即 112233123(,,)k k k ⎛⎫ ⎪
++-= ⎪ ⎪⎝⎭αααααα0
112323101()110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ααα0
因为123,,ααα线性无关，所以123101110011k k k -⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
0.
因为101110011-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
不可逆，故上式有非零解，故（A ）向量组线性相关，故（A ）不正确. 因此向量组
是否线性无关由对应的矩阵是否可逆而定，对于（B ）有
1223123(,,2)++++=ααααααα123101(,,)112011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααα，因为101112011⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
不可逆，故（B ）向量组线
性相关. 对于（C ）有122321(2,2,3)+++=αααααα 123101(,,)220033⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
ααα，对于（D ）有
123123123(,2322,355)++-++-=ααααααααα 123123(,,)1351225⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
ααα. 因为（D ）中矩阵
1231351225⎛⎫
⎪
- ⎪
⎪
-⎝⎭
不可逆，而（C ）中矩阵101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是可逆阵，故（C ）正确. （4）设,A B 为同阶可逆矩阵，则
（A ）=AB BA ；
（B ）存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ； （C ）存在可逆矩阵C ，使T
=C AC B ； （D ）存在可逆矩阵P 和Q ，使=PAQ B . 解：（D ）正确
因为,A B 是同阶可逆矩阵，不妨设阶数为n ，于是它们都与n 阶单位阵E 等价，故A 与B 等价. （A ）说的是,A B 可交换； （B ）说的是,A B 相似 （C ）说的是,A B 合同
显然,A B 同阶且可逆不能保证上述三种结论成立. （D ）说的恰是,A B 等价，故选（D ）.
九、（本题满分6分）
设A 为n 除非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 T *
T 0,,||b ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
I
A P Q A
A ααα 其中*
A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵。

（1）计算并化简PQ ；
（2）证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是T 1
b -≠αA α. 解：（1）因*
*
||==AA A A A I 。

故 T *
T 0,||b ⎛⎫⎛⎫=
⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
I
A PQ A
A ααα
T *T
T *||||b ⎛
⎫= ⎪-+-+⎝⎭A A A A A A ααα
ααT 10||(b -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
A A A ααα
（2）由（1）可得
2
T
1
||||()b -=-PQ A A αα； 而||||||=⋅PQ P Q ，且||||0=≠P A ，故 T 1
||||()b -=-Q A A αα.
由此可知，||0≠Q 的充分必要条件为T 1b -≠A αα，即矩阵Q 可逆的充分必要条件是T 1
b -≠A αα.
十、（本题满分10分）
设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3；矩阵A 的属于特征值1,2，的特征向量分别是T T 12(1,1,2),(1,2,1),=--=--αα （1）求A 的属于特征值3的特征向量； （2）求矩阵A .
解：（1）设A 的属于特征值3的特征向量为
T 3123(,,)x x x =α.
因为对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以
T 130=αα和T
230=αα，
即123,,x x x 是齐次线性方程组 1231230,
20
x x x x x x --+=⎧⎨
--=⎩
的非零解，解上列方程组，得其基础解系为T
(1,0,1). 因此A 的属于特征值3的特征向量为
T
3(1,0,1)k =α（k 为任意非零常数）.
（2）令矩阵
111120111-⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
P ，
则有 1
100020003-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，即11000
20003-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A P P . 由于 1
1/31/31/31/61/31/61/201/2---⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭P ，
可见 1100132
51020210
2600352
13--⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪==- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
A P P .
线性代数期末试卷（四）
一、填空题（每小题3分）
（3）设n 矩阵01111101111
10111110111110⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭A L L L L L
，则||=A __________. 解：1
(1)(1)n n --⋅-.
1|A
111111*********(1)
1110111010
n =-L L
L L L
1
111101
0000100(1)
000100
1
n --==---L L
L L L
行
1
(1)(1)n n -=-⋅-.
二、选择题（每小题3分） （3）同试卷（三）之二、（3）.
（4）非齐次线性方程组=Ax b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 （A ）r m =时，方程组=Ax b 有解； （B ）r n =时，方程组=Ax b 有唯一解； （C ）m n =时，方程组=Ax b 有唯一解； （D ）r n <时，方程组=Ax b 有无穷解； 解：（A ）正确
方程组有解的充要条件为：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即()().r r =A A 当r m =时，A 满秩，必有()()r r =A A ，故选（A ）.
r n =表示A 列满秩，m n =表示A 是方阵，r n <表示秩数小于列数，都不能保证=Ax b 有解，当然谈不上解的唯一与无穷多解，故（B ）、（C ）、（D ）都不对.
九、同试卷（三）、九
十、（本题满分9分）
设矩阵A 与B 相似，且
11124233a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，20002000b ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
B
（1）求a 和b 的值；
（2）求可逆矩阵P ，使1-=P AP B 解：（1）A 的特征多项式为
1
11||2
4
2
3
3
a
λλλλ---=---I A (2)[(3)3(1)]a a λλλ=--++-2
由~A B 可知，A 与B 有相同的特征值1232,b λλλ===，由于2是A 的二重特征值，因此，2是方程
2
(3)3(1)0a a λλ-++-= 的根，把12λ=代入上式，得5a =. 因此，有
22
||(2)(812)(2)(6),λλλλλλ-=--+=--I A 于是，36b λ==.
（2）当2λ=时，求解齐次线性方程组(2)-=I A X 0，其基础解系为T T
12(1,1,0),(1,0,1).=-=αα
当6λ=时，求解齐次线性方程组(6)-=I A X 0，其基础解系为T
3(1,2,3)=-α.
令 123111(,,)102013⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭
P ααα，则有1
-=P AP B .。