11第十一章全等三角形--2012年3月中考数学一轮复习精品讲义(含2011中考真题)2

第十一章全等三角形

本章小结

小结1 本章概述

本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学习如何利用全等三角形进行证明．学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定．全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础．

小结2 本章学习重难点

【本章重点】1．全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法．

2．角平分线的性质及判定．

3．理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．

【本章难点】1．根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识．

2．角平分线的性质和判定的正确运用．

3．用综合法证明的格式．

小结3 学法指导

1．注意在探究中掌握结论．

2．三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论．

3．注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据．

4．注重联系实际．

5．注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧．

知识网络结构图

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1 三角形全等的判定与性质的综合应用

【专题解读】三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用S A S，A S A，AA S，SSS，H L中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题．

例1 如图11-113所示，BD，CE分别是△AB C的边AC和AB上的高，

点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，C Q＝AB．

（1）求证AP＝A Q；

（2）求证AP⊥A Q．

分析（1）欲证AP＝A Q，只需证对应的两个三角形全等，即证△ABP

≌△Q CA即可．（2）在（1）的基础上证明∠P A Q＝90°．

证明：（1）∵BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°．

在Rt△AEC和Rt△ADB中，

∠ABP＝90°－∠BAD，∠ACE＝90°一∠DAB，

∴∠ABP＝∠ACE．

在△ABP和△Q CA中，

BP＝CA（已知），

∠ABP＝∠ACE（已证），

AB＝Q C（已知），

∴△ABP≌△Q CA（S A S）．

∴AP＝A Q（全等三角形的对应边相等）．

（2）∵△ABP≌△Q CA，

∴∠P＝∠CA Q（全等三角形的对应角相等）．

又∵∠P＋∠P AD＝90°，

∴∠CA Q＋∠P AD＝90°，

即∠Q AP＝90°，∴AP⊥A Q．

例2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等．试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．

分析运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论．

已知：如图11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，且AD＝A′D′．

判断∠B和∠B′的关系．

解：∠B＝∠B′．理由如下：

∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，

∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．

在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，

,

, AB A B AD AD

''

=

⎧

⎨

=

⎩

∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（H L）．

∴∠B＝∠B′（全等三角形的对应角相等）．

规律·方法边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上

诸元素中选取三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题．例3 如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠

DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上

的F处，你能获得哪些结论?

分析对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等

不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题．

解：①AD＝AF，ED＝EF＝EC，BC＝BF．

②AD十BC＝AB，DE＋EC＝2EF．

③∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠D＝∠AFE，∠C＝∠EFB，∠DEA＝∠FEA，

∠CEB＝∠FEB．

④∠AEB＝90°或EA⊥EB．

⑤S△DAE＝S△EAF，S△ECB＝S△EFB.

【解题策略】本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键．需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形．（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．

专题2全等三角形的性质及判定的实际应用

【专题解读】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大．

例4 如图11-116所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由．

分析本题欲确定影子一样长，实际就是证明BC与B′C′相等，

而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等．

解：影子一样长．理由如下：

因为AB⊥BC，A′B⊥B′C′，

所以∠ABC＝∠A′B′C′＝90°．

因为AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′．

在△ABC和△A′B′C′中，

∠ABC＝∠A′B′C′,

∠ACB＝∠A′C′B′,

AB＝A′B′,

所以△ABC≌△A′B′C′（AAS），

所以BC＝B′C′（全等三角形的对应边相等）．

专题3 角平分线的性质及判定的应用

【专题解读】此部分内容单独考查时难度不大，要注意角平分

线的性质及判定的区别与联系．