中考数学二次函数的综合复习含详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1

2

x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）点P（4，6）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣1

2

t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由

S△PAB=S△PAN+S△PBN=1

2

PN•AG+

1

2

PN•BM=

1

2

PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数

的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣1

2

，

所以抛物线解析式为y=﹣1

2

（x﹣6）（x+2）=﹣

1

2

x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB 解析式为y=kx+b ，

将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：

660b k b =⎧⎨+=⎩

， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩

， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，

设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣

12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12

t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN

=12PN•AG+12

PN•BM =12PN•（AG+BM ） =

12

PN•OB =12×（﹣12

t 2+3t ）×6 =﹣32

t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；

（3）如图2，

∵PH⊥OB于H，

∴∠DHB=∠AOB=90°，

∴DH∥AO，

∵OA=OB=6，

∴∠BDH=∠BAO=45°，

∵PE∥x轴、PD⊥x轴，

∴∠DPE=90°，

若△PDE为等腰直角三角形，

则∠EDP=45°，

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，

则当y=6时，﹣1

2

x2+2x+6=6，

解得：x=0（舍）或x=4，

即点P（4，6）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

2．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（1

4

，y1），D（

3

4

，y2）

都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞

5；（3）①当0＜b＜1

2

时，y1＞y2，②当b＝

1

2

时，y1＝y2，③当

1

2

＜b＜

4

5

时，y1＜

y2．

【解析】

【分析】

（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；

（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】

（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，

∴M的坐标是（b，4b+1），

把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，

∴点M在直线y＝4x+1上；

（2）如图1，

直线y＝mx+5交y轴于点B，

∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，

∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，

当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0）．

由图象，得

当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；

（3）如图2，

∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，

A（5，0），B（0，5）得

直线AB的解析式为y＝﹣x+5，

联立EF，AB得方程组

41

5 y x

y x

=+

⎧

⎨

=-+

⎩

，

解得

4

5

21

5

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

，

∴点E（4

5，

21

5

），F（0，1）．

点M在△AOB内，

1＜4b+1＜21

5

，

∴0＜b＜4

5

．

当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣1

4

＝

3

4

﹣b，∴b＝

1

2

，

且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，

综上：①当0＜b＜1

2

时，y1＞y2，