高三数学平面向量知识点与题型总结(文科)
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7、已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为( )
A．150°B．90°
C．60°D．ຫໍສະໝຸດ Baidu0°
8、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
9、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ ，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
二.平面向量的坐标表示
1 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 可表示成 ，记作 =(x,y)。
2 平面向量的坐标运算：
(1)若 ，则
(2)若 ，则
(3)若 =(x,y)，则 =( x, y)
(4)若 ，则
(5)若 ，则
若 ，则
三．平面向量的数量积
1 两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 · =︱ ︱·︱ ︱cos
2、向量加法：设 ，则 + = =
（1） ；（2）向量加法满足交换律与结合律；
，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量
②向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，③作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点）
12、如图，在 中， a， b,M为OB的中点，N为AB的中点，P为ON、AM的交点，则 等（）
A a bB a b
C a bD a b
13．△ABC中，AB边的高为CD，若 ＝a， ＝b，a·b＝0，
|a|＝1，|b|＝2，则 ＝()
a－ ba－ b
a－ ba－ b
14．(2012·郑州质检)若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为()
(1)若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
4、已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与 同向的单位向量是( )
5、在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点， ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的值为( )
D．1
6、已知两个单位向量e1，e2的夹角为 ，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
叫做 与 的数量积（或内积） 规定
2 向量的投影：︱ ︱cos = ∈R，称为向量 在 方向上的投影 投影的绝对值称为射影
3 数量积的几何意义： · 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积
4 向量的模与平方的关系：
5 乘法公式成立：
；
6 平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
4、实数与向量的积：实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ； （Ⅱ）当 时，λ 的方向与 的方向相同；当 时，λ 的方向与 的方向相反；当 时， ，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 =
6、平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
特别注意：（1）结合律不成立： ；
（2）消去律不成立 不能得到
（3） =0 不能得到 = 或 =
7 两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量 ，则 · =
8 向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则∠AOB= （ ）叫做向量 与 的夹角
cos = =
当且仅当两个非零向量 与 同方向时，θ=00，当且仅当 与 反方向时θ=1800，同时 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
A．12B．2
C．3 D．6
15．(2012·山西省四校联考)在△OAB(O为原点)中， ＝(2cosα，2sinα)， ＝(5cosβ，5sinβ)，若 · ＝－5，则△OAB的面积S＝()
C．5
16、若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )．
．
【课后练习题】
1．下列等式：①0 a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0 a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是( )
－1B．1C. D．2
17、已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足 ＝λ ， ＝(1－λ) ，λ∈R，若 · ＝－ ，则λ＝( )．
18如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)．
(1)求顶点D的坐标；
(2)若 ＝2 ，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．
A．2B．2
C．4D．4
10、已知向量a＝(sinx,1)，b＝ .
(1)当a⊥b时，求|a＋b|的值；
(2)求函数f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．
11、已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－ sin2x)，b＝(cosx,1)(x∈R)．
(1)求f(x)的周期和单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝ ， · ＝3，求边长b和c的值(b>c)．
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
9 垂直：如果 与 的夹角为900则称 与 垂直，记作 ⊥
10 两个非零向量垂直的充要条件：
⊥ · ＝O 平面向量数量积的性质
【练习题】
1、给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则 ＝ 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
3、设两个非零向量a与b不共线．
A．150°B．90°
C．60°D．ຫໍສະໝຸດ Baidu0°
8、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
9、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ ，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
二.平面向量的坐标表示
1 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 可表示成 ，记作 =(x,y)。
2 平面向量的坐标运算：
(1)若 ，则
(2)若 ，则
(3)若 =(x,y)，则 =( x, y)
(4)若 ，则
(5)若 ，则
若 ，则
三．平面向量的数量积
1 两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 · =︱ ︱·︱ ︱cos
2、向量加法：设 ，则 + = =
（1） ；（2）向量加法满足交换律与结合律；
，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量
②向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，③作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点）
12、如图，在 中， a， b,M为OB的中点，N为AB的中点，P为ON、AM的交点，则 等（）
A a bB a b
C a bD a b
13．△ABC中，AB边的高为CD，若 ＝a， ＝b，a·b＝0，
|a|＝1，|b|＝2，则 ＝()
a－ ba－ b
a－ ba－ b
14．(2012·郑州质检)若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为()
(1)若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
4、已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与 同向的单位向量是( )
5、在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点， ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的值为( )
D．1
6、已知两个单位向量e1，e2的夹角为 ，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
叫做 与 的数量积（或内积） 规定
2 向量的投影：︱ ︱cos = ∈R，称为向量 在 方向上的投影 投影的绝对值称为射影
3 数量积的几何意义： · 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积
4 向量的模与平方的关系：
5 乘法公式成立：
；
6 平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
4、实数与向量的积：实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ； （Ⅱ）当 时，λ 的方向与 的方向相同；当 时，λ 的方向与 的方向相反；当 时， ，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 =
6、平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
特别注意：（1）结合律不成立： ；
（2）消去律不成立 不能得到
（3） =0 不能得到 = 或 =
7 两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量 ，则 · =
8 向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则∠AOB= （ ）叫做向量 与 的夹角
cos = =
当且仅当两个非零向量 与 同方向时，θ=00，当且仅当 与 反方向时θ=1800，同时 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
A．12B．2
C．3 D．6
15．(2012·山西省四校联考)在△OAB(O为原点)中， ＝(2cosα，2sinα)， ＝(5cosβ，5sinβ)，若 · ＝－5，则△OAB的面积S＝()
C．5
16、若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )．
．
【课后练习题】
1．下列等式：①0 a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0 a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是( )
－1B．1C. D．2
17、已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足 ＝λ ， ＝(1－λ) ，λ∈R，若 · ＝－ ，则λ＝( )．
18如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)．
(1)求顶点D的坐标；
(2)若 ＝2 ，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．
A．2B．2
C．4D．4
10、已知向量a＝(sinx,1)，b＝ .
(1)当a⊥b时，求|a＋b|的值；
(2)求函数f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．
11、已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－ sin2x)，b＝(cosx,1)(x∈R)．
(1)求f(x)的周期和单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝ ， · ＝3，求边长b和c的值(b>c)．
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
9 垂直：如果 与 的夹角为900则称 与 垂直，记作 ⊥
10 两个非零向量垂直的充要条件：
⊥ · ＝O 平面向量数量积的性质
【练习题】
1、给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则 ＝ 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
3、设两个非零向量a与b不共线．