2 一元二次方程根的分布课件(专题)
一元二次方程根的分布课件
f(1)=2m-2 <0
mm1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 . 2）内
(m 3)2 4m 0
0
3
m
2
2
f (0) m 0
m
2 3
m
1
f (2) 3m 2 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
f (m ) 0
f(k1 )f(k2 )<0
f f
(n ) (p)
0 0
f ( q ) 0
• 例：若抛物线y=x2+ax+2与连接 两点M(0,1),N(2,3)的线段 (包括M,N两点)有两个相异的交点, 求a的取值范围
f
(0)
m
0
f (4) 5m4 0
m
4 5
m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K
y
一个根小于K，一个 根大于K
k
kx
k
小
结
0
b 2a
k
0
b 2a
k
f ( k ) 0 f ( k ) 0
一个根正，一个根负
f(k)<0 , f(0)<0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系ppt
$x_1\cdot x_2=c/a$
两个根的积等于常数项除以二次项系数所得的商。
03
一元二次方程的系数
系数与方程的解
确定方程的系数
在一元二次方程中，系数包括二次项、一次项和常数项。这 些系数来自以确定方程的解。解的公式
通过代入公式，可以将一元二次方程的解计算出来。公式为 ：x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a)。
ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数，且a≠0
一元二次方程性质
当a>0时，有两个不相等的实数根；当a=0且b≠0时，有一个 实数根；当a<0时，没有实数根。
02
一元二次方程的根
根的类型与判别式
1 2
实数根
当判别式$b^2-4ac\geq0$时，方程有两个不 相等的实数根。
虚数根
当判别式$b^2-4ac<0$时，方程有一对共轭虚 数根。
结合数学建模思想 ，解决现实问题
探索方程根的分布 与特征
学习建议
熟练掌握一元二次方程根与系数的关系 培养数学思维和计算能力
拓展数学知识面，提高综合素质
THANKS
3
重根
当判别式$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的 实数根。
特殊方程的根
恒等方程
当$b=0$，$c=0$时，方程有一组特殊解$x_1=0$，$x_2=0$。
一次因式分解
当$b=0$时，方程可因式分解为$x(x-a)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=a$。
根与系数的关系
$x_1+x_2=-b/a$
一元二次方程一元二次方程的根与 系数的关系ppt
一元二次方程根的分布【公开课教学PPT课件】
充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：
b2 4ac 0
（）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n不是 方程（1）的根.
b2 4ac 0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的
充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
（2）判别式 b2b 4ac
（3）对称轴
x 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
0
k1
பைடு நூலகம்
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
一元二次方程的根的分布PPT教学课件
y
y
y
a
0
cb
x 0 ac
b
x 0a
bx
2020/12/09
3
例（1）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个正根，求m的取值范围；
（2）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个负根，求m的取值范围；
（3）方程x2+(m-3)x+m=0有 一正一负根，求m的取值范围；
（4）方程x2+(m-3)x+m=0有两个
一元二次方程的根的分布Leabharlann 2020/12/091
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)＝0的实
数x叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系中
y=f(x)的图像与x轴的公共点是(x, 0)点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
2020/12/09
2
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。
（7）方程x2+(m-3)x+m=0的一根
大于-2小于0，另一根大于0小于4，
求m的取值范围；
2020/12/09
6
（8）方程x2+(m-3)x+m=0的两根 都在(0，2)内，求m的取值范围；
（9）方程x2+(m-3)x+m=0有两根 且仅有一根在(0，2)内，求m的取 值范围；
2020/12/09
根都小于1，求m的取值范围；
2020/12/09
4
1. 抛物线开口方向
人教A版(2019)高中数学必修第一册课件：2.3.3一元二次方程的根的分布问题
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】 人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
0
4.方程两根都大于m (x1 m) • (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】 人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K
y
y
一个根小于K，一个 根大于K
y
kx
k
x
k
x
0
方程两根都大于m
0
f (m) 0
b
m
2a
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
（5） 一个根大于1，一个根小于1
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
y
f(1)=2m-2 <0
代数方法
b2 4ac 0
2 方程有两个负根 x1 x2 0
x1 • x2 0
几何方法 方程两根都小于m
（m=0)
0
f
(m)
0
b
m
2a
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
高考数学一轮复习 第二章-素能培优(一)一元二次方程根的分布课件
= − ≥ ,
解法二 设方程 − + = 的两根为 , ，依题意有， + = ,
因为
= ,
, 都大于1，所以 + > ，且 − − > ，显然 + > 成立.由
− − > ，得 − + + > ，则有 − + > ，解得 > .
≠ −时，若二次函数只有一个零点，则
=
−
+
− × + × − = ，解得 = ，此时的零点为
= − ，不满足题意：若二次函数有两个零点，有且只有一个零点在区间
, 内，则 = − + <
−
f 2 = 4 + 2 m − 1 + m2 − 2 > 0,
−1−2 7
3
≤m≤
−1+2 7
,
3
即 −3 < m < −1,
m < −2或m > 1,
m < −2或m > 0,
解得−
1+2 7
3
≤ m < −2.故m的取值范围为[−
1+2 7
, −2ሻ.
3
（1）已知方程x 2
［对点训练2］
+ ax + 2 = 0有两个根，一个根在
f m ⋅f n <0
_______________________
f m f n < 0,
f p f q <0
专题一元二次方程根的分布(解析版)
专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.知识梳理分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）知识结模块一：得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f综合结论（不讨论）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由典例剖析()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.5050021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线． （1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。
一元二次方程根的分布理论 课件——2022届高三数学一轮复习
x
问题：方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0，
求m的范围.
(5)两个根都在(0，2)内
解：设f(x)＝ x2＋(m-3)x＋m，要使二次函数与x轴的交
点在0与2的之间，由图像知只需满足以下条件：
m 32 4m 0
0 3 m 2 2
f
0
m
0
m
2 3
m 1
y
f 2 3m 2 0
交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：
f 0=m<0 m m 0
与对称轴有关需要画出y轴， 与y轴无关的只需要画出x轴.
0
x
问题：方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0，
求m的范围.
(4) 一个正根，一个负根且正根绝对值较大
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
m 32 4m 0
0
m m0
y
f 0 m 0
o
x
问题：方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0，
求m的范围.
(7) 一个根大于1，一个根小于1
解：设f(x)＝ x2＋(m-3)x＋m，要使二次函数与x轴的交
点在x轴上1的两边，由图像知只需满足以下条件：
f (1) 2m 2 0 m m 1
1
x
问题：方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0，
解：设f(x)＝ x2＋(m-3)x＋m，要使二次函数与x轴的交
点在x轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：
＝(3 m)2 4m 0
b = 3 m >0 2a 2
m|0 m1
f 0 =m>0 y
一元二次方程根的分布(PPT)3-1
一、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的根的问题，常利用韦达 定理和判别式来解。常用结论有：1 方Leabharlann 有两个正根2 方程有两个负根
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
思考一：他们的相同点
思考二：他们不同之处
思考三：还有哪些问题？
思考四：如何解答
•
诗人；白居易：唐代大诗人：董源：五代十国南唐画家；李清照：南宋女词人；姜夔：南宋音乐家；梁楷：南宋画家；关汉卿：元代戏曲家；马致 远：元代戏曲家；赵孟俯：元代书画家；王蒙：元末画家；朱耷：清初画家；曹沾（即曹雪芹）：清代文学家；鲁迅：中国近代文学家。[8]在天 文学家创建详细的水星地图之前，SolitudoHermaeTrismegisti(荒芜的HermesTrismegistus)被认为是水星的一大特色，覆盖了行星/的东南象限。 墨丘利，是在古斯塔夫·霍尔斯；股票入门基础知识 股票入门基础知识 特的音乐，行星组曲中运动的四棱使者。“信使 ”号撞击水星美国航天局日宣布，“信使”号水星探测器燃料即将耗尽，可能将于日以撞击水星的方式结束使命。“信使”号于年8月升空，经过 约年半的飞行于年月进入绕水星运行轨道。美国航天局副局长约翰·格伦斯菲尔德对“信使”号给予高度评价，认为该任务第一次让人们真正认识 了水星。他说，尽管“信使”号的旅程即将结束，但分析其所获数据的旅程才刚刚开始，这些数据将帮助解开水星的各种谜团。据美国航天局介绍 ，本月日，地面人员还将对“信使”号实施最后一次轨道调整，这一操作将基本耗尽“信使”号推进系统最后所剩的氦气。此后“信使”号将飞向 水星表面，预计将在月日以每秒.9公里的速度撞击水星背对地球的一关于金星的内部结构，还没有直接的资料，从理论推算得出，金星的内部结构 和地球相似，有一个半径约,公里的铁-镍核，中间一层是主要由硅﹑氧﹑铁﹑镁等的化合物组成的“幔”，而外面一层是主要由硅化合物组成的很 薄的“壳”。科学家推测金星的内部构造可能和地球相似，依地球的构造推测，金星地函主要成分以橄榄石及辉石为主的矽酸盐，以及一层矽酸盐 为主的地壳，中心则是由铁镍合金所组成的核心。金星的平均密度为.g/cm，次于地球与水星，为八大行星（冥王星已于年划归为矮行星，故称八 大行星）中第三位的。一个直径千米的铁质内核，熔化的石头为地幔填充大部分的星球。厚得多。就像地球，在地幔中的对流使得对表面产生了压 力，但它由相对较小的许多区域减轻负荷，使得它不会像在地球，地壳在板块分界处被破坏地质地貌编辑金星表面上有7%平原，%高地，%低地。在 金星表面的大平原上有两个主要的大陆状高地。北边的高地叫伊师塔地（IshtarTerra），拥有金星最高的麦克斯韦山脉（大约比喜马拉雅山高出 两千米），它是根据詹姆斯·克拉克·麦克斯韦命名的。麦克斯韦山脉（MaxwellMontes）包围了拉克西米高原（La
2019届高考数学(理)新课堂课件：2.11-一元二次方程根的分布(含答案)
考纲要求
考点分布 2011年新课标第10题考查 函数的零点存在性定理； 2013年新课标Ⅰ第2题考查 函数的零点存在定理； 2014年新课标Ⅰ第12题以 函数零点为背景，考查导 数的应用； 2016年天津第8题根据根的 分布求参数的范围
考情风向标 高考试题对该部分内 容考查的主要角度有 两种：一种是找函数 零点个数；一种是判 断零点的范围．另外 备考中应该特别注意 运用导数来研究函数 零点
3m－2 解：(1)方程有一正实数根和一负实数根⇔ <0⇒ 2m＋1 2 －1<m<3. Δ＝－8m＋2m－1≥0， 4m >0， (2)方程有两个负实根⇔2m＋1 3m－2 >0 2 m ＋ 1
2 ⇒m∈3，1∪[－2，－1).
(3)方程正根绝对值大于负根绝对值⇔
图 2-11-5 ⑨方程两根满足k1<x1<k2≤p1<x2<p2
a>0， fk1>0， ⇔fk2<0， fp <0， 1 fp2>0
a<0， fk1<0， 或fk2>0， fp >0， 1 fp2<0.
2 x | ax －ax＋1<0 ＝∅，则实数 a 的值的集合是 1.若集合 A＝
Δ＝－8m＋2m－1≥0， 4m <0， 2m＋1 3m－2 <0 2m＋1
⇒m∈(－1,0).
(4)当 m＋1＝0，即 m＝－1 时，原方程化为 4x＋5＝0，故 5 x＝－4； Δ＝－8m＋2m－1≥0， 当 m≠－1 时，方程有实根⇔ m＋1≠0 ⇒－2≤m≤1，且 m≠－1. 综上所述，－2≤m≤1 时，方程有实根.
高中数学3.2.4一元二次方程根的分布优秀课件
f(x)的图象
0 x1 x2 x
0
x1 x2
x
0
x
满足 条件1
xx11+x2x=2=ac-
b a
>0
>0
xx11+x2x=2=ac-
b a
<0
>0
c<0.
△=b2-4ac≥0. △=b2-4ac≥0.
满足 条件2
-
b 2a
>0
△=b2-4ac≥0
f(0)>0.
-
b 2a
<0
△=b2-4ac≥0
f(0)>0.
0
f
(3) 2
0
或f
(3) 2
0,
1 2
m
7. 2
m
4
3 2
5、 若 二 次 函 数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在 区 间 [-1,1]内 至 少 存 在 一 点 C(c,0),使 f(c)>0, 则 实 数 p的 取 值 范 围 为 __3 ，_32___
正难则反：
2.由“数” “形” “数”
的每一步转化都应是等价的 3.其中由“形〞到“数〞的转化常考 虑根:据图象列不等式(判别式、对称 轴、端点函数值)
【作 业】
1.方程x2-2mx+3=0的两根均大于1，求m 的取值范围. 2.方程x2-mx+2=0的两根一个大于1一个 小于1，求m的取值范围. 3.假设方程3x2－5x+a=0的一根在(-2, 0) 内，另一根在(1, 3)内，求x
-
b 2a
>k
△=b2-4ac≥0
f(k)>0.
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表〔每种情况对应的均是充要条件〕表一：〔两根与0的大小比拟即根的正负情况〕分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象〔<a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论〔不讨论a〕()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：〔两根与k 的大小比拟〕分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象〔<a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论〔不讨论a〕()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk表三：〔根在区间上的分布〕分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内〔图象有两种情况，只画了一种〕 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象〔>a 〕得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象〔<a 〕得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 综合结论〔不讨论a〕——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，〔图形分别如下〕需满足的条件是〔1〕0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； 〔2〕0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： 〔1〕两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：假设()0f m =或()0f n =，那么此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布问题课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
y
0
2
x
( m 3) 2 4m 0
3 m
2
2
0
m
m 1
2
3
f ( 0) m 0
f ( 2) 3m 2 0
探究新知
2．一元二次方程的根的非零分布——k 分布
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根为 x1，x2，且 x1≤x2.k 为常数．
或
f(p) > 0,
f(p)f(q) < 0
f(q) < 0
x1 <m< n<x2
f ( m) 0
f ( n) 0
x1∈(m，n) ，
x2∈(p，q) 。
探究新知
变式5：关于x的方程 x2+(m-3)x+m=0 ，求满足下列条
件时m的取值范围 .
（8）若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内，
f(0)f(2)=m(3m-2) <0
( m 3) 2 4 m 0
m<x1 < x2 <n
探究新知
变式3：关于x的方程 x2+(m-3)x+m=0 ，求满足下列条
件时m的取值范围 .
（6）若方程的一个根小于2，另一个根大于4，
f (2) 3m 2 0
f (4) 5m 4 0
4
m m
5
探究新知
2．一元二次方程的根的非零分布——k 分布
一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 , 2）内
(m 3) 2 4m 0 3 m 0 2 2 f (0) m 0 f (2) 3m 2 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（5） 一个根大于1，一个根小于1
f(1)=2m-2 <0
m m 1
b m< - 2a <n 7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内 △=b2-4ac≥0 y f(m)>0 f(n)>0. m n
m n
x
8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内. f(n)=0 f(m)=0 f(m)f(n)<0, 或 b m+n m< - 2a < 2 , 或 m+n < - b < n. 2a 2 思考 方程的两根有且只有一个在区间[m, n]上时等价于? 9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(n<p)内. f(m)>0 x 1∈(m,n) x ∈(p,q) m n p q f(n)<0 2 f(p)<0 f(q)>0.
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
1 （4） 两个根都大于 2 ( m 3) 2 4m 0 b 3 m 1 m 2 2 2a 1 6m 5 0 f ( 2) 4
5 m 1 6
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布一.知识要点二次方程ax2bx c 0的根从几何意义上来说就是抛物线y ax2bx c与x轴交点的横坐标，所以研究方程ax2bx c 0的实根的情况，可从y ax2bx c的图象上进行研究.若在（，）内研究方程ax2bx c 0的实根情况，只需考察函数y ax2bx c与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由y ax2bx c的系数可判断出，捲x2, x1 x2的符号，从而判断出实根的情况.若在区间（m, n）内研究二次方程ax2bx c 0，则需由二次函数图象与区间关系来确定.表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）)表二：（两根与k的大小比较）表三：（根在区间上的分布）分布情况内n内一n了m,画只在，根况一怖咖(ffl和在根q一P另, n内n m m,,在小根,q「PO 大致图象— > a得出的结论f m 0f n Off m f n 0或f p 0 f p f q 0 f q 0O 大致图象— > a得出的结论f m 0f n 0 f m f n 0或f p 0 f p f q 0f q 0综合结论—不讨论根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n夕卜，即在区间两侧x i m,X2 n，（图形分别如下）需满足的条件是(2) a 0时,(1) a 0 时,对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1)两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况:1 若f m 0或f n 0，则此时f m gf n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。
如方程mx2m 2 x 2 0在区间1,3上有一根，因为f 1 0，所以2 2 2 2mx m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为一，由1 — 3得一 m 2即为所求；m m 32 方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即0,此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
(新课标)高考数学大一轮复习-第七章 不等式及推理与证明 7 一元二次方程根的分布专题研究课件 文
5．求实数 m 的范围，使关于 x 的方程 x2＋2(m－1)x＋2m＋ 6＝0.
(1)有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小； (2)有两个实根 α，β ，且满足 0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根．
解得－75<m<－54.
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
Δ≥0， ①有两个正根，此时可得2f（（0m－）－2>10），>0，
m≤－1或m≥5，
即m>－3，
∴－3<m≤－1.
m<1，
②有一个正根，一个负根，此时可得 f(0)<0，得 m<－3. ③有一个正根，另一根为 0，此时可得62＋（2mm－＝10），<0， ∴m＝－3. 综上所述，得 m≤－1.
3．已知方程 4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0(m∈R)有两个负 根，求 m 的取值范围．
答案 [11，＋∞)
解析
Δ＝4（m－1）2－4×4（2m＋3）≥0， 依题意有－（m－1）<0，
2m＋3>0，
∴m≥11.
4．若方程 4x＋(m－3)·2x＋m＝0 有两个不相同的实根，求 m 的取值范围．
【定理 5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2
a>0，
a<0，
ff（ （kk12） ）><00， ，或ff（ （kk12） ）<>00， ， f（p1）<0， f（p1）>0，
f（p2）>0 f（p2）<0.
此定理可直接由定理 4 推出，请读者自证．
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f(x)
等式组
m2 4(m 3) 0
f
(1)
0
m6
x1 x2
01
x
m
1
2
转化为韦达定理的
法二：
不等式组
m2 4(m 3) 0 m 6或m -2
(x1 1)(x2 1) 0
x1x2
(
x1
x2
)
1
0
m
6
(x1 1) (x2 1) 0
x1
x2
2
0
变式题：m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx (3 m) 0
0
b 2a
k
f (k) 0
(2)方程两根都大于k(k为常数）
0
b 2a
k
f (k) 0
(3) x1 k x2 (k为常数）
f (k) 0
(4)k1 x1 x2 k2 (k1 , k2为常数）
0
k1
b 2a
k2
f
(k1
)
0
f (k2 ) 0
(5) x1 k1 k2 x2 (k1 , k2为常数）
解：由题
f(-1)f(0) 0 f(1)f(2) 0
(2m (4 m
1)(2m 1) 0 1)(8m 7) 0
1
4
1 2
m m
7 8
1 2
1m1
4
2
例3.就实数k的取值，讨论下列关于x的方程 解的情况： x2 2 x 3 k
解：将方程视为两曲线 y x2 2 x 3与y k相交，
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
由题意得： x y
y
3(0 x2 mx
x
1
3)
有两组实数解
整理得 x2 (m 1)x 4 0在[0,3]上有两个不同的实根.
0
故
0
m 1 2
3
f (0) 4 0
解得3 m 10 . 3
f (3) 9 3(m 1) 4 0
故m的取值范围是(3, 10 ] 3
一元二次方程的 实根分布问题
复习.函数零点
• 一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实 数x就做函数y=f(x)的零点.
由此得出以下三个结论等价：
• 方程f(x)=0有实根 • 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 • 函数y=f(x)有零点
实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
0
m 6或m 2
(2)
x1
x2
0
得
m 0
得：m 6
x1x2 0
m 3 0
(3) x1x2 0 得 m 3 0 得：m 3.
变式题：m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx (3 m) 0
有两个大于1的根.
法一：设 f (x) x2 mx (3 m) 由已知得：转助变于为图函像数，，解借不
结论：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)在区间上的
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的 充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
其交点横坐标便是方程的解，由图知：
k 4时，无解；
y
k = 4或k 3时，有两解；
4 k 3时有四个解；
k 3时有三个3 解.
x
4
例4.若二次函数y x2 mx 1的图像与两端点为A(0,3), B(3, 0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围.
解：线段AB的面，即：
（1）开口方向
b2 4ac
（2）判别式 x b
（3）对称轴
2a
f (m)
（4）端点值
的符号。
设f ( x) ax2 bx c(a 0) 一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的两根为x1 , x2 ( x1 x2 )
(1)方程两根都小于k(k为常数）
f f
(k1 ) (k2 )
0 0
(6) x1，x2有且只有一个根在（k1 , k2）内
0
k1
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0
b
k1 2a
k1
2
k2
k1
k2
或
f
(k2
)
0
k1
k2 2
b 2a
k2
(7)m x1 n p x2 q (m, n, p, q为常数）
1、当x为全体实数时的根
(1)当 b2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b2 4ac 0时， 方程没有实数根
2、当x在某个范围内的实根分布
★一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 在某个区间 上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
(8)方程有两个不相等的正根
0
可用韦达定理表达式来书写条件
x1
x2
0
0
x1 x2
0
也可
b 2a
0
f (0) 0
f (x)
x1
x2
0
x
(9)方程有两个不相等的负根
可用韦达定理表达式来书写条件
0
也可
b 2a
0
f (0) 0
f (x)
x1
x2
0
x
(10)方程有一正根一负根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
例1.m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx (3 m) 0
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
解： 寻求等价条件
(1) m2 4(3 m) 0 ，m2 4m 12 0 得：m 6或m 2.
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
有两个大于1的根.
=m2 4(3 m) 0
由求根公式，转化成含根式的 不等式组
法三：
x1
m
m2 4m 12 1
2
x2
m
m2 4m 12 1 2
m 6或m 2
解不等式组，得 m 2
m6
m2 4m 12 m2 4m 4
例2：（1）关于x的方程2kx2 2x 3k 2 0有两实根， 一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的范围.