第34节 经验贝叶斯估计讲解
Bayes(贝叶斯)估计
•
参数作为随机变量
• 条件分布： p(x1,x2,..xn | )
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几个学派（3）
• 信念学派：
• 带头人：Fisher
• 观点：概率是频率
•
主观不是概率，而是信念度
•
参数不是随机变量，仅是普通变量
• 似然函数： L( | x1,x2,..xn)
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批评1：置信区间
后验风险：
• Bayesian风险与后验风险
(L(,)p(x|) ()d)dx
• 后验分析最小＝>Bayesian风险最小
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两种常用损失函数：
• 平方损失：
L(,)()2
– 最小Bayesian风险估计：后验期望
• 点损失：
L(a,
)
0,|
a
|
1,|
a
|
– 最大后验密度估计
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• 3、联合分布密度－>条件分布密度
• p(x1,x2,..xn | )， 是随机变量
• 4、确定的先验分布() • 5、利用Bayesian公式求后验分布密度 • 6、使用后验分布做推断（参数估计、假设检验）
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例1：两点分布b(1,p)的
• 1. 联合分布：p(x|)nxx(1)nx
• 使得 h ( |r ) p (x |)* ( )与先验分布同类型
• 若p(x|)服从正态分布，选正态分布 • 若p(x|)服从两点分布，选Beta分布 • 若p(x|)服从指数分布，选逆Gamma分布
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Bayes统计推断问题
• 参数估计：
– 点估计 – 区间估计
贝叶斯估计
但是，通常我们并没有真正的先验知识或 者我们在贝叶斯估计时想更客观些，这时 可以选择无信息的先验(noninformative prior)。
或者可以从数据估计先验。这被称为经验
贝叶斯(empirical Bayes)。
H
26
反对贝叶斯学派的观点
后验分布( x1, x2 , …, xn )的计算公式就
是用密度函数表示的贝叶斯公式。它是用
总体和样本对先验分布( )作调整的结果，
贝叶斯统计的一切推断都基于后验分布进 行。
H
14
6.4.3 贝叶斯估计
基于后验分布( x1, x2 , …, xn )对 所作的
贝叶斯估计有多种，常用有如下三种：
➢ 使用后验分布的密度函数最大值作为 的 点估计，称为最大后验估计；
概率描述的是主观信念的程度，而不是频率 。这样除了对从随机变化产生的数据进行概 率描述外，我们还可以对其他事物进行概率 描述。
可以对各个参数进行概率描述，即使它们是 固定的常数。
为参数生成一个概率分布来对它们进行推导 ，点估计和区间估计可以H 从这些分布得到 6
批评1：置信区间
置信区间：
解释：区间[u1,u2]覆盖u的概率
观点：概率就是频率
参数就是参数
联合分布密度：p(x1,x2,..xn ; )
H
3
频率学派的观点
统计学更多关注频率推断
到目前为止我们讲述的都是频率（经典的）统计学
概率指的是相对频率，是真实世界的客观属性。
参数是固定的未知常数。由于参数不会波动，因 此不能对其进行概率描述。
统计过程应该具有定义良好的频率稳定性。如： 一个95％的置信区间应覆盖参数真实值至少95％ 的频率。
《贝叶斯估计》PPT课件
其中
B(
,
)
( )( ) ( )
，确定的随机变量
X
的分布称为贝塔分
布，记为beta(, )
贝塔分布beta(, ) 的均值 E( X )
，
方差Var( X
)
(
)2 (
1)
当 1时，贝塔分布退化整为理[p0p,1t ] 区间上的均匀分布。
19
信息验前分布
例 设事件 A 的概率为 ，为了估计 而作 n 次独立观察，其中事件 A 出现的次数为 X ，显然， X 服从二项分布 b(n, ) ，即
科全书》（数学卷）
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3
第一章先验分布与后验分布
统计学有两个主要学派:频率学派与贝叶斯学派. 它们之间有异同,贝叶斯统计是在与经典统计的争 论中发展起来,主要的争论有: 1.未知参数可否作为随机变量? 2.事件的概率是否一定的频率解释? 3.概率是否可用经验来确定?
……….
§1.1 先介绍三种信息的概念
如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶斯
公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝叶
斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.
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2
贝叶斯方法(Bayesian approach )
• 贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系 统地阐述和解决统计问题的方法(Samuel Kotz和 吴喜之,2000)。
第二步是从总体分布 p(x | ' ) 产生一个样本 x (x1, xn ) ，
这个样本是具体的，人们能看得到的，此样本 x 发生的概) p(xi | ') i 1
这个联合密度函数是综合了总体信息和样本信息，常称
为似然函数，记为 L( ') 。
《贝叶斯估计》PPT课件
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ
已有一个认识，这个认识就是先验分布π (θ )。通
过试验，获得样本。从而对θ 的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结
果就是后验分布 ( x1,。, xn后) 验分布是三种信息 的综合。获得后验分布使人们对θ 的认识又前进一
1)
,
x
0,1, n
( x)
(n 2)
x (1 )nx ,0 1
(x 1)(n x 1)
即
X ~ Be(x 1, n x 1)
9
贝叶斯统计学首先要想方设法先去寻求θ的先验分布。 先验分布的确定大致可分以下几步： 第一步，选一个适应面较广的分布族作先验分布族， 使它在数学处理上方便一些，这里我们选用β分布族
步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ的认识
由π(θ)调整到 应建立在后验分布
( 。x1,所,以xn)对θ的统计推断就 ( 的x1,基础, xn上) 。
7
例1 设事件A(产品为废品)的概率为 ，即P(A) 。 为了估计 而作n次独立观察，其中事件A出现次数
为X，则有X服从二项分布 b(n, )
第三章 贝叶斯估计
§3.1贝叶斯推断方法 一 、统计推断中可用的三种信息
美籍波兰统计学家耐(E.L.Lehmann1894~1981) 高度概括了在统计推断中可用的三种信息：
1．总体信息，即总体分布或所属分布族给我们 的信息。譬如“总体是指数分布”或“总体是正 态分布”在统计推断中都发挥重要作用，只要有 总体信息，就要想方设法在统计推断中使用。
假设Ⅱ 当给定θ后，从总体p(x|θ)中随机抽取一个样 本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信 息就是样本信息。
贝叶斯估计与贝叶斯学习
贝叶斯估计与贝叶斯学习贝叶斯估计和贝叶斯学习是人工智能领域中的两个重要概念，它们都基于贝叶斯概率理论，用于处理分类、预测、学习等问题。
本文将从以下三个方面分别介绍贝叶斯概率、贝叶斯估计和贝叶斯学习，并探讨其在人工智能中的应用。
一、贝叶斯概率贝叶斯概率是指在得到新的信息后更新一个事件的概率。
它与频率统计学不同，后者只考虑事件发生的次数。
贝叶斯概率的计算方式是：在一个先验概率的基础上，根据新的证据计算出后验概率。
例如，一个盒子中有10个红球和90个蓝球，我们可以估计从该盒子中取出一个球是红色的概率。
在频率统计学中，这个概率为10%。
但是，在贝叶斯概率中，我们可以加入新的证据，例如已知红球较大，可以根据这个证据重新计算出概率。
二、贝叶斯估计贝叶斯估计是指基于贝叶斯概率理论的统计学方法，用于估计一个未知参数的值。
它通常用于处理小样本数据，可以对先验知识进行建模，并且可以更新这些知识。
贝叶斯估计的基本过程是：1. 假设一个先验分布，表示我们对未知参数的知识，例如高斯分布。
2. 收集一些数据，根据这些数据计算出后验分布。
3. 利用后验分布对参数进行估计。
例如，一个硬币被抛10次，结果有7次为正面。
我们希望估计这个硬币正面朝上的概率。
在贝叶斯估计中，我们需要假设一个先验分布，例如beta分布。
基于已知的先验概率和实验结果，我们可以计算出后验分布，并对硬币正面朝上的概率进行估计。
三、贝叶斯学习贝叶斯学习是指利用贝叶斯估计方法进行的学习过程。
它与传统的机器学习不同，后者通常采用最大似然估计或者最小化损失函数来进行模型训练。
贝叶斯学习的基本过程是：1. 假设一个先验分布，表示我们对模型参数的知识，例如高斯分布。
2. 训练模型，根据观测数据计算出后验分布。
3. 利用后验分布对模型参数进行估计。
贝叶斯学习具有以下优点：1. 可以利用先验知识，避免过拟合。
2. 可以处理小样本数据，避免数据稀疏问题。
3. 可以自适应地更新模型，避免模型退化。
第3.4节 经验贝叶斯估计讲解
总体分布
参数
共轭先验分布
二分布
成功概率p
分布(,)
泊松分布
均值
分布()
指数分布
均值的倒数
分布()
正态分布 （方差已知）
正态分布（均 值已知）
均值 方差²
正态分布N(,²) 倒分布
二、参数经验贝叶斯估计
1、贝叶斯风险的定义
由第一小节内容可知，给定损失函数以后，风 险函数定义为
当X与都是离散型随机变量时，贝叶斯风险为
R(d ) E(R( ,d ))
g(x){ L( , d( x))h( | x)}
x
注 由上述计算可以看出，贝叶斯风险为计算两次 期望值得到,即
R(d ) E(E (L( , d( X )))
此风险大小只与决策函数d有关，而不再依赖 参数. 因此以此来衡量决策函数优良性更合理
在先验分布G( )未知时，如何计算
dG
(x)
(x
1)mG ( x mG ( x)
1)
由于历史样本X1, X2 , Xn均是从分布mG ( x)中抽取的独立
样本，故由这些样本可以对mG ( x)估计，根据泊松分布特
性可以得到mG ( x)的估计为
mˆ G ( x1, x2 ,
1
,
xn ,
x)
i 1
例4(p126例4.10) 设( X1, X2 , , Xn )T 是来自总体
B(1, )的一个样本，试寻求的共轭先验分布？
解 其似然函数为
n
n
q( x | )
n
xi (1 )1 xi
xi
n xi
i1 i (1 ) i1
二项分布的几种经验bayes估计方法
二项分布的几种经验bayes估计方法二项分布是概率论中常用的一种离散概率分布，它描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
经验Bayes估计是一种在贝叶斯统计中用于参数估计的方法，可以用于估计二项分布的参数。
本文将介绍几种常见的经验Bayes估计方法，以及它们在二项分布中的应用。
一、贝叶斯估计简介贝叶斯估计是一种统计学中的参数估计方法，它基于贝叶斯定理，并结合了先验概率和样本观测数据，得到后验概率分布，从而得到参数的估计值。
经验Bayes估计是一种特殊的贝叶斯估计方法，它假设参数的先验分布是由样本数据估计得到的。
二、Laplace平滑估计Laplace平滑估计是一种常用的经验Bayes估计方法，它用于解决估计参数为0的问题。
在二项分布中，如果样本观测中某个事件的发生次数为0，那么根据传统的极大似然估计方法，该事件的概率将被估计为0，这显然是不合理的。
因此，Laplace平滑估计引入了一个先验概率，将所有事件的发生次数都加上一个正数k，从而解决了参数为0的问题。
三、贝叶斯估计与最大似然估计的比较贝叶斯估计与最大似然估计是两种常用的参数估计方法。
最大似然估计是基于频率学派的思想，通过最大化样本观测数据的似然函数，得到参数的估计值。
而贝叶斯估计则引入了先验概率，通过贝叶斯定理得到后验概率分布，从而得到参数的估计值。
在二项分布中，贝叶斯估计相比最大似然估计具有更好的稳定性和鲁棒性，尤其在样本量较小的情况下效果更好。
四、Dirichlet分布的经验Bayes估计Dirichlet分布是一种常用的多维概率分布，它常用于描述多个参数的分布。
在二项分布中，可以使用Dirichlet分布作为先验分布，利用样本观测数据来估计参数的分布。
Dirichlet分布的参数可以通过最大似然估计或贝叶斯估计得到，从而得到二项分布的参数估计值。
五、经验Bayes估计的优缺点经验Bayes估计作为一种参数估计方法，具有一些优点和缺点。
课件-贝叶斯估计量
贝叶斯估计量
Oct-10
后者综合了经理的主观概率和实验结果而 获得，要比主观概率更具有吸引力， 获得，要比主观概率更具有吸引力，更贴近 当前实际 当然经过实验A后经理对投资改进质量 当然经过实验 后经理对投资改进质量 的兴趣更大了， 的兴趣更大了，但如果为了进一步保险起 见可以把这次得到的后验分布列再一次作 为先验分布在做实验验证， 为先验分布在做实验验证，结果将更贴近 实际
要么正面朝上要么反面朝上概率各占12这个概率分布是根据我们以前的知识和经验得出来的一般被称做先验分布山东财政学院贝叶斯估计量oct12先验分布先验分布但还是有不同的主要区别在与概率分布得到的途径上根据先验信息所给出的随机变量的分布这里的先验信息是指在抽样之前有关统计问题的一些信息先验分布与经典统计学里面的其他分布并没有什么区别同样有先验离散分布和先验连续分布山东财政学院贝叶斯估计量oct12经典统计学里要得到概率分布必须大量重复实验由大数定律中心极限定理这些基本定理来保证在大量重复实验中频率与概率具有一致从而的到随机变量的概率分布经典统计学的概率分布包含所有样本点即所有可能的实验结果都要被考虑进去贝叶斯统计学的先验概率分布考虑的只是已出现的样本来自于过去的经验山东财政学院贝叶斯估计量oct12可以由经验得来不必做大量的重复实验
f (x p ) = p x (1 p ) (1 x ) x = 0,1 0 < p < 1
山东财政学院
贝叶斯估计量
Oct-10
X 于是， 于是，= ( X , X
1
2
, , X n )
n
的联合条件概率函数为
(1 x i )
n x = p i=1 (1 p ) ∑ i i =1
q (x p ) = Π p xi (1 p )
贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计是一种统计分析方法，用于估计随机变量的分布，其中随机变量是未知的或未观测的。
它是以概率论中的贝叶斯定理为基础的，可以用来推断在没有任何先验知识的情况下某个随机变量的分布。
从理论上讲，贝叶斯估计是基于贝叶斯定理，与最大似然估计（MLE）等其他形式估计相比，具有更大的灵活性，能够在没有任何先验知识的情况下推断随机变量的分布。
贝叶斯估计的计算过程通常有以下几个步骤：
1. 首先，需要根据观察到的样本数据来估计未知参数（随机变量的分布）的取值分布。
2. 然后，需要定义一个模型来描述未知的参数，其中通常会采用概率密度函数（PDF）或贝叶斯函数来描述不同的参数。
3. 接着，需要使用维特比算法来求解最可能的模型参数的取值。
4. 最后，需要进行调整，以获得更精确的参数估计，这通常需要使用MCMC方法。
贝叶斯估计通过上述计算过程，可以推断出未知随机变量的分布，从而为数据分析提供基础支持，在实际生活中有着广泛的应用，例如比较不同模型在训练图像上的性能，这种类型的任务通常需要贝叶斯估计来完成。
另外，在自然语言处理（NLP）领域中，贝叶斯估计的有力分析也可以用来推断单词的准确性。
因此，贝叶斯估计在实际使用中非常重要，对于精确估计和分析未知参数及其取值范围非常重要。
贝叶斯方法(估计,推断,决策)
x)
n x
,
x
0,1,, n.
最后在给出X=x的条件下，θ的后验密度为
( x) p(x, )
(a b n) ax1(1 )bnx1,0 x 1
p(x) (a x)(b n x)
显然这个后验分布仍然是β分布，它的两个参数分别 是a+x和b+n-x。我们选后验期望作为的贝叶斯估计， 则θ的贝叶斯估计为
如下两个方程来确定a与b。
0.1 ( )d
0
0.5 ( )d
0
0.1, 0.5.
假如的信息较为丰富，譬如对此产品经常进行抽 样检查，每次都对废品率作出一个估计，把这些 估计值看作的一些观察值，再经过整理，可用一 个分布去拟合它。
假如关于的信息较少，甚至没有什么有用的先验信 息，那可以用区间（0，1）上的均匀分布（a=b=1 情况）。用均匀分布意味着我们对的各种取值是 “同等对待的”，是“机会均等的”。贝叶斯本人 认为，当你对参数θ的认识除了在有限区间（c，d） 之外，其它毫无所知时，就可用区间（c，d）上的 均匀分布作为θ的先验分布。这个看法被后人称之 为“贝叶斯假设”。
这就是贝叶斯公式的密度函数形式，其中
( x1,, xn )称为θ的后验密度函数，或
后验分布。而
p(x1,, xn ) p(x1,, xn ) ( )d
是样本的边际分布，或称样本 X1,, X n 的无条件分布，它的积分区域就是参数θ的取值范围， 随具体情况而定。
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ 已有一个认识，这个认识就是先验分布π（θ）。 通过试验，获得样本。从而对θ的先验分布进行调 整，调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整 的结果就是后验分布 ( x1,, xn ) 。后验分布是三种 信息的综合。获得后验分布使人们对θ的认识又前 进一步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ 的认识由π（θ）调整到 ( x1,, xn ) 。所以对θ的 统计推断就应建立在后验分布 ( x1,, xn ) 的基础上。
贝叶斯参数估计
先验分布的选取
有信息的： 已知分布类型、参数等 无信息的： 最大熵、共轭分布、Bayes假设 基于经验的： 利用样本确定先验分布
共轭分布法
例：设 X ~ N ( , 2 ) ， ~ N (10,32 ) 。若从正态总体 X 抽
2
得容量为 5 的样本，算得 x 12.1 ，
1 N x 2 2 0 'exp i 2 2 2 i 1 0 1 N 1 N 0 1 2 ''exp 2 2 2 2 xi 2 2 1 i 0 0
| x) E | x ( E )2 Var ( | x) MSE (
1 2
称为后验方差，其平方根 [Var ( | x)] 称为后验标准差。
经典统计学派对贝叶斯统计的批评
贝叶斯方法受到了经典统计学派中一些人的批评,批 评的理由主要集中在以下三点： • (1) 贝叶斯方法具有很强的主观性而研究的问题需 要更客观的工具。经典统计学是“客观的”, 因此符 合科学的要求。而贝叶斯统计学是“主观的”，因 而(至多)只对个人决策有用。 • (2)应用的局限性,特别是贝叶斯方法有许多封闭型 的分析解法,不能广泛地使用。 • (3)先验分布的误用。
对以上这些批评,贝叶斯学派的回答如下：
几乎没有什么统计分析哪怕只是近似是“客观的” 。因为只有在具有研究问题的全部覆 盖数据时,才会得到明显的“客观性”,此时,贝叶斯分析也可得出同样的结论。但大多数统计 研究都不会如此幸运,以模型作为特性的选择对结论会产生严重的影响。实际上,在许多研究 问题中,模型的选择对答案所产生的影响比参数的先验选择所产生的影响要大得多。 Box(1980)说： “不把纯属假设的东西看作先验…我相信,在逻辑上不可能把模型的假设 与参数的先验分布区别开来。 ” Good(1973)说的更直截了当： “主观主义者直述他的判断,而客观主义者以假设来掩盖其 判断,并以此享受着客观性的荣耀。 ” 杰出的当代贝叶斯统计学家 A.OHagan(1977)的观点是最合适的：劝说某人不加思考地 利用贝叶斯方法并不符合贝叶斯统计的初衷。进行贝叶斯分析要花更多的努力。如果存在只 有贝叶斯计算方法才能处理的很强的先验信息或者更复杂的数据结构。 这时收获很容易超过 付出,由此能热情地推荐贝叶斯方法。另一方面,如果有大量的数据和相对较弱的先验信息, 而且一目了然的数据结构能导致已知合适的经典方法 (即近似于弱先验信息时的贝叶斯分 析)，则没有理由去过分极度地敲贝叶斯的鼓(过分强调贝叶斯方法)。
第34节 经验贝叶斯估计讲解
1、贝叶斯点估计 定义4.6 若总体X的分布函数 F(x, ?)中参数?为随机 变量，?(?)为?的先验分布，若决策函数类 D中存在 一个决策函数使得对决策函数类中的任一决策函数 均有
R(d * ) ? inf R(d ), ? d ? D d? D
则称d*( X )为参数 ?的贝叶斯估计量
注 1、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策 函数.
? x! 0
? 1 ?? ? xe?? dG( x )
x! 0 ? ( x ? 1)mG ( x ? 1)
mG ( x )
如果先验分布 G(x) 未知，该 如何计算？
2、经验贝叶斯决策函数 当先验分布未知时，如何利用历史资料（经验资
料）( X 1 , X 2 , , X n )T 的信息得到最优贝叶斯估计？ 定义3.11 任何同时依赖于历史样本 ( X 1, X 2 , , X n )T 和当前样本 X 的决策函数 d n ? dn ( X | X 1, , X n )称为 经验贝叶斯决策函数
其中第二项为常数，而第一项非负，因而只需当
d ? d* ( x )时，风险达到最小 .
定义4.7 设d=d(x)为决策函数类 D中任一决策函数，
损失函数为 L(?,d(x)), 则L(?,d(x)), 对后验分布 h(?|x)的 数学期望称为后验风险，记为
R(d | x ) ? E[ L(? , d( x ))]
由这两个例子可以看到，经验贝叶斯估计一方面依赖
贝叶斯估计理论，同时也依赖于非参数估计方法。
二、参数经验贝叶斯估计
定理4.1 设f (? )为任一固定的函数，满足条件
(1) f (? ) ? 0,? ? ? ,
? (2) 0 ? ? gn (t | ? ) f (? )d? ? ?
对贝叶斯估计的理解
对贝叶斯定理及其在信号处理中的应用的理解信号估计中的贝叶斯方法是对贝叶斯定理的应用，要理解贝叶斯估计首先要理解贝叶斯定理。
一、 贝叶斯定理：1. 贝叶斯定理的简单推导过程贝叶斯定理就是条件概率公式(贝叶斯公式)，所谓条件概率就是在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，常用(/)P B A 表示。
一般情况下(/)P B A 与(/)P A B 是不相等的。
容易得到:(/)P B A =()()P A B P A ,(/)P A B =()()P A B P B所以 (/)P B A ()P A =(/)P A B ()P B , 对上式变形得贝叶斯公式： (/)P A B =(/)()()P B A P A P B （1）若',A A 为样本空间的一个划分，可得全概率公式：()P B =''(/)()(/)()P B A P A P B A P A +所以（1）式可以改写为：''(/)()(/)(/)()(/)()P B A P A P A B P B A P A P B A P A =+ （2） 如果12n A A A ，，...,为样本空间的一个划分，由（2）式可得条件概率(/)j P A B1(/)()(/)(/)()j j j niii P B A P A P A B P B A P A ==∑ （3）（3）式就是当样本空间的划分为n 时的贝叶斯公式即贝叶斯定理。
我们把其中的()(1,...)i P A i n =称为先验概率，即在B 事件发生之前我们对i A 事件概率的一个判断。
(/)j P A B 称为后验概率，即在B 事件发生之后我们对i A 事件概率的重新评估。
2. 贝叶斯公式的事件形式对于(3)式的得到，可不必要求12n A A A ，，...,为样本空间的一个划分。
假定12k A A A ，，...,是互不相容事件，只要他们之和1k i i A = 包含事件B ，即1ki i B A =⊂ ,则有 1(/)()(/)(/)()j jj ki i i P B A P A P A B P B A PA ==∑ (4) (3)式和(4)式是贝叶斯公式的事件形式。
数理统计：贝叶斯估计
| x)d
(ˆB )2
2ˆB
(
| x)d
2 (
| x)d
(ˆB -
( | x)d )2
2 ( | x)d
(
(
| x)d )2
因此当ˆB
( | x)d时，可使MSE达到最小,
又由于
息去确定Beta分布中的两个参数α与β 。从文献来看，确
定α与β的方法很多。例如，如果能从先验信息中较为准
确地算得θ先验平均和先验方差，则可令其分别等于Beta
分布的期望与方差最后解出α与β ，如下
Байду номын сангаас
(
)2 (
1)
S2
(1 ) 2
S2
a(1 )
假设Ⅲ 我们对参数θ已经积累了很多资料，经过分析、整 理和加工，可以获得一些有关θ的有用信息，这种信息就 是先验信息。参数θ不是永远固定在一个值上，而是一个 事先不能确定的量。
10
贝叶斯公式
从贝叶斯观点来看，未知参数θ是一个随机变量，描 述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分 布称为先验分布，其概率分布用π(θ)表示。 1 先验分布 定义：将总体中的未知参数θ∈Θ看成一取值于Θ的随机 变量,它有一概率分布，记为π(θ)，称为参数θ的先验分布。 2 后验分布 从总体 f(x│θ) 中随机抽取一个样本X1，…，Xn， 先获得样本X1，…，Xn和参数θ的联合分布:
(i x)
p(x i ) (i ) p(x i ) (i )
i
(i xj )
3.4经验Bayes估计
188 3.4 经验贝叶斯估计经验贝叶斯方法（Empirical Bayes Method ）是H.Robbins 在1955年提出的，这种方法的思想受到统计学者的高度重视.统计界元老J. Neyman 甚至称它为统计判决的“两大突破”之一.几十年来，许多学者将Robbins 的思想用于种种统计问题，得到了一些重要结果.前面曾经指出，贝叶斯方法的困难之一，就在于要求参数具有一定的先验分布.即使在某项具体问题中可认为这个要求是合理的，参数的先验分布一般也无法预知，因而往往对它做一种人为性规定.因为当先验分布的指定与实际情况不符时，所得的解会受到较大影响，这样以来在对先验分布无法基本确定时，贝叶斯方法的适用性和优越性就受到限制.经验贝叶斯方法就是针对这个问题提出的.经验贝叶斯方法分为两类，一是非参数经验贝叶斯方法，二是参数经验贝叶斯方法.3.1 非参数经验贝叶斯方法简介非参数经验贝叶斯方法完全不指明先验分布，在获得数据后，利用数据来估计有关分布. 假定参数θ∈Θ（Θ为参数空间），θ的先验分布函数为()G θ，分布密度为()πθ. ()d d X D =∈（D 为决策类），损失函数为(,)L d θ，样本空间为*X ，而随机变量*X X ∈.于是对给定的θ，X 的概率密度为(|)f x θ.决策函数d 的风险函数为[]*(,)(,())(,())()XR d E L d X L d x q x dx θθθθθ==∫ )(d R 称为决策函数d 在给定先验分布()G θ下的贝叶斯风险()[(,)](,)(),R d E R d R d d θθπθθΘ==∫189记使贝叶斯风险最小的贝叶斯决策为G d .在实际中，()G θ往往是未知的，因此无法得到G d .假定我们在过去已经多次面对这个统计决策问题，在第i 次碰到这个问题时，样本为i X ，真参数为i θ.我们假定θ具有一定的先验分布()G θ，且只知道()G θ属于某个分布族*F ,而1,n θθ"可以看成是从分布()G θ中抽出的相互独立同分布的“样本”. 在给定()G θ后，1,,n X X "是可观测的，而1,,n θθ"是不可观测的.由于1,,n X X "（通常称为历史样本）是来自总体()(|)()G m x f x dG θθΘ=∫ 的样本，且分布()G m x 与先验分布()G θ有关，故样本1,,n X X "中也包含了()G θ的信息，n 越大所包含的信息越多.现在再一次面对上述统计决策问题，得到的样本为X （通常称为当前样本），真参数值为θ. 在求贝叶斯解时可以参考历史样本1,n X X "中获得的关于()G θ的信息，已选定一个决策函数d ，这个d 将与1,,n X X "有关，因而记为1(|,,)n n n d d X X X =". 我们希望它的贝叶斯风险接近真正的贝叶斯决策()G d X （也称为贝叶斯解）的贝叶斯风险()G R d ，并且当n →∞时以()G R d 为极限.但1(|,,)n n d X X X "如何计算？首先，固定1,,n X X "，这时1(|,,)n n d X X X "只与X 有关，其贝190 叶斯风险为11()((|,,))[(,(|,,))]n n n n n R d R d X X X E L d X X X θ==""其中E 表示对(,)X θ的联合分布求期望. 由于1,,n X X "也是随机的，还要对它们求一次期望，这样得到n d 的“全面”贝叶斯风险为1*()[((|,,))]n n n R d E R d X X X ="定义3.12 任何同时依赖于历史样本1,,n X X "和当前样本X 的决策函数1(|,,)n n n d d X X X ="称为经验贝叶斯决策函数.如果对任何先验分布()*G F θ∈，有lim *()()n n n R d R d →∞= （5.13） 则称n d 为渐近最优的经验贝叶斯决策函数.当我们考虑参数θ的经验贝叶斯估计时，满足上述极限式的n d 称为θ的渐近最优经验贝叶斯估计.应当注意，在经验贝叶斯决策函数1(|,,)n n d X X X "中，历史样本1,,n X X "与当前样本的作用是不一样的.1,,n X X "的作用在于由之获得关于先验分布()G θ的信息以帮助选定一个尽可能接近贝叶斯解的决策函数1(|,,)n n d X X X "，而推断当前参数值的任务落在当前样本X 的头上.例3.20 设总体X 服从Poisson 分布，分布律为191(|)/!x f x e x θθθ−=， (0,1,;0)x θ=>" 1,,n X X "为来自总体的样本，在平方损失下求参数θ的经验贝叶斯估计.解 设先验分布为()G θ，则X 的边缘分布密度为0()(/!)()x G m x e x dG θθθ∞−=∫ ， (0,1,)x =" 在平方损失下，θ的贝叶斯估计为后验均值100(1/!)()(1)()(|)(1)()(1/!)()x G G x G x e dG m x d x E X x m x x e dG θθθθθθθ∞+−∞−+===+∫∫ 若()G θ未知，但有了历史样本1,,n X X "，它们来自总体()G m x ，故可由样本估计()G m x取()G m x 的估计为111ˆ(|,),1}1G n n m x x x x x x n =+""中等于的个数)+ 以此代替θ的贝叶斯估计中的()G m x ，可得到θ的经验贝叶斯估计111ˆ(1|,)(|,)(1)ˆ(|,)G n n n G n m X X X d X X X X mX X X +=+""" 上述经验贝叶斯估计渐近最优性的证明很复杂，故省略不证.3.2 参数经验贝叶斯估计简介参数的经验贝叶斯估计则指明先验分布族，但先验分布中含有未知参数（称为超参数），需要利用观测数据192 来估计超参数.将超参数的估计代入先验分布中，再求得原参数的贝叶斯估计，进而求得参数的经验贝叶斯估计.例3.21 设总体X 服从正态分布(,1)N θ，损失函数为2(,)()L d d θθ=−,θ的先验分布只知道属于分布族22*{(0,),0}F N σσ=>,1,,n X X "为历史样本，由于X 在θ的先验分布2(0,)N σ之下的边缘分布为2(0,1)N σ+，于是得2σ的估计为2211ˆ1n i i X n σ==−∑ (5.14) 设当前样本为X ，取θ的先验分布为2ˆ(0,)N σ，则在平方损失下θ的贝叶斯估计为22121211ˆ(|,,)()(1)ˆ1n n n n n i i i i n d X X X X X X X σσ−====−+∑∑"其贝叶斯风险为21ˆ((|,,))n n n R d X X X σ="2ˆ/(1)n σ+因而得到n d 的全面贝叶斯风险为*()n R d =[E 2ˆn σ2ˆ/(1)n σ+] (5.15)由大数定律，以概率1地成立222ˆ(1)1n σσσ→+−=由(3.15)式及控制收敛定理得lim *()n n R d →∞=2σ2/(1)σ+即当θ的先验分布为2(0,)N σ时，上式右端为θ的贝叶斯估193 计的贝叶斯风险，从而(5.13)式成立，由定义知212111(|,,)()(1)n n n n ii i i d X X X X X X −===−∑∑"是相对于先验分布族22*{(0,),0}F N σσ=>的渐近最优经验贝叶斯估计.。
经验贝叶斯的基本方法
经验贝叶斯的基本方法
贝叶斯方法是一种统计学方法，用于估计一个概率分布的参数。
它的基本方法是基于Bayes定理，该定理指出，如果已知两个事件的概率，则可以推断出第三个事件的概率。
贝叶斯方法的基本思想是，在观察到数据之前，假设模型参数的概率分布（称为先验分布）。
然后，根据观察到的数据，使用Bayes定理计算模型参数的后验概率分布（称为后验分布）。
贝叶斯方法的优点是，它可以在没有充分数据的情况下，基于先验知识和观察数据，估计参数概率分布。
另外，它还可以用来处理非线性模型，因为它可以计算模型参数的概率分布，而不是只估计参数的值。
《贝叶斯公式》 讲义
《贝叶斯公式》讲义一、什么是贝叶斯公式在概率统计领域，贝叶斯公式是一个非常重要的定理。
简单来说，它描述了在已知某些条件概率的情况下，如何计算逆概率。
为了更直观地理解，我们先来看一个例子。
假设我们要判断一个人是否患有某种疾病。
我们有两种检测方法，检测方法 A 的准确率是80%，检测方法 B 的准确率是 70%。
现在一个人的检测结果在方法 A中显示为阳性，在方法 B 中显示为阴性。
那么这个人真正患有疾病的概率是多少呢？这就是贝叶斯公式可以帮助我们解决的问题。
贝叶斯公式的数学表达式为：P(A|B) ＝ P(B|A) P(A) ／ P(B) 。
在这个公式中，P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率；P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率；P(A) 是事件 A 本身发生的概率；P(B) 是事件 B 本身发生的概率。
二、贝叶斯公式的推导要理解贝叶斯公式的推导，我们首先需要了解条件概率的概念。
条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
我们知道，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
那么，P(A|B) 就可以表示为：P(A|B) ＝P(A ∩ B) ／ P(B) 。
同样地，P(B|A) ＝P(B ∩ A) ／ P(A) ，即P(B ∩ A) ＝ P(B|A) P(A) 。
将P(B ∩ A) ＝ P(B|A) P(A) 代入 P(A|B) ＝P(A ∩ B) ／ P(B) 中，就得到了贝叶斯公式：P(A|B) ＝ P(B|A) P(A) ／ P(B) 。
三、贝叶斯公式的应用贝叶斯公式在很多领域都有广泛的应用，以下是一些常见的例子：1、医学诊断在医学领域，医生经常需要根据各种检测结果来判断患者是否患有某种疾病。
贝叶斯公式可以帮助医生综合考虑多种检测方法的结果，从而更准确地做出诊断。
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解 其似然函数为
n
n
? q( x | ? ) ?
n
? xi (1 ? ? )1? xi
? xi
? n ? xi
? ? i?1 i (1 ? ? ) i?1
i?1
? ? nx (1 ? ? )n? nx ? gn (t | ? ) 1,
其中 gn (t | ? ) ? ? t (1? ? )n? t ,选取 f (? ) ? 1，则
?? RG (dn | X 1 , , X n )mG ( x1 , x2 , , xn )dx1dx2 dx n
使得上式达到最小的决策函数为经验贝叶斯决策函数
定义 渐近最优贝叶斯决策函数
设F *为先验分布族，参数 ?的先验分布为 G(? ), 若
对于任何 G(? ) ? F * , 有
lim
n ??
? ? ? ? [ ? L(? ,dn ( x | x1, x2 , xn ) p( x | ? )dx]dG(? )
注：此结果包含了 X 1, X n , 而X 1, X n为随机变量，
因而，该风险仍包含有随机性，需要对此风险再求 一次期望，即
(2)计算期望，可得
RG* (dn ) ? E ( RG (dn | X 1 , , X n ))
第3.4节 经验贝叶斯估计
一、非参数经验贝叶斯估计 二、参数经验贝叶斯估计
0、背景与意义
贝叶斯估计存在的问题： 先验分布的确定
如何客观地确定先验分布？
根据历史资料数据（即经验）确定该问题的先 验分布，其对应的贝叶斯估计称为 经验贝叶斯估计 . 该方法是由 Robbins 在1955年提出的.
经验贝叶斯估计分类（共两类）
dn (X | X1, X 2,
,Xn)?
(X
? 1)m?G ( X m?G ( X )
? 1)
例3(p110例3.21) 设随机变量 X 的分布密度为
p(x | ? ) ?
? ( x ? ? )2
1e 2
2?
?的先验分布为 G(? ), ? ? (a, b) ? (?? , ?? ).在平方损失下，
RG* (dn ) ?
RG (dG )
则称dn为渐近最优经验贝叶斯决策函数，若 dn为?的估计
，则dn为渐近最优经验贝叶斯估计 .
例2( 续例 p109 例3.20)
在先验分布 G(? )未知时，如何计算
dG (x ) ?
(x
? 1)mG ( x mG ( x )
? 1)
由于历史样本 X 1, X 2 , X n均是从分布 mG ( x )中抽取的独立
? D f
?{
?t
1
?
t
(1? ? )n? t (1? ? )n? td?
:
n ? 1, 2,
, t ? 0,1, 2,
}
0
显然此共轭分布族为 ? 分布的子族，因而，两点 分布的共轭先验分布族为 ? 分布.
常见共轭先验分布
总体分布
参数
共轭先验分布
二项分布
成功概率p
? 分布? (? ,? )
由这两个例子可以看到，经验贝叶斯估计一方面依赖
贝叶斯估计理论，同时也依赖于非参数估计方法。
二、参数经验贝叶斯估计
定理4.1 设f (? )为任一固定的函数，满足条件
(1) f (? ) ? 0,? ? ? ,
? (2) 0 ? ? gn (t | ? ) f (? )d? ? ?
则
? D f
?{
?
样本，故由这些样本可以对 mG ( x )估计，根据泊松分布特
性可以得到 mG ( x )的估计为
m?G ( x1 , x 2 ,
1 , x n , x ) ? n ? 1{(x1, x 2 ,
,
x
中等于
n
x的个数）?
1}
用m?G ( x1, x2 , , x n , x )代替 mG ( x ), 可得其经验贝叶斯估计量为
? x! 0
? 1 ?? ? xe?? dG( x )
x! 0 ? ( x ? 1)mG ( x ? 1)
mG ( x )
如果先验分布 G(x) 未知，该 如何计算？
2、经验贝叶斯决策函数 当先验分布未知时，如何利用历史资料（经验资
料）( X 1 , X 2 , , X n )T 的信息得到最优贝叶斯估计？ 定义3.11 任何同时依赖于历史样本 ( X 1, X 2 , , X n )T 和当前样本 X 的决策函数 d n ? dn ( X | X 1, , X n )称为 经验贝叶斯决策函数
?? e? x? x dG(? ),
0 x!
( x ? 0,1, 2, ）
对于先验分布 G(? ), 在平方损失下，可求得 ?的
贝叶斯估计为
??
? ? p(? | x )dG( x )
dG( x ) ? E (? | x ) ?
0 ??
?0 p(? | x )dG( x )
? 1 ?? ? x?1e?? dG( x )
非参数经验贝叶斯估计 参数经验贝叶斯估计
一、非参数经验贝叶斯估计
1、问题引入 例1（p109 例3.20) 设随机变量 X 服从泊松分布，
p( x | ? ) ? ? x e? x ,
x!
( x ? 0,1, 2, ;? ? 0）
设参数 ?的先验分布为 G(? ),则X的边缘分布为
? mG ( x ) ?
如何计算经验贝叶斯估计 dn ? dn ( X | X 1, , X n )
经验贝叶斯估计 dn ? d n ( X | X 1 , , X n )的计算方法： （1）根据贝叶斯估计风险函数的定义可知 dn ? dn ( X | X1,
, X n )的风险为 RG (dn | X 1, , X n )
gn (t | ? ) f (? ) gn (t | ? ) f (? )d?
:
n ? 1, 2,
}
是共轭先验分布族，其中
n
? q( x | ? ) ? p( xi | ? ) ? gn (t | ? )h( x1, x 2 , , x n )
i?1
例4(p126例4.10) 设( X 1 , X 2 , , X n )T 是来自总体
? 的贝叶斯估计为
dG ( x ) ?
x
?
m
' G
(
x
)
mG ( x )
由于密度函数比较难估计，我们可以选用非参数密度
估计法（如核估计，最近邻密度估计），得到 m?G ( x )
于是可以得到 ?的经验贝叶斯估计为
dn (X | X1, X 2,
, Xn)
?
X
?
m?G' ( X m?G ( X
) )