黑龙江省中考数学试卷
2023年黑龙江省大庆市中考数学真题 (解析)
2023年大庆市初中升学考试数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1.【答案】B【解析】解：2023的相反数是2023-，故选：B ．2.【答案】C【解析】A 选项，不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；B 选项，不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；C 选项，是中心对称图形，此选项符合题意；D 选项，不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；故答案为：C ．3.【答案】A【解析】解：数字1268000000用科学记数法表示为：91.26810⨯，故选：A ．4.【答案】A【解析】解：该几何体的俯视图是，故选：A ．5.【答案】D【解析】解： 0ab >，∴a b 、同号，0a b +>，00a b ∴>>，，A 选项，()a b ，在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；B 选项，()a b -，在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；C 选项，()--，a b 在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；D 选项，()a b -，在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意；故选：D ．6.【答案】B【解析】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，出现次数最多的数是9，所以众数为9，位于中间位置的数是9，所以中位数是9，平均数为7899108.65++++=故选：B ．7.【答案】C【解析】解：A 选项，一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；B 选项，有两组对角相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；C 选项，两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；D 选项，一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意；故选：C ．8.【答案】A【解析】解：设粽子的成本为a （a 是常数且0a >）元，设降价幅度为x ，则()()125%1a x a +⨯-≥，解得20%x ≤，即为了不亏本，降价幅度最多为20%．故选：A ．9.【答案】D【解析】解：根据题意可得：FBG DAB α∠=∠=，四边形ABCD 为菱形，AD BC ABD CBD αβ∴∠=∠=+∥，，180DAB ABC ∴∠+∠=︒，22ABC ABD CBD αβαβαβ∠=∠+∠=+++=+ 22180ααβ∴++=︒，3902βα∴=︒-，故选：D ．10.【答案】C【解析】解：根据题意可得：BC =，AP t BQ ==，，设m AB a =，则m BC =，作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E ，作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，，120ABC ∠=︒ ，60ABF ∴∠=︒，33m 22AF AB a ∴==，()()333m 222PE PB AB PA a t ==-=-，()2221133333222444216PBQa S BQ PE a t t at t a ⎛⎫∴=⋅⋅=⋅-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ，由图象可得PBQ S 的最大值为3，23316a ∴=，解得：4a =或4a =-（舍去），4a ∴=，4m AB BC AF ∴===，，，∴平行四边形ABCD 的面积为：224m BC AF ⋅==，故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.【答案】抽样调查【解析】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查．12.【答案】100π【解析】解：∵圆锥的底面半径为5，高为12，∴它的体积215121003ππ=⨯⨯⨯=，故答案为：100π．13.【答案】MCB△【解析】解： 四边形ABCD 是矩形，90A D C ∴∠=∠=∠=︒，90DNM DMN ∴∠+∠=︒，由折叠的性质可得：90BMN A ∠=∠=︒，180NMD BMN BMC ∠+∠+∠=︒ ，90NMD BMC ∴∠+∠=︒，DNM BMC ∴∠=∠，NDM MCB ∴ ∽，故答案为：MCB △．14.【答案】1-，1，3【解析】解：∵()121x x +-=，当10x +=时，=1x -；当21x -=时，3x =；当21x -=-时，1x =，此时12x +=，等式成立；故答案为：1-，1，3．15.【答案】16【解析】解：根据题意列出表格如下：思想政治地理化学生物思想政治思想政治，地理思想政治，化学思想政治，生物地理地理，思想政治地理，化学地理，生物化学化学，思想政治化学，地理化学，生物生物生物，思想政治生物，地理生物，化学由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果，∴某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为：21126=，故答案为：16．16.【答案】32a -≤<-【解析】解：解不等式3(1)6x x ->-，得： 1.5x >-，解不等式8220x a -+≥，得：4x a ≤+，不等式组有三个整数解，∴不等式组的整数解为1-，0、1，则142a ≤+<，解得32a -≤<-．故答案为：32a -≤<-．17.【答案】21【解析】根据题意得：()5a b +展开后系数为：1,5,10,10,5,1，系数和：515101051322+++++==，()6a b +展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，系数和：61615201561642++++++==，()7a b +展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，系数和：71721353521711282+++++++==，故答案为：128．18.【答案】①②③【解析】解：延长B A '，并截取AE AB =，连接C E '，如图所示：∵180BAC B AC ''∠+∠=︒，∴360180180a b +=︒-︒=︒，∵180BAE a +∠=︒，∴BAE β∠=，∴BAC CAE CAE EAC '∠+∠=∠+∠，∴BAC EAC '∠=∠，根据旋转可知，AC AC '=，AB AB '=，∵AB AE =，∴ABC AEC ' ≌，∴BC C E '=，ABC AEC S S '= ，∵AB AB '=，AB AE =，∴AE AB ='，∴AB C AEC S S '''= ，∴ABC AB C S S ''=△△，即ABC 与AB C ''△面积相同，故①正确；∵AE AB ='，B D C D '='，∴AD 是B C E ''△的中位线，∴12AD C E '=，∵BC C E '=，∴2BC AD =，故②正确；当AB AC =时，AB AB AC AC ''===，∴AB B ABB ''∠=∠，AB C AC B ''''∠=∠，AC C ACC ''∠=∠，A ABC CB =∠∠，∵360AB B ABB AB C AC B AC C ACC ABC ACB ''''''''∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴180ABB ABC AC B AC C AB B ACB AB C ACC ''''''''∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，即180B BC CC B '''∠+∠=︒，故③正确；∵6BC =，∴根据②可知，132AD BC ==，∵当AB AC =时，4AB AB AC AC ''====，AD 为中线，∴AD B C ''⊥，∴90ADB '∠=︒，∴2222437B D AB AD ''=-=-=，∴27B C B D '''==综上分析可知，正确的是①②③．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.【答案】1【解析】解：原式＝﹣2﹣2×22+2＝﹣22=1．20.【答案】2x x +，13【解析】解：224224x x x x x x -++--()()242222x x x x x x x =-++-+-()()()()()()()()2224222222x x x x x x x x x x x -+=-++-+-+-()()22242422x x x x x x x ---+=+-()()2222x x x x -=+-()()()222x x x x -=+-2x x =+，当1x =时，原式11123==+．21.【答案】30．【解析】设第一批足球单价为x 元，则第二批足球单价为()2x -元，由题意得：800156022x x ⨯=-，解得：80x =，经检验：80x =是原分式方程的解，且符合题意，则第二批足球单价为：280278x -=-=，∴该学校两批共购买了8001560308078+=，答：该学校两批共购买了30个．22.【答案】垂直高度PC 约为204米【解析】解：过点B 作BD PC ⊥于D ，作BE AC ⊥于E ，则四边形DCEB 为矩形，∴DC BE =，在Rt ABE △中，15A ∠=︒，sin BE A AB=，则sin 4000.259103.6BE AB A =⋅≈⨯=（米），∴103.6DC BE ==米，在Rt PBD △中，30PBD ∠=︒，200BP =米，则11002PD BP ==米，100103.6204PC PD DC ∴=+=+≈米．答：垂直高度PC 约为204米．23.【答案】（1）40，25（2）7（3）我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人【解析】（1）解：根据题意可得：本次接受调查的学生人数为：481510340++++=（人），扇形统计图中的m 的值为：100102037.57.525----=，故答案为：40，25；（2）解：根据题意可得：所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为：546871581093740⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（次）；（3）解：根据题意得：()37.5%25%7.5%1000700++⨯=（人），答：我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人．24.【答案】（1）证明，见解析（2）45【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴DAF AFC ∠=∠，ADC DCF ∠=∠，∵E 为线段CD 的中点，∴DE CE =，∴ADE FCE ≅△△，∴AE EF =，∴四边形ACFD 是平行四边形，∵90ACF ∠=︒，∴平行四边形ACFD 是矩形．（2）过点E 作EG AC ⊥于点G ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∵四边形ACFD 是矩形，∴AD CF =，∴5AD BC CF ===，∵13CD =，∴12DF ==，∴四边形ABCE 的面积等于ABC AEC S S + ，∵111253022ABC S AC BC =⨯⨯=⨯⨯= ，12ACE S AC GE =⨯⨯ ，∵点E 是对角线的中心，∴1522GE AD ==，∴1151215222ACE S AC GE =⨯⨯=⨯⨯= ，∴平行四边形ABCD 的面积为：301545+=．25.【答案】（1）一次函数的解析式为3y x =-+，反比例函数的解析式为2y x=（2）32（3）0t <或12t <<【解析】（1）解：把()1，2A 代入一次函数y x m =-+，得12m -+=，解得：3m =，∴一次函数的解析式为：3y x =-+，把()1，2A 代入反比例函数k y x=，得21k =，解得：2k =，∴反比例函数的解析式为：2y x=；（2）解：联立32y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，()21B ∴，，令直线AB 与x 交于点C，如图，，当0y =时，30x -+=，解得：3x =，()30C ∴，，11113323122222AOB AOC BOC A B S S S OC y OC y ∴=-=⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯-⨯⨯= （3）解：由图象可得：，当M 在N 的上方时，t 的取值范围为：0t <或12x <<．26.【答案】（1）173240817x y x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）当87x =时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为327．【解析】（1）∵四边形BCDE 是矩形，∴BC DE ∥，∵BE IJ MN CD ∥∥∥，∴BE IJ MN CD y ====．∵AB AC =，F 是边BC 的中点，∴2BC DE x ==，AFBC ⊥，∵:3:4AF BF =，∴34x AF =，∴54x AB AC ===．∵点G 、H 、F 分别是边AB 、AC 的中点，∴1528x FG FH AB ===，∴5534162222844x x x y x =-⨯-⨯-⨯-，∴174162x y =-，∴1748x y =-，∵174080x x ⎧->⎪⎨⎪>⎩，∴32017x <<，∴173240817x y x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭；（2）设面积为S ，则1713242824x x S x x ⎛⎫=-+⨯⨯ ⎪⎝⎭2782x x =-27832277x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当87x =时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为327．27.【答案】（1）证明，见解析（2）证明，见解析（3）5AH FH =【解析】（1）连接OC∵AC 平分DAB ∠，∴DAC CAB ∠=∠，∵OA OC =，∴CAB OCA ∠=∠，∴DAC OCA ∠=∠，∴AD OC ∥，∵CD AD ⊥，∴90D OCE ∠=∠=︒，∴CD 是O 的切线．（2）证明，如下：由（1）得，90OCE ∠=︒，∵DAC CAB ∠=∠，∵FG AB ⊥，∴90FGA ∠=︒，∴90AHF CAB ∠=∠+︒，∵90ACE OCA ∠=∠+︒，∴ACE AHF ∽，∴AC AE AH AF=，∴AC AF AE AH ⋅=⋅．（3）∵4sin 5DEA ∠=，∴45OC OE =，设O 的半径为4x ，∴5OE x =，∴3CE x ==，∵9AE OA OE x =+=，∴436955AD x x =⨯=，275DE x ==，∵DE DC CE =+，∴125DC x =，∵22222361255AC AD DC ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12105AC x =，∵ACE AHF ∽，∴1210410535AH FH x AC CE x ===．28.【答案】（1）2=23y x x --（2（3）513t -<≤且0t ≠或43t =-【解析】（1）解：由表格可知，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0-，()0,3-，()1,4-，代入2y ax bx c =++得到034a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴二次函数2y ax bx c =++的表达式为2=23y x x --；（2）如图，连接PR ，QR ，过点R 作RM PQ ⊥交PQ 的延长线于点M，∵点Q 的横坐标为m ，∴()2,23Q m m m --，∵()222314y x x x =--=--，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵点P 与点Q 关于直线1x =对称，设点()2,23P n m m --，则11m n -=-，解得2n m =-，∴点P 的坐标为()22,23m m m ---，当x m =+时，((()222323221y x x m m m m =-=+-+--=+--，即()(221R m m m +--，则()223M m m m +--，∴()()2221232R m m m m M +----+=-=-，()222PM m m m =+-=+，∴22tan m RM RPQ PM ∠====即tanRPQ ∠的；（3）由表格可知点()1,0A -、()3,0B ，将线段AB 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到()0,3A '、()4,3B '，由题意可得，二次函数()2211(3)421y x x x t t t =--=--，与线段A B ''只有一个交点，当0t >时，抛物线()2211(3)421y x x x t t t =--=--开口向上，顶点41,t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在A B ''下方，当4x =时，21(3)2B x x y t '--≥，即33t -<，解得53t ≤，∴53t ≤，当0x =时，21(3)2A x x y t '--<，即33t -<，解得1t >-，∴503t <≤，此时满足题意，当0t <时，抛物线()2211(3)421y x x x t t t =--=--开口向下，顶点41,t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在A B ''上时，43t -=，解得43t =-，此时满足题意，将点()0,3A '代入21(3)2y x x t -=-得到33t =-，解得1t =-，将点()4,3B '代入21(3)2y x x t -=-得到13(1683)t =--，解得53t =，∴10t -<<，此时满足题意，综上可知，513t-<≤且0t≠或43t=-．。
2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷正式版含答案解析
绝密★启用前2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−38的相反数为( )A. −38B. 38C. −83D. 832.剪纸是我国最古老的民间艺术之一.下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.3.2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达10909m.将10909用科学记数法表示为( )A. 1.0909×104B. 10.909×103C. 109.09×102D. 0.10909×1054.三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是( )A.B.C.D.5.方程1x−4=3x+2的解是( )A. x=0B. x=−5C. x=7D. x=16.二次函数y=2(x+1)2+3的最小值是( )A. −1B. 1C. 2D. 37.如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子( )A. 16枚B. 20枚C. 24枚D. 25枚8.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在AB上，EF//AD交CD于点F，若AE：BE=1：2，DF=3，则FC的长为( )A. 6B. 3C. 5D. 99.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，若∠B=50°，则∠DAC=( )A. 20°B. 50°C. 30°D. 80°10.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，当x=9min时，y=( )A. 36LB. 38LC. 40LD. 42L第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
2023年黑龙江省绥化市中考数学真题(解析)
二〇二三年绥化市初中毕业学业考试数学试题一、单选题1.【答案】C【解析】解：A 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不符合题意；C 选项，既是轴对称图形又是中心对称图形，故C 选项合题意；D 选项，不是轴对称图形，是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：C ．2.【答案】D【解析】解：052-+516=+=，故选：D ．3.【答案】B【解析】根据题意，该几何体的左视图为：，故选B ．4.【答案】A【解析】解：90.000000001110-=⨯．故选：A ．5.【答案】D【解析】解：A 选项，333()pq p q =--，故该选项不正确，不符合题意；B 选项，43222x x x x x ⋅+⋅=，故该选项不正确，不符合题意；C 5=，故该选项不正确，不符合题意；D 选项，()326a a =，故该选项正确，符合题意；故选：D ．6.【答案】C【解析】解：依题意，190345∠+︒=∠+︒，∵125∠=︒，∴370∠=︒，故选：C ．7.【答案】D【解析】解：A 选项，若方差22s s >乙甲，则乙组数据的波动较小，故该选项不正确，不符合题意；B 选项，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项不正确，不符合题意；C 选项，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故该选项不正确，不符合题意；D 选项，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故该选项正确，符合题意；故选：D ．8.【答案】B【解析】解：A 选项，该组数据的样本容量是1224%50÷=，故该选项不正确，不符合题意；B 选项，8090x ≤<的人数为：5041212715----=，41525+<，4151225++>，该组数据的中位数落在90~100这一组，故该选项正确，符合题意；C 选项，90~100这组数据的组中值是95，故该选项不正确，不符合题意；D 选项，110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为736050.450⨯︒=︒，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．9.【答案】C【解析】设()3,B m ，∵点B ，C 的横坐标都是3，2BC =，AC 平行于x 轴，点D 在AC 上，且其横坐标为1，∴()()3,2,1,2C m D m ++，∴32m m =+，解得1m =，∴()3,1B ，∴313k =⨯=，故选C ．10.【答案】B【解析】解：设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程11111424x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故选：B ．11.【答案】A【解析】解：如图所示，连接BD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，当04t <<时，M 在AB 上，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，∴AB AD =，则ABD △是等边三角形，∴122AE ED AD ===，BE ==∵2,AM x AN x ==，∴2AM ABAN AE==，又A A ∠=∠∴AMN ABE ∽∴90ANM AEB ∠=∠=︒∴MN ==，∴2122y x x ==当48t ≤<时，M 在BC 上，∴1122y AN BE x =⨯=⨯=，综上所述，04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当48t ≤<时，函数图象是直线的一部分，故选：A ．12.【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD ADE ∠=∠=︒，AB AD =∵BFAE⊥∴90ABF BAF DAE ∠=︒-∠=∠∴cos cos ABF EAD ∠=∠即BF ADAB AE=，又AB AD =,∴2AB BF AE =⋅，故①正确；设正方形的边长为a ，∵点E 为边CD 的中点，∴2a DE =,∴1tan tans 2ABF EAD ∠=∠=,在Rt ABE △中，AB a ===，∴55AF a =在Rt ADE △中，52AE ==∴55352510EF AE AF a =-=-=，∵AB DE ∥∴GAB GED ∽∴2AG ABGE DE==∴1536GE AE a ==∴25615FG AE AF GE a a a a =--=--=∴53522515aAF FG ==∴:2:3BGF BAF S S =△△，故②正确；∵AB a =，∴22222BD AB AD a =+=,如图所示，过点H 分别作,BF AE 的垂线，垂足分别为,M N，又∵BF AE ⊥，∴四边形FMHN 是矩形，∵FH 是BFG ∠的角平分线，∴HM HN =，∴四边形FMHN 是正方形，∴FN HM HN ==∵25252,515BF AF a FG a ===∴13MH FG BM BF ==设MH b =，则34BF BM FM BM MH b b b =+=+=+=在Rt BMH中，BH ==，∵5BF a =∴2545a b =解得：510b a =∴52102BH a a ==，∴22222B a D BD HD a a =-⋅⨯=，故④正确．故选：D ．二、填空题13.【答案】()()x y x z +-【解析】解：2x xy xz yz +--=()()()()x x y z x y x y x z +-+=+-，故答案为：()()x y x z +-．14.【答案】5x ≥-且0x ≠##0x ≠且5x ≥-【解析】∵式子5x x有意义，∴50x +≥且0x ≠，∴5x ≥-且0x ≠，故答案为：5x ≥-且0x ≠．15.【答案】12##0.5【解析】解：列表如下，1234111 1=1213142221=212=232142=333 1=3 2313=344441=42 2=43414=共有16种等可能结果，符合题意的有8种，∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是81162=，故答案为：12．16.【答案】23-【解析】解：∵一元二次方程256x x x +=+，即2460x x --=，的两根为1x 与2x ，∴121246x x x x +==-，，∴1211+x x 12124263x x x x +===--，故答案为：23-．17.【答案】12x -##12x-+【解析】解：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭()()()()()2221242x x x x x x x x x +----=⨯--()()2222442x x x x x x x x ---+=⨯--12x =-；故答案为：12x -．18.【答案】22π3cm 3⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】解：如图所示，连接,OA OC ，设,AB CO 交于点D∵将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC AO =，OC AB ⊥又OA OC =∴OA OC AC ==，∴AOC 是等边三角形，∴60AOC ∠=︒，1OD CD ==，∴AD ==,∴阴影部分面积)226012π22πcm 36023AOC AOC S S =-=⨯-⨯= 扇形故答案为：22πcm 3⎛-⎝．19.【答案】(62,2)a b --【解析】解：如图所示，过点,C C '分别作x 轴的垂线,CD C D ''垂足分别为,D D '，∵ABC 与AB C ''△的相似比为12∶，点A 是位似中心，(2,0)A ∴2AD AD '=∵(,)C a b ，∴2,AD a CD b =-=,∴24,2A D a C D b '''=-=，∴()224,0D a '-+∴C '(62,2)a b --故答案为：(62,2)a b --．20.【答案】3+##3【解析】解：∵E 为高BD 上的动点．∴1302CBE ABC ∠=∠=︒∵将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ．ABC 是边长为6的等边三角形，∴,60,CE CF ECF BCA BC AC =∠=∠=︒=∴CBE CAF ≌∴30CAF CBE ∠=∠=︒，∴F 点在射线AF 上运动，如图所示，作点C 关于AF 的对称点C '，连接DC '，设CC '交AF 于点O ，则=90AOC ∠︒在Rt AOC 中，30CAO ∠=︒，则132CO AC ==，则当,,D F C '三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ''''+=+=∵6CC AC '==，ACO C CD '∠=∠，CO CD =∴ACO C CD ' ≌∴90C DC AOC '∠=∠=︒在C DC ' 中，C D '===∴CDF 周长的最小值为3CD FC CD CD DC '++=+=+故答案为：3+21.【答案】22n n -##22n n -+【解析】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．22.【答案】44+-【解析】解：如图所示，过点A 作AM BC ⊥于点M ，∵等腰ABC ，120BAC ∠=︒，2AB =．∴30ABC ACB ∠=∠=︒，∴112AM AB ==，BM CM ===∴BC =，如图所示，当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒，过点B 作BEA B '⊥交A D '于点E ，∵120BAC ∠=︒，∴60DA B '∠=︒，30A EB '∠=︒，在Rt A BE ' 中，24A E A B ''==，BE ==∵等腰ABC ，120BAC ∠=︒，2AB =．∴30ABC ACB ∠=∠=︒，∵ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒，∴45ABA '∠=︒，∴180********DBE ∠=︒-︒-︒-︒=︒，1804530105A BD '∠=︒-︒-︒=︒在A BD ' 中，1801806010515D DA B A BD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=''︒,∴D EBD ∠=∠，∴EB ED ==，∴4A D A E DE ''=+=+如图所示，当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒，过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F ，在BFD △中，45BDF CBC ∠'=∠=︒，∴DF BF=在Rt DC F ' 中，30C '∠=︒∴3'3DF FC =∴BC BF =+=∴3DF BF ==-∴26DC DF '==-∴624A D C D A C ''''=-=-=-，综上所述，A D '的长度为4-或4+，故答案为：4-或4+．三、解答题23.【答案】（1）见解析（2）75EDF ∠=︒或105︒【解析】（1）解：如图所示，①连接PO ，分别以点,P O 为圆心，大于12PO 的长为半径画弧，两弧交于点,M N 两点，作直线MN 交OP 于点A ，②以点A 为圆心，OA 为半径画圆，与O 交于,E F 两点，作直线,PE PF ，则直线,PE PF 即为所求；（2）如图所示，点D 在O 上（点D 不与E ，F 两点重合），且30EPF ∠=︒，∵,PE PF 是O 的切线，∴90PEO PFO ∠=∠=︒，∴360909030150EOF ∠=︒-︒-︒-︒=︒，当点D 在优弧 EF 上时，1752EDF EOF ∠=∠=︒，当点D 在劣弧 EF上时，18075105EDF ∠=︒-︒=︒，∴75EDF ∠=︒或105︒．24.【答案】（1）河两岸之间的距离是20+米（2）5tan 2CPE ∠=【解析】（1）解：如图所示，过点C 作CM EF ⊥于点M ，设CM a =米，∵30CBE ∠=︒∴3tan tan 303CM CBM PB ∠==︒=，∴MB =，在Rt MCD △中，tan tan 451CM CDM MD∠==︒=，∴MD MC a ==∴40BD MB MD a =-=-=解得：20a =答：河两岸之间的距离是20米；（2）解：如图所示，依题意，4012)52PB BD DP =+=+=+，∴((20528MP MB PB =-=+=+，在Rt CMP △中，5tan2CM CPM MP ∠==，∴5tan 2CPE ∠=．25.【答案】（1）每辆A 型车、B 型车坐满后各载客40人、55人（2）共有4种租车方案，租8辆A 型车，2辆B 型车最省钱（3）在甲乙两车第一次相遇后，当3t =小时或113小时时，两车相距25千米【解析】（1）解：设每辆A 型车、B 型车坐满后各载客x 人、y 人，由题意得5231034340x y x y +=⎧⎨+=⎩解得4055x y =⎧⎨=⎩答：每辆A 型车、B 型车坐满后各载客40人、55人．（2）设租用A 型车m 辆，则租用B 型车(10)m -辆，由题意得()()500600105500405510420m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩解得：2583m ≤≤m 取正整数，∴5m =，6，7，8∴共有4种租车方案设总租金为w 元，则500600(10)1006000w m m m =+-=-+ 1000-<w ∴随着m 的增大而减小∴8m =时，w 最小∴租8辆A 型车，2辆B 型车最省钱．（3）设s kt =甲，1s k t b =+乙．由题意可知，甲车的函数图象经过(4,300)；乙车的函数图象经过(0.5,0)，(3.5,300)两点．∴75s t =甲，10050s t =-乙25s s -=乙甲，即100507525t t --=解得3t =或3007525t -=解得113t =所以，在甲乙两车第一次相遇后，当3t =小时或113小时时，两车相距25千米．26.【答案】（1）见解析（2）y =（或2(416x y x -=+）（3）1023【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD BF ∥，∴D DCF ∠=∠，∵G 为CD 中点，∴DG CG =，在ADG △和△FCG 中D GCF DG CG AGD FGC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)ADG FCG △≌△；（2）∵四边形ABCD 为矩形，∴90ABC ∠=︒，∵CE AF ⊥，∴90CEF ABC ∠=︒=∠，∵F F ∠=∠，∴CEF ABF △∽△，∴CE CF AB AF=，∵4AB =，BF x =，∴在Rt ABF 中，AF ==，∵CE y =，∴4y =∴y =2(416x y x -=+）；（3）过点E 作EN BF ⊥于点N ，∵四边形ABCD 为矩形，且3AD =，∴3AD BC ==，∵4AB =，1CF =，∴AB BF =，∴ABF △为等腰直角三角形，∴45CFE BAF ∠=∠=︒，∵CE AF ⊥，∴CEF △为等腰直角三角形，∴45ECF ∠=︒，∵EN CF ^，∴EN 平分CF ，∴12CN NF NE ===，在Rt BNE 中，∵222BE BN EN =+，∴2BE ==，∵45ECF BAF ︒∠=∠=，∴135BAM BCE ∠=∠=︒，∵BM BE ⊥，∴90MBA ABE ∠+∠=︒，∵90ABE EBC ∠+∠=︒，∴MBA EBC ∠=∠，∴BAM BCE △∽△，∴43BM BA BE BC ==，43522=，∴1023BM =．27.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）215【解析】（1） ABC ∠和AMC ∠是 AC 所对的圆周角，∴ABC AMC Ð=Ð，AHM CHB Ð=Ð，∴AMH CBH ，∴AH MH CH BH=，∴MH CH AH BH ⋅=⋅．（2）连接OC ，交AB 于点F ，MC 与ND 为一组平行弦，即：MC ND ∥，∴OND OMC Ð=Ð， OM OC =，∴OMC OCM ∠=∠， 90OND AHM∠+∠=︒，∴90OCM AHM OCM CHB Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴90HFC ∠=︒，∴OC AB ⊥，∴OC 是AB 的垂直平分线，∴ =AC BC．（3）连接DM 、DG ，过点D 作DE MN ⊥，垂足为E ，设点G 的对称点G '，连接G D ¢、G N '，DG DG '=，G ND GND ¢Ð=Ð，∴ 'DM DG = ，∴DG DM ¢=，∴DG DM =，∴DGM 是等腰三角形，DE MN ⊥，∴GE ME =， DN CM ∥，∴CMN DNM Ð=Ð，MN 为直径，∴90MDN ∠=︒，∴90MDE EDN ∠+∠=︒，DE MN ⊥，∴90DEN ∠=︒，∴90DNM EDN Ð+Ð=°，∴3sin sin sin 5EDM DNM CMN Ð=Ð=Ð=，在Rt MND △中，15MN =，∴3sin 5MD DNM MN Ð==，∴3155MD =，∴9MD =，在Rt MED 中，3sin 5ME EDM MDÐ==，∴395ME =∴275ME =，∴2721215255NG MN MG MN ME =-=-=-´=∴215NG =故答案为：215．28.【答案】（1）211462y x x =++，36y x =+（2）满足条件的E 、F 两点存在，1(8,2)E -，2(4,2)E -，3(4,4)E -（3）当133m =时，12CD PD +的最大值为24【解析】（1）解：把(6,0)A -，(2,0)B -，(0,6)C 代入21y ax bx c =++得36604206a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得1246a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴211462y x x =++把(2,0)B -代入6y kx =+得3k =∴36y x =+（2）满足条件的E 、F 两点存在，1(8,2)E -，2(4,2)E -，3(4,4)E -解：①当BC 为正方形的边长时，分别过B 点C 点作12E E BC ⊥，12F F BC ⊥，使12E B E B BC ==，12CF CF BC ==，连接11E F 、22E F .过点1E 作11E H x ⊥轴于1H .∵1111,90BE CB BOC E H B E BC =∠=∠=︒=∠，又111190BE H E BH CBO ∠=︒-∠=∠，∴11(AAS)BE H CBO △≌△，∴112E H BO ==，16H B OC ==∴1(8,2)E -同理可得，2(4,2)E -②以BC 为正方形的对角线时，过BC 的中点G 作33EF BC ⊥，使33E F 与BC 互相平分且相等，则四边形33E BF C 为正方形，过点3E 作3E N y ⊥轴于点N ，过点B 作3BM E N ⊥于点M∵3333,90CE BE CNE E MB =∠=∠=︒，又33390BE M CE N E CN∠=︒-∠=∠∴33(AAS)CE N E BM △≌△∴3CN E M =，3BM E N=∵BC =∴3E G BG ==∴3E B =在3Rt E NC △中，22233E C CN E N =+∴222(6)CN CN =+-解得2CN =或4当4CN =时，3(2,2)E ，此时点E 在点F 右侧故舍去；当2CN =时，3(4,4)E -.综上所述：1(8,2)E -，2(4,2)E -，3(4,4)E -（3）∵211462y x x =++向右平移8个单位长度得到抛物线()()22184862y x x =-+-+当20y =，即()()21848602x x -+-+=解得：122,6x x ==∴(2,0)M ，(6,0)N ∵2y 过M ，N ，C 三点∴221462y x x =-+在直线NC 下方的抛物线2y 上任取一点P ，作PH x ⊥轴交NC 于点H ，过点H 作HG y ⊥轴于点.G∵(6,0)N ，(0,6)C ∴ON OC=∴CON 是等腰直角三角形∵45CHG ∠=︒，90GHP ∠=︒∴45PHD ∠=︒又PD CN⊥∴HPD 是等腰直角三角形∴22HD DP HP ==∵点P 在抛物线2y 上，且横坐标为m∴CG GH m==∴2CH m=∵6CN y x =-+∴(,6)H m m -+∴2211646322HP m m m m m ⎛⎫=-+--+=-+ ⎪⎝⎭∴222123232242HD DP m m m ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭∴211332322222242CD PD CH HD PD CH PD m m m ⎛⎫+=++=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭2321316928324m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴当133m =时，12CD PD +的最大值为24．。
2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷(附答案解析)
2024年黑龙江省绥化市中考数学试卷（附答案解析）一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）实数﹣的相反数是（）A．2025B．﹣2025C．﹣D．【解答】解：﹣的相反数是，故选：D．2．（3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．等腰三角形C．圆D．菱形【答案】B．分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．（3分）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】A．4．（3分）若式子有意义，则m的取值范围是（）A．m≤B．m≥﹣C．m≥D．m≤﹣【解答】解：由题意得：2m﹣3≥0，解得：m≥，故选：C．5．（3分）下列计算中，结果正确的是（）A．（﹣3）﹣2＝B．（a+b）2＝a2+b2C．＝±3D．（﹣x2y）3＝x6y3【解答】解：（﹣3）﹣2＝，则A符合题意；（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，则B不符合题意；＝3，则C 不符合题意；（﹣x 2y ）3＝﹣x 6y 3，则D 不符合题意；故选：A ．6．（3分）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（）A ．x 2+6x +5＝0B ．x 2﹣7x +10＝0C ．x 2﹣5x +2＝0D ．x 2﹣6x ﹣10＝0【答案】B ．7．（3分）某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：鞋码3637383940平均每天销售量/双1012201212如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数．故选：C ．8．（3分）一艘货轮在静水中的航速为40km /h ，它以该航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km 所用时间相等，则江水的流速为（）A ．5km /hB ．6km /hC ．7km /hD ．8km /h【解答】解：设江水的流速为x km /h ，则沿江顺流航行的速度为（40+x ）km /h ，沿江逆流航行的速度为（40﹣x ）km /h ，根据题意得：＝，解得：x ＝8，∴江水的流速为8km /h ．故选：D ．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．9．（3分）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（）A．（9，4）B．（4，9）C．（1，）D．（1，）【分析】根据位似变换的性质解答即可．【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形OABC按相似比缩小，点B的坐标为（3，2），∴顶点B在第一象限对应点的坐标为（3×，2×），即（1，），故选：D．10．（3分）下列叙述正确的是（）A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B．平分弦的直径垂直于弦C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【分析】选项A根据中点四边形的定义以及矩形的判定方法解答即可；选项B根据垂径定理判断即可；选项C根据中心投影的定义判断即可；选项D根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理判断即可．【答案】C．11．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．B．6C．D．12【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝＝3，∴AC＝2OC＝6，∵菱形ABCD的面积＝AE•BC＝BD×AC＝OB•AC，∴AE＝＝＝，故选：A．12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：①＞0；②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；③3a+c＜1；④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，∴a＜0．又抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0．又抛物线交y轴正半轴，∴当x＝0时，y＝c＞0．∴＜0，故①错误．由题意，当x＝﹣1时，y取最大值为y＝a﹣b+c，∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a﹣b+c．∴对于任意实数m，当x＝m时，y＝am2+bm+c≤a﹣b+c．∴am2+bm≤a﹣b，故②正确．由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，又b＝2a，∴3a+c＜0＜1，故③正确．由题意∵抛物线为y＝ax2+bx+c，∴x1+x2＝﹣＝﹣＝﹣2＞﹣3，故④错误．综上，正确的有②③共2个．故选：B．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）13．（3分）我国疆域辽阔，其中领水面积约为370000km2，把370000这个数用科学记数法表示为．【解答】解：370000＝3.7×105，故答案为：3.7×105．14．（3分）分解因式：2mx2﹣8my2＝．【分析】先提取公因式再运用公式法进行因式分解即可得出答案．【解答】解：原式＝2m（x2﹣4y2）＝2m（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：2m（x+2y）（x﹣2y）．15．（3分）如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝°．【解答】解：∵OC＝OE，∠C＝33°，∴∠E＝∠C＝33°，∴∠DOE＝∠E+∠C＝66°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠DOE＝66°，故答案为：66．16．（3分）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50m，则这栋楼的高度为m（结果保留根号）．【解答】解：由题意得：AD⊥BC，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝50m，∴CD＝AD•tan60°＝50（m），在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD•tan45°＝50（m），∴BC＝BD+CD＝（50+50）m，∴这栋楼的高度为（50+50）m，故答案为：（50+50）．17．（3分）化简：÷（x﹣）＝．【解答】解：原式＝÷＝•＝，故答案为：．18．（3分）用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为__cm．【解答】解：扇形的弧长＝＝7π（cm），故圆锥的底面半径为7π÷2π＝（cm）．故答案为：．19．（3分）如图，已知点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝．【分析】作BE⊥x轴，DG⊥x轴，根据点的坐标及相似三角形性质可求出点D坐标继而求出k值．【解答】解：如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，∵点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），∴BE＝10，OF＝17，OA＝7，∴EF＝BC＝OA＝7，∴OE＝17+7＝24，∵BE∥DG，∴△ODG∽△OBE，∵OD：OB＝1：4，∴＝，∴，∴D（﹣，6），∵点D在反比例函数图象上，∴k＝﹣＝﹣15．故答案为：﹣15．20．（3分）如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝．【解答】解：作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM；∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，∠EOM＝∠MOP，作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠NOF，∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF，当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，又∵∠EOF＝∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF，∠AOB＝∠MOP+∠PON，∴∠EOF＝2∠AOB，又∵∠AOB＝50°，∴∠EOF＝100°，∴在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF＝180°，∴∠OEM+∠OFN＝180°﹣100°＝80°，∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN，∴∠MPO+∠OPN＝80°，∵∠MPN＝∠MPO+OPN＝80°，故答案为：80°．21．（3分）如图，已知A1（1，﹣），A2（3，﹣），A3（4，0），A4（6，0），A5（7，），A6（9，），A7（10，0），A8（11，﹣）…，依此规律，则点A2024的坐标为．【答案】（2891，）．22．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点E在直线AD上，且DE＝2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是或或cm．【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BD于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝BD，AD＝BC，AB＝CD，∵AB＝4cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得cm，∴BD＝cm，∵∠EFD＝∠BAD＝90°，∠EDF＝∠BDA，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴EF＝cm；如图2，过点E作EM⊥AC于点M，∵AD＝BC＝8cm，DE＝2cm，∴AE＝6cm，∵∠AME＝∠ADC＝90°，∠EAM＝∠CAD，∴△AEM∽△ACD，∴，∴∴EM＝cm；如图3，过点E作EN⊥BD的延长线于点N，∴∠END＝∠BAD＝90°，∴∠EDN＝∠BDA，∴△END∽△BAD，∴，∴，∴EN＝cm；如图4，过点E作EH⊥AC的延长线于点H，∴∠AHE＝∠ADC＝90°，∴∠EAH＝∠CAD，∴△AHE∽△ADC，∴，∵AD＝BC＝8cm，DE＝2cm，∴AE＝10cm，∴，∴EH＝cm；综上，点E到矩形对角线所在直线的距离是cm或cm或cm，故答案为：或或．三、解答题（本题共6个小题，共54分）23．（7分）已知：△ABC．（1）尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是cm2．【解答】解：（1）分别作出AB边和BC边的垂直平分线，与AB和BC边分别交于点N和点M，连接AM和CN，如图所示，点G即为所求作的点．（2）∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2MG，∵△ABG的面积等于5cm2，∴△BMG的面积等于2.5cm2，∴△ABM的面积等于7.5cm2．又∵AM是△ABC的中线，∴△ABC的面积等于15cm2．故答案为：15．24．（7分）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动、为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）参加本次问卷调查的学生共有人；（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是，并补全条形统计图．（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示，请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．【解答】解：（1）参加本次问卷调查的学生共有12÷20%＝60（人）．故答案为：60．（2）A组的人数为60﹣20﹣10﹣12＝18（人），∴在扇形统计图中，A组所占的百分比是18÷60×100%＝30%．故答案为：30%．补全条形统计图如图所示．（3）列表如下：A B C DA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中选中的2个社团恰好是B和C的结果有：（B，C），（C，B），共2种，∴选中的2个社团恰好是B和C的概率为＝．25．（9分）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆、B 种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元？（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间x min 之间的对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y1；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题．①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么小刘选择B种电动车更省钱（填写A或B）．②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值5或40．【解答】解：（1）设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，由题意得，，解得：，答：A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元．（2）设购买A种电动车m辆，则购买8种电动车（200﹣m）辆，m（200﹣m），解得：m≤，设所需购买总费用为w元，则w＝1000m+3500（200﹣m）＝﹣2500m+700000，∵﹣2500＜0，∴w随着m的增大而减小，∵m取正整数，∴m＝66时，w最少，＝700000﹣2500x66＝535000（元），∴w最少答：当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元．（3）①∵两种电动车的平均行驶速度均为300m/min，小刘家到公司的距离为8km，∴所用时间＝26（分钟），根据函数图象可得当x＞20时，y2＜y1更省钱，∴小刘选择B种电动车更省钱，故答案为：B．②设y1＝k1x，将（20，8）代入得，8＝20k1，解得：k1＝，∴y1＝x，当0＜x≤10时，y2＝6，当x＞10时，设y2＝k2x+b2，将（10，6）、（20，8）代入得，，解得：，∴y2＝x+4，依题意，当0＜x＜10时，y2﹣y1＝4，即6﹣x＝4，解得：x＝5，当x＞10时，|y2﹣y1|＝4，即|x+4﹣x|＝4，解得：x＝0（舍去）或x＝40，故答案为：5或40．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键．26．（10分）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若正方形ABCD的边长为+1，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交于点N．当CM：FM＝1：4时，求CN的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴OE＝OG，∵OE为⊙O的半径，∴OG为⊙O的半径，∵OG⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）解：如图，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠DAC＝45°，∵⊙O与AD相切于点E，∴∠AEO＝90°，∴由（1）可知AE＝OE，设AE＝OE＝OC＝OF＝R，在Rt△AEO中，∵AE2+EO2＝AO2，∴AO2＝R2+R2，∵R＞0，∴，又∵正方形ABCD的边长为+1，在Rt△ADC中，∴，∵OA+OC＝AC，∴，∴，∴⊙O的半径为；（3）解：如图，连接FN，ON，设CM＝k，∵CM：FM＝1：4，∴CF＝5k，∴OC＝ON＝2.5k，∴OM＝OC﹣CM＝1.5k，在Rt△OMN中，由勾股定理得：MN＝2k，在Rt△CMN中，由勾股定理得：，又∵，∴，∴．【点评】本题考查了圆的综合应用，其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键．27．（10分）综合与实践问题情境在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片△ABC和△DEF满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC＝DF＝DE＝2cm．下面是创新小组的探究过程．操作发现（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合．当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设AH＝x（1＜x＜2），BG＝y，请你探究出y与x的函数关系式，并写出解答过程．问题解决（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现△CGH的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．拓展延伸（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B），且始终保持∠AFE＝60°．请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值2+或2﹣（结果保留根号）．【解答】解：（1）如图：∵∠ACB＝∠EDF＝90°，且AC＝BC＝DF＝DE＝2cm，∴∠A＝∠B＝∠DFE＝45°，∴∠AFH+∠BFG＝∠BFG+∠FGB＝135°，∴∠AFH＝∠FGB，∴△AFH∽△BGF，∴，∴AH•BG＝AF•BF，在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴，∵O是AB的中点，点O与点F重合，∴，∴，∴，∴y与x的函数关系式为；（2）△CGH的周长定值为2，理由如下：∵AC＝BC＝2，AH＝x，BG＝y，∴CH＝2﹣x，CG＝2﹣y，在Rt△HCG中，∴＝＝＝，将（1）中xy＝2代入得：＝，∵1＜x＜2，y＝，∴1＜y＜2，∴x+y＞2，∴GH＝x+y﹣2，∴△CHG的周长＝CH+CG+GH＝2﹣x+2﹣y+x+y﹣2＝2；（3）①过点F作FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，如图：∵∠AFE＝60°，∠A＝45°，∴∠AHF＝75°，∴FM＝MH，∵∠FNH＝90°，∴∠NFH＝15°，∵FM＝MH，∴∠NFH＝∠MHF＝15°，∴∠NMH＝30°，在Rt△MNH中，设NH＝k，∴MH＝MF＝2k，∴MN＝＝k，∴FN＝MF+MN＝（2+）k，在Rt△FNH中，；②过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，∵∠AFE＝60°，∠B＝45°，∴∠FGB＝∠AFE﹣∠B＝15°，∵GM＝MF，∴∠FGB＝∠GFM＝15°，∴∠FMB＝30°，在Rt△FNM中，设FN＝k，∴GM＝MF＝2k，由勾股定理得MN＝＝k，∴GN＝GM+MN＝（2+）k，在Rt△FNG中，，综上所述，tan或，故答案为：2+或2﹣．【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及相似三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，锐角三角函数，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．28．（11分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B （0，1）．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP＝tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，4），B（0，1），∴，解得：，∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x+1；（2）存在．理由如下：∵BC∥x轴，且B（0，1），∴点C的纵坐标为1，∴1＝﹣x2+4x+1，解得：x1＝0（舍去），x2＝4，∴C（4，1），过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图，在Rt△ACQ中，∵A（3，4），∴Q（3，1），∵tan∠BCP＝tan∠ACB，∴tan∠BCP＝×＝×＝，∵BC＝4，∠CBM＝90°，∴＝tan∠BCP＝，∴BM＝BC＝×4＝2，∴|y M﹣1|＝2，∴y M＝3或﹣1，∴M1（0，3），M2（0，﹣1），∴直线CM1的解析式为y＝﹣x+3，直线CM2的解析式为y＝x﹣1，由，解得，（舍去），由，解得，（舍去），∴P1（，），P2（﹣，﹣），综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（，），P2（﹣，﹣）；（3）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，∴原抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5），∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y′，∴y′＝﹣x2+5，联立得，解得：，∴D（1，4），又B（0，1），设E（2，t），F（m，n），当BD、EF为对角线时，则，解得：，∴F（﹣1，3）；当BE、DF为对角线时，则，解得：或，∴F（1，4）与点D重合，不符合题意，舍去，或F（1，﹣2）；当BF、DE为对角线时，则，解得：或，∴F（3，4﹣）或F（3，4+）；综上所述，点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4﹣）或（3，4+）．。
2024届黑龙江省哈尔滨市呼兰区中考联考数学试题含解析
2024届黑龙江省哈尔滨市呼兰区中考联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．4的平方根是( )A．2 B．2C．±2 D．±22．16＝（）A．±4 B．4 C．±2 D．23．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形4．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3C．y＝2(x+3)2D．y＝2(x﹣3)25．已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（）A．100cm B．10cm C．10cm D．1010cm6．若kb＜0，则一次函数y kx b=+的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限7．“山西八分钟，惊艳全世界”.2019年2月25日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动．山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能8800余万吨，煤层气产量突破56亿立方米．数据56亿用科学记数法可表示为（）A．56×108B．5.6×108C．5.6×109D．0.56×10108．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠9．吉林市面积约为27100平方公里，将27100这个数用科学记数法表示为（ ）A ．27.1×102B ．2.71×103C ．2.71×104D ．0.271×10510．若，则的值为（ ）A ．﹣6B ．6C ．18D ．30二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处测得小岛C 位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C 的距离为_________海里.（结果保留根号）12．函数的自变量的取值范围是 ．13．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PC=6，BC ：AC=1：2，则AB 的长为_____．14．已知线段4a =厘米，9b =厘米，线段c 是线段a 和线段b 的比例中项，线段c 的长度等于________厘米．15．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x（x ＜0）的图象经过顶点B ，则k 的值为_____．16．方程21x x =-的解是__________. 17．将23x =代入函数1y x =-中，所得函数值记为1y ，又将11x y =+代入函数1y x =-中，所得的函数值记为2y ，再将21x y =+代入函数中，所得函数值记为3y …，继续下去．1y =________；2y =________；3y =________；2006y =________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）反比例函数k y x =的图象经过点A (2，3)． (1)求这个函数的解析式；(2)请判断点B (1，6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．19．（5分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？20．（8分）如图1，在圆O 中，OC 垂直于AB 弦，C 为垂足，作BAD BOC ∠=∠，AD 与OB 的延长线交于D . （1）求证：AD 是圆O 的切线；（2）如图2，延长BO ，交圆O 于点E ，点P 是劣弧AE 的中点，5AB =，132OB =，求PB 的长 .21．（10分）化简： 23x 11x 2?x 4+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ 22．（10分）计算：﹣22+2cos60°+（π﹣3.14）0+（﹣1）2018 23．（12分）如图，在四边形ABCD 中，点E 是对角线BD 上的一点，EA ⊥AB ，EC ⊥BC ，且EA=EC ．求证：AD=CD ．24．（14分）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．求二月份每辆车售价是多少元？为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】，然后再根据平方根的定义求解即可．【题目详解】=2，2的平方根是的平方根是．故选D．【题目点拨】正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．2、B【解题分析】表示16的算术平方根，为正数，再根据二次根式的性质化简．【题目详解】，4故选B．【题目点拨】本题考查了算术平方根，本题难点是平方根与算术平方根的区别与联系，一个正数算术平方根有一个，而平方根有两个．3、D【解题分析】根据多边形的内角和=（n﹣2）•180°，列方程可求解.【题目详解】设所求多边形边数为n，∴（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8.故选D.【题目点拨】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.4、C【解题分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.【题目详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.【题目点拨】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.5、C【解题分析】圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长．【题目详解】设母线长为R，则圆锥的侧面积=236360R=10π，∴R=10cm，故选C．【题目点拨】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握扇形面积是解题的关键.6、D【解题分析】根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．【题目详解】∵kb<0，∴k、b异号。
2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷及答案解析
2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣的相反数是（）A．5B．﹣5C．D．﹣2．（3分）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．4a2+2a2＝6a4B．5a•2a＝10a C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）2＝a44．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（3分）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（）A．6B．7C．8D．96．（3分）如果关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是（）A．m＜1且m≠0B．m＜1C．m＞1D．m＜1且m≠﹣17．（3分）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有（）A．5种B．4种C．3种D．2种9．（3分）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝12，动点E ，F 同时从点A 出发，分别沿射线AB 和射线AC 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF ，以EF 为边向下做正方形EFGH ，设点E 运动的路程为x （0＜x ＜12），正方形EFGH 和等腰Rt △ABC 重合部分的面积为y ．下列图象能反映y 与x 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．10．（3分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）的图象与x 轴交于（﹣1，0），（x 1，0），其中2＜x 1＜3．结合图象给出下列结论：①ab ＞0；②a ﹣b ＝﹣2；③当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +2＝0（a ≠0）的另一个根是﹣；⑤b 的取值范围为1＜b ＜．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y 轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H（2a﹣1，a+1），则a＝．13．（3分）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是．14．（3分）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为cm．15．（3分）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为．16．（3分）已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当△BCB′为直角三角形时，线段CP 的长为．17．（3分）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，0），点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O′，点C的对应点为C′，OC与O′C′的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（1）计算：+|﹣4cos60°|﹣（π﹣5）0+（）﹣2；（2）分解因式：2a3﹣8ab2．19．（5分）解方程：x2﹣5x+6＝0．20．（8分）为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表：组别A B C D成绩（x/分）60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100人数（人）m94n16【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m＝，n＝；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是°；（4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠CFB＝，AB＝8，求图中阴影部分的面积．22．（10分）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：（1）a＝米/秒，t＝秒；（2）求线段MN所在直线的函数解析式；（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出答案即可）23．（12分）综合与实践如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是；（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则＝；（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP＝，请直接写出线段AP的长度．24．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为．2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．【分析】根据相反数的定义，即可解答．【解答】解：﹣的相反数是，故选：C．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂相除及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可．【解答】解：A.4a2+2a2＝6a2，故本选项不符合题意；B.5a•2a＝10a2，故本选项不符合题意；C．a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；D．（﹣a2）2＝a4，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂相除及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．4．【分析】由对顶角的性质得到∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，求出∠4＝90°﹣∠3＝40°，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵∠3＝∠1＝50°，∴∠4＝90°﹣∠3＝40°，∴∠2＝∠4＝40°．故选：B．【点评】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的相等．5．【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图；俯视图是从上面看得到的视图．【解答】解：左视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故左视图的面积为3；俯视图的底层是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图的面积为4；所以该几何体左视图与俯视图的面积和是7．故选：B．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．6．【分析】先解分式方程，然后根据关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，分母不为0，列出关于m 的不等式，解不等式即可．【解答】解：，x+1﹣mx＝0，x﹣mx＝﹣1，（1﹣m）x＝﹣1，，∵关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，∴m﹣1＜0且m﹣1≠﹣1，解得：m＜1且m≠0，故选：A．【点评】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤．7．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：篮球足球排球羽毛球篮球（篮球，篮球）（篮球，足球）（篮球，排球）（篮球，羽毛球）足球（足球，篮球）（足球，足球）（足球，排球）（足球，羽毛球）排球（排球，篮球）（排球，足球）（排球，排球）（排球，羽毛球）羽毛球（羽毛球，篮球）（羽毛球，足球）（羽毛球，排球）（羽毛球，羽毛球）共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的结果有4种，∴甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率为．故选：C．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．8．【分析】设购买8元的笔记本x件，10元的笔记本y件，根据计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，列出二元一次方程，求出正整数解即可．【解答】解：设购买8元的笔记本x件，10元的笔记本y件，依题意得：8x+10y＝200，整理得：y＝20﹣x，∵x、y均为正整数，∴或或或，∴购买方案有4种，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．9．【分析】在解题之前我们一定要对此类面积问题的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考虑的解法，面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，则是y随x增大而增大的一次函数；如果变量是减小的，则是y随x增大而减小的一次函数；②边底和高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口向下的二次函数．再运用以上方法基本上可以快速定位答案．【解答】解：在解题之前我们一定要对此类面积问题的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考虑的解法，面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，则是y随x增大而增大的一次函数；如果变量是减小的，则是y随x增大而减小的一次函数；②边底和高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口向下的二次函数．运用：本题中正方形EFGH与等腰Rt△ABC的重合部分主要分两部分，①当重合部分全部在等腰Rt△ABC内部时，我们发现重合部分实际就是正方形EFGH的面积，此时正方形边长在增大，就是底和高同增，所以这一部分是开口向上的二次函数，选项只有AB符合；②当重合部分是正方形EFGH的一部分时，我们发现这一部分的长在增大，但是宽在减小，就是底和高一增一减，所以这一部分是开口向下的二次函数，选项A符合．故选：A．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握此类问题的判断方法是快速而正确解题的关键．10．【分析】根据对称轴位置即可判断①；由二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0）即可判断②；求得对称轴，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④；由2＜x1＜3得到关于b的不等式组，解不等式组求得b的取值范围即可判断⑤．【解答】解：由图象可知，﹣＞0，∴ab＜0，故结论①错误；∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），∴a﹣b+2＝0，即a﹣b＝﹣2，故结论②正确；∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3，∴＜﹣＜1，∵抛物线开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故结论③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），∴﹣1，x1是方程ax2+bx+2＝0的两个根，∴﹣1•x1＝，∴x1＝﹣，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是﹣，故结论④正确；∵a﹣b+2＝0，∴a＝b﹣2，∴y＝（b﹣2）x2+bx+2，∵2＜x1＜3，∴，解得1＜b＜，故结论⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，掌握二次函数的性质以及函数与方程的关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分，满分21分）11．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：7416.7万＝74167000＝7.4167×107，故答案为：7.4167×107．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．12．【分析】由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，进而可得2a﹣1＝a+1，解方程即可．【解答】解：由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，∴∠MOH＝45°，∴2a﹣1＝a+1，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查作图—基本作图、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．【解答】解：由题意得：3+x＞0且x+2≠0，解得：x＞﹣3且x≠﹣2，故答案为：x＞﹣3且x≠﹣2．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．14．【分析】根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：设扇形的母线长为l cm，∵圆锥的底面半径是1cm，∴圆锥的底面周长是2πcm，即侧面展开图扇形的弧长是2πcm，则＝2π，解得：l＝4，由勾股定理得：圆锥的高＝＝（cm）．故答案为：．【点评】本题考查的是圆锥的计算，认识平面图形和勾股定理，掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等是解题的关键．15．【分析】延长AB交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出AB＝OC＝1，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，∵B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，∴OC•OD＝3OC＝3，∵ABCO是平行四边形，∴AB＝OC＝1，∴AD＝2，∴A（﹣2，3），∵点A在反比例函数图象上，∴k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形面积计算是关键．16．【分析】分三种情况讨论，一是∠BB′C＝90°，可由∠PB′B＝∠PBB′，推导出∠PB′C＝∠PCB′，则B′P＝CP＝BP＝BC＝2；二是∠BCB′＝90°，则点B′在DC上，求得B′D＝＝3，则B′C＝2，由勾股定理得22+CP2＝（4﹣CP）2，求得CP＝；三是由∠B′BC是等腰三角形B′PB的底角，说明∠B′BC≠90°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝4，∴DC＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠D＝∠ABC＝∠ACB＝90°，由折叠得AB′＝AB＝5，B′P＝BP，如图1，△BCB′为直角三角形，且∠BB′C＝90°，∴∠PB′C+∠PB′B＝90°，∠PCB′+∠PBB′＝90°，∵∠PB′B＝∠PBB′，∴∠PB′C＝∠PCB′，∴B′P＝CP，∴CP＝BP＝BC＝×4＝2；如图2，△BCB′为直角三角形，且∠BCB′＝90°，∵∠BCB′＝∠C＝90°，∴点B′在DC上，∴B′D＝＝＝3，∴B′C＝DC﹣B′D＝5﹣3＝2，∵B′C2+CP2＝BP′2，且B′P＝BP＝4﹣CP，∴22+CP2＝（4﹣CP）2，解得CP＝；∵∠B′BC是等腰三角形B′PB的底角，∴∠B′BC≠90°，综上所述，线段CP的长为2或，故答案为：2或．【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等角的余角相等、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类是解题的关键．17．【分析】根据所给滚动方式，发现每滚动三次，出现一个花心，再根据点A n坐标变化的规律即可解决问题．【解答】解：由题知，∠COB＝∠O′C′B＝30°，BO＝BC′，∴A1O＝A1C′，∴点A1在OC′的垂直平分线上．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，在Rt△A1OB中，tan30°＝，∴A1B＝，∴点A1的坐标为（1，）．依次类推，点A2的坐标为（），点A3的坐标为（），…，∴点A n的坐标为（）（n为正整数）．又∵每滚动三次，出现下一个花心，∴2024÷3＝674于2，则674+1＝675，∴滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为点A675．当n＝675时，点A675的坐标为（1349+，），即滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为（1349+674，）．故答案为：（1349+674，）．【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及能根据所给滚动方式发现点A n坐标变化的规律是解题的关键．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．【分析】（1）利用算术平方根，绝对值，特殊锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算即可；（2）利用提公因式法及公式法因式分解即可．【解答】解：（1）原式＝2+|﹣4×|﹣1+4＝2+2﹣1+4＝7；（2）原式＝2a（a2﹣4b2）＝2a（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查实数的运算，算术平方根，绝对值，特殊锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，利用提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握相关运算法则及因式分解的方法是解题的关键．19．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，则x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．【分析】（1）先有B人数及其所占百分比求出被调查总人数，再用总人数乘以A的百分比求出m的值，再根据各组人数之和等于总人数求出n的值；（2）根据m和n的值即可补全条形统计图；（3）用360°乘以C组人数所占比例可求得其对应圆心角度数；（4）用总人数乘以样本中80分以上（含80分）的人数所占比例即可得．【解答】解：（1）本次随机抽取的学生人数为94÷47%＝200（人），∴m＝200×25%＝50，∴n＝200﹣50﹣94﹣16＝40；故答案为：50，40；（2）补全条形统计图如图所示：（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是360°×＝72°；故答案为：72；（4）2000×＝560（名），答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数有560名．【点评】本题考查条形统计图，频数（率）分布表，用样本估计总体及扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．【分析】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45，°得到CD＝OD＝OC＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BE，∴∠OCF＝∠E＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵sin∠CFB＝，∴∠CFB＝45°，∵∠COF＝90°，∴∠COF＝∠CFO＝45，∴CF＝OC＝＝4，∴∠CDO＝90°，∴∠OCD＝∠COD＝45°，∴CD＝OD＝OC＝2，∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积＝﹣×2×2＝2π﹣4．【点评】本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．22．【分析】（1）根据图形计算即可求解；（2）先求得甲无人机单独表演所用时间为19﹣12＝7（秒），得到M（13，48），利用待定系数法即可求解；（3）利用待定系数法分别求得线段OB、线段AN、线段BM所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解．【解答】解：（1）由题意得甲无人机的速度为a＝48÷6＝8（米/秒），t＝39﹣19＝20（秒）．故答案为：8，20；（2）由图象知，N（19，96），∵甲无人机的速度为8米/秒，∴甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8＝12（秒），∴甲无人机单独表演所用时间为19﹣12＝7（秒），6+7＝13（秒），∴M（13，48），设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx+b，将M（13，48），N（19，96）代入得，解得∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x﹣56．（3）由题意A（0，20），B（6，48），同理线段OB所在直线的函数解析式为y＝8x，线段AN所在直线的函数解析式为y＝4x+20，线段BM所在直线的函数解析式为y＝48，当0≤t≤6时，由题意得|4x+20﹣8x|＝12，解得x＝2或x＝8（舍去），当6＜t≤13时，由题意得|4x+20﹣48|＝12，解得x＝10或x＝4（舍去），当13＜t≤19时，由题意得|8x﹣56﹣4x﹣20|＝12，解得x＝16或x＝22（舍去），综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．【点评】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．23．【分析】（1）利用“一线三垂直“证△ABC≌△EBD（AAS）即可得证；（2）证△DEF∽△CAF可求EF长度，然后即可求出△BDF的面积；（3）要求的值，有两个方向，①把BN和BC的值求出来，这题BC很好求，但是BN不好求，可以建立坐标系求解析式，再求交点N坐标，最后利用两点距离公式求BN的长度；②根据题干给我们的思路建立一线三直角得相似进行转化即可，利用△EMN∽△EAC和△BMN∽△BED建立关于MN的方程，求出MN的长度，最后利用△BMN∽△CAB求值即可．（4）由已知条件过P作BC垂线段，可得两个直角三角形，然后解这两个直角三角形即可求解．另外方法二的正切和差角公式可以作为课外拓展知识，在这种直接写答案的题型中可以用下，快速找出答案．【解答】解：（1）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴BC＝BD，∠CBD＝90°，∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC，∵∠A＝∠E＝90°，∴△ABC≌△EBD（AAS），∴AB＝DE；故答案为：AB＝DE．（2）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴BC＝BD，∠CBD＝90°，∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC，∵∠A＝∠E＝90°，∴△ABC≌△EBD（AAS），∴DE＝AB，BE＝AC，∵AB＝2，AC＝6，∴DE＝2，BE＝6，∴AE＝AB+BE＝8，∵∠DEB+∠A＝180°，∴DE∥AC，∴△DEF∽△CAF，∴，即，∴EF＝4，∴BF＝BE+EF＝10，＝BF•DE＝10．∴S△BDF（3）方法一：如图，以AE所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立坐标系，由AC＝6，AE＝8，DE＝2，BD＝2，∴C（0，6），B（2，0），E（8，0），D（8，2），设直线BD解析式为y＝kx+b，将B、D代入得，，解得：，∴直线BD解析式为y＝x﹣，同理可求直线CE解析式为：y＝﹣x+6，令x﹣＝﹣x+6，解得x＝，∴y＝，即N（，），∴利用两点距离公式可得BN＝，∵BC＝＝2，∴＝＝．故答案为：．方法二：如图，过N作NM⊥AE于点M，由△EMN∽△EAC得，，即，∴EM＝MN，由△BMN∽△BED得，，即，解得MN＝，由△BMN∽△CAB得，＝．故答案为：．（4）方法一：①当点P在点B左侧时，如图所示，过P作PQ⊥BC于点Q，∵tan∠BCP＝＝，tan∠ABC＝＝＝3，∴PQ＝CQ，PQ＝3BQ，设BQ＝2a，则PQ＝6a，CQ＝9a，∴BC＝BQ+CQ＝11a，∵BC＝＝2＝11a，∴a＝，∴BP＝＝2a＝，∴AP＝BP﹣AB＝；②当点P在点B右侧时，如图所示，作PG⊥BC交BC延长线于点G，tan∠BCP＝＝，tan∠PBG＝tan∠ABC，即，剩下思路与第一种情况方法一致，求得AP＝．综上，AP的长度为或．方法二：补充知识：正切和差角公式：tan（α+β）＝，tan（α﹣β）＝．①当点P在点B左侧时，因为tan∠BCA＝，tan∠BCP＝，所以此时点P在A的左侧，如图所示，tan∠BCP＝tan（∠BCA+∠ACP）＝＝＝，解得tan∠ACP＝，即＝，∵AC＝6，∴AP＝．②当点P在点B右侧时，如图所示，tan∠ACP＝tan（∠BCA+∠BCP）＝＝＝，即，∵AC＝6，∴AP＝．综上，AP的长度为或．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握以上基础知识和添加合适的辅助线是解题关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，则AC＝AD或AC＝CD，即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，即可求解；（3）E、C、F、A共线，EF＝AC，则x F﹣x E＝x A﹣x C，即可求解；（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（﹣，0），连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，则NA+MP＝A′N+PM ＝A″M+MP＝A″P为最小，即可求解．【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A、C的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣2），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），则﹣4a＝﹣2，则a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）设点D（x，0），由点A、C、D的坐标得，AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，则AC＝AD或AC＝CD，即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，解得：x＝4±2或4（舍去）或﹣4，即点D（4±2，0）或（﹣4，0）；（3）设点P（x，x2﹣x﹣2），当y＝x2﹣x﹣2＝x﹣2，则x＝x2﹣3x，即点E（x2﹣3x，x2﹣x﹣2），∵E、C、F、A共线，EF＝AC，则x F﹣x E＝x A﹣x C，即x﹣（x2﹣3x）＝4﹣0，解得：x＝2，即点P（2，﹣3）；（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（﹣，0），连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，∵A′A″∥MN且A′A″＝MN，则四边形A′A″MN为平行四边形，则A′N＝A″M，则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，最小值为＝，故答案为：．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题。
2023年黑龙江省绥化市中考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年黑龙江省绥化市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.计算|−5|+20的结果是( ) A. −3B. 7C. −4D. 63.如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是( )A.B.C.D.4.纳米是非常小的长度单位，1nm=0.000000001m，把0.000000001用科学记数法表示为( )A. 1×10−9B. 1×10−8C. 1×108D. 1×1095.下列计算中，结果正确的是( )A. (−pq)3=p3q3B. x⋅x3+x2⋅x2=x8C. √ 25=±5D. (a2)3=a66.将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°7.下列命题中叙述正确的是( )A. 若方差s甲2>s乙2，则甲组数据的波动较小B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上8.绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩(单位：分钟)，并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图.则下列说法正确的是( )A. 该组数据的样本容量是50人B. 该组数据的中位数落在90～100这一组C. 90～100这组数据的组中值是96D. 110～120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51°9.在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC=2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y=k(x>0)的图象x经过点B，D，则k的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 3210.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的14.在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物12天，运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程，正确的是( )A. 14+12x=1 B. 14+12(14+1x)=1C. 14(1+12)+1x=1 D. 14+(14+12)1x=111.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A−B−C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是( )A. B.C. D.12.如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H.则下列结论中，正确的个数为( )①AB2=BF⋅AE②S△BGF：S△BAF=2：3③当AB=a时，BD2−BD⋅HD=a2A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 13.因式分解：x 2+xy −xz −yz = ______ ． 14.若式子√ x+5x有意义，则x 的取值范围是______ ．15.在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4.从中随机抽取1张后，放回再混合在一起.再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是______ ． 16.已知一元二次方程x 2+x =5x +6的两根为x 1与x 2，则1x 1+1x 2的值为______ ．17.化简：(x+2x 2−2x −x−1x 2−4x+4)÷x−4x 2−2x= ______ ．18.如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB⏜上的一点，将AB ⏜沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为______ .(结果保留π与根号)19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△AB′C′的相似比为1：2，点A 是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C =90°.则点C′的坐标为______ .(结果用含a ，b 的式子表示)20.如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点.连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF.连接AF ，EF ，DF ，则△CDF 周长的最小值是______ ．21.在求1+2+3+⋯+100的值时，发现：1+100=101，2+99=101…，从而得到1+2+3+⋯+100=101×50=5050.按此方法可解决下面问题.图(1)有1个三角形，记作a 1=1；分别连接这个三角形三边中点得到图(2)，有5个三角形，记作a 2=5；再分别连接图(2)中间的小三角形三边中点得到图(3)，有9个三角形，记作a3=9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+⋯+a n=______ .(结果用含n的代数式表示)22.已知等腰△ABC，∠A=120°，AB=2.现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A′BC′，延长C′A′交直线BC于点D.则A′D的长度为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共54.0分。
2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题(含答案)
2023年牡丹江市初中毕业学业考试数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟；2．全卷共三道大题，总分120分；3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效．一、单项选择题（本题12个小题，每小题3分，共36分）1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．函数中，自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．B．C．D．4．如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（）A．B．C．D．5．一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（）A．6 B．5 C．4 D．36．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（）A．6 B．7 C．8 D．97．观察下面两行数：1，5，11，19，29，…1，3，6，10，15， …取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（）A．92 B．87 C．83 D．788．如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和AD的中点E，若，则k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．69．若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（）A．且B．且C．且D．且10．用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（）A．6 B．5 C．4 D．311．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．根据以上的操作，若，，则线段BM的长是（）A．3 B．C．2 D．112．如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）13．目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册．数据16000000用科学记数法表示为________．14．如图，，AD与BC交于点O，请添加一个条件________，使．（只填一种情况即可）15．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为________cm．16．甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是________．17．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________．18．将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形ABCD绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是________．20．如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，于M，的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是________．三、解答题（共60分）21．（本题满分5分）先化简，再求值：，其中．22．（本题满分6分）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；（2）求的面积．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．23．（本题满分6分）在中，，，，D为AB的中点，以CD为直角边作含角的，，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．24．（本题满分7分）第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：A．“龙江奶”；B．“龙江肉”；C．“龙江米”；D．“龙江杂粮”；E．“龙江菜”；F．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：（1）本次参与调查的居民有多少人？（2）补全条形统计图，在扇形统计图中C类的百分比是________；（3）如果该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？25．（本题满分8分）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是________，乙车行驶的速度是________．（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案．26．（本题满分8分）中，，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转，得到EF，连接BF．（1）当点E在线段BC上，时，如图①，求证：；（2）当点E在线段BC延长线上，时，如图②：当点E在线段CB延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；（3）在（1）、（2）的条件下，若，，则________．27．（本题满分10分）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．28．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC 的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：（1）求点B的坐标；（2）若，直线分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求的值；（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2023年牡丹江市初中毕业学业考试数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本题12个小题，每小题3分，共36分）题号123456789101112答案A B C C B B C B D C C D二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）13．14．或或15．16．17．18．2或4 19．或20．①④说明：第18题与第19题，只填一个正确答案得2分，两个正确答案得3分，含错误答案扣1分；第20题，只填一个正确答案得1分，两个正确答案得3分，含错误答案不得分．三、解答题（共60分）21．（本题满分5分）解：1分1分．1分当时，原式．2分22．（本题满分6分）解：（1）抛物线经过点，，．1分解这个方程组，得．1分抛物线对应的解析式．1分．1分（2）连接OP．，，，，，，．1分，．1分23．（本题满分6分）解：如图，1分1分2分2分24．（本题满分7分）解：（1）（人），1分本次参与调查的居民有200人；1分（2）如图，；3分（3）（人）．1分答：关注“龙江杂粮”的居民有920人．1分25．（本题满分8分）解：（1）120，80；2分（2）设线段MN所在直线的解析式为．将，代入，得．解得．2分线段MN所在直线的解析式为．2分（3）和．2分26．（本题满分8分）（1）证明：，．，．1分，．．1分，．1分．四边形ABCD是平行四边形，．；1分（2）图②：，图③：；2分（3）或7．2分27．（本题满分10分）解：（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元．根据题意，得．1分解得．1分经检验是原分式方程的解．1分．答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；1分（2）设购进A种家电a件，购进B种家电件．根据题意，得．1分解得．，．1分为正整数，，66，67，，34，33．1分共有三种购买方案，方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，方案三：购进A种家电67件，B种家电33件；1分（3）4．28．（本题满分10分）解：（1）由，得，．1分，，．1分；1分（2），，．四边形ABCD是平行四边形，，．是AD中点，．．将代入，得．．1分，．．过点C作于H，过点N作于K．，．．，．．．1分．1分1分．1分（3）8个．3分说明：第25题（3），第27题（3），第28题（3）答对一个或一对一错得1分，答对两个得2分，答对两个又含错误答案得1分；解答题如有不同解法，请阅卷教师参考评分标准按步骤赋分．。
2024年黑龙江省龙东地区中考数学试卷及答案解析
2024年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a2）5＝a7C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b22．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（）A．6B．5C．4D．34．（3分）一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A．1B．0.8C．0.6D．0.55．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤4B．m≥4C．m≥﹣4且m≠2D．m≤4且m≠26．（3分）已知关于x的分式方程﹣2＝无解，则k的值为（）A．k＝2或k＝﹣1B．k＝﹣2C．k＝2或k＝1D．k＝﹣17．（3分）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）A．5B．4C．3D．28．（3分）如图，双曲线y＝（x＞0）经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是（）A．4.5B．3.5C．3D．2.59．（3分）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论：①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC＝；④BN＝BM；⑤若AH＝HD，则S△BND＝S△AHM．其中正确的结论是（）A．①②③④B．①③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形．14．（3分）七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是．15．（3分）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是．16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝°．17．（3分）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是°．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，BC＝2，AD＝1，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是．19．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将AB沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长为．20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O →M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3﹣，）；如此下去，……，则A2024的坐标是．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中m＝cos60°．22．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．23．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．24．（7分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合图解答下列问题：（1）频数分布表中m＝，扇形统计图中n＝；（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别；（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？组别分组（cm）频数A50＜x≤1003B100＜x≤150mC150＜x≤20020D200＜x≤25014E250＜x≤300525．（8分）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲货车到达配货站之前的速度是km/h，乙货车的速度是km/h；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数解析式；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．26．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M、N 在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图①，当∠BAC＝90°时，探究如下：由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN＝BP且∠PBM ＝90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，则有BM2+NC2＝MN2．（2）当∠BAC＝60°时，如图②：当∠BAC＝120°时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．27．（10分）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？（2）若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA﹣AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB﹣BA运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S＝6时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．2024年黑龙江省龙东地区中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【分析】利用同底数幂乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，平方差公式逐项判断即可．【解答】解：a3•a2＝a5，则A不符合题意；（a2）5＝a10，则B不符合题意；（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3，则C符合题意；（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，则D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．【解答】解：由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图为：则组成该几何体所需小正方体的个数最少是1+2+1＝4（个）．故选：C．【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．4．【分析】根据平均数的计算公式先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．【解答】解：这组数据的平均数是：（2+3+3+4）÷4＝3，则这组数据的方差为：[（2﹣3）2+2×（3﹣3）2+（4﹣3）2]＝0.5．故选：D．【点评】本题考查了平均数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．5．【分析】由根的判别式可得Δ＝b2﹣4ac≥0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．【解答】解：根据题意得，解得m≤4且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．6．【分析】先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可．【解答】解：，kx﹣2（x﹣3）＝﹣3，kx﹣2x+6＝﹣3（k﹣2）x＝﹣9，x＝，∵关于x的分式方程无解，∴x﹣3＝0，解得：x＝3，＝3，∴3k﹣6＝﹣9且k﹣2＝0，解得：k＝﹣1或2，故选：A．【点评】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤和分式方程无解的条件．7．【分析】设购买笔记本x 件，笔y 支，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，结合x ，y 均为正整数，即可得出购买方案的数量．【解答】解：设购买笔记本x 件，笔y 支，根据题意得：3x +2y ＝28，∴y ＝14﹣x ，又∵x ，y 均为正整数，∴或或或，∴共有4种购买方案．故选：B ．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费28元”列出二元一次方程是解题的关键．8．【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义以及三角形中位线定理、相似三角形的性质进行计算即可．【解答】解：如图，过点A 作AM ⊥y 轴，垂足为M ，连接OB ，则S △AOM ＝S △OBD ＝|k |＝×12＝6，∵E 是OA 的中点，即OE ＝AE ，而DE ∥AM ，∴DE ＝AM ，OD ＝OM ，∵S △AOM ＝S △OBD ＝6，即AM •OM ＝OD •BD ＝6，∴AM •OD ＝BD •OD ，∴BD ＝2AM ，∴DE ＝AM ＝BD ，∴DE ＝BE ，∵S △ODE ＝S △AOM ＝×6＝，∴S △ABE ＝3S △ODE ＝3×＝4.5，故选：A ．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质是正确解答的关键．9．【分析】先由菱形性质可得对角线AC与BD交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA＝OC＝OM＝2，进而由菱形对角线求出边长，由sin∠MAC＝sin∠OBC＝解三角形即可求出MC＝AC sin∠MAC＝，MN＝BM tan∠OBC＝．【解答】解：连接AC，如图，∵菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，又∵点O是BD的中点，∴A、O、C三点在同一直线上，∴OA＝OC，∵OM＝2，AM⊥BC，∴OA＝OC＝OM＝2，∵BD＝8，∴OB＝OD＝BD＝4，∴BC＝＝＝2，tan∠OBC＝＝＝，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°，∴∠MAC＝∠OBC∴sin∠MAC＝sin∠OBC＝＝＝，∴MC＝AC sin∠MAC＝，∴BM＝BC−MC＝2−＝，∴MN＝BM tan∠OBC＝×＝，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．熟练掌握各知识点是解题的关键．10．【分析】连接DG，可得，AC垂直平分BD，先证明点B、H、D、F四点共圆，即可判断①；根据AC垂直平分BD，结合互余可证明DG＝FG，即有DG＝FG＝BG，则可判断②正确；证明△ABM∽△DBN，即有，可判断④；根据相似有，根据可得3AH ＝AD，再证明△AHM﹣△CBM，可得，即可判断⑤；根据点H是AD的中点，设AD＝2，即求出，同理可证明△AHM∽△CBM，可得，即可得，进而可判断③．【解答】解：连接DG，如图，∵四边形ABCD是正方形，∠BDC＝∠BAC＝∠ADB＝45°，，∠BAD＝∠ADC＝90°，AC 垂直平分BD，∴∠CDP＝90°，∵DF平分∠CDP，∴，∴∠BDF＝∠CDF+∠CDB＝90°，∠BHF＝90°＝∠BDF，∴点B、H、D、F四点共圆，∴∠HFB＝∠HDB＝45°，∠DHF＝∠DBF，∴∠HBF＝180°﹣∠HFB﹣∠FHB＝45°，故①正确，∵AC垂直平分BD，∴BG＝DG，∴∠BDG＝∠DBG，∵∠BDF＝90°，∴∠BDG+∠GDF＝90°＝∠DBG+∠DFG，∴∠GDF＝∠DFG，∴DG＝FG，∴DG＝FG＝BG，∴点G是BF的中点，故②正确，∵∠BHF＝90°＝∠BAH，∴∠AHB+∠DHF＝90°＝∠AHB+∠ABH，∴∠DHF＝∠ABH，∵∠DHF＝∠DBF，∴∠ABH＝∠DBF，又∵∠BAC＝∠DBC＝45°，AD∥BC，∴△ABM∽△DBN，∴，∴，故④正确，∴，若，则，∴3AH＝AD，∴，即，∵AD∥DC，∴△AHM∽△CBM，∴，∵，＝3S△AHM，∴S△ABM∴，＝2S△ABM＝6S△AHM，故⑤错误，∴S△BND如图，③若点H是AD的中点，设AD＝2，即AB＝BC＝AD＝2，∴，∴，同理可证明△AHM∽△CBM，∴，，∵，∴，∵BC＝2，在Rt△BNC中，，故③正确，则正确的有：①②③④，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B、H、D、F四点共圆，△ABM∽△DBN，是解答本题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：13908亿＝1390800000000＝1.3908×1012，故答案为：1.3908×1012．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．12．【分析】由题意可得x﹣3≥0且x+2≠0，解得x的取值范围即可．【解答】解：由题意可得x﹣3≥0且x+2≠0，解得：x≥3，故答案为：x≥3．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，结合已知条件列得正确的不等式是解题的关键．13．【分析】根据正方形的判定定理得到结论．【解答】解：添加AC＝BD，∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD，∴菱形ABCD为正方形．故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．14．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和所选的2人恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中所选的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有12种，∴所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法、，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．15．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．【解答】解：解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，∵不等式组恰有3个整数解，∴﹣1≤2a＜0，即﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．16．【分析】连接CD，先根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠D＝25°，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．【解答】解：连接CD，∵∠B＝25°，∴∠B＝∠D＝25°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝65°，故答案为：65．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．【分析】根据圆锥的侧面积公式S＝πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．【解答】解：设圆锥的母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角是n°，∵侧面积为36π，∴π×3×l＝36π，解得：l＝12，∴扇形面积为36π＝，解得：n＝90，∴圆锥侧面展开图的圆心角是90度．故答案为：90．【点评】此题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．18．【分析】作AC的中点Q．连结PQ，作以Q为圆心PQ为半径的圆．PQ是△ACD的中位线，PQ＝．点P是圆Q上的点，可求BP的最大值．【解答】解：作AC的中点Q．连结PQ，作以Q为圆心PQ为半径的圆．∵P是CD的中点，Q是AC的中点，∴PQ是△ACD的中位线，∴PQ＝AD＝．∴线段AD绕点A旋转时，点P在以Q为圆心PQ为半径的圆上移动，∴当BP经过点Q时BP的值最大．∵BC＝2，tan∠BAC＝，∴AC＝4，∴AQ＝CQ＝2．∵BQ2＝BC2+CQ2＝8，∴BQ＝2（负数不合题意舍去）．∴BP的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了图形旋转的性质，点和圆的位置关系，勾股定理．关键是得到点P所在的圆，利用点和圆的位置关系可以得到BP的最大值．19．【分析】先根据点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC即可．【解答】解：①点B的对称点落在矩形对角线BD上，如图，∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，由折叠性质可知BB'⊥AP，∴∠BAP+∠BPA＝∠BPA+∠CBD，∴∠BAP＝∠CBD，∴tan∠BAP＝tan∠CBD＝＝，∴BP＝AB tan∠BAP＝3×＝，∴PC＝BC﹣BP＝4﹣＝；②点B的对称点B′落在矩形对角线AC上，如图∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∴cos∠ACB＝＝，由折叠性质可知：∠ABP＝∠AB'P＝90°，AB＝AB'＝3，∴B′C＝AC﹣AB'＝5﹣3＝2，∴PC＝＝2÷＝；③点B的对称点B′落在矩形对角线CA延长线上，如图，在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝90°，∴AC＝√＝＝5，∴cos∠ACB＝＝，由折叠性质可知：∠ABP＝∠AB'P＝90°，AB＝AB'＝3，∴B′C＝AC+AB'＝5+3＝8，∴PC＝＝8÷＝10，综上所述：、或10．故答案为：、或10．【点评】本题考查了矩形与折叠问题，矩形的性质，分类讨论是解题的关键．20．【分析】根据所给滚动方式，依次求出点A n（n为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，点A1的坐标为（2，0），点A2的坐标为（2，0），点A3的坐标为（），点A4的坐标为（3，2），点A5的坐标为（3，2），点A6的坐标为（），点A7的坐标为（1，3），点A8的坐标为（1，3），点A9的坐标为（），点A10的坐标为（0，1），点A11的坐标为（0，1），点A12的坐标为（），点A13的坐标为（2，0），…，由此可见，点A n的坐标每12个循环一次，因为2024÷12＝168余8，所以点A2024的坐标为（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意发现点A n的坐标每12个循环一次是解题的关键．三、解答题（满分60分）21．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值得出m的值，代入计算可得．【解答】解：原式＝＝＝1﹣m，当m＝cos60°＝时，原式＝1﹣＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22．【分析】（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点B、C以点A为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；（3）先求出AB＝，再由旋转角等于90°，利用弧长公式即可求出．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，B1的坐标为（2，3）；（2）△AB2C2如图所示，B2的坐标为（﹣3，0）；（3）∵AB＝＝，∠BAB2＝90°，∴点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长为：＝．【点评】本题考查了利用轴对称变换和旋转变换作图，弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．23．【分析】（1）将B（1，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，即可得出答案；＝S△APE+S梯形PCOE （2）过点P作PE⊥x轴于点E，设P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限内，根据S△APC可得二次函数关系式，再根据二次函数的性质即可得出答案．﹣S△AOC【解答】解：（1）将B（1，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，，解得：，∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+3．（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），∴OA＝3，∵C（0，3），∴OC＝3，过点P作PE⊥x轴于点E，设P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限内，∴OE＝﹣x，AE＝3+x，＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC∴S△APC＝AE×PE（OC+PE）×OE﹣×OA×OC＝（3+x）（﹣x2﹣2x+3）+（3﹣x2﹣2x+3）（﹣x）×3×3＝（x+）2+∵＜0，∴S有最大值，∴当x＝时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为（，）．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、待定系数法求解析式等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．24．【分析】（1）根据A组的频数和百分比求出抽取总数，用总数减其他的频数可得求出m的值，求出C 组所占百分比，即可求解；（2）根据中位数的定义即可求解；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由题意可得，3÷6%＝50，m＝50﹣3﹣20﹣14﹣5＝8，扇形统计图中C组所在的百分比＝＝40%，∴n＝40，故答案为：50，40；（2）被抽取的50名学生立定跳远成绩按从小到大的顺序排列第25个和第26个的平均数，3+8＜25，3+8+20＝31＞25被抽取的50名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在C组；（3）600×＝228（名），答：估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人．【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．25．【分析】（1）分别根据“速度＝路程÷时间”求出甲货车到达配货站之前的速度及乙货车的速度即可；（2）根据题意分别求出点E、F的横坐标，从而写出其坐标，利用待定系数法求解即可；（3）根据“路程＝速度×时间”分别写出线段CM、MN、OD对应的函数关系式，讨论3种情况：当0≤x≤3、3＜x≤3.5时，分别写出甲、乙两货车与配货站的距离，二者相等列方程并求解；当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与A地距离相等，列方程并求解即可．【解答】解：（1）甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5＝30（km/h）；乙货车的速度是（225﹣105）×2÷6＝40（km/h）．故答案为：30，40．（2）∵3.5+0.5＝4（h），6﹣0.5＝5.5（h），∴点E（4，105），F（5.5，225）．设线段对应的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．将坐标E（4，105）和F（5.5，225）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y＝80x﹣215（4≤x≤5.5）．（3）线段CM对应的函数表达式为y＝225﹣40x＝﹣40x+225（0≤x≤3），线段MN对应的函数表达式为y＝105+40（x﹣3）＝40x﹣15（3＜x≤6），线段OD对应的函数表达式为y＝30x（0≤x≤3.5）．当0≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，乙货车离配货站的距离为﹣40x+225﹣105＝（﹣40x+120）km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105﹣30x＝﹣40x+120，解得x＝；当3＜x≤3.5时，甲货车离配货站的距离为（105﹣30x）km，乙货车离配货站的距离为40x﹣15﹣105＝（40x﹣120）km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105﹣30x＝40x﹣120，解得x＝；当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，根据“相遇时两车与A地距离相等”，80x﹣215＝40x﹣15，解得x＝5；∴出发h或h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的数量关系及待定系数法求函数表达式是解题的关键．26．【分析】类比（1）中示例方法在图②③中构造辅助线，先证△ACN≌△ABQ（SAS），再证△AQM≌△ANM，最后利用勾股定理转化等线段即可．【解答】解：图②的结论是BM2+NC2+BM•NC＝MN2．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN，连接QA、QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，∴△ACN≌△ABQ（SAS），∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，又∵∠CAN+∠BAM＝30°，∴∠BAM+∠QAB＝30°，即∠QAM＝∠MAN，又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝QM；∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，∴∠QBH＝60°，∴∠BQH＝30°，∴BH＝BQ，QH＝BQ，∴HM＝BM+BH＝BM+BQ，在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（BQ）2+（BM+BQ）2＝QM2，整理得BM2+BQ2+BM•BQ＝QM2．∴BM2+NC2+BM•NC＝MN2．图③的结论是：BM2+NC2﹣BM•NC＝MN2．证明：以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN，连接QA、QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，∴△ACN≌△ABQ（SAS），∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，又∵∠CAN+∠BAM＝60°，∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝QM，在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°，∴BH＝BQ，QH＝BQ，HM＝BM﹣BH＝BM﹣BQ，在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（BQ）2+（BM﹣BQ）2＝QM2，整理得BM2+BQ2﹣BM•BQ＝QM2．∴BM2+NC2﹣BM•NC＝MN2．【点评】本题主要考查全等三角形得判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．27．【分析】（1）设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元，根据“购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个甲种品牌毽子，则购买（100﹣m）个乙种品牌毽子，根据购买甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m，（100﹣m）均为正整数，即可得出各购买方案；（3）利用商家获得的总利润＝每个甲种品牌毽子的利润×购进甲种品牌毽子的数量+每个乙种品牌毽子的利润×购进乙种品牌毽子的数量，可分别求出学校选择各方案商家可获得的总利润，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元，根据题意得：，解得：．答：购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元；（2）设购买m个甲种品牌毽子，则购买＝（100﹣m）个乙种品牌毽子，根据题意得：，解得：≤m≤64，又∵m，（100﹣m）均为正整数，∴m可以为60，62，64，∴学校共有3种购买方案，方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子；（3）学校选择方案1商家可获得的总利润为5×60+4×10＝340（元）；学校选择方案2商家可获得的总利润为5×62+4×7＝338（元）；学校选择方案3商家可获得的总利润为5×64+4×4＝336（元）．∵340＞338＞336，∴在（2）的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出学校选择各方案商家可获得的总利润．28．【分析】（1）运用因式分解法解方程求出OA的长，根据等边三角形的性质得出OA＝OB＝OC＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，求出AC的长即可；（2）分0＜t≤2，2＜t≤3和3＜t＜3.6三种情况，运用三角形面积公式求解即可；（3）当t2＝60时求出t＝2，得OP＝4，分OP为边和对角线两种情况可得点M的坐标；当﹣t2+6t＝6，﹣t+27＝6时，不存在以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，∵OA的长度是x2﹣5x﹣6＝0的根，∴OA＝6，∵△OAB是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，∴∠OAC＝30°，∴OC＝OA＝×6＝3，∴AC＝＝＝3，∴点A的坐标为A（3，3）；（2）当0＜t≤2时，过P作PD⊥x轴，垂足为点D，∴OP＝2t，OQ＝3t，∠OPD＝30°，∴OD＝t，。
2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷(含答案)
2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）A．|﹣2024|和﹣2024B．2024和C．|﹣2024|和2024D．﹣2024和2．（3分）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ）A．1.56×10﹣5B．0.156×10﹣5C．1.56×10﹣6D．15.6×10﹣73．（3分）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．厨余垃圾B．有害垃圾C．其他垃圾D．可回收物4．（3分）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）A．B．C．D．5．（3分）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（ ）A．B．C．D．6．（3分）下列说法正确的是（ ）A．若＞2，则b＞2aB．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形7．（3分）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）A．纸带①、②的边线都平行B．纸带①、②的边线都不平行C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与y＝的大致图象为（ ）A．B．C．D．9．（3分）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（ ）A．小庆选出四个数字的方差等于4.25B．小铁选出四个数字的方差等于2.5C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5D．小萌选出四个数字的极差等于410．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（ ）A．15B．5+5C．10+5D．18二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。
2023年黑龙江省大庆市中考数学真题 (原卷)
2023年大庆市初中升学考试数学考生注意：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答．在草稿纸、试题卷上作答无效．3．考试时间120分钟．4．全卷共28小题，总分120分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1.2023的相反数是（）A.12023 B.2023- C.2023 D.12023-2.搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F 遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A. B. C.D.3.大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．数字1268000000用科学记数法表示为（）A.91.26810⨯ B.81.26810⨯ C.71.26810⨯ D.61.26810⨯4.一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A. B. C. D.5.已知0a b +>，0ab >，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A.()a b ，B.()a b -，C.()--，a bD.()a b -，6.某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（）A .9，9，8.4 B.9，9，8.6C.8，8，8.6D.9，8，8.47.下列说法正确的是（）A.一个函数是一次函数就一定是正比例函数B.有一组对角相等的四边形一定是平行四边形C.两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等D.一组数据的方差一定大于标准差8.端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（）A.20% B.25% C.75% D.80%9.将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若BAD ∠=α，CBE β∠=，则β=（）A.1452α︒+B.3452α︒+C.1902α︒-D.3902α︒-10.如图1，在平行四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，已知点P 在边AB 上，以1m /s 的速度从点A 向点B 运动，点Q 在边BC 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P ，Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 恰好到达点C 处，此时两点都停止运动．图2是BPQ V 的面积()2m y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（）A.212mB.23mC.224mD.2243m 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是________（填“普查”或“抽样调查”）．12.一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为________．13.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD 如图所示，点N 在边AD 上，现将矩形折叠，折痕为BN ，点A 对应的点记为点M ，若点M 恰好落在边DC 上，则图中与NDM 一定相似的三角形是________．14.已知()121x x +-=，则x 的值为_____．15.新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为________．16.若关于x 的不等式组3(1)68220x x x a ->-⎧⎨-+≥⎩有三个整数解，则实数a 的取值范围为________．17.1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，7()a b +展开的多项式中各项系数之和为____．18.如图，在ABC 中，将AB 绕点A 顺时针旋转α至AB '，将AC 绕点A 逆时针旋转β至0180,01()80AC αβ'︒<<︒︒<<︒，得到AB C ''△，使180BAC B AC ''∠+∠=︒，我们称AB C ''△是ABC 的“旋补三角形”，AB C ''△的中线AD 叫做ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．下列结论正确的有________．①ABC 与AB C ''△面积相同；②2BC AD =；③若AB AC =，连接BB '和CC '，则180B BC CC B '''∠+∠=︒；④若AB AC =，4AB =，6BC =，则10B C ''=．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：1112cos 452-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭．20.先化简，再求值：224224x x x x x x -++--，其中1x =．21.为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球22.某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268︒≈）23.为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生人数为________，扇形统计图中的m =________；（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．24.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为线段CD 的中点，连接AC ，AE ，延长AE ，BC 交于点F ，连接DF ，90ACF ∠=︒．（1）求证：四边形ACFD 是矩形；（2）若13CD =，5CF =，求四边形ABCE 的面积．25.一次函数y x m =-+与反比例函数k y x=的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为()12，．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求OAB 的面积；（3）过动点()0T t ，作x 轴的垂线l ，l 与一次函数y x m =-+和反比例函数k y x=的图象分别交于M ，N 两点，当M 在N 的上方时，请直接写出t 的取值范围．26.某建筑物的窗户如图所示，上半部分ABC 是等腰三角形，AB AC =，:3:4AF BF =，点G 、H 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点；下半部分四边形BCDE 是矩形，BE IJ MN CD ∥∥∥，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF x =米，BE y =米．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当x 为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．27.如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上的一点，CD AD ⊥于点D ，AD 交O 于点F ，连接AC ，若AC 平分DAB ∠，过点F 作FG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，延长AB ，DC 交于点E ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：AF AC AE AH ⋅=⋅；（3）若4sin 5DEA ∠=，求AH FH的值．28.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，且自变量x 的部分取值与对应函数值y 如下表：x L1-01234L y L 03-4-3-05L备用图（1）求二次函数2y ax bx c =++的表达式；（2）若将线段AB 向下平移，得到的线段与二次函数2y ax bx c =++的图象交于P ，Q 两点（P 在Q 左边），R 为二次函数2y ax bx c =++的图象上的一点，当点Q 的横坐标为m ，点R 的横坐标为m +求tan RPQ ∠的值；（3）若将线段AB 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数21()y ax bx c t =++的图象只有一个交点，其中t 为常数，请直接写出t 的取值范围．。
2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学真题试卷(解析版)
2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学真题试卷及答案一、选择题（每小题3分，共计30分）1. 的绝对值是( )A. B. 10 C. D.【答案】A【解析】根据“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数”求解即可．解：因为为负数，所以的绝对值为，故选A．【点拨】本题主要考查求绝对值，掌握“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数”是解题的关键．2. 下列运算一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据积的乘方、同类项的定义、幂的乘方和平方差公式逐一判断即可．A．，故本选项原说法错误；B．，故本选项原说法错误；C．，故本选项原说法错误；D．，故本选项正确．故选D．【点拨】此题考查的是幂的运算性质和整式的运算，掌握积的乘方、合并同类项和幂的乘方是解决此题的关键．3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称是旋转后与原图重合的图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点拨】本题考查了判断轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题的关键．4. 七个大小相同的正方体搭成的几间体如图所示，其俯视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：这个组合体的俯视图如下：故选：C．【点拨】本题考查了画小立方块堆砌图形的三视图，掌握从上边看得到的图形是俯视图是解题的关键．5. 如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】利用垂线的性质及切线的性质得到和，再利用四边形的内角和为进而可求得，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解．解：，，又是的切线，，，又，，，又，，，故选B．【点拨】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和是，等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握其基本知识是解题的关键．6. 方程的解为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方程两边同时乘以，化为整式方程即可求解．解：程两边同时乘以得，解得：经检验，是原方程的解，故选：C．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．7. 为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据矩形面积公式，可得，即可解答．解：根据题意可得矩形空地的宽为米，可列方程，故选：A．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系，列出方程是解题的关键．8. 将枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取出的棋子是黑棋子的概率：，据此即可求解．解：由题意得：取出的棋子是黑棋子的概率为：故选：D【点拨】本题考查概率的计算．熟记概率公式是解题关键．9. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解．解：，，，，，，，，是的中点，，，，，故选：B．【点拨】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键．10. 一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头．在整个过程中，这条小船与B码头的距离（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据路程除以时间结合函数图象即可求解．解：依题意，小船从A码头到B码头的速度为，从B码头返回A码头的速度为，故选：D．【点拨】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共计30分）11. 船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为_______千克．【答案】【解析】把一个数写成的形式，是正整数，这种形式的记数方法叫做科学记数法．根据科学记数法的定义写出答案．科学记数法就是把一个数写成的形式，是整数，，故答案为：．【点拨】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的记数方法是解题的关键．12. 在函数中，自变量x的取值范围是_________．【答案】【解析】根据分母不能为求出自变量x的取值范围．分式中分母不能为，，，故答案为：．【点拨】本题考查求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．13. 已知反比例函数的图像经过点，则a的值为_________．【答案】2【解析】将点的坐标代入函数解析式即可．解：将代入得：，解得：，故答案为：2．【点拨】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数值求自变量是解题的关键．14. 计算的结果是___________．【答案】【解析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解．解：，故答案：．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键．15. 把多项式分解因式的结果是_____．【答案】【解析】先提取公因式m，然后发现还能利用平方差公式继续分解，即可得到结果．解：故答案为：．【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键，注意要分解彻底．16. 抛物线与y轴交点坐标是_________．【答案】【解析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标．令抛物线中，即，解得，故与轴的交点坐标为，故答案为：．【点拨】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值．17. 不等式组的解集是_________________．【答案】【解析】根据解一元一次不等式组的步骤即可求解．解：解①得：解②得：故该不等式组的解集为：故答案为：【点拨】本题考查求解一元一次不等式组，掌握求解一元一次不等式组一般步骤是解题的关键．注意计算的准确性．18. 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是_________cm．【答案】3【解析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．解：设扇形的半径是，则解得：．故答案为3．【点拨】题主要考查了扇形的弧长，正确理解公式是解题的关键．19. 矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则_________．【答案】或【解析】根据题意画出图形，分点在上和上两种情况讨论即可求解．解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴∴，如图所示，当点在上时，∵，∴如图所示，当点在上时，∵，∴，故答案为：或．【点拨】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键．20. 如图在正方形中，点E在上，连接，，F为的中点连接．若，则的长为_________．【答案】【解析】根据正方形的性质得到，，设，根据勾股定理求出的值，再根据勾股定理即可求出的长．解：正方形，F为的中点，设，在中，即解得故，在中解得（负值舍去）故答案为：．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题（共60分）21. 先化简，再求代数式的值，其中．【答案】，【解析】先根据分式混合运算法则代简，再将代入代简式计算即可．解：，当时，原式．【点拨】本题考查分式化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；（2）在方格纸中将线段向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．【答案】（1）画图见解析（2）画图见解析，【解析】（1）找到的格点的，使得，且，连接，则即为所求；（2）根据平移画出，连接，勾股定理即可求解．(1)解：如图所示，即为所求；(2)解：如图所示，，即为所求；．【点拨】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．23. 军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课，泥塑课，编织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有多少名．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】根据最喜欢泥塑课的学生人数为人，占所调查人数的，用即可求解；（2）根据总人数减去其他类型的人数，即可得出最喜欢编织课的学生人数进而补全统计图；（3）根据最喜欢烹饪课的学生的占比乘以，即可求解．(1)解：最喜欢泥塑课的学生人数为人，占所调查人数的，∴这次调查中，一共抽取了名学生（2）解：最喜欢编织课的学生人数为人，补全统计图如图所示，（3）解：估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有名【点拨】本题考查了条形统计图，样本估计总体，从统计图中获取信息是解题的关键．24. 已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．（1）如图①，求证；（2）如图②，若，过点作交于点，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等．【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．【解析】（1）由平行四边形的性质得，，进而有，从而利用即可证明结论成立；（2）先证四边形是菱形，得，又证，得，由（）得得，根据等角的补角相等即可证明．（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，由（）得，∴，∵，∴．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．25. 佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产，两种不同款式的服装，每套款服装所用布料的米数相同，每套款服装所用布料的米数相同，若套款服装和套款服装需用布料米，套款服装和套款服装需用布料米．（1）求每套款服装和每套款服装需用布料各多少米；（2）该中学需要，两款服装共套，所用布料不超过米，那么该服装厂最少需要生产多少套款服装？【答案】（1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米（2）服装厂需要生产套款服装【解析】（1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．（1）解：每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意得，，解得：，答：每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米；（2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意得，，解得：，∵为正整数，∴的最小值为，答：服装厂需要生产套款服装．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键．26. 已知内接于，为的直径，N为的中点，连接交于点H．（1）如图①，求证；（2）如图②，点D在上，连接，，，交于点E，若，求证；（3）如图③，在（2）的条件下，点F在上，过点F作，交于点G．，过点F作，垂足为R，连接，，，点T在的延长线上，连接，过点T作，交的延长线于点M，若，求的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）连接，根据N为的中点，易证，再根据中位线定理得出结论；（2）连接，先证得，再根据得，根据即可得出结论；（3）连接，先证，再证四边形是矩形，过A作垂足为S，先证出，再能够证出从而，得到等腰直角，利用三角函数求出，再根据求出，最后用勾股定理求出答案即可．（1）证明：如图，连接，为的中点，，，，，，是中位线，；（2）证明：如图，连接，设，，，，，，，，，，；（3）解：连接，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，是的直径，，四边形矩形，，，过点A作垂足为S，，，，，，，，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点拨】本题是圆的综合题，考查圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、垂径定理、三角函数、勾股定理、圆周角定理等知识，构造辅助线解决问题是解题关键．27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求，的值；（2）如图①，是第二象限抛物线上的一个动点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）如图②，在（2）的条件下，当时，连接交轴于点，点在轴负半轴上，连接，点在上，连接，点在线段上（点不与点重合），过点作的垂线与过点且平行于的直线交于点，为的延长线上一点，连接，，使，是轴上一点，且在点的右侧，，过点作，交的延长线于点，点在上，连接，使，若，求直线的解析式．【答案】（1），（2）（3）【解析】（1）把点，代入抛物线解析式，得方程组，求出，的值即可；（2）过点作轴，垂足为，由（1）知，抛物线的解析式是，得，根据“是第二象限抛物线上的一个动点，点的横坐标为”，得，根据，代入整理即可得到关于的函数解析式；（3）以为一边作，的另一边交的延长线于点；作，垂足为；作，垂足为；作轴，垂足为；根据和，求出，根据“，，，”推理出，，得到，结合，推理出，用证，用证，推理出，根据“，”，得出，，，代入，求出，勾股定理算出，根据“，”，设，则，，代入，算出，运用勾股定理计算，计算，结合点在轴负半轴上，得，设直线的解析式为，把，代入求出完整解析式即可．（1）点，在抛物线上，，解得：，，（2）由（1）知，抛物线的解析式是，是抛物线与轴的交点，时，，，，如下图，过点作轴，垂足为，是第二象限抛物线上一点，点的横坐标为，，（3）如下图，以为一边作，的另一边交的延长线于点；作，垂足为；作，垂足为；作轴，垂足为，，由（2）知，，，，，，，，即，，，，，，，，，又，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，轴，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，又点在轴负半轴上，，设直线的解析式为，把，代入，得：，解得：，直线的解析式为【点拨】本题是二次函数综合题，难度大，结合全等三角形、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，综合运用知识、画出辅助线、数形结合、分析与计算是解题的关键．。
2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试题(含解析)
数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟；2．全卷共三道大题，总分120分；3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效．一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）A.32622a a a ⋅= B.331(2)8a b a b-÷⨯=-C.()322aa a a a a++÷=+ D.2233aa -=3.由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（）A.1种B.2种C.3种D.4种4.某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（）A.16B.18C.14D.235.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是O 的直径，若20BEC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A.100︒B.110︒C.120︒D.130︒6.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A.20%B.22%C.25%D.28%7.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）A.2022B.2023C.2024D.20258.矩形OBAC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数ky x=的图象与AB 边交于点D ，与AC 边交于点F ，与OA 交于点E ，2OE AE =，若四边形ODAF 的面积为2，则k 的值是（）A.25B.35C.45D.859.小明同学手中有一张矩形纸片ABCD ，12cm AD =，10cm CD =，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把ADN △沿AN 折叠得到AD N '△，AD '交折痕MN 于点E ，则线段EN 的长为（）A.8cmB.169cm 24C.167cm 24D.55cm 810.在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，()()3,0,1,0A B -，与y 轴交点C 的纵坐标在3-～2-之间，根据图象判断以下结论：①20abc >；②423b <<；③若221122ax bx ax bx -=-且12x x ≠，则122x x +=-；④直线56y cx c =-+与抛物线2y ax bx c =++的一个交点(,)(0)m n m ≠，则12m =．其中正确的结论是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）11.函数3x y x=中，自变量x 的取值范围是______________．12.如图，ABC 中，D 是AB 上一点，CF AB ∥，D 、E 、F 三点共线，请添加一个条件______，使得AE CE =．（只添一种情况即可）13.将抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后，经过点()24,-，则637a b --=______．14.如图，在O 中，直径AB CD ⊥于点E ，6,1CD BE ==，则弦AC 的长为______．15.已知一组正整数a ，1，b ，b ，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为______．16.若分式方程311x mx x x=---的解为正整数，则整数m 的值为______．17.矩形ABCD 的面积是90，对角线AC BD ，交于点O ，点E 是BC 边的三等分点，连接DE ，点P 是DE 的中点，3OP =，连接CP ，则PC PE +的值为______．18.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，AE 分别交BD CD 、于点F 、M ，过点F 作NP AE ⊥，分别交AD 、BC 于点N 、P ，连接MP ．下列四个结论：①AM PN =；②DM DN +=；③若P 是BC 中点，3AB =，则EM =④BF NF AF BP ⋅=⋅；⑤若PM BD ∥，则CE =．其中正确的结论是______．三、解答题（共66分）19.先化简，再求值：2669x x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并从1-，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．20.如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC ，对垂直于地面CD 的建筑物AD 的高度进行测量，BC CD ⊥于点C ．在B 处测得A 的仰角=45ABE ∠︒，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG 处，FG CD ⊥于点G ，测得A 的仰角58AFE ∠=︒，BF 的延长线交AD 于点E ，求建筑物AD 的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin580.85,cos580.53,tan58 1.60︒≈︒≈︒≈）21.某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A 为“非常了解”，B 为“了解较多”，C 为“基本了解”，D 为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了______名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．22.在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，12BC =，8AC =，以BC 为边向ACB △外作有一个内角为60︒的菱形BCDE ，对角线BD CE ，交于点O ，连接OA ，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出AOC 的面积．23.如图，二次函数212y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0-，点C 的坐标为()0,3-，连接BC ．（1）求该二次函数的解析式；（2）点P 是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当BCP 的面积最大时，BC 边上的高PN 的值为______．24.一条公路上依次有A 、B 、C 三地，甲车从A 地出发，沿公路经B 地到C 地，乙车从C 地出发，沿公路驶向B 地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早27小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程km y 与两车行驶时间h x 的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是_____km/h ，并在图中括号内填上正确的数；（2）求图中线段EF 所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B 地的路程是甲车距B 地路程的3倍．25.数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt ABC △中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点D 在直线BC 上，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，过点E 作EF BC ∥，交直线AB 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上时，如图①，求证：BD EF AB +=；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD AE =构造全等三角形，便尝试着在AB 上截取AM EF =，连接DM ，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，如图②：当点D 在线段CB 的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD ，EF ，AB 之间的数量关系；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若63=AC 2CD BD =，则EF =______．26.牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a （a 为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．27.如图，在平面直角坐标系中，直线y x b =+与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点D ，点B 在x 轴的正半轴上，四边形ABCD 是平行四边形，线段OA 的长是一元二次方程24120x x --=的一个根．请解答下列问题：（1）求点D 的坐标；（2）若线段BC 的垂直平分线交直线AD 于点E ，交x 轴于点F ，交BC 于点G ，点E 在第一象限，32AE =，连接BE ，求tan ABE ∠的值；（3）在（2）的条件下，点M 在直线DE 上，在x 轴上是否存在点N ，使以E 、M 、N 为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出EMN 的个数和其中两个点N 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）1.【答案】C【解析】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C ．2.【答案】D【解析】解：A 、32522a a a ⋅=，故该选项是错误的；B 、33218(2)a a b b b-÷⨯=-，故该选项是错误的；C 、()3221a a a a a a ++÷=++，故该选项是错误的；D 、2233aa -=，故该选项是正确的；故选：D ．3.【答案】C【解析】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，故选：C ．4.【答案】A【解析】解：列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是21126=．故选：A ．5.【答案】B【解析】解：如图，连接AC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵20BEC ∠=︒，∴20CAB BEC ∠=∠=︒∴9070ABC BAC ∠=︒-∠=︒∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180110ADC ABC ∠=︒-∠=︒，故选：B 6.【答案】C【解析】解：设每次降价的百分率为x ，由题意，得：()248127x -=，解得：121725%,44x x ===（舍去）；故选C ．7.【答案】B【解析】解：第1个图案有4个三角形，即4311=⨯+，第2个图案有7个三角形，即7321=⨯+，第3个图案有10个三角形，即10331=⨯+，…，按此规律摆下去，第n 个图案有()31n +个三角形，则第674个图案中三角形的个数为：367412023⨯+=（个）．故选：B ．8.【答案】D【解析】过点E 作EM OC ⊥，则EM AC ，∴OME OCA ∽，∴OM EM OE OC AC OA==设k E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵2OE AE=∴23OM EM OC AC ==，∴3322k OC a AC a ==⋅，∴3322O OBD DAF OCF OBAC k S S S S a a=++=⋅⋅ 矩形四边形即3322222k k k a a ++=⋅⋅，解得：85k =故选D9.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴10cm AB CD ==，由折叠可得：15cm 2AM AB ==，12cm AD AD '==，MN AB ⊥，DAN D AN '∠=∠，∴四边形AMND 是矩形，∴12cm MN AD MN AD == ，，∴DAN ANM ∠=∠，∴ANM D AN '∠=∠，∴EA EN =，设cm EA EN x ==，则()12cm EM x =-，在Rt AME △中，根据勾股定理可得：222AM ME AE +=，即()222512x x +-=，解得：16924x =，即169cm 24EN =，故选：B ．10.【答案】A【解析】解：设抛物线的解析式为：()()23123y a x x ax ax a =+-=+-，∴2b a =，3c a =-，∴()22423180abc a a a a =⋅⋅-=>，故①正确；∵点C 的纵坐标在3-～2-之间，∴332a -<-<-，即4223a <<，∴423b <<，故②正确；∵221122ax bx ax bx -=-，∴22112222ax ax ax ax -=-，即221122220x x x x --+=，∴()()121220x x x x +--=，又∵12x x ≠，∴122x x +=，故③错误；∵令y 相等，则256cx c ax bx c -+=++∴253232ax a ax ax a -=+-，解得10x =（舍），112x =，∴12m =，故④正确；故选A ．二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）11.【答案】x ≥-3且x ≠0【解析】解：根据题意得：x +3≥0且x ≠0，解得x ≥-3且x ≠0．故答案为：x ≥-3且x ≠0．12.【答案】DE EF =或AD CF =（答案不唯一）【解析】解：∵CF AB∥∴A ECF ∠=∠，ADE CFE ∠=∠，∴添加条件DE EF =，可以使得()AAS ADE CFE ≌，添加条件AD CF =，也可以使得()ASA ADE CFE ≌，∴AE CE =；故答案为：DE EF =或AD CF =（答案不唯一）．13.【答案】2【解析】解：抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后得到22352y ax bx ax bx =++-=+-，把点()24,-代入得到，()24222a b =⨯---，得到23a b -=，∴()6373273372a b a b --=--=⨯-=，故答案为：214.【答案】【解析】解：∵,6AB CD CD ⊥=，132CE ED CD ∴===，设O 的半径为r ，则1OE OB EB r =-=-，在Rt OED 中，由勾股定理得：222OE DE OD +=，即222(1)3r r -+=，解得：=5r ，5,4OA OE ∴==，9AE OA OE ∴=+=，在Rt AEC 中，由勾股定理得：AC ===故答案为：．15.【答案】5【解析】解：∵这组数据有唯一众数8，∴b 为8，∵中位数是5，∴a 是5，∴这一组数据的平均数为1358855++++=，故答案为：5．16.【答案】1-【解析】解：311x mx x x=---，化简得：311x mx x x =+--，去分母得：()31x x mx =-+，移项合并得：()23m x +=，解得：32x m=+，由方程的解是正整数，得到x 为正整数，即21m +=或23m +=，解得：1m =-或1m =（舍去，会使得分式无意义）．故答案为：1-．17.【答案】13【解析】解：当CE BE >时，如图，∵矩形ABCD ，∴点O 是BD 的中点，∵点P 是DE 的中点，∴26BE OP ==，CP PE PD ==，∵点E 是BC 边的三等分点，∴212CE BE ==，318BC BE ==，∵矩形ABCD 的面积是90，∴90BC CD ⨯=，∴5CD =，∴DE 13==，∴13PC PE DE +==；当CE BE <时，如图，∵矩形ABCD ，∴点O 是BD 的中点，∵点P 是DE 的中点，∴26BE OP ==，CP PE PD ==，∵点E 是BC 边的三等分点，∴132CE BE ==，369BC =+=，∵矩形ABCD 的面积是90，∴90BC CD ⨯=，∴10CD =，∴DE ==，∴PC PE DE +==故答案为：1318.【答案】①②③⑤【解析】解：∵正方形ABCD ，∴90ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，45ADB ABD CBD CDB ∠=∠=∠=∠=︒，如图1，作PG AD ⊥于G ，则四边形ABPG 是矩形，∴PG AB AD ==，∵90GPN GNP GNP DAM ∠+∠=︒=∠+∠，∴GPN DAM ∠=∠，又∵PG AD =，90PGN ADM ∠=︒=∠，∴()ASA PGN ADM ≌，∴AM PN =，①正确，故符合要求；如图2，作HF DF ⊥交AD 于H ，连接CF ，∴45DHF ADB ∠=︒=∠，∴DF HF =，∵AB BC =，45ABF CBF ∠=∠=︒，BF BF =，∴()SAS ABF CBF ≌，∴AF CF =，BAF BCF ∠=∠，∵360180BPF BAF ABP AFP ∠+∠=︒-∠-∠=︒，180BPF FPC ∠+∠=︒，∴BAF FPC ∠=∠，∴BCF FPC ∠=∠，∴PF CF AF ==，∴PN PF AM AF -=-，即FN FM =，∵90HFN NFD DFM NFD ∠+∠=︒=∠+∠，∴HFN DFM ∠=∠，∵HF DF =，HFN DFM ∠=∠，FN FM =，∴()SAS HFN DFM ≌，∴=HN DM ，由勾股定理得，DH ==，∵DH HN DN DM DN =+=+，∴DM DN +=，②正确，故符合要求；∵P 是BC 中点，3AB =，∴32BP CP ==，如图3，连接AP ，由勾股定理得，2AP ==，2AP ===，解得，3104PF =，设EM x =，则32PE x =+，3BE x =+，由勾股定理得，AE ==∵sin PF AB E PE AE∠==，∴310432x =+，整理得，22240x x --=，解得，6x =或4x =-（舍去），∴AE =，9BE =，∵cos CE BE E EM AE∠==，∴6EM =解得，EM =由题意知，90BPF ∠>︒，∴BPF NFA 、不相似，BF NF AF BP ⋅≠⋅，④错误，故不符合要求；∵PM BD ∥，∴45CPM CBD ∠=∠=︒，45CMP CDB ∠=∠=︒，设PC CM a ==，BC CD AD AB b ====，CE c =，则DM b a =-，BE b c =+，PE a c=+，cos 45PC PM ==︒，∵90AF PF AFN PFM FN FM =∠=︒=∠=，，，∴()SAS AFN PFM≌，∴AN PM ==，∵90ADM ECM ∠=︒=∠，AMD EDC ∠=∠，∴AMD EDC ∽，∴AD DM CE CM =，即b b a c a-=，解得，bc a b c =+，同理，ANF EPF ∽，∴AN FN PE PF =，即2a FN a c PF=+，同理，DMF BAF ∽，∴DM FM FN AB AF PF ==，即b a FN b PF-=，∴2b a a b a c-=+，将bc a b c =+代入2b a a b a c -=+得，bc b b c b c bc b c b c-++=++2b c +=+，解得，c b =∴CE =，⑤正确，故符合要求；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（共66分）19.【答案】23x -，取=1x -，原式12=-【解析】解：2669x x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭22669x x x x xx ⎛⎫--=÷- ⎪⎝⎭22669x x x x x--+=÷()223(3)x x x x -=⋅-23x =-．0x ≠ 且3x ≠，1x ∴=-或1x =或2x =．当=1x -时，原式21132==---．或当1x =时，原式2113==--．或当2x =时，原式2223==--．20.【答案】17.5米【解析】解：根据题意可知四边形BEDC 是矩形，1.5m DE BC ∴==．如图，45,58ABE AFE ∠=︒∠=︒．tan ,tan AE AE ABE AFE BE EF∠=∠= ，tan 45,tan58AE AE BE BE EF ∴=⋅︒==︒．BE EF BF =+ ，6tan58AEAE ∴=+︒16AE ∴≈．17.5AD AE DE ∴=+=（米）答：建筑物AD 的高度约为175.米．21.【答案】（1）50（2）36︒，图形见详解（3）480名【解析】【小问1详解】解：这次被调查的学生人数为：()()208513450++÷-=％（名）；【小问2详解】“了解较少”所对应的圆心角度数为：53603650︒⨯=︒，503417⨯=％（人）补全图形如下：【小问3详解】20120048050⨯=（名），估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题有480名．22.【答案】图形见解析，AOC 的面积为12或36．【解析】解：当60CBE ∠=︒时，所作图形如图，作OF BC ⊥，垂足为F ，∵菱形BCDE ，60CBE ∠=︒，∴90COB ∠=︒，30CBO ∠=︒，60OCB ∠=︒，∵12BC =，∴162OC BC ==，∵60OCB ∠=︒，∴30COF ∠=︒，∴132CF OC ==，∴AOC 的面积为183122⨯⨯=；当60BCD ∠=︒时，所作图形如图，作OF BC ⊥，垂足为F ，∵菱形BCDE ，60BCD ∠=︒，∴90COB ∠=︒，30BCO ∠=︒，∵12BC =，∴162OB BC ==，2263OC BC OB =-=，∴1332OF OC ==，229CF OC OF =-=，∴AOC 的面积为189362⨯⨯=；综上，AOC 的面积为12或36．23.【答案】（1）215322y x x =--（2）955【解析】【小问1详解】解：把()1,0-和()0,3-代入得：1023b c c ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩，解得523b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式为215322y x x =--；【小问2详解】解：令0y =，则2150322x x =--，解得：11x =-，26x =，∴点B 的坐标为()6,0，∴22223635BC OB OC =+=+=设直线BC 的解析式为y mx n =+，代入得：360n m n =-⎧⎨+=⎩，解得123m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为132y x =-，过点P 作PD x ⊥轴交BC 于点D ，设点P 的坐标为215,322x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则点D 的坐标为1,32x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴2211513332222PD x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭，∴()2211132763322222PBC S PD OB x x x ⎛⎫=⋅=⨯-+=--+ ⎪⎝⎭，∴PBC 最大为272，∴2955PBC S PN BC ===．24.【答案】（1）70，300（2）120300y x =-（3）5h 8或25h 13【解析】【小问1详解】解：由图可知，甲车27小时行驶的路程为()200180km -，∴甲车行驶的速度是()()2200180=70km/h 7-÷，∴A 、C 两地的距离为：()2470300km 7⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：70；300；【小问2详解】解：由图可知E ，F 的坐标分别为5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,180，设线段EF 所在直线的函数解析式为y kx b =+，则5024180k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得120300k b =⎧⎨=-⎩，∴线段EF 所在直线的函数解析式为120300y x =-；【小问3详解】解：由题意知，A 、C 两地的距离为：()2470300km 7⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，乙车行驶的速度为：()53007050km/h 2÷-=，C 、B 两地的距离为：()504200km ⨯=，A 、B 两地的距离为：()300200100km -=，设两车出发x 小时，乙车距B 地的路程是甲车距B 地路程的3倍，分两种情况，当甲乙相遇前时：()20050310070x x -=-，解得58x =；当甲乙相遇后时：()20050370100x x -=-，解得2513x =；综上可知，两车出发5h 8或25h 13时，乙车距B 地的路程是甲车距B 地路程的3倍．25.【答案】（1）见解析；（2）图②：AB BD EF =-，图③：AB EF BD =-；（3）10或18【解析】（1）证明：在AB 边上截取AM EF =，连接DM ．在Rt ABC △中，90903060B BAC ∠=︒-∠=︒-︒=︒．EF BC ，60EFB B ∴∠=∠=︒．又60EAD ︒∠= ，EFB EAD ∴∠=∠．又BAD EAD EAF ∠=∠-∠ ，AEF EFB EAF ∠=∠-∠，BAD AEF ∴∠=∠．又,AD AE AM EF == ，()SAS DAM AEF ∴ ≌．AF DM ∴=．180********AMD EFA EFB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．180********BMD AMD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．60B ∠=︒ ，BMD B BDM ∴∠=∠=∠．BMD ∴ 是等边三角形．BD BM DM ∴==，AB AM BM =+ ，AB EF BD ∴=+；（2）图②：当点D 在线段BC 的延长线上时，AB BD EF =-，证明如下：如图所示，在BD 上取点H ，使BH AB =，连接AH 并延长到点G 使AG AF =，连接DG ，∵60ABC ∠=︒，∴ABH 是等边三角形，∴60BAH ∠=︒，∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，∴60DAE ∠=︒，AE AD =，∴BAH DAE ∠=∠，∴BAH EAH DAE EAH ∠-∠=∠-∠，即BAE HAD ∠=∠，又∵AG AF =，∴()SAS FAE GAD ≌，∴EF DG =，AFE G ∠=∠，∵BD EF ∥，∴60ABC F G ∠=∠=∠=︒，∵60DHG AHB ∠=∠=︒，∴DHG △是等边三角形，∴DH DG EF ==，∴AB BH BD DH BD EF ==-=-；图③：当点D 在线段CB 的延长线上时，AB EF BD =-，证明如下∶如图所示，在EF 上取点H 使AH AF =，∵EF BC ∥，∴60F ABC ∠=∠=︒，∵AH AF =，∴AHF △是等边三角形，∴60AHF HAF ∠=∠=︒，∴120AHE ∠=︒，∵将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，∴AD AE =，60DAE ∠=︒，∴18060DAB EAH EAD HAF ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∵60D DAB ABC ∠+∠=∠=︒，∴D EAH ∠=∠，∵180120DBA ABC EHA ∠=︒-∠=︒=∠，又∵AD AE =，∴()AAS EAH ADB ≌，∴BD AH =，AB EH =，∵AH FH =，∴BD HF =，∴AB EH EF FH EF BD ==-=-；（3）如图所示，∵30BAC ∠=︒，90C ∠=︒，∴2AB BC =，222AB BC AC =+，∴()(2222BC BC =+，∴6BC =，∴212AB BC ==，∵2CD BD =，BC BD CD =+，∴123CD BC ==，由（1）可知，BD EF AB +=，∴12210EF AB BD =-=-=；如图所示，当点D 在线段BC 的延长线上时，∵CD BD <，与2CD BD =矛盾，∴不符合题意；如图所示，当点D 在线段CB 的延长线上时，∵2CD BD BD BC ==+，6BC =，∴6BD BC ==，由（2）可知，AB EF BD =-，∵212AB BC ==，∴12618EF AB BD =+=+=．综上所述，10EF =或18．26.【答案】（1）特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元（2）有3种方案，详见解析（3）特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱【解析】【小问1详解】解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x 元和y 元，则3242045910x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：40150x y =⎧⎨=⎩，故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；【小问2详解】解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m 箱，则购进特级干品猴头菇()80m -箱，则()()()50408018015015608040m m m ⎧-+--≥⎨-≤⎩，解得：4042m ≤≤，∵m 为正整数，∴40,41,42m =，故该商店有三种进货方案，分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；【小问3详解】解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：根据题意得()()()()4015040401180150504018015015771010a a ⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯-+⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：9a =；当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：根据题意得()()()()4115040391180150504018015015771010a a ⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯-+⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：9.9a ≈（是小数，不符合要求）；当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：根据题意得()()()()4215040381180150504018015015771010a a ⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯-+⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：10.7a ≈（不符合要求）；故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．27.【答案】（1）()0,6D -（2）13（3）存在，12个，()()()()()241350,0,8,0,10,0,12,0,18,0N N N N N 【解析】【小问1详解】解：解方程24120x x --=得16x =，22x =-，∴6OA =，即点A 的坐标为()6,0，把()6,0代入y x b =+得6b =-，∴6y x =-，点D 的坐标为()0,6-；【小问2详解】解：过点E 作EH AB ⊥于点H ，∵6OA OD ==，∴45OAD ODA EAH ∠=∠=∠=︒，AD ===∴2tan 32AH EH AE EAH ==⋅∠==，又∵ABCD 是平行四边形，∴BC AD ==，AE BC ，∵GE 是BC 的垂直平分线，∴12BG BC AE ===，∵AE BC ，∴EAF GBF ∠=∠，90AEF FGB ∠=∠=︒，∴AEF BGF ≌，∴26BF AF AH ===，∴6639BH AF FB AH =+-=+-=，∴1tan 3EH ABE BH ∠==；【小问3详解】如图，当90MEN ∠=︒时，有4个，解：∵145EAN ∠=︒，∴132EN EA ==，由（2）得16AN =，6OA =，∴112ON =，∴点N 得坐标为()12,0；当90ENM ∠=︒时，有4个，如图，当90EMN ∠=︒时，有4个，如图，∵9945N AM ∠=︒，∴99991322N M M A EM EA ====，∴()()2222999932326N A M A N M =+=+，∴点9N 与O 重合，故点9N 得坐标为()0,0，综上所述，点EMN 的个数为12个，和点N 的坐标为()0,0或()12,0．【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．。
2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷(解析版)
2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2022•齐齐哈尔）实数﹣2022的倒数是（）A．2022B．﹣2022C．D．2．（3分）（2022•齐齐哈尔）下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2022•齐齐哈尔）下列计算正确的是（）A．ab2÷ab＝b B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．2m4+3m4＝5m8D．（﹣2a）3＝﹣6a34．（3分）（2022•齐齐哈尔）数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x的值为（）A．2B．3C．4D．55．（3分）（2022•齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（）A．4个B．5个C．6个D．7个6．（3分）（2022•齐齐哈尔）在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝43°，则∠2的度数为（）A．57°B．63°C．67°D．73°8．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝89．（3分）（2022•齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种10．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为x＝﹣1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；③4ac﹣b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）（2022•齐齐哈尔）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为．12．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）13．（3分）（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为°．14．（3分）（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是．15．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A 作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝．16．（3分）（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝．17．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，⋯，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（2022•齐齐哈尔）（1）计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；（2）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy．19．（5分）（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．20．（10分）（2022•齐齐哈尔）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：（1）表中m＝，n＝，p＝；（2）将条形图补充完整；（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为°；（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？组别锻炼时间（分钟）频数（人）百分比A0≤x≤305025%B30＜x≤60m40%C60＜x≤9040pD x＞90n15%21．（8分）（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O 交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．22．（10分）（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A、B两地之间的距离是米，乙的步行速度是米/分；（2）图中a＝，b＝，c＝；（3）求线段MN的函数解析式；（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）23．（12分）（2022•齐齐哈尔）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则＝；（3）当AB＝m，BC＝n时，＝．剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC 剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．24．（14分）（2022•齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2022•齐齐哈尔）实数﹣2022的倒数是（）A．2022B．﹣2022C．D．【分析】根据倒数的定义进行计算即可．【解答】解：由于﹣2022×（﹣）＝1，所以﹣2022的倒数是﹣，故选：D．【点评】本题考查倒数，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”是正确解答的关键．2．（3分）（2022•齐齐哈尔）下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：A．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3．（3分）（2022•齐齐哈尔）下列计算正确的是（）A．ab2÷ab＝b B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．2m4+3m4＝5m8D．（﹣2a）3＝﹣6a3【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝b，符合题意；B、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；C、原式＝5m4，不符合题意；D、原式＝﹣8a3，不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了整式的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4．（3分）（2022•齐齐哈尔）数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据众数和平均数的定义解答即可．【解答】解：数据1，2，3，4，5的平均数是＝3，∵数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，∴x的值为3．故选：B．【点评】此题考查了众数与平均数的知识．众数是这组数据中出现次数最多的数．5．（3分）（2022•齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】由俯视图知最下面一层一定有四个小正方体，由主视图和左视图知上面一层至少有处在对角的位置上的两个小正方体，故可得出结论．【解答】解：由俯视图知最下面一层一定有四个小正方体，由主视图和左视图知上面一层至少有处在对角的位置上的两个小正方体，故搭成该几何体的小正方体的个数最少为6个，故选：C．【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练根据三视图的知识判断小正方体的个数是解题的关键．6．（3分）（2022•齐齐哈尔）在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可以写出任意选择一个字母的所有可能性和选择的字母是s的可能性，从而可以求出相应的概率．【解答】解：在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母一共有10种可能性，其中字母为“s”的可能性有3种，∴任意选择一个字母，字母为“s”的概率是，故选：C．【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．7．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝43°，则∠2的度数为（）A．57°B．63°C．67°D．73°【分析】由AC＝BC，∠C＝120°，可得∠CBA＝30°，再由a∥b，可得∠2＝∠CBA+∠1＝73°．【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠CBA＝∠CAB＝，∵a∥b，∴∠2＝∠CBA+∠1＝30°+43°＝73°．故选：D．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质．8．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【分析】利用图②中的信息和三角形的面积公式分别求得图①中的线段，由此选择出正确选项即可．【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项也不正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝2+6＝8，∴D选项的结论正确，故选：D．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，结合图形与图象求出图形中的线段的长度是解题的关键．9．（3分）（2022•齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【分析】根据题意列方程，求其正整数解．【解答】解：设A种食品盒x个，B种食品盒y个，根据题意得：8x+10y＝200，∴y＝20﹣0.8x，∴方程的正整数解为：，，，．故选：C．【点评】本题考查二元一次方程的应用，并求其特殊解的问题．10．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为x＝﹣1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；③4ac﹣b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】由抛物线对称轴为直线x＝﹣1可判断①，由抛物线顶点坐标可得a与c的关系，由抛物线与y轴交点位置可判断c的取值范围，从而判断②，由抛物线与x轴交点个数可判断③，由抛物线与直线y＝m交点个数判断④，由图象可得x＜﹣1时，y随x增大而增大，从而判断⑤．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，①正确．∵抛物线经过（﹣1，4），∴a﹣b+c＝﹣a+c＝4，∴a＝c﹣4，∵抛物线与y轴交点在（0，1）与（0，2）之间，∴1＜c＜2，∴﹣3＜a＜﹣2，②正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，③正确．∵a＝c﹣4，∴ax2+bx+a＝m﹣4可整理为ax2+bx+c＝m，∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），∴m＜4时，抛物线与直线y＝m有两个不同交点，④错误．由图象可得x＜﹣1时y随x增大而增大，∴⑤错误．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．二、填空题（每小题3分，满分21分）11．（3分）（2022•齐齐哈尔）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为 1.076×107．【分析】根据科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】计算即可得出答案．【解答】解：10760000＝1.076×107．故答案为：1.076×107．【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法—表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．12．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是AB＝CD（答案不唯一）．（只需写出一个条件即可）【分析】由AB∥CD，AB＝CD得四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．【解答】解：添加的条件是AB＝CD，理由如下：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．13．（3分）（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为216°．【分析】先利用勾股定理求出圆锥的底面圆半径，再利用侧面扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列方程即可求出答案．【解答】解：圆锥的底面圆的半径为：＝3，设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则2π×3＝，∴n＝216，∴圆锥侧面展开图的圆心角为216°，故答案为：216．【点评】本题主要考查圆锥的计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长．14．（3分）（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是m＞0且m≠1．【分析】先解分式方程，再应用分式方程的解进行计算即可得出答案．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，解方程，得x＝m+1，检验：当m+1≠2，m+1＝﹣2，即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，根据题意可得，m+1＞1，∴m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式的解的定义进行求解是解决本题的关键．15．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A 作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝﹣4．【分析】连接OA，则有S△ABC＝2S△ADO，根据k的几何意义，可得＝2，根据图象可知k＜0，即可求出k的值．【解答】解：连接OA，如图所示：∵AB⊥y轴，∴AB∥OC，∵D是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADO，∵S△ADO＝，△ABC的面积为4，∴|k|＝4，根据图象可知，k＜0，∴k＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．16．（3分）（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝3+3或3﹣3．【分析】利用分类讨论的思想方法，画出图形，过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理解答即可．【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②当△ABC为钝角三角形时，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；综上，BC的长为3+3或3﹣3．【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，利用分类讨论的思想方法，画出图形解答是解题的关键．17．（3分）（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，⋯，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是（）2022．【分析】首先利用函数解析式可得点A、B的坐标，从而得出∠BAO＝30°，根据三角函数的定义知BC1＝＝2，B1C1＝＝，同理可得，B2C2＝C1＝（）2，依此可得规律．【解答】解：∵y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，），∴OA＝3，OB＝，∴tan∠BAO＝，∴∠BAO＝30°，∵BC1⊥l，∴∠C1BO＝∠BAO＝30°，∴BC1＝＝2，∵B1C1⊥x轴，∴∠B1C1B＝30°，∴B1C1＝＝，同理可得，B2C2＝C1＝（）2，依此规律，可得B n∁n＝（）n，当n＝2022时，B2022C2022＝（）2022，故答案为：（）2022．【点评】本题主要考查了一次函数的性质，特殊角的三角函数值，通过计算B1C1、B2C2的长，得出计算的规律是解决问题的关键．三、解答题（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（2022•齐齐哈尔）（1）计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；（2）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy．【分析】（1）应用特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂及绝对值进行计算即可得出答案；（2）应用提公因式法与公式法的综合运用进行因式分解即可得出答案．【解答】解：原式＝1+（2﹣）＝1+9+＝12；（2）原式＝xy（x2﹣6x+9）＝xy（x﹣3）2．【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，提公因式法与公式法的综合运用进行因式分解是解决本题的关键．19．（5分）（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．20．（10分）（2022•齐齐哈尔）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：（1）表中m＝80，n＝30，p＝20%；（2）将条形图补充完整；（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为72°；（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？组别锻炼时间（分钟）频数（人）百分比A0≤x≤305025%B30＜x≤60m40%C60＜x≤9040pD x＞90n15%【分析】（1）用A组的频数除以25%即可得出总数，再根据“频率＝频数除以总数”可得m、n、p的值；（2）根据（1）的结论即可将条形图补充完整；（3）用360°乘p的值即可；（4）利用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量为50÷25%＝200，故m＝200×40%＝80，n＝200×15%＝30，p＝，故答案为：80；30；20%；（2）将条形图补充完整如下：（3）C组所对应的圆心角为360°×＝72°，故答案为：72；（4）2000×（20%+15%）＝700（人），答：校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有700人．【点评】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，能从频数分布表，扇形统计图中得到准确的信息．21．（8分）（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O 交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD，由圆周角定理得出∠ADB＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，由平行线的性质得出∠ABC＝∠FCB，进而得出∠ACB＝∠FCB，得出△DCB≌△FCB，得出∠F＝∠CDB＝90°，由平行线的性质得出∠ABF+∠F＝180°，继而得出AB⊥BF，即可证明BF是⊙O的切线；（2）连接BD、OE交于点M，连接AE，由圆周角定理得出AE⊥BC，AD⊥BD，由∠BAC ＝45°，AD＝4，得出△ABD是等腰直角三角形，BD＝AD＝4，AB＝4，进而得出OA＝OB＝2，由三角形中位线的性质得出OE∥AD，继而得出∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，求出BM＝2，利用S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE，将有关数据代入计算，即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠FCB，∴∠ACB＝∠FCB，在△DCB和△FCB中，，∴△DCB≌△FCB（SAS），∴∠F＝∠CDB＝90°，∵AB∥CF，∴∠ABF+∠F＝180°，∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，∵AB为直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，∵AB是直径，∴AE⊥BC，AD⊥BD，∵∠BAC＝45°，AD＝4，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4，∴OA＝OB＝2，∴OE是△ADB的中位线，∴OE∥AD，∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，∴BM＝BD＝×4＝2，∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE＝﹣××2＝．【点评】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，扇形面积的计算，掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，扇形的面积公式，三角形面积公式等知识是解决问题的关键．22．（10分）（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A、B两地之间的距离是1200米，乙的步行速度是60米/分；（2）图中a＝900，b＝800，c＝15；（3）求线段MN的函数解析式；（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）【分析】（1）利用函数图象中的信息直接得到A、B两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得乙的步行速度；（2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论；（3）利用待定系数法解答即可；（4）利用分类讨论的方法，分别求得相遇前和相遇后两人相距80米时的时间即可求得结论．【解答】解：（1）由图象知：当x＝0时，y＝1200，∴A、B两地之间的距离是1200米；由图象知：乙经过20分钟到达A，∴乙的速度为＝60（米/分）．故答案为：1200；60；（2）由图象知：当x＝时，y＝0，∴甲乙二人的速度和为：1200÷＝140（米/分），设甲的速度为x米/分，则乙的速度为（140﹣x）米/分，∴140﹣x＝＝60，∴x＝80．∴甲的速度为80（米/分），∵点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地，∴c＝1200÷80＝15（分钟），∴a＝60×15＝900（米）．∵点M的实际意义是经过20分钟乙到达A地，∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）；故答案为：900；800；15；（3）由题意得：M（15，900），N（20，800），设直线MN的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线MN的解析式为y＝﹣20x+1200；（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．理由：①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米），∴1120÷140＝8（分钟）；②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米），∴1280÷140＝（分钟）．综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象上点的坐标的实际意义是解题的关键．23．（12分）（2022•齐齐哈尔）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则＝；（3）当AB＝m，BC＝n时，＝．剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC 剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．【分析】转一转：（1）证明△ABF≌△CBE（SAS），推出AF＝CE，再利用三角形中位线定理求解；（2）证明△ABF∽△CBE，推出＝＝，推出AF＝CE，即可解决问题；（3）由△ABF∽△CBE，推出＝＝，推出AF＝CE，可得结论；剪一剪、折一折：如图4中，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R．证明△PTM ≌△CRM（AAS），推出MT＝MR，推出BM平分∠ABC，推出∠MBT＝∠MBR＝45°，推出TB＝TM，BR＝RM，设TM＝TB＝x，利用面积法构建方程求出x即可．【解答】解：转一转：（1）结论：GH＝CE．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠CBE＝90°，∵AB＝CB，BF＝AB，BE＝BC，∴BF＝BE，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE，∵DG＝GA，DH＝HF，∴GH＝AF＝CE；（2）如图③中，连接AF．∵BF＝AB，BE＝BC，∴＝，'∴＝，∵∠ABF＝∠CBE，∴△ABF∽△CBE，∴＝＝，∴AF＝CE，∵AG＝DG，DH＝HF，∴GH＝AF＝CE，∴＝．故答案为：．（3）当AB＝m，BC＝n时，同法可证△ABF∽△CBE，∴＝＝，∴AF＝CE，∵AG＝DG，DH＝HF，∴GH＝AF＝CE，∴＝．故答案为：．剪一剪、折一折：如图4中，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R．∵PM平分∠APN，∴∠MPT＝∠MPN，由翻折的性质可知MP＝MC，∠C＝∠MPN，∴∠MPT＝∠C，∵∠MTP＝∠MRC＝90°，∴△PTM≌△CRM（AAS），∴MT＝MR，∴BM平分∠ABC，∴∠MBT＝∠MBR＝45°，∴TB＝TM，BR＝RM，设TM＝TB＝x，∵•AB•BC＝•AB•MT+•BC•MR，∴×2×3＝•x•（2+3），∴x＝，∴BR＝MR＝，CR＝BC﹣BR＝3﹣＝，∴CM＝＝＝．故答案为：．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．24．（14分）（2022•齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为（1，2）；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；（2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB 的长，求出直线AB的解析式，即可得出点C的坐标；。
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2002年黑龙江省中考试题
一．填空题（每小题3分，共36分）
1． 函数y ＝1-x 中自变量x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿。
2． a 千克大米的售价是6元，则1千克大米的售价是＿＿＿＿＿＿元。
3． 据统计，全球每小时约有510 000 000吨污水排入江河湖海，用科学记数法表示为＿＿
＿＿＿吨。
4． 在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50米，同时高为1.5
米的测竿的影长为2.5米，那么古塔的高为＿＿＿＿＿米。
5． 若二次函数y=x 2+bx+c 的图像经过点（－4,0），（2,6），则这个二次函数的解析式是＿
＿＿＿＿＿＿＿。
6． 若一组数据6，7，5，6，x ，1的平均数是5，7． 则这组数据的众数是＿＿＿＿＿＿＿。
8． 如图，弦DC 、FE 的延长线交于圆外一点P ，割线PAB 经过圆心O ，请你结合现有图形， 添加一个适当的条件：＿＿＿＿＿，使∠1＝∠2
9． 某一次函数的图像经过一点（－1,2），且函数y 的值随自变量x 的增大而减小，请你
写出一个符合上述条件的函数关系式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
10．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买＿＿＿＿＿＿支钢笔。
11．如果矩形纸片两条邻边的长分别为18cm 和30cm ,将其围成一个圆柱的侧面，那么这个圆柱的底面半径是＿＿＿＿＿＿＿cm （结果保留π）
12．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12吨，按每吨a 元收费；若超过12吨，则超过部分按每吨2a 收费，如果某户居民五月份缴纳水费20a 元，则该居民这个月实际用水＿＿＿＿＿＿吨。
二．单项选择题：（每小题3分，共24分） 13．下列运算正确的是（ ）
A 、3×10－2＝－0.03
B 、36＝±6
C 、a 3·a 4=a 7
D 、(-2a 3)2=2a 6
14．如果分式2
31
2+--x x x 的值为零，那么x 等于（ ） A 、－1 B 、1 C 、－2或1 D 、1或2
15．如图，将矩形ABCD 沿着对角线BD
折叠，使点C 落在C ‘ 处，BC ‘
交AD 于E ， 下列结论不一定成立的是（ ）
A 、AD ＝BC ‘
B 、∠EBD ＝∠EDB
C 、ΔABE ∽ΔCB
D D 、sin ∠ABE=
ED
AE
16.哈尔滨市政府为了申办2010年冬奥委，决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A 、19% B 、20% C 、21% D 、22% A
A E
C ’
D
C
B
17．如图，一个圆环的面积为9π，大圆的弦AB 切小圆于点C ，则弦AB 的长为（ ） A 、9 B 、18 C 、3 D 、6
18．下列说法：①如果两个三角形的周长之比是∶2，那么这两个三角形的面积之比是3∶4；②平行四边形是中心对称图形；③经过三点有胜只有一个圆；④化简a 1-
的结果是a
a -，其中错误的个数是（ ）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
19．在课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形 形状的风筝，其
面积为450cm 2
,则对角线所用的竹条至少需（ ）
A 、 302cm
B 、30cm
C 、60cm
D 、602cm
20.在Rt ΔABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆直径是（ ） A 、5 B 、10 C 、5或4 D 、10或8 三．解答题（满分60分） 21．（本题5分） 计算：-42
+∣22-∣-（2002-2
11)30
++
22．（本题6分）是否存在这样的非负整数m ，使关于x 的一元二次方程m 2x 2
-(2m-1)x+1=0有两个实数根。
若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由。
23．（本题7分）“曙光中学“有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=300
,AC=40米，BC ＝25米，请你求出这块花圃的面积。
24．（本题8分）为了了解初三毕业生的体能情况，某校抽取了一部分初三毕业生进行一分钟跳绳次数测试，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图，如图中从左到右各小组的小长方形的面积之比是2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12。
（1）填空：第二小组的频率为＿＿＿＿＿＿，在这个问题中，样本容量是＿＿＿＿＿＿。
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该校初三毕业生的达标率约是多少？ （3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落中哪个小组内，请说明理由。
注：（每组含最低值，不含最高值）
25．（本题8分）
某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加2千米，4小时后沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，一段时间，风速保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米，最终停止，结合风速与时间的图像同，回答下列问题： （1）在y 轴（ ）内填入相应的数值； （2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？
（4）求出当x ≥25时，风速y （千米/时）与时间x （小时）之间的函数关系式
26．（本题8分）已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h 。
“若点P 在一边BC 上（如图1），此时h 3=0,可得结论h 1+h 2+h 3＝h ” 请直接应用上述信息解决下列问题： 当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h 1、h 2、h 3与h 之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明。
27．（本题9分）为了迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，
（ （
当比赛进行到第12轮结束（每队均需比赛12场）时，A队共积分19分。
（1）请通过计算，判断A队胜、平、负各几场；
（2）若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元，设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值。
28．（本题9分）如图，直线L与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2-14x+4(AB+2)=0的两个根（OB＞OA），P为直线L上A、B两点之间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA于点Q。
（1）求tan∠BAO的值；
（2）若S△PAQ＝S四边形OQPB时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
O A
Q
P
B
y
x
L。