小学数学奥数测试题-容斥原理2015人教版

2015年小学奥数计数专题——容斥原理

1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?

2．某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人? 3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?

4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3只铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?

5．有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?

6．东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?

7．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍

412的倍数的卡片有15张．那么，这些

卡片一共有多少张?

8．在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?

9．五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．

10．如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．

11．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．

12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没

13．如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?

14．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?

15．甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?

参考答案

1．17

【解析】

有至少参加一个小组的同学有15+18－10＝23人，所以有40－23＝17人两个小组都不参加．

2．9

【解析】

有数学、语文至少有一门得满分的学生有45－29＝16人．所以语文成绩得满分的有16－10+3＝9人．

3．38

【解析】

在转过两次后，面向老师的同学分成两类：

第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．

1～50之间，4的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡450＝12，6的倍数有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡650＝8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1250＝4． 于是，第一类同学有50－12－8+4＝34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4＝38名同学面向老师．

4．232

【解析】

1～100，2的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100＝50个，3的倍数有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡3100＝33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以这样的数有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡6100＝16人． 于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100－50－33+16＝33． 所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有50×2+33×3+33×1＝232支．

5．90

【解析】

我们只用先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数．

从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．

有1～180，3的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡3180＝60个，4的倍数有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡4180＝45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡12180＝15个． 注意到180厘米处的记号无法剪断，所以剪了(60－1)+(45－1)－(15－1)＝89，所以绳子被剪成89+1＝90段．

6．3

【解析】

将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级，那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅．而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15－25)÷2＝3幅．

7．36

【解析】

设这些卡片共有x 张，那么标有3的倍数的卡片有32x 张，标有4的倍数的卡片有43x 张，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数． 所以有32x+4

3x －15＝x ，解得x ＝36． 即这些卡片一共有36张．

8．686个

【解析】

1～1000之间，5的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡51000＝200个，7的倍数有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡71000＝142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡351000＝28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000－200－142+28＝686个．

9．62

【解析】

设参加自然兴趣小组的人组成集合A ，参加美术兴趣小组的人组成集合B ，参加语文兴趣小组的人组成集合C ．

|A|＝25，|B|＝35，|C|＝27，|B ∩C|＝12，|A ∩B|＝8，|A ∩C|＝9，|A ∩B ∩C|＝4,|A ∪B ∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A ∩B|－|A ∩C|－|B ∩C|+|A ∩B ∩C|.

所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27－12－8－9+4＝62，而这个班每人至少参加一项．

即这个班有62人．

10．58

【解析】

设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．

|A|＝|B|＝|C|＝30， |A ∩B|＝6，|B ∩C|＝8，|A ∩C|＝5，|A ∪B ∪C|＝73，

而|A ∪B ∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A ∩B|－|B ∩C|－|A ∩C|+|A ∩B ∩C|.

有73＝30×3－6－8－5+|A ∩B ∩C|，即|A ∩B ∩C|＝2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．