8.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线方程
苏教版高三数学复习课件8.1 直线的方程
时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由
增大到π(α≠π)时，
k由－∞趋近于0(k≠0)，当然解决此类问题时，也可采用数形结合思想，
借助图形直观地作出判断．
1．直线的斜率与倾斜角 (1)直线的斜率
已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率
k＝
不存在
2．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在
具体求
直线方程时，由于所给的条件和采用的直线形式所限，可能会产
【知识拓展】
求直线的斜率及倾斜角的范围
(1)斜率k是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条
直线都
(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α是单 存在斜率．倾斜角为90°的直线无斜率． 调函数，当α∈ 由0增大到 时，k由0增大到＋∞；当α∈
＝
(x1≠x2 )。
(2)直线的倾斜角 ． 斜率
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕 着
逆时针
交点按 的倾斜角．
方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线
0°
2．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 方 程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
单调函数，因此当k的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断
开的，如本题就是．
【答题模板】
解：由题意，得直线2xsin α＋2y－5＝0的斜率为k＝－sin α.
又－1≤sin α≤1，
平面直角坐标系与直线的方程与性质
平面直角坐标系与直线的方程与性质平面直角坐标系是用来描述平面中点的位置的一种数学工具。
它由两条相互垂直的直线组成，其中一条被称为x轴，另一条被称为y轴。
这两条直线的交点被定义为原点，用O表示。
我们可以根据坐标轴上的点与原点的距离和方向来描述平面中的点。
直线是平面上最基本的几何图形之一，它由无限多个点组成，且任意两点都能确定一条直线。
在平面直角坐标系中，直线可以用方程来表示。
下面我们将详细介绍直线的方程及其性质。
一、直线的方程形式在平面直角坐标系中，直线的方程有几种常见的形式，包括点斜式、斜截式和一般式等。
1. 点斜式方程点斜式方程是直线方程中最常见的一种形式，它利用直线上的一个已知点和直线的斜率来表示。
设已知点为P(x1, y1)，直线的斜率为k，则点斜式方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)2. 斜截式方程斜截式方程是直线方程中另一常见的形式，它利用直线在y轴上的截距和直线的斜率来表示。
设直线在y轴上的截距为b，直线的斜率为k，则斜截式方程可以表示为：y = kx + b3. 一般式方程一般式方程是直线方程的一种标准形式，它可以表示为：Ax + By +C = 0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0。
二、直线的性质直线在平面直角坐标系中有许多重要的性质，下面我们将介绍其中几个常见的性质。
1. 斜率直线的斜率是直线性质中最重要的一个概念，它描述了直线在坐标轴上上升或下降的速度。
斜率可以通过直线上两点的坐标计算得出，对于点(x1, y1)和点(x2, y2)来说，其斜率可以表示为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
斜率可以用来判断直线的倾斜方向和陡峭程度。
2. 与坐标轴的交点直线与坐标轴的交点可以通过直线的方程求解。
对于点斜式方程，直线与x轴的交点可以通过将y=0代入方程求解；直线与y轴的交点则是直线在y轴上的截距。
对于斜截式方程，直线与x轴的交点是直线在x轴上的截距；直线与y轴的交点则可以通过将x=0代入方程求解。
平面直角坐标系规律
平面直角坐标系规律
在平面直角坐标系中，规律主要体现在点的坐标表示、距离
计算、直线方程和图形变换等方面。
1.坐标表示：
平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x,y)表示，
其中x表示点在x轴上的投影长度，y表示点在y轴上的投影
长度。
根据坐标的正负，可以判断点在哪个象限。
2.距离计算：
两点之间的距离可以通过勾股定理计算，即
$d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}$。
这个公式可以用来
计算两点之间的直线距离。
3.直线方程：
在平面直角坐标系中，直线可以用一般式、斜截式、点斜式
和截距式等多种形式表示。
例如，一般式表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数；斜截式表示为y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距；点斜式表示为yy_1=k(xx_1)，其中(x_1,y_1)
为直线上一点的坐标；截距式表示为x/a+y/b=1，其中a、b
为x和y轴的截距。
4.图形变换：
平面直角坐标系中，常见的图形变换包括平移、旋转、缩放和对称等。
平移是通过给坐标加上一个平移向量实现，旋转是通过坐标旋转变换矩阵实现，缩放是通过给坐标乘上一个缩放因子实现，对称是通过以某一直线或点为中心实现。
总结一下，平面直角坐标系中的规律主要体现在坐标表示、距离计算、直线方程和图形变换等方面。
这些规律在几何学、图像处理、物理学等领域中都有广泛应用。
平面直角坐标系中的基本公式
《平面直角坐标系中的基本公式》【学习目标】（1）理解两点间距离和中点的概念，并会求两点距离及其中点坐标。
（2）理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题。
【学习重点】用勾股定理和轴上向量的计算公式推导平面上两点间的距离公式和中点坐标公式。
【学习难点】应用坐标方法研究几何问题。
知识点一：两点间的距离公式探究：在直角坐标平面内如何求A ，B 两点间的距离。
探究一：点A （0,0），点B （x 1,y 1）在任意位置，求AB 的距离？探究二：点11(,)A x y 、点22(,)B x y 都在任意位置，求AB 的距离？趁热打铁：1、 求下列两点间的距离： （1）A （6，2），B （-2，5）（2）C （2，-4），D （7，2）2、已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，判断三角形ABC 的形状。
变式：已知：A （1，1）B （5，3）C （0，3）求证：三角形ABC 是直角三角形。
知识点二：中点公式探究三：在直角坐标系中，如何计算任意两点1122(,),(,)A x y B x y 的中点M （x , y )的坐标？趁热打铁：1、求线段AB 中点M 的坐标： （1）A （3，4）,B(-3,2) （2）A(-8,-3),B(5,-3)2、已知点A （1,4），B （x,y ），AB 中点坐标为M （2,3），求点B 的坐标。
解题方法小结：应用、已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标， A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D 的坐标。
【典例剖析】例1、 已知矩形ABCD ，求证22222()AC BD AB AD +=+。
变式：已知平行四边形ABCD ，求证22222()AC BD AB AD +=+。
思考：什么是坐标法？用坐标法证题的基本步骤？【小结】本节课你学到了什么？检测1、 已知)10,0(),0,(B a A 两点的距离等于17，求a 的值。
2、 求下列各点关于M （-2,1）的中心对称点，A(2,-3), B(1,3), C(-1,-3), D(-3,5).3、 已知△ABC 的顶点坐标为A(3,2),B(1,0),C(2,4),求AB 边上的中线的长。
高二数学平面直角坐标系中的基本公式通用版知识精讲
高二数学平面直角坐标系中的基本公式通用版【本讲主要内容】平面直角坐标系中的基本公式数轴上两点的距离公式；平面上两点的距离公式；中点公式。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 建立直线坐标系： 一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
2. 数轴上点的坐标的意义： 如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作)x (P 。
3. 向量的有关概念：①如果数轴上一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移。
位移是一个既有大小又有方向的量叫做位移向量，简称向量，记作→AB 。
②向量的长度：线段AB 的长度叫做向量→AB 的长度，记为|→AB |。
③相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。
④向量的坐标：点A 沿x 轴的正向移动a （a>0）个单位到达点B ，用a 表示； 点B 沿x 轴的负方向移动a （a>0）个单位到达点A ，用－a 表示； a 和－a 分别叫做向量→AB 和→BA 的坐标或数量。
记为AB=a ，BA=－a 。
4. 数轴上任意三点，A 、B 、C ，都具有关系：BC AB AC += 5. 向量坐标的求法：若12x OA x OB ==，，则有12x x AB -= 6. 数轴上两点)x (B )x (A 21，的距离公式：|x x |)B A (d 12-=，7. 平面上两点A )y x (11，、B （22y x ，）的距离公式：212212)y y ()x x ()B A (d -+-=，8. 中点公式：A )y x (11，、B （22y x ，）则AB 中点坐标计算公式为： 2y y y 2x x x 2121+=+=，【解题方法指导】例1. 已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求证△ABC 是等腰三角形。
证明：因为8)24()13()B A (d 22=-+-=，20)20()15()C A (d 22=-+-=， 20)40()35()C B (d 22=-+-=，所以|BC ||AC |=又A 、B 、C 不共线 所以△ABC 是等腰三角形。
高中数学《平面直角坐标系中的基本公式》课件2 新人教B版必修2
第一页，编辑于星期五：十点 五十四分。
教学目标：
1、了解两点间距离公式的推导过程 ；熟练掌握两点间的距离公式、 中点公式；
2、灵活运用两点间的距离公式 和中点公式解题；
3、培养学生的数学思维能力。
第二页，编辑于星期五：十点 五十四分。
自主学习
1. 自学“两点间的距离公式〞的推导过程 〔课本68--69页〕。〔5分钟完成〕 2. 准备答复以下问题： 〔1〕公式对原点、坐标轴上的点都适应 吗？
y
A (x，y)
y
o x A1 x
d(O,A)=
第六页，编辑于星期五：十点 五十四分。
思考5:一般地，平面上两点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
y
A
o
x
M
B
d (A ,B ) |A B |(x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2
第七页，编辑于星期五：十点 五十四分。
〖课堂检测1〗
课本第71页练习A， 1.求两点间的距离。
第九，B(3，4)，C(5，0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 2 2
d(A,C)= 2 5d(C,B)=
25
即|AC|=|BC|且三点不共线
所以，三角形ABC为等腰三角形
〔2〕求两点间的距离有哪四步？ 〔3〕记忆公式有什么规律？
第三页，编辑于星期五：十点 五十四分。
合作探究〔一〕：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，点P1(x1，0)和P2(x2， 0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，点P1(0，y1)和P2(0，y2) ，那么点P1和P2的距离为多少？
高考数学中的直线方程
高考数学中的直线方程高考数学中的知识点众多，而直线方程是其中比较常见且基础的知识点之一。
直线方程是指在平面直角坐标系中，描述一条直线的方程式。
了解直线方程是高中数学的基础，也是在高考数学中取得好成绩的必备知识点。
下面将从什么是直线方程、直线方程的种类、怎样求直线方程三个方面对直线方程进行详细的介绍。
一、什么是直线方程在平面直角坐标系中，一条直线上任意两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）之间总是存在一定的关系，我们可以通过确定这种关系来描述这条直线的方程式。
通常我们使用一元一次方程式来描述一条直线，即y=ax+b的形式。
其中，a和b是常数，而x和y则是未知数。
在这种形式下，a决定了这条直线的斜率，而b则决定了这条直线和y轴的交点。
二、直线方程的种类在高考数学中，我们需要掌握三种直线方程的形式：斜截式、点斜式和一般式。
下面我们分别进行详细介绍。
1.斜截式斜截式指的是y=ax+b的形式，其中a是这条直线的斜率，而b则是这条直线和y轴的交点。
在斜截式中，a的值决定了这条直线的斜率，也就是这条直线的倾斜程度。
当a的值为正数时，这条直线呈现上升的趋势；当a的值为负数时，则呈现下降的趋势。
而当a的值为0时，则表示这条直线为水平线。
在计算斜率时，通常我们需要注意两点之间的水平距离是否为0，如果是，则斜率不存在。
2.点斜式点斜式指的是y-y1=k(x-x1)的形式，其中k是这条直线的斜率，而（x1，y1）是这条直线上的一个点的坐标。
在点斜式中，我们需要发现这条直线的斜率，以及找到该直线上的一个点，然后通过点斜式计算出直线方程。
在计算时，我们可以使用任意一个点，因此对于一条直线，可以使用多个不同的点来计算直线方程。
3.一般式一般式指的是Ax+By+C=0的形式，在一般式中，A、B和C都是常数，而x和y为未知数。
在使用一般式来求解直线方程时，我们通常需要将其转化为斜截式或者点斜式。
具体的转化方式可以通过数学公式和推导来实现，在高考数学中，我们需要掌握这些转化方式，以便快速的解决具体的问题。
最新-2021学年高一数学人教B版必修2课件：21平面直角坐标系中的基本公式 精品
向量的长度||=|(-m)-m|=|2m|=
-2, < 0.
反思 本题要区分好向量的数量与长度的概念,数量公式中两个坐
标不能颠倒顺序,但长度公式中可以.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练 1】 已知数轴上有两点 A(-2),B(5),则
AB=
,||=
,d(A,B)=
(2,-3).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析法的应用
【例5】 已知AO是△ABC的边BC上的中线,求证:
|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).
分析：可以建立适当的平面直角坐标系,采用“解析法”,通过计算
证明题中的结论.
证明如图,以BC边的中点为原点,BC所在直线为x轴建立平面直
条直线上建立了直线坐标系.
(2)向量的相关定义.
①位移是一个既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,简称
为向量.
②从点 A 到点 B 的向量,记作.点 A 叫做向量的起点,点 B
叫做向量的终点,线段 AB 的长叫做向量的长度,记作||.
③数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量.
1
(1)选择坐标系:坐标系选择是否恰当,直接关系到后面的论证是否
简捷.
原则是:选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现
零.
为此,常常有以下规律:
①将图形一边所在的直线或定直线作为x轴;
②若为对称图形则取对称轴为x轴或y轴;
③若有直角,则取直角边所在的直线为坐标轴;
④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点.
解(1)∵x1=-1,x2=2,y1=0,y2=3,
平面直角坐标系中的直线方程求解
平面直角坐标系中的直线方程求解
直线是平面上的一种特殊的几何图形，也是代数中的一个重要
概念。
在平面直角坐标系中，直线可以用一条线段连接两个点来表示，或者用一个方程来描述。
本文将介绍如何通过已知条件来求解
平面直角坐标系中的直线方程。
直线方程的一般形式是y = kx + b，其中k是斜率，b是y轴截距。
根据已知条件可以采用以下方法求解直线方程：
1. 已知两点求解：如果已知直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2,
y2)，可以通过斜率公式 k = (y2 - y1) / (x2 - x1) 计算出斜率k，然后
再通过点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来得到直线方程。
2. 已知斜率和截距求解：如果已知直线的斜率k和y轴截距b，可以直接写出直线方程为 y = kx + b。
3. 已知斜率和一点求解：如果已知直线的斜率k和一点P(x1,
y1)，可以通过点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来得到直线方程。
4. 已知截距和一点求解：如果已知直线的y轴截距b和一点
P(x1, y1)，可以将截距和点带入直线方程 y = kx + b 中，再求解斜率。
以上是几种常见的求解直线方程的方法，通过这些方法可以根据已知的条件求得直线的方程表达式。
需要注意的是，在解题过程中要注意数值运算的准确性，避免出现错误的结果。
总结而言，通过已知条件求解平面直角坐标系中的直线方程可以采用已知两点、已知斜率和截距、已知斜率和一点、已知截距和一点等不同的方法。
这些方法可以根据具体的问题选择合适的求解方式，以得到正确的直线方程表达式。
中考知识点平面直角坐标系
中考知识点平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中常用的一种坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它的引入使得平面几何和代数联系起来，方便我们进行各种计算和分析。
本文将介绍中考数学中涉及到的平面直角坐标系的知识点，包括定义、坐标表示、距离公式、斜率和直线方程等内容。
一、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y 轴。
它们的交点称为原点O，x轴和y轴上的单位长度分别称为x轴单位和y轴单位。
平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点到y轴的有向距离，y表示点到x轴的有向距离。
这样，每个点都可以唯一确定。
二、平面直角坐标系中的点的坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都有唯一的坐标表示。
以x轴和y轴的单位长度为1，以O为原点，我们可以通过测量点到坐标轴的垂直距离来确定一个点的坐标。
点的横坐标表示其到y轴的有向距离，纵坐标表示其到x轴的有向距离。
例如，点A的坐标表示为(Ax, Ay)。
三、平面直角坐标系中两点间的距离公式在平面直角坐标系中，我们可以通过求两点间的距离来计算它们之间的距离。
设点A的坐标为(Ax, Ay)，点B的坐标为(Bx, By)，则点A 和点B之间的距离d可以用以下公式表示：d = √((Bx - Ax)² + (By - Ay)²)四、斜率的概念及计算方法在平面直角坐标系中，我们可以通过斜率来描述一条直线的倾斜程度。
直线的斜率定义为直线上任意两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
设直线上两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则直线的斜率k可以用以下公式表示：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)五、直线的方程在平面直角坐标系中，我们可以用方程来表示直线。
常见的直线方程有斜截式、截距式和一般式。
其中斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点的纵坐标。
截距式方程表示为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线与x轴的交点的纵坐标。
平面直角坐标系中的直线方程
平面直角坐标系中的直线方程在我们学习数学的旅程中，平面直角坐标系中的直线方程是一个非常重要的概念。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理、工程、计算机科学等多个学科中发挥着关键作用。
让我们先来理解一下什么是平面直角坐标系。
想象在一个平面上，有两条相互垂直的数轴，一条水平的称为x 轴，一条垂直的称为y 轴。
它们的交点被称为原点，通常标记为 O 。
通过这两条数轴，我们可以确定平面上任意一个点的位置，比如点 A 的坐标是（x₁, y₁) 。
那么，直线方程又是什么呢？简单来说，直线方程就是用来描述平面直角坐标系中直线的数学表达式。
其中，最常见的直线方程形式是斜截式，即y ＝kx ＋b 。
在这里，k 被称为斜率，它反映了直线的倾斜程度。
如果 k 是正数，直线从左向右上升；如果 k 是负数，直线从左向右下降；当 k ＝ 0 时，直线是水平的。
而 b 则是直线在 y 轴上的截距，也就是直线与 y 轴相交的点的纵坐标。
举个例子，如果有直线方程 y ＝ 2x ＋ 1 ，那么斜率 k 就是 2 ，这意味着直线的倾斜程度比较大，而且是上升的。
截距 b 是 1 ，也就是说直线与 y 轴的交点是（0, 1) 。
除了斜截式，还有点斜式。
如果我们知道直线上的一个点（x₀, y₀) 以及直线的斜率 k ，那么直线方程可以写成 y y₀＝ k(x x₀) 。
比如，已知直线经过点（1, 2) ，斜率为 3 ，那么直线方程就是 y 2 ＝ 3(x 1) 。
另外，还有两点式。
如果我们知道直线上的两个点（x₁, y₁) 和（x₂, y₂) ，那么直线方程可以表示为（y y₁) ／（y₂ y₁) ＝（xx₁) ／（x₂ x₁) 。
例如，直线经过点（2, 3) 和（4, 5) ，那么直线方程就是（y 3) ／（5 3) ＝（x 2) ／（4 2) 。
还有一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ，其中 A 、 B 不同时为 0 。
这种形式在解决一些综合性问题时非常有用。
解析几何中平面直角坐标系方程的求法
解析几何中平面直角坐标系方程的求法几何以及物理都离不开向量、坐标系等一系列计算方法。
其中，平面直角坐标系是基本的坐标系，在解析几何中应用广泛。
平面直角坐标系的基本概念是坐标轴、坐标和坐标点，因此求平面直角坐标系的方程也是解析几何的基本内容之一。
本文将围绕着此主题展开，探讨几种求平面直角坐标系方程的方法。
一、直线的一般式在平面直角坐标系中，一般式具有形如 Ax + By + C=0 的形式。
其中，A、B、C为常数，x和y分别为平面直角坐标系中点的坐标。
这种形式可以通过斜率截距式进行转换。
斜率截距式中，一条直线方程可以写成y=kx+b的形式。
其中，k是斜率，b是截距。
在平面直角坐标系中，如果过点(x1,y1)和(x2,y2)的直线的斜率为 k, 则它的一般式为：k(x1-x2)+y2-y1=0具体地，如果 A=x1-x2, B=y2-y1, C=(-A)x1-Bx2，则一般式为Ax+By+C=0。
二、两点式两点式适用于已知通过两点的一条直线，其公式为：(y-y1)=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1)其中，(x1, y1)和(x2,y2)是直线上两个点。
将两点式化简后，可以得到一般式。
三、截距式截距式适用于已知直线在x轴或y轴上的截距的情况。
在截距式中，直线的方程为 y=kx+b，其中b是在y轴上的截距，k是斜率。
当直线穿过点(0,b)时，截距式的形式是 y=kx+b。
当直线穿过点(b,0)时，截距式的形式为 x=ky+b。
由于直线的斜率和截距可以通过两点来表示，所以截距式也可以转换为两点式或一般式。
四、点斜式点斜式用于已知直线在坐标系中的一个点以及直线在这一点的斜率的情况。
该式子的形式为：y-y1=k(x-x1)其中，(x1, y1)是直线上的点，k是直线在该点的斜率。
类似于两点式，点斜式也可以通过化简得到一般式。
综上所述，这四种方法都是解析几何中求解平面直角坐标系方程的基本方法。
在实际应用中，应根据实际问题选择合适的方法，提高解析几何的实际应用能力。
知识讲解_平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系． 要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．(2)数轴上的点与实数的对应法则：P ←−−−−→一一对应实数x ． (3)记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．当x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离|OP |＝x ；当x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点的距离|OP |＝-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式(1)定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ．点A 、B 分别叫做向量AB 的起点、终点．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量．要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB 、||AB 、AB 来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．(2)位移向量的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+．要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点(尾首相接)，而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(首尾相连)．(3)数量和：数轴上任意三点A 、B ，C ，都具有关系AC ＝AB+BC ．要点诠释：①这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式．②数轴上任意三点．A 、B 、C 都有关系AC ＝AB+BC ，但不一定有|AC |＝|AB |+|BC |，它与A 、B 、C 三个点的相对位置有关．(4)数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则21AB x x =-．一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．用d (A ，B )表示A ，B 两点的距离，可得数轴上两点A ，B 的距离公式是21()||||d A B AB x x ==-，．要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y ) ，则两点间的距离为d (A ，B )＝|AB |＝222121()()x x y y -+-．要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解．要点四：中点坐标公式若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )，则线段AB 的中点M (x ，y )的坐标计算公式为122x x x +=，122y y y +=． 要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想．要点五：坐标法1．通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想．2．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系．坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁．原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴．②对称图形，则取对称轴为x 轴或y 轴．③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴．④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算．【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC+CB ＝AB ；(3)若|AB |＝5，|CB |＝3，求|AC |．【答案】（1）2（2）略（3）2或8【解析】 (1)AC ＝AB+BC ＝AB -CB ＝5-3＝2．(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为A x 、B x 、C x ，则AC+CB ＝(C A x x -)+(B C x x -)＝B A x x AB -=，故AC+CB ＝AB ．(3)当点C 在A 、B 两点之间时，由下图①可知|AC |＝|AB |-|BC |＝5-3＝2；当点C 在A 、B 两点之外时，由上图②可知|AC |＝|AB |+|BC |＝5+3＝8．综上所述，|AC |＝2或8．【总结升华】 向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB ＝B A x x -，及|AB |＝||||B A A B x x x x -=-进行求解．对于(3)要注意点B (或点C )的位置，若不确定应分类讨论．举一反三：【变式1】已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为1x a b =+，2x a b =-．求AB 、BA 、d (A ，B )、d (B ，A )．【答案】2b - 2b 2||b 2||b【解析】 21AB x x =-=()()2a b a b b --+=-，12()()2BA x x a b a b b =-=+--=，d (A ，B )＝21||2||x x b -=，d (B ，A )＝12||2||x x b -=．【变式2】 关于位移向量，下列说法正确的是 ( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB 的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值【答案】 B【解析】 一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。
平面直角坐标系中的基本公式
3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
(完整版)直线与方程知识点及公式
直线方程知识点及公式1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的αα倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这α条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.即tan k α=※2.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：),(),,(222111y x P y x P )(211212x x x x y y k ≠--=※3. 直线的点斜式方程：.直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式)(11x x k y y -=-0=k 1y y =k 求它的方程，这时的直线方程为.1x x =※4．直线的斜截式方程：.只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.b kx y +=0≠k ※※5.直线方程的一般式：（）x 0A By C ++=220A B +≠6. 直线方程的两点式：.（，）121121x x x x y y y y --=--21x x ≠21y y ≠7．直线方程的截距式：. ,表示截距，它们可以是正，也可以是负.1=+by a x a b 8．斜率存在时两直线的平行：=且.21//l l ⇔1k 2k 21b b ≠9．斜率存在时两直线的垂直： ．⇔⊥21l l 121-=k k 10．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)一条直线的斜率不存在时，即倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．11.直线到的角的定义及公式：1l 2l 两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的1l 2l 1l 2l 角,叫做到的角.到的角：0°＜＜1８0°， 如果1l 2l 1l 2l θθ,012121=+即k k k k 如果， 0121≠+k k 12121tan k k k k +-=θ12．直线与的夹角定义及公式: 到的角是, 到的角是π-,两角中的锐角或直角叫两条1l 2l 1l 2l 1θ2l 1l 1θ直线的夹角.显然当直线⊥时,直线与的夹角是.夹角的取值范围：0°＜≤90°.1l 2l 1l 2l 2πα计算方法：如果如果， .2,1,012121πα=-==+则即k k k k 0121≠+k k 12121tan k k k k +-=α13. 两点间距离公式：12PP =14．点到直线距离公式：点到直线的距离为：),(00y x P 0:=++C By Ax l 2200B A CBy Ax d +++=15. 两平行直线间距离公式：2212-B A C C d +=。
坐标表示直线方程的公式
坐标表示直线方程的公式直线是几何学中最基本的图形之一，而其方程的表示方法也是重要的数学概念之一。
在平面几何中，直线通常通过坐标表示，即通过直线上的两个点的坐标来确定直线的位置和特征。
本文将介绍一种常用的方法，即使用坐标表示直线方程的公式。
坐标表示直线的一般形式一条直线可以用如下的一般形式来表示：ax + by + c = 0其中，a、b和c是常数，x和y是直线上的变量点的坐标。
这种形式称为直线的一般方程形式，也可以称为一般线性方程。
直线方程与坐标的关系直线方程中的a、b和c反映了直线的斜率和截距。
通过这些参数的取值，我们可以推导出直线在坐标系中的特征和性质。
斜率-截距形式直线方程可以通过斜率和截距来表示。
斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与y轴的相交点。
y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
截距-截距形式直线方程还可以通过两个截距来表示。
这两个截距表示了直线与x轴和y轴的相交点。
x/a + y/b = 1其中，a和b是直线与x轴、y轴的截距。
求解直线方程对于已知直线上的两个点的坐标，我们可以通过求解直线方程的参数来得到直线方程。
1.首先，我们可以通过两点的坐标计算直线的斜率。
斜率m等于两点的纵坐标之差除以横坐标之差。
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2.接下来，我们可以使用斜率m和其中一个点的坐标(x1, y1)来确定直线方程中的截距b。
b = y1 - mx13.最后，我们将斜率m和截距b代入斜率-截距形式的直线方程即可得到最终的直线方程。
y = mx + b通过上述步骤，我们可以根据已知直线上的两个点的坐标求解直线方程，从而精确地描述和表示直线。
总结直线是平面几何中最基本的图形之一，坐标表示直线方程的公式提供了一种简洁、直观的表示方法。
通过斜率和截距的计算，我们可以根据直线上的两个点的坐标求解直线方程，并在坐标系中准确地描述直线的位置和特征。
从而帮助我们更好地理解和研究直线的性质和应用。
8.1基本公式、直线的斜率、直线的方程
(D)3
知
示
能
提
检
醒 考
【解析】选C.因为
k AB
75 43
2, kAC
x 5 1 3
x 5, 4
又A、B、
验 模
向 聚
C三点共线，所以kAB=kAC，
拟 考
焦
场
· 典
即 x 5 2，解得：x=-3.
· 实
例 精
4
战 演
讲
练
考
考
纲
题
点
研
击
究
· 特
2.直线 3 x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( )
能
提
检
醒
验
考
模
向
拟
聚
考
焦
场
·
·
典
实
例
战
精
演
讲
练
考
考
纲
题
点
研
击
究
·
·
特
解
别
密
关
高
注
考
基
经
础
典
盘
考
点
题
·
·
警
知
示
能
提
检
醒
验
考
模
向
拟
聚
考
焦
场
·
·
典
实
例
战
精
演
讲
练
考
考
纲
题
点
研
击
究
·
·
特
解
别
密
关
直线方程交点公式
直线方程交点公式引言直线是解析几何中最基本的图形之一。
在平面直角坐标系中，直线可以由一条线段，两个端点或者两个平行线段的延长线组成。
在解析几何中，我们经常需要求解直线的交点，以便分析线段的相对位置或者求解几何问题。
本文将介绍直线方程交点公式，帮助读者了解如何计算直线的交点坐标。
一、直线的方程表示在平面直角坐标系中，直线可以通过多种方式表示，常见的有两点式、点斜式和一般式表示法。
下面分别介绍这三种表示法：1. 两点式两点式表示法使用直线上的两个已知点来表示直线方程。
已知两点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，那么直线PQ的方程可以表示为：(y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁)。
2. 点斜式点斜式表示法使用已知直线上的一点和直线的斜率来表示直线方程。
已知直线上的一点P(x₁, y₁)和斜率m，那么直线P上的点的坐标满足方程：y - y₁ = m(x - x₁)。
3. 一般式一般式表示法使用一般的形式表示直线方程。
一般式表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
二、直线的交点计算在了解了直线的方程表示方法后，我们可以利用这些表示法求解直线的交点。
下面分别介绍两条直线交点的计算方法。
1. 两点式和两点式已知两条直线的方程分别为：(y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁) 和 (y-y₃)/(y₄-y₃) = (x-x₃)/(x₄-x₃)，我们可以将这两个方程联立求解。
首先将这两个方程转化为等号形式，得到：(y-y₁)/(y₂-y₁) - (x-x₁)/(x₂-x₁) = 0 和 (y-y₃)/(y₄-y₃) - (x-x₃)/(x₄-x₃) = 0。
然后，将这两个等号形式相减，得到：((y-y₁)/(y₂-y₁) - (x-x₁)/(x₂-x₁)) - ((y-y₃)/(y₄-y₃) - (x-x₃)/(x₄-x₃)) = 0。
将等式整理化简后，求解出x和y的值，即可得到两条直线的交点坐标。