第五章 线性变换 S2 线性变换矩阵

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在V中一个固定基底下面，每个n阶矩阵A是 否都是V中一个线性变换的矩阵呢？
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分析
设V中给定的基底为[1, 2,…, n]，A为任意一个n 阶矩阵. 先看能否找到一个线性变换，使其在该基底下的 矩阵恰为A .
T X ( x , x , , x ) . 设为V中任意一个向量，坐标为 1 2 n
x2 T [T 1 , T 2 ,, T n ] [T 1 , T 2 ,, T n ] X x n
(3)
T [T 1 , T 2 ,, T n ] X ( 1 , 2 ,, n A) X 1 , 2 ,, n ( AX )
于是前面的(2)式可记为
T 1 , 2 ,, n [T 1 , T 2 ,, T n ] 1 , 2 ,, n A
目前已经知道 给定n维线性空间V中一个线性变换T及一个基 底 [1, 2,…, n] ，即可唯一确定一个矩阵A.
a1 j a2 j T j 1 , 2 , , n , a nj
( j 1,2,, n)
把n个矩阵形式记在一起得 a11 a12 a1n
a a a 22 2n 21 [T 1 , T 2 ,, T n ] , , , n 1 2 an1 an 2 ann
aT bT
故T为线性变换 .
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2．再证明线性变换T在基底[1, 2,…, n]下的矩阵恰为A. 只需证明A的第 j 列Aj 就是Tj在[1, 2,…, n]下的 坐标即可. 由于 j 0 1 0 2 1 j 0 n , 故其坐标恰为 e j (0,,0,1,0,,0)T . 由T的定义有 T j 1 , 2 ,, n ( Ae j ) 1 , 2 ,, n Aj . 由定理1知道T是唯一的，因此我们找到了所求 的线性变换T——其在基底[1, 2,…, n]下的矩阵恰为 任意的n阶矩阵A. 定理2 对于每个n阶矩阵A，在n维线性空间V中必存 在唯一的线性变换T，使得T在V中给定的基底 下的矩阵为A.
再由T的定义有
设又有V，且 =[1, 2,…, n]Y，Y是的坐标列
T (a b ) 1 , 2 ,, n ( A(aX bY )) 1 , 2 , , n (aAX bAY )
a 1 , 2 ,, n ( AX ) b 1 , 2 ,, n ( AY )
1 , 2 , , n A
(2)
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上面矩阵A=(aij)的第 j 列就是j的象Tj在基底[1, 2,…, n]下的坐标. 因此A被线性变换T唯一确定.
矩阵A称为线性变换T在基底 [1, 2,…, n]矩阵. 把前面的(1) T T ( x11 x2 2 xn n ) x1T 1 x2T 2 xnT n x1 写成矩阵形式
x11 x2 2 xn n
又T是线性变换，（保持线性组合不变）必有
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T T ( x1 1 x2 2 xn n ) x1T 1 x2T 2 xnT n
(1)
这说明当已知 T 1 ,T 2 ,,T n 时，每个向量的象 由(1)确定，即线性变换被完全确定.
即 =[1, 2,…, n]X. 令T是V上的一个变换(不一定是
线性变换)，使T的坐标为AX, 即 T 1 , 2 , , n ( AX ). (这样一个变换使得任一向量的象T坐标为AX) 下面证明该变换即为所求.
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1．先证明T是线性变换
于是 a b 的坐标为 aX+bY. 向量，a, b为任意数，
第五章 线性变换
第二节 n维线性空间中线性 变换的矩阵
只讨论n维线性空间V上的线性变换T. 研究线性变换T和n阶矩阵之间的关系.
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§5.2.1 线性变换在一个基底下的矩阵
已知: 在线性空间V中取定一个基底之后，V中任意 一个向量与它的象T都可用它们在该基底下 的坐标表示出来，而且表示法是唯一的. 对于n维线性空间V中的任意向量 , 它在基底[1, 2,…, n]下的坐标 ( x1 , x2 ,, xn ) 唯一. 且
(2)代入(3)得到
又 T 1 , 2 , , n Y ，而T在同一基底下的坐 标是唯一的，因此我们有 向量与象T在基底[1, 2, …, 5 Y=AX. n]下坐标X之间的关系
以后为应用方便，常记
[T 1 , T 2 ,, T n ] T 1 , 2 ,, n
定理1 设[1, 2,…, n]是线性空间V的一个基底，T是V 上的线性变换. 则线性变换T被该基底的象T1, T2,…, Tn所确定.
注： 确定一个线性变换就是确定每个元的象。两个 线性变换T1和T2相等的意义是它们使得每个向 量的象都相同.
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向量与象T在基底[1, 2,…, n]下坐标X=(x1, x2,…, xn)T与Y=(y1, y2,…, yn)T之间的关系 设Tj 在基底[1, 2,…, n]下坐标为 (a1j, a2j,…, anj)T 写成矩阵形式