第七章-应力分析(1)

表明： 轴向拉伸时最大切应力发生在与轴线夹45º角的斜面上； 这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。
因此，可以认为屈服是由最大切应力引起的。
2、分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁 圆试样扭转破坏的主要原因。
y'
圆轴扭转时，其上任意一点的
yx
应力状态为纯剪应力状态。
x'
平面应力状态任意斜截面上的
tg 2 0



2 xy x
y

0 0

90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.
②最大正应力
将 0和 0+90°代入公式


x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
得到max和min (主应力）
杆件承受轴向拉伸时，
y'
其上任意一点均为单向应力
状态。
x' 平面应力状态任意斜截面上 的正应力和切应力公式
x
x


x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
低碳钢的拉伸实验


x
y
2
sin2
xycos2
y'


x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
证明：

（1）该圆的圆心C点到 坐
标原点的 距离为
D
x y
2
（2）该圆半径为
o
B
C
A

y
D′
R

(
x

2
y
)2

2 xy
x
OC OB 1 (OA OB) 1 (OA OB) x y
2
2
2
CD
CA2 AD2

(
x

2
y
)2

2 xy

max min


x

2
y


(
x
2

y
)2


2 xy
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
4.最大切应力及方位


x
y
2

x
y
2
cos 2
xy sin 2


x

2
y
sin 2
xy cos 2
①最大切应力的方位
令
d d
3.应力圆的应用
（1）求单元体上任一 截面上的应力
从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力.
y
n

e
x
yx x

o
x
E
D
2
B
20
CF A

xy
f a
y
D′
x
证明：
OF OC CF OC CE cos(20 2 )
( yxdAsin )sin ( ydAsin )cos 0
化简以上两个平衡方程最后得


x
y
2

x
y
2
cos 2
xy sin 2

x
y sin 2
2
xy cos 2
不难看出 90 x y
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
正应力和切应力公式
xy


x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
铸铁的扭转实验


x
y
2
sin2
xycos2
y'
yx
x'
x＝y＝0
α
xysin2
xy
xycos2
当α ＝45º或α ＝－45º时，斜截面上只有正应力没有切应力。 α ＝45º时(自x轴逆时针方向转过45º)，拉应力最大； α ＝－45º时(自x轴顺时针方向转过45º)，压应力最大;
（2）任意一对平行平面上的应力相等
z
z
xy x
x
（3）该单元体的应力状态就代表了一点的应力状态；
单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方
位截面上的应力。
3.普遍状态下的应力表示
y
y
z
z
xy x
x
P
A
P x
x
A
y
B
C z
P
x B x
Mx
zx
xz
yx C xy
4.主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
Fn 0 dA ( xydAcos )sin ( xdAcos )cos
( yxdAsin )cos ( ydAsin )sin 0
Ft 0 dA ( xydAcos )cos ( xdAcos )sin
y yx
x xy
一、平面应力状态的解析法
1.任意斜截面上的应力
假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
x
a
yx
x xy
f
e

x
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
e
x
a
y
yx x
xy
f
n

x
2.符号的确定
e
x
xy
α
n
α
三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零
2.平面应力状态
三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零
3.单向应力状态
三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
§7.2 二向和三向应力状态实例
一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态 （壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）
xy
cos 2


说明
Ⅰ.点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应 力圆上某一点的坐标.
Ⅱ.夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上 对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.
A

B

B
A
2

O
C

(2)求主应力数值和主平面位置
主应力数值
2
E D
2
A1 和 B1 两点为与主平面 o
90 再次证明了切应力互等定理
3. 最大正应力及方位

x
y
2
x
y cos 2
2
xy sin 2


x
y
2
sin 2
xy cos 2
①最大正应力的方位
令
d d


2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ] 0
y

y yx
x
x
x
xy
o

y
作图步骤
（1）建 - 坐标系,选定比例尺
y

yx
D
x
x
xo
B
xy
C
A

y
D′
（2）量取 OA= x
x
AD = xy 得D点
（3）量取 OB= y BD′= yx 得D′点
（4）连接 DD′两点的直线与 轴相交于C 点
（5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的 应力圆
ｐ
L
轴线方向的应力
x
pD t ｐ
Ｄ
x
t
x
ｐπD２ ４
Fx 0
xpDt

p pD2
4
x

pD 4t
横向应力 ｐ×Ｄ×ｌ

ｐ
y

y
2t l y
Fy 0
y 2t l p D l 0
y

pD 2t
x y
承受内压圆柱型薄壁容 器任意点的应力状态:
§7.1 应力状态概述
一、点的应力状态
T
M
同一截面上不同点 的应力一般不同;
扭转 轴
弯曲 梁
k
F
FHale Waihona Puke Baidu
α
k
p

c
os






2
cos2 sin 2
同一点不同方位截面 上的应力亦不同。
应力
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
受力构件内一点的不同方位截面上应力情况的集合,称之
Fx 0
x pD t
p pD2
4
0
x

pD 4t
3、三向应力状态实例 滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态
σZ σx
σy
§7.3 二向应力状态分析——解析法
y
z
xy x
y
y yx xy
x
x
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .
单元体上有x ,xy 和 y , yx
OC CDcos 20 cos 2 CDsin 20 sin 2


x

2
y


x

2
y
cos 2

xy
sin 2


FE CE sin(2o 2 )
CD sin 20 cos 2 CD cos 20 sin 2


x

2
y
sin 2

2
sin 2
xy cos 2
得到max和min mmainx

(
x
2

y
)2


2 xy
比较
tan 20



2 xy x
y
和
tan 21
x y 2 xy
1
可见
tan 20


tan 21
21

20

p
2
,
1

0

p
4
1、分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说 明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 ,
在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆.
圆心的坐标

C(
x


y
,0)
2
圆的半径
R

(
x
2

y
)2

2 xy
此圆习惯上称为 应力圆（ plane stress circle）,或称为莫 尔圆（Mohr’s circle）
2. 应力圆作法
5.主平面 切应力为零的截面
6.主应力 主平面上的正应力
2 1
3 2
3 1
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直
的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按代数值
大小的顺序来排列, 即
1 2 3
三、应力状态的分类
1.空间应力状态
x'
α


x
y
2
sin2
xycos2
x
x
y＝0，yx＝0。
xcos2


x
2
sin2
y'
xcos2


x
2
sin2
x'
当α ＝45º时，斜截面上既有正
α
应力又有剪应力，其值分别为
x
x
45

x
2
45

x
2
在所有的方向面中，45º斜截面上的正应力不是最大值， 而切应力却是最大值。

x

2
y

x
y
2
cos 2
xy sin 2


x
y
2
sin 2
xy cos 2
把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得
(
x
y )2
2


2


(
x
y )2
2


2 xy
因为x ,y ,xy 皆为已知量，所以上式是一个以,为变
45
t max
xy
45O 0
45


c max

xy
-45O 0
进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力 作用面（即－45º螺旋面）断开的。
因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。
§7-4 二向应力状态分析-图解法
1. 应力圆
将斜截面应力计算公式改写为


2[
x
y cos 2
2
xy sin 2 ]
0
tan 21


x 2 xy
y
11 90
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力
所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.
②最大切应力
将1和 1+90°代入公式


x
y
为这一点的应力状态,亦指该点的应力全貌。
应力状态分析就是研究这些不同方位截面上应力的变 化规律。看受力构件上的哪一截面上哪一点在哪一方位上 的应力最大，从而找出危险截面上的危险点，并确定该点 处的应力及其方向，然后建立强度条件。
二、应力状态的研究方法
1.单元体
y
y
2.单元体特征
（1）单元体的尺寸无限小，每个面 上应力均匀分布
D
所以单元体上从 x 轴顺时
针转 0 （负值）即到 1对应 o
B1 B
的主平面的外法线
y
D′
20
C
A A1
tan(20 )

DA CA


2 xy x
y
x 1
tan20

α
α
ayx
f
y
t
（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时则为正 （2）正应力仍规定拉应力为正 （3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
t
e
dA dAcos α
a dAsin f
设斜截面的面积为dA , ae的面积为dAcos, af 的面积为 dAsin
y x
二向不等值拉伸应力状态
二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态 （壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）
ｐ
p pD2
4
Fy 0
y pD t
p pD2
4
0
y
ｐ

y

pD 4t
y
pDt y
p pD2
4
x
ｐ
x pD t
σy σx
B1 B
对应的点,其横坐标 为主应力
1,2
y
D′
20 C F A A1
x
1
OA1

OC

CA1


x

2
y


(
x

2
y )2


2 xy

max

1
OB1

OC

CB1


x

2
y


(
x

2
y )2


2 xy
min
2
主平面方位

由 CD顺时针转 20 到CA1 2