塑性力学第四章

f ij , 0
当 固定时，应力与应变有一一对应的关系，即
ij ij kl ,
于是有
f ij , f ij kl, , g kl, 0 （12）
上式表示对于任意固定的内变量 ，应力空间中的加载曲 面可由应变空间中的一个曲面来描述，即存在一个应变空 间中的加载曲面。

（7）
其中
0

E (1 )(1
2
)
,
E 2(1 )
（8）
称为拉梅常数。
在弹性状态，由（3）和（7）式有
ij Lijklkl 0 ij kl ik jl il jk kl

ij

M ijkl kl
(1)
ij ij
ij
(2) (1) ij ij
(1) (2)
(1)
ij ij
ij
（28）
(2) ij
d (2)
(1)
(2)
(1)
ij
ij
(1) ij ij
ij
(2)
(1)
ij
ij
（29）
证明（26）式和（27）式的等价性
如果（27）式成立
ij kl
Lijkl
f
ij
（14）
f
kl

g
ij
ij kl
M ijkl
g
ij
（15）
f ij
与应力空间中加载曲面的外法线向量重合。
g
ij 与应变空间中加载曲面的外法线向量重合。
于是知（14）（15）两式给出了在应力空间和应变空间中加 载曲面的外法线向量之间的关系。
（1）
固定时，应力与应变有一一对应的关系（此时为弹性）
ij ij kl ,
（2）
在直角坐标系中，应力应变之间的率关系或增量关系可写为
ij ij

Lijklkl


P ij
M ijkl kl iPj

（3）
当 固定时，式中
知（27）式成立。
以上证明了（26）、（27）两式等价
证明（28）、（29）两式成立
由
d
ij
因此一般有
0, g 0


0 ,

0
,
g 0 , gˆ 0 g 0 , gˆ 0
Z gˆ , g 0, gˆ 0
（20）
g
ij
ij

g



0
0, g 0



0
,

0
,
g 0 , gˆ 0 g 0 , gˆ 0
反之，当固定 时，应力与应变有一一对应的关系，
由 ij ij kl , 0 ，可有
g ij , g ij kl, , f kl, 0
（13）
由（12）、（13）式，可得
g
kl

f
ij
ij
d ij
0
知（26）式成立。
（30） （31）
而如果（26）式成立

(2)
(1)
ij
ij
(2) (1)
ij
ij
0

(1) ij
dij

(1) ij
(1) ij
dij

(1) ij
dijdij 0
应变空间中加载曲面的一致性条件
对于应变加载曲面 g ij , 0 ，也可以给出一致性条件
g
ij
ij

g



0
内变量的演化方程
（16）
当产生新的塑性变形时，内变量也会有所改变。假定内
变量演化方程有以下的形式
Z ij ,
（17）
一、稳定材料的假设 当应力的单调变化引起应变的同号单调变化，或反过来说， 应变的单调变化引起应力的同号单调变化时，称材料是稳定 的。
(2)
(1)
ij
ij
(2)
(1)
ij
ij
0
或 d ij d ij 0
（26） （27）
d (2) (2)
以Constitutive Equation或Constitutive Model等为 关键词查询，可以在Elsevier刊物上查到大量的关于塑性 本构关系研究的论文。
因此塑性本构理论吸引了一些优秀的科学家在从事这 方面的研究。
基本假设
本课程介绍的弹塑性本构关系除先前的各向同性假设和 静水应力不影响屈服的假设外，还采用了两个假设 （1）小变形假设 （2）率无关假设（仅考虑等温过程中的率无关材料）
Lijkl

ij kl
,
M ijkl

ij kl
是两个四阶弹性张量，正定而且对称。
ij ij

Lijklkl


P ij
M ijkl kl iPj

Lijkl Ljikl Lijkl Lklij
M ijkl

M
jikl

d ij d ij 0
设应力沿直线路径单调地由

(1) ij
变化到
(2) ij
，则有
ij


(1) ij

(
(2) ij


(1) ij
)
(0 1)
d ij

d(
(2) ij


(1) ij
)
(d 0)

d(
(2) ij


(1) ij
)
d
ij
eij

1
E
kk

1 2
E
sij

kk

（11）
作业
ij klkl ijkk ij (11 22 33 )
ik jl il jk kl 2ij 2ik jlkl
ij
1
M ijkl

M
klij

而(3)式中

e ij

Lijklkl
,

p ij

ij

分别称为弹性应力率和塑性应力率
iej M ijklkl ,
ijp

ij

分别称为弹性应变率和塑性应变率
（4）
两个四阶弹性张量有互逆关系：
Lijkl M klpq

M ijkl Lklpq

1 2
ip jq
iq jp
（5）
对于弹性张量为四阶各向同性弹性张量时，有
Lijkl 0 ij kl ik jl il jk
M ijkl



E

ij
kl
1
2E
ik jl il jk

0
(2) ij


(1) ij
dij



(2) ij


(1) ij
dij

ij


(1) ij
dij
0
(2) ij


(1) ij
dij

1
(2)
(1)
ij
ij
dij

(2) ij
ij
dij
0
将上两式从状态（1）到状态（2）积分，有
(2)
(1)
ij
ij
(2)
(1)
ij
ij

(2) (1)
ij


(1) ij
d ij
0
(2)
(1)
ij
ij
(2)
(1)
ij
ij

(2) (1)
(2) ij



E

ij
kl
1
2E
ik jl il jk


kl


（9）
可以得到
常用的表 达式
ij
E
1
ik jl
1 2

ij
kl


kl

ij

1
E
ij


E
ij kk

（10）
从上式，注意到应力偏量和应变偏量的定义还可得
将（17）式代入（16）式，解出



g
Z
1 g ij
ij

1
令



g

Z

，
gˆ

g ij
ij
（18）
则内变量的演化规律可以表示为
Z ij , gˆ
（19）
应变加、卸载准则
E
ik jl
1
ij
kl

kl
1
E
ij

E
ij kk
对于偏应力－偏应变关系的方程
eij

1
E
sij
因为
ekk

1
E
skk

0
一般地，6个方程中只有5个方程是独立的。
§4.2 应变空间中的加载曲面和加、卸载准则
应变空间中的加载曲面 应力空间中的加载曲面是（见§3.8（68）式）
fˆ 0
材料处于强化状态，加载曲面扩大
fˆ 0 加载曲面不变，理想塑性材料（ gˆ 0 ，不是中性变载）
fˆ 0 塑性变形在增加，但应力加载准则无法判断（失效）
gˆ

g ij
ij

0
g0
因此，应变加载准则的适用范围比应力加载准则的适用范围 要宽。
§4.3 有关材料性质的几个假设

gˆ
ˆij
gˆ
（23）
式中， ˆij




ij
Z

。
பைடு நூலகம்
弹塑性加载时
gˆ

g ij
ij

g ij
M

ijkl kl

kPl
（这里用到（3）式）

f kl
kl

g ij
kPl

f kl
kl

g ij
内变量的引入
内变量——用来刻划材料加载历史的宏观参量，可以描述 经历塑性变形后材料内部微观结构的变化。较常见（用得 较多）的内变量是等效塑性应变。
§4.1 塑性应力率和塑性应变率
回顾一维情形：
, 0 E( p )
E E p
E E p
ˆij gˆ
（用到了（15）式） （用到了（23）式）

fˆ

gˆ

g
ij
ˆij gˆ

1
g ij
ˆij
fˆ gˆ
（24） （25）
于是得到应变加载准则描述的应力加载准则。
当按应变加载准则判断为弹塑性加载时 g 0 gˆ 0
0 0 0
我们知道应变在加载曲面内时， 没有变化。 若有变化， 应变必然在加载曲面上。故上式只适用于弹塑性加载过程。
此时 上，
g
gˆ


0且
g ij
ij
gˆ 0
表gij 示ij 应0 。变g增量0 指向
表示应变在加载曲面 g 的增长方向（注
意 g 与g 的外法线重合）。
Z gˆ , g 0, gˆ 0
上式称为（应变空间的）加、卸载准则。它表示应变在加 载曲面上（即 g 0 ）且增量应变指向加载曲面外部 （即 gˆ 0）时，材料才有新的塑性变形产生。
g0
上式也可简写为
Z ij , gˆ
（21）
其中
gˆ

0, gˆ,
当 固定时， 0 p 0
E
或
t E(t t p )
弹性关系
由于材料的加载曲面不仅与应力状态有关还与材料的整
个变形历史有关，因此一般地，应力不仅与应变有关，还与
材料的整个变形历史有关。
ij ij kl ,
gˆ 0 gˆ 0
应力加载准则与应变加载准则的关系
在应力空间中加载准则可写为
fˆ

f ij
ij
（22）
fˆ 0 对应加载， fˆ 0 对应中性变载，fˆ 0 对应卸载。
由于塑性应变率（见（3）式）
iPj

ij





ij
Z
塑性力学
第四章
40学时
教材：塑性力学引论（修订版），王仁、黄文彬、黄筑平著
土木建筑工程学院 张克实 讲授
第四章 本构关系
本构关系是塑性力学最重要的基础，也是目前塑性力学 理论研究的重要课题之一。
国际刊载固体力学研究最新进展的杂志Journal of the Mechanics and Physics of Solids (JMPS) 、 International Journal of Plasticity (IJP)和International Journal of Solids and Structures (IJSS)每年登出的论文 中有很多是关于材料塑性本构关系研究的论文。