力矩和角动量定理
力矩的时间累积效应
又 L mR2
dt 1 d
故 LdL m2 gR3 cos θdθ
由题设条件积分上式
L LdL m2 gR3
cosd
0
0
L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR2 ( 2g sin )1 2
R
法二 现需求 L L( )
L mRv mR2
故需求 ( )
由质点定轴转动的转动定理
N
C
B
l
M
h A
l/2
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
解 碰撞前M落在 A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
u l
2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
Mdt dL
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
冲量矩
角动量定理的微分形式
1.质点 由：dL
r
F
M
dt
得：dL M dt
2.质点系
由：dL
dt
＝M外
得：dL M外dt
3.定轴刚体
由：M 轴
J
J
d
dt
得：Jd M轴d t
(二)、角动量定理的积分形式
瞬时
微分
效应
形式
Lz Liz ri2 mi
i
i
ri2 mi i
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz J
z
or
v
dm
2. 角动量定理
由刚体定轴转动定律
第3章运动定理(3)力矩与角动量
J J ' sin
例：圆周运动的质点关于圆心O的角动量
J r p
J rp m rv m r
2
J
v
r
m
SI：kg·m2/s
•
,或 J·s
o
微观体系的角动量是明显量子化的，其取值只能是 普朗克常数
h / 2 1 .0 5 1 0
34
i
m i ri m i rc M rc M r 0 ｃ
角动量的柯尼希定理的推导
第四项
所以
i
ric m i v ic
J rc M v c
i
ric m i v ic
2. 质心系的角动量的定理
据质点组的角动量定理
i
i
ric F i
rc M
i
2. 质心系的角动量的定理
d rc M v c ric m i v ic dt dt i d rc dvc d M v c rc M ric m i v ic dt dt dt i dvc d v c M v c rc M ric m i v ic dt dt i dvc d rc M ric m i v ic dt dt i dJ
质点的角动量定理（积分形式）
t
t
0
Ld t
t
t
0
dJ J J 0
意义：力矩L作用于质点m在△t时间内的积累效果， 导致质点的角动量发生改变。
角动量定理 角动量守恒定律
.
f2
N2
2
l mg O
f1 l 1 2mg N1
由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端，因此球 1 脱离 细杆时细杆与水平线夹角也为
1
6
因轻杆没有质量，球 1 一旦脱离轻杆，球 2 与轻杆间的相互作用 立即消失，此后球 2 只受重力作用而作斜抛运动，其初速度：
若M 0 L L0 ——质点系的角动量守恒
内力不改变系统的总角动量
t0
例 6.1 如图，质量为 m 的小球，拴于不可伸长的 轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其 半径为 R，角速度为 ，绳的另一端通过光滑的竖 直管用手拉住，如把绳向下拉 R/2 时角速度 为 多少？
m
R
F
解：
L mvR mR
2
R 1 2 L' mv' mR ' 2 4
L L'
' 4
m
R
F
例6.2 如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平 槽内，现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球
A，开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A
以初速度v0 在光滑的水平地面上向右运动。当A运 动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运 动时速度vB的大小。
3gl 2 g sin 1 v0 l 3l 3
y v0 B2 A
0
初速度的方向与水平线的夹角：
0
2 1
3
mg
l O
2 1
x
得任意 t 时刻球2的位置坐标：
力矩与角动量的关系
力矩与角动量的关系
力矩与角动量的关系
力矩是量度力对物体产生转动效应的物理量，可分为力对点的矩和力对轴的矩。
下面是小编为大家整理的力矩与角动量的关系，仅供参考，欢迎阅读。
力矩与角动量的关系
某质点对参考系的角动量M对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力矩L，就是角动量定理，M=dL/dt。
就是L对时间t的微分就是M，M和L都是有方向的。
力矩
力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。
力和力臂的乘积为力矩。
力矩是矢量。
力对某一点的力矩的'大小为该点到力的作用线所引垂线的长度（即力臂）乘以力的大小，其方向则垂直于垂线和力所构成的平面用力矩的右手螺旋法则来确定。
力对某一轴线力矩的大小，等于力对轴上任一点的力矩在轴线上的投影。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。
常用的单位还有千克力·米等。
力矩能使物体获得角加速度，并可使物体的动量矩发生改变，对同一物体来说力矩愈大，转动状态就愈容易改变。
L定义为r与p的矢积，并不是非常直观的物理量这就是为了研究转动而人为定义的力学量。
所以我觉得这是为了理论研究而人为定义的物理量，α是角加速度，形式上和牛顿第二定律完全一致，M定义为r与F的矢积;dt。
再定义转动惯量以后，转动方程就能写成M=Jα=dL
某质点对参考系的角动量M对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力矩L,就是角动量定理,M=dL/dt（就是L对时间t 的微分就是M,M和L都是有方向的,算式上标不出来）。
第四章 角动量守恒定律综述
对轴： M z M1z M 2 z
Z
5、对定轴力矩的方向
选定正方向后只有正负两种可能，合 力矩可以用各力矩的代数和来计算
O
M z ""
' Mz ""
eg1：质量为m=1Kg的质点在力 ˆ (3t 2) ˆ F (2t 3)i j 作用下运动， 质点在t=0时刻位于坐标原点，v0=0，
i M rF x Fx j y Fy k z Fz
Mx
z
Mz
M
My
O x
y
ˆ ˆ ( zFx xFz ) ˆ ( yFz zFy )i j ( xFy yFx )k ˆ ˆMy ˆ M xi j M zk
F 3、对定轴的力矩 力矩的分量式
O’
F2
r’ r F1 r1
转动平面
M x yFz zFy M y zFx xFz M z xFy 轴的力矩:即力矩沿z轴的
分量或力矩在z轴的投影
M z r1F1 sin
沿转轴方向力矩可以使物体沿此轴转动，即只有
平行于转轴的力矩才对转动起作用
将参考点沿 z 轴移至O’，位矢 r 改变，但是 r1 不变，Mz也不变，说明力对 z 轴上任一点的力
矩在z 轴的投影等于力对z 轴的力矩，即对一确
定的力F，对z 轴上任一参考点来说，力对z 轴 的力矩保持不变 如果已知力矩矢量的大小和它与 Z轴的夹角，则力对Z轴的力矩:
M
z
M z M cos
Mz
O
4、合力矩 对点：M r F r F1 r F2
M1 M 2
0
力矩的时间累积效应刚体的角动量定理
力矩的时间累积效应刚体的角动量定理力矩是一个非常重要的概念，在物理学中有广泛的应用。
力矩是由施加在刚体上的力产生的，它对物体的角动量有直接的影响。
力矩的大小等于力在垂直于力的作用线上的距离与力的大小的乘积。
力矩既可以使物体转动，也可以改变物体的转动状态。
刚体的角动量定理描述了外力对刚体的角动量产生的影响。
角动量定理可以表示为：\[\frac{{\Delta L}}{{\Delta t}} = M_n\]其中，ΔL是物体在时间Δt内的角动量的变化，M_n是刚体的合外力矩。
这个方程说明了外力对刚体角动量的改变率是力矩。
角动量定理的解释是，当一个刚体受到一个力矩的作用时，其角动量将发生改变。
外力矩是由施加在物体上的所有力矩之和。
外力矩可以通过计算所有作用力的力矩之和得到。
外力矩越大，刚体的角动量变化越大。
重要的是要注意，这个角动量定理适用于刚体。
对于质点来说，可以将刚体看作是一个质点，并将其质量集中在一个点上。
因此，对于质点，角动量定理也适用。
力矩的时间累积效应是指力矩对刚体角动量的积累作用。
当外力施加在刚体上一段时间后，会导致角动量的累积变化。
这是因为力矩在一段时间内对刚体的作用会积累产生更大的角动量变化。
例如，我们将一根悬挂在一个轴上的刚体上施加一个力。
在一段时间内，力矩将会产生一个初始的角动量，并且随着时间的推移，角动量将不断积累。
这是因为力矩在每个时间间隔内的作用都会增加角动量的变化。
力矩的时间累积效应还可以通过另一个实例来说明。
考虑一个旋转的滚筒，在初始时刻没有任何外力矩作用在上面。
当我们施加一个外力矩时，滚筒将开始旋转。
如果我们保持外力矩的大小和方向不变，滚筒将继续旋转。
然而，如果我们改变外力矩的大小或方向，滚筒的角动量将发生变化。
角动量的变化是根据力矩的改变率来计算的。
这意味着力矩的时间累积效应将导致角动量的变化。
进一步分析力矩的时间累积效应，我们需要考虑刚体的质量分布和外力的作用时间。
力矩、转动定律、角动量守恒
mgl 1 mgl 1 mv2 v gl 4g
2
2
l
P24 1-6: As shown in below figure, the body A is connected to the body B by the light rope which is through uniform solid cylinder（圆柱体） with a mass Mand a radius R. The body A has a mass of m1 and the mass of B is m2.There is not relative motion between the rope and cylinder. Find the tension force between the solid cylinders with
a R
（4）以上三式联立，可得物体 下落的加速度和张力：
a
m2
m2
m1 2
g
T m1m2 g 2m2 m1
m2 R(m2
m1 ) 2
g
o m1
m2 x
P34.习题19 质量为m、长为L的均质细杆可绕水平光滑轴O在竖直 平面内转动。若使杆从水平位置开始由静止释放，试求杆转至铅垂
T=?
J 1 MR2 2
M,R
m1 A
B m2
解：⑴ 研究对象：A、B和圆柱体； ⑵ 受力分析如图：
A向上运动，有加速度aA，B向下运动，加速 度aB，圆柱体顺时针转动。
T
T
T
A
B
T
m1g m2g
T
T1
T2
T2
（3）列方程：
物理竞赛角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。
第四章角动量守恒定律
的子弹， 例6、质量为 、质量为20g的子弹，以400m/s的速度沿 的子弹 的速度沿 图示方向射入一原来静止的质量为980g的摆球 图示方向射入一原来静止的质量为 的摆球 设摆线长度不可伸缩， 中，设摆线长度不可伸缩，则子弹入射后与摆 球一起运动的速度为多少？ 球一起运动的速度为多少？ 碰撞的瞬间， 碰撞的瞬间，对子弹和摆球组成的系统 所收的外力矩为零，角动量守恒。 所收的外力矩为零，角动量守恒。
2、合力矩： 、合力矩：
单位： 单位：N·m
v v v 矢量和 F = F1 + F2 + L v v v v v v v v M = r × F = r × ( F1 + F2 + L) = M 1 + M 2 + L
注意：所有力矩相对于同一参考点。 同一参考点 注意：所有力矩相对于同一参考点。 3、力矩的计算： 、力矩的计算：
初
初
则
p =c
r r r 则 r×p=L=c
例:跳水运动
跳水运动员为了使身体快速旋转双手抱 膝尽量蜷缩，当入水时必须把手脚舒展 膝尽量蜷缩， 开使转速变慢入水。 开使转速变慢入水。
例:花样滑冰
花样滑冰运动员把手脚伸展开时旋 转速度较小， 转速度较小，当把手脚收回时转速 变快。 变快。
t 用下运动， 质点位于坐标原点，且静止； 用下运动， = 0 时，质点位于坐标原点，且静止； 求：此质点在2秒时相对于坐标原点的角动量。 此质点在 秒时相对于坐标原点的角动量。 秒时相对于坐标原点的角动量
点由静止释放， 例2、一质量为 的小球在 ( x1 ,0,0) 点由静止释放， 、一质量为m的小球在 设重力加速度沿Z轴负向 轴负向； 设重力加速度沿 轴负向；求：小球所受重力相对 于坐标原点O的角动量 的角动量。 于坐标原点 的角动量。 例3、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。 、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。
角动量 冲量矩 角动量守恒定律
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
41..4.质1 点质的点角的动角量动量定理和角动量z守L恒定v律
度
v
质量为m 的质点以速
在空间运动，某时对
O 的位矢为 r ，质点对O
rm
xo
y
的角动量
L
r
p
r
mv
L
1 2
mv 12
r1 r2
2
1
4.4.2 刚体定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的
角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
L
Ji
z
O ri
v i
mi
2 刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受dd合Lti力矩dM(diJ(t包 )括Midedxt、(mMiiirni
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于在
这段时间内转动物体的角动量的增量
例 在通过定滑轮的一条轻绳的两 端，分别连有质量为 m1和 m2的物体， 设滑轮是质量为M 、半径为R的质 量均匀分布的圆盘。设绳的质量可 不计，求两物体的加速度。 解： 支撑力与滑轮的重力皆通原 点。只有 m1和m2 的重力才有对原 点的力矩。
R
M
m 1
m 2
作用于该系统的力矩为
M Rm1g Rm2g m1 m2 Rg
整个系统的角动量为
L
第四章--角动量守恒定律
d t L末－L初
初
初
冲量矩：末r
Fdt
末
Mdt
初
角动量守恒：若 则
初
r F M rpL
0 c
所以在分析问题时要明确参考点。
合外力矩
知
LA, LO
M A, MO
在OA轴上的分量都为0,由
在OA轴上的分量都为常数
M
dL dt
eg2：质量为m的小球用弹性绳拴住， 另一端固定A点，弹性绳k=8N/m 自由伸长时l0=60cm，小球在光滑 水平面运动，初速度v0，与r夹角 α=300，此时l1=40cm，末态时球距 A点l2=80cm，达到最大绳长。
角动量 守恒定律
南京信息工程大学
盘状星系
力矩 角动量 角动量定理 角动量守恒定理
§4.1 力矩
物体 力运动状态改变
物体 力 是否转动？
外力是否 产生力矩
是 转动 否 不转动
力矩：反映力的大小、方向和作用点对物体转动的影响
M
一、力矩
1、定义 M r F
大小：M rF sin
的方向转到 mv方向，大
拇指指向为 L的方向
r
2、质点对定轴的角动量 若质点 相对于某一参考点O的
角动量为 L ，则该质点相对于通过
O的任意轴线OZ的角动量为
Lz L cos
3、质点对定轴的角动量的方向
选定正方向后只有正负两种可能， 合角动量可以用各角动量的代数和 来计算
Z
Lz L
定的力F，对z 轴上任一参考点来说，力对z 轴
的力矩保持不变
z
8 刚体角动量定理 角动量守恒定律
m
p
质点对某参考点的角动量大 小反映其绕参考点旋转运动的 强弱. 2.4.3 质点的角动量定理 对圆周运动的质点 d M J J dt dJ dL M dt dt
P.7/34
大小:
L rmv sin
p
o
方向: 满足右手螺旋
r
质点绕参考点 作圆周运动
i
O
ri
vi
mi
J
P.10/34
第3章 刚体力学基础
2. 刚体定轴转动的角动量定理 刚体对z轴的总角动量
t2
t1
M z dt L2 L1 J 2 2 J11
Lz J
d d Lz M z J J dt dt
t
t0
M dt
称为冲量矩 又称角冲量
t2
t1
M z dt L2 L1 J 2 J1
3.2.4 定轴转动角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量守恒 定律: 刚体所受合外力矩为零, 则刚体的角动量保持不变.
刚体定轴转动的角动量定理: 在一段时间内, 刚体所受合外力 矩的冲量矩等于该时间内刚体 角动量的增量.
L J 恒矢量
M
定义: 力F 对参考点O 的力矩 M 的大小等于此力和力臂(从 参考点到力的作用线的垂直距 离)的乘积.
M1 M 2 M n
ri Fi r1 F1 r2 F2 rn Fn
M Fr Fr sin M rF
M z F r sin
第3章 刚体力学基础
转动定律
碰撞力矩质点的角动量定理
速率v0 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆
至某一高度 h 为止。试从高度 h 计算出子弹的速
率 v0 ，并说明在此过程中机械能损失。
解：从子弹以初速击中沙箱到获
得共同速度可看作在平衡位置完
成的完全非弹性碰撞。水平方向
受外力为0，由动量守恒有 v0
mv0 (m M)v
h M m
5
子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，沙箱、
tj
其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。
解：已知
r
a
costi
b
sin
tj
v
dr
dt
a
sin
ti
b
costj
L r mv
mab cos2 tk mab sin 2 tk
mabk
19
二、角动量定理
Z
r mv 1）角动量定理的微分形式
碰撞,力矩,质点的角动量定理, 相对运动，力学相对性原理,经 典时空观
2011-3-9
五、碰撞 物体在短时间内发生相互作用的过程。
碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。 2、系统的总动量(总角动量)守恒。
弹性碰撞：E=0
碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。
非弹性碰撞： E<0
碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分。
对多个质分别受外力 F1 F2 F2 外力矩 M1 M 2
内力 F12 F21
内力矩 M10 M 20 对质点（2）：
M2
M 20
dL2 dt
第5节 角动量定理、角动量守恒定
解 (1) 在图(a)中由圆心O点向质量m引矢量 r0 ，则
L0 r0 mv
其方向垂直于轨道平面沿OB方向向上，因为 r0 ⊥mv，故
L0 r mv mr 2
即圆锥摆对圆心O点的角动量 L0 是个沿OB向上的大小和方向都不变的恒矢量.
16
在图(b)中，由悬点B向在某位置P处的质点m引矢径
L
0
·
r
mv
L r mv
螺旋法则确定。 注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量 L 画在参考点上。
角动量是矢量，角动量 L 的方向垂直于 r 和 mv 所组成的平 面，其指向可用右手
L 的大小为 L r mv sin
★ 在直角坐标系中
mv mv x i mv y j mv z k
2
l mv mlr
(2) 如图(c)，质点m所在位置对于圆心O，张力T的力矩为
M T0 r0 T
其方向垂直于纸面向外，大小为
M T0 r0T sin r0T cos
因在竖直方向有Tcosθ＝mg，所以
M T0 r0 mg
17
此时重力对圆心O的力矩为
M mg0 r0 mg
Lz r sin mv r mv
Lz
Lz r mv sin r mv
r
mv
mv
☆ 质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量 在转动平面内的分量； 或运用坐标分量式求得：
Lz x mv y ymv x
10
2.5.2 质点的角动量定理
Fx
Fy
Fz
M z xFy yFx
大物力学第五章 角动量
v dr v Q =v dt
v v dp F= dt
v dr v v v × p = v × mv = 0 dt
说明： 说明： 可以写成分量表示。 可以写成分量表示。
v dL v v v ∴ = r ×F = M dt
力矩引起角动量的变化！ 力矩引起角动量的变化！
微分形式
v v t2 v L2 − L = ∫ Mdt 1
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
开普勒第二定律
v L
O
v v dt
v v r × v 的含义
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
例：图中O为有心力场的力心，排斥力于距离平方成反 图中 为有心力场的力心， 为有心力场的力心 为一常量） 为一常量 比：f = k/r2（k为一常量） 求：(1) 此力场的势能 (2) 一质量为 的粒子以速度 0、瞄准距离 从远处 一质量为m的粒子以速度 的粒子以速度v 瞄准距离b从远处 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。
v v v Q M内 = ∑ ( ri × f i内 ) i dt i
质点组角动量守恒： 质点组角动量守恒：
矢量，可以写成分量式表示。 矢量，可以写成分量式表示。 只有外力矩才对角动量有贡 内力矩为零， 献，内力矩为零，但会改变角 动量在体系内的分配。 动量在体系内的分配。
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
力矩和角动量定理
定义1 向量的向量积设a和b为两个向量，a与b之间的夹角为θ（0 ≤θ≤π），则存在向量c，满足（1）向量c的模|c| = |a||b|sinθ；（2）向量c与向量a和b分别垂直，c的方向与a和b的方向按照由a转向b的右手螺旋法则确定（图1.1）。
这样规定的向量c定义为向量a和b的向量积（也称叉积或外积），记为c = a × b注意，对于两个向量a和b，与a和b的数量积a ? b不同，a和b的向量积a ×b也是一个向量，如果向量a和b不平行，则a ×b与向量a和b构成的平面垂直，即a ×b 与a和b都垂直。
向量a和b的向量积a ×b满足以下运算性质：（1）反交换律：a ×b = ? b ×a；图1.1 向量的向量积（2）分配律：(a + b) × c = a ×c + b ×c；（3）数乘结合律：(λa) × b = a ×(λb) = λ(a ×b)（λ为任意实数）。
根据向量积的定义和运算性质，容易得到（这里0表示零向量）：（1）a ×a = 0；（2）设a和b为两个非零向量，则有a ×b = 0 ? a∥b。
设i，j，k为空间直角坐标系中的基向量（单位向量），则有（1）i ? i = j ? j = k ? k = 1，i ? j = j ? k = k ? i = 0；（2）i ×i = j ×j = k ×k = 0；（3）i ×j = k，j ×k = i，k ×i = j，图1.2 基向量之间的关系j ×i = ? k，k ×j = ? i，i ×k = ? j。
向量积可以根据运算性质计算，设向量a和b在空间直角坐标系中的形式分别为a = axi + ayj + azk = (ax，ay，az)，b = bxi + byj + bzk = (bx，by，bz)，则（运算过程略）a ×b = (axi + ayj + azk) × (bxi + byj + bzk)= (aybz ? azby)i + (azbx ? axbz)j + (axby ? aybx)k= (aybz ? azby，azbx ? axbz，axby ? aybx)向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算：a ×b ==i ?j +k= (aybz ? azby)i ? (axbz ? azbx)j + (axby ? aybx)k计算时可按第一行展开，先去掉三阶行列式中基向量所在的行和列的元素，把余下的二阶行列式（称为余子式）的元素按对角线的乘积相减，然后把结果写成向量形式。
§5.1 力矩与角动量(动量矩)
mM v2 G 2 m R R
例2 已知：在xoy坐标系中，在t=0时刻将质量 为m的质点由a处静止释放，让它自由下落， 求：在任意时刻t，质点所受的对原点o的 力矩？质点对原点o的角动量？ a 1 2 o b x F mgj r bi gt j 解： 2
M r F mgbk P mv mgtj L r P mgbtk
α
l
v m
o
Lo mvl sin , L mvl , o' L oo ' mvl sin ,
r
y
F ( P)
二、矢量对轴的矩
定义：在P点处矢量 B 对z轴的矩为 mz
m z
O
Z
r
P
B
m
B B
B
mz r B sin
0 m rr r O r
对轴的力矩、角动量
Z Z
M
0 r2
O
F2 F
P
P 1
o'
α L
力矩
拉力T
0 TLcosαsinα⊙
重力mg mgLsinα×
mgLsinα×
合力F
FLcosα×
T
o'点
o
F
o点
oo'轴
0
0
mg
0
0
练习2 在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，速 率为v，求圆锥摆对o点,o’点,oo’轴的角动量.
在讨论质点的角动量时，必须指明是对那点或那个轴的角动量 o'
第5章
角动量及其规律
第 5 章 角动量及其规律
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定义1 向量的向量积
设a和b为两个向量，a与b之间的夹角为θ（0 ≤ θ ≤ π），则存在向量c，满足
（1）向量c的模|c| = |a||b|sinθ；
（2）向量c与向量a和b分别垂直，c的方向与a和b的方向按照由a转向b的右手螺旋法则确定（图1.1）。
这样规定的向量c定义为向量a和b的向量积（也称叉积或外积），记为
c = a × b
注意，对于两个向量a和b，与a和b的数量积a ? b不同，a和b的向量积a × b也是一个向量，如果向量a和b不平行，则a × b与向量a和b构成的平面垂直，即a × b与a和b都垂直。
向量a和b的向量积a × b满足以下运算性质：
（1）反交换律：a × b = ? b × a；图1.1 向量的向量积 （2）分配律：(a + b) × c = a × c + b × c；
（3）数乘结合律：(λa) × b = a ×(λb) = λ(a × b)（λ为任意实数）。
根据向量积的定义和运算性质，容易得到（这里0表示零向量）： （1）a × a = 0；
（2）设a和b为两个非零向量，则有a × b = 0 ? a∥b。
设i，j，k为空间直角坐标系中的基向量（单位向量），则有
（1）i ? i = j ? j = k ? k = 1，i ? j = j ? k = k ? i = 0；
（2）i × i = j × j = k × k = 0；
（3）i × j = k，j × k = i，k × i = j，图1.2 基向量之间的关系
j × i = ? k，k × j = ? i，i × k = ? j。
向量积可以根据运算性质计算，设向量a和b在空间直角坐标系中的形式分别为a = axi + ayj + azk = (ax，ay，az)，b = bxi + byj + bzk = (bx，by，bz)，则（运算过程略）
a ×
b = (axi + ayj + azk) × (bxi + byj + bzk)
= (aybz ? azby)i + (azbx ? axbz)j + (axby ? aybx)k
= (aybz ? azby，azbx ? axbz，axby ? aybx)
向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算：a × b ==i ?j +k
= (aybz ? azby)i ? (axbz ? azbx)j + (axby ? aybx)k 计算时可按第一行展开，先去掉三阶行列式中基向量所在的行和列的元素，把余下的二阶行列式（称为余子式）的元素按对角线的乘积相减，然后把结果写成向量形式。
若三个向量a、b、c分别为a = (ax，ay，az)，b = (bx，by，bz)，c = (cx，cy，cz)，则它们的混合积可以按下式进行计算：
(a × b) ? c ==cx ?cy +cz
计算方法和向量积相似，把三阶行列式化为二阶行列式，只需把基向量i、j、k换成向量c的分量cx、cy、cz即可。
定义2 力矩
在确定的参考系中，设有力F和参考点O，力的作用点A相对于参考点O的位移向量为r（由O指向A的向量），则力F对参考点O的力矩M定义为（图2.1）
M = r × F
根据上述定义，力矩M是力F的作用点相对于参考点的位移r与力F的向量积，因此力矩也是一个向量。
上述定义是力矩的一般定义，中学力学中对一点（或轴）的力矩M 定义为力F的大小F与位移r垂直于力F的分量d（称为力臂）的乘积，即 M = Fd 图2.1 对参考点的力矩
这个力矩实际上是在一般定义中的力矩的一个分量（另一个分量实际上等于零）。
定义3 角动量
在惯性参考系中，设质量为m的质点A的运动速度为v，动量为p = mv，质点A相对于参考点O的位移向量为r（由O指向A的向量），则质点A相对于参考点O的动量矩L定义质点A的动量p对参考点O的矩，即（图2.2）
L = r × p
动量矩又称为角动量，这是比动量矩更通的名称，角动量也经常用字母J表示。
根据上述定义，角动量L是质点相对于参考点的位移r与质点的动量p的向量积，因此角动量是向量。
按照定义，角动量与参考点的位置有关，选取不同位置的参考点，角动量的大小和方向也将不同。
如果有外力作用于质点，质点运动速度会发生变化，动量图2.2对参考点的力矩
也会发生变化，于是质点相对于参考点的角动量也会改变，即
角动量定理
在惯性参考系中，质点相对于参考点的角动量L对于时间t的变化率等于作用于质点上的外力F相对于参考点的力矩M，即
= M
证明：按照角动量的定义L = r × p和向量积微分法则d(a × b) = da × b + a × db，可以得到角动量L对时间t的变化率为
= (r × p) = (r × p) = × p + r ×
按照速度的定义和牛顿第二定律
v = ，F =
因此以上两式分别为质点的运动速度v和作用于质点上的外力F，于是
= v × p + r × F
因为p = mv为质点的动量，根据向量叉积的性质v × v = 0，可得
= v × p + r × F = v × mv + r × F = r × F
按照力矩的定义M = r × F，即得
= M
质点的角动量定理可以写成微分形式
dL = Mdt
上式对时间t从t1到t2积分，可得
= L2 ? L1 =
即
ΔL = H
式中ΔL = L2 ? L1，H = 称为外力的冲量矩，上式表明，外力对质点的力矩的时间积累（冲量矩）等于质点角动量的增量，这就是质点角动量定理的积分形式。