计算机仿真教案04-2-第四章 离散相似法的连续系统仿真

同理，求出
xc(3)2,xc(4)6
输入输出关系如下图所示。
Z变换法
❖例 4-4-2：求解
x c (k 2 ) 3 x c (k 1 ) 2 x c (k ) 0
初始条件：xc(0T)=0, xc(1)=1
❖解：由超前定理，令 Z[xc(k)]Xc(z) 于是 Z [ x c ( k 2 ) ] z 2 X c ( z ) z 2 X c ( 0 ) z X c ( 1 )
所 以 x c ( k T ) ( 1 ) k r ( 2 ) k ,k 0 ,1 ,2 L
经整理后，得：(sI-A)X(s)=X(0)+BU(s)
X(s)=(sI-A)-1X(0)+(sI-A)-1BU(s)
(3-2-2)
L1[ 1 ]eat 因为， sa
标量，拉氏反变换
L1[s(IA )1]eAt 令F(t)=eAt,称F(t)为系统的状态转移同矩理阵
拉氏卷积定理：若£[f1(t)]=F1(s), £[f2(t)]=F2(s) 则有，
脉冲传递函数又可表示为： G(Z)=Z[Gh(s)Ga(s)]
保持器传递函数
系统传递函数
(3-2-10)
选择不同的保持器，将得不同的G(Z),例 如选零阶保持器，则由(3-2-10)得，
G (Z ) Z { 1 e sT G (s) }(1 z 1 )Z { G (s)}
s
s
通过脉冲传递函数导出系统差分方程
xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+… =b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+……
或表示为 xc(k)=T[xr(k)] 当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。
❖ 差分方程的解法
迭代法 Z变换法
迭代法
❖例 4-4-1：已知采样系统的差分方程是
x c ( k ) x c ( k 1 ) x r ( k ) 2 x r ( k 2 )
(3-2-11)
对(3-2-11)进行z-返变换并由延迟定理， y(kT)=b0u(kT)+b1u[(k-1)T]+b2u[(k-
2)T]+....+bmu[(k-m)T]-a1y[(k-1)T]-a2y[(k2)T]-....-apy[(k-p)T]
令kT对应n点，有， y(n)=b0u(n)+b1u(n-1)+b2u(n-2)+...+bmu(n-m)-
eAT (AT)i /i! i0
根据精度要求只取（L+1）项，则
L
e AT ( AT ) i / i! i 0
方法２：矩阵指数函数展成两项之差 exp(AT)=[I+exp(AT)]/[I+exp(-AT)]
若取4项（L=3）,得 ex A ) p [ T I ( A ( T A )2 T (A ) 3 ]/ T I[ A ( T A )2 T (A ) 3 ]T
0 (i 1)!
p ( T )
T e A ( T t ) Btdt
0
令 =T-t，则有，
P ( T )
T e AB(T )d
0
T T e A Bd T e A B d
0
0
T2(
(AT ) i )B
0 (i 2 )!
(二)脉冲传递函数模型
离散系统
连续系统
差分方程 Z变换 脉冲传递函数
令 z e T s ， 则 上 式 变 为 Z [f ( t) ] F (z )f( k T )z k k 0 此式称为采样函数 f ( t ) 的Z变换。
Z变换的方法 级数求和法 部分分式法
级数求和法
例4-3-1 求1*（t）的Z变换 。
解：F(z)Z[1(t)] 1(kT)zk
k0
x(n+1)=Φ(T)x(n)+Φm(T)u(n) 加零阶保持器的离散化状态方程
(3-2-8)
加一阶保持器的离散化状态方程
如果采用一阶保持器，那么，
u(kTt)u(kT)u(kT)u[k(1)T]t T
u(kT)u'(kT)t
代入(3-2-7)，
x[k (1)T]eAT x(kT )( TeA(Tt)Bd )u(tkT ) 0
微分方程 拉氏变换 传递函数
脉冲传递函数的定义 在连续系统中、应用拉氏变换可将描述系统的
微分方程转化为传递函数。同样，在采样系统中， 利用Z变换可将描述采样系统的差分方程转化为 类似于传递函数的另一种数学模型一脉冲传递函 数，或称Z传递函数。脉冲传递函数的定义如下：
在零初始条件下，线性定常采样系统的输出采 样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比称 为采样系统的脉冲传递函数。
( TeA(Tt)Bt)d u'(tkT ) 0
所以，x(n+1)= Φ(T)x(n)+Φm(T)u(n)+Φp(T)u’(n)
(3-2-9)
离散化状态方程-系数计算
(T ) e AT
m (T )
T e A (T t ) Bdt
0
p (T )
T e A(T t ) Btdt
0
矩阵指数函数的数值解 方法１：矩阵指数函数展成幂级数之和
t
z 1
z 1
卷积和定理
k
若
xc(kT) g(ki)Trx(iT) ，
i0
其中，k=0，1，2，…且当k=-1，-2，-3，…时，
xc(kT)=g(kT)=xr(kT)=0， 则
Xc(z)W (z)Xr(z)
式中， W ( z ) Z [ g ( k)T X ] r ( z ,) Z [ x r ( k)T ]
初始条件： k
xr(k) 0
k0 k0,
xc(0)2
❖解：令k=1，有
x c ( 1 ) x c (0 ) x r( 1 ) 2 x r( 1 )
因为 xc(1)210 所以 xc(1)1
令k=2，有
x c(2 ) x c( 1 ) x r(2 ) 2 x r(0 )
因为 xc(2)(1)20 所以 xc(2)3
2 4 12 2 4 12
利用矩阵指数函数的计算，可方便计算出其余的两 个系数，例如：
对于
m (T )
T e A ( T t ) Bdt
0
令 =T-t，则有， m ( T )
T e A ( T t ) Bdt
0
eAT (AT)i /i! i0
T e A Bd 0
T(
( AT ) i ) B
则Z [1f1 *(t)2f2(t)]1F 1(z)2F 2(z)
延迟定理
设t<0，f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则延迟定理为
Zf(tiT)ziF(z)
超前定理
令 Z[f(t)]=F(z)，则
i 1
Z[f(tiT)]ziF (z)zi f(kT)zk k0
复位移定理
设 Z{f(t)}=F(z)，则
x [k (1 ) T ] e A x ( T k) T e A ( k 1 ) T( k 1 ) T e A B () d u kT
现作变量置换，τ=kT+t, dτ=dt 所以，(3-2-6)变成
(3-2-６)
x [k ( 1 ) T ] e A x T ( k)T T e A ( T t)B ( k u T t) dt 0 (3-2-７) 离散状态方程
t
£ [0f1 ()f2 (t)d] F 1 (s)F 2 (s)
对(3-2-2)式进行拉氏反变换，并利用卷积定理得
t
x (t) F (t)x (0 ) 0F (t)B(u )d
eAx t(0)teA (t )B(u)d 0
这就是连续方程的解.
(3-2-3)
现推导离散化后的解. 对kT及(k+1)T两个依次采样时刻，有
z0
z1z2
L
1 1z1
z z1
例4-3-2 求e at 的F(Z)。
解：Fz eakTzke0z0eaTz1e2aTz2L k0 1e1aTz1zzeaT
部分分式法
例4-3-3 求解F (s) a
s(s a)
的Z变换 。
解：因为 Fs A B 1 1
s sa s sa
而 L1Fs1(t)eat
a1y(n-1)-a2y(n-2)-....-any(n-p)
4.3 Z变换
Z变换的定义 Z变换的方法 Z变换的性质 Z反变换
Z变换的定义
采 样 函 数f(t)f(t)(tkT) k0
对其进行拉氏变换：
L [f ( t) ] F (s ) L k 0f(k T )( t k T ) k 0f(k T )e k T s
数值积分法: 离线, 非实时 比较成熟，精度也比较高. 计算公式比较复杂，因而计算量比较大
离散化模型: 速度很快
(一)离散状态方程模型
连续系统的状态方程和
输出方程为
x＝Ａx＋Ｂu
拉氏
y＝Ｃx
变换
设 x(t)
X(s),对式(3-1)进行拉氏变换,得:
(3-2-1)
sX(s)-X(0)=AX(s)+BU(s)
1 2j
1
1 e jT
z1
1 2j
1 1e jT
来自百度文库
z1
1
e
jT
z1 z1
sinT
e jT
z1
z2
1
z1 sinT 2z1 cosT
z2
Z变换的性质
线性性质 延迟定理 超前定理 复位移定理 初值定理 终值定理 卷积和定理
线性性质
若 ： Z [f1 *(t)]F 1(z),Z [f2*(t)]F 2(z)，
x (k)T e Ak x (T 0 )ke T A (k T )B (u )d 0
(3-2-4)
x [k (1 ) T ] e A ( k 1 ) T x ( 0 ) ( k 1 ) T e A [k ( 1 ) T ] B () d u 0 (3-2-5)
式(3-2-5)-eAT×式(3-2-4),得
Z反变换 幂级数展开法 部分分式法 反演积分法（留数法）
4.4 线性常系数差分方程
差分方程的定义 差分方程的解法
差分方程的定义
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的 输出值 xc(k) 不仅与这一时刻的输入值 xr(k)有关，而且 与过去时刻的输入值xr(k-1)， xr(k-2)…有关，还与过去 的输出值xc(k-1)， xc(k-2)…有关。可以把这种关系描述 如下：
Z [x c(k 1 ) ]zc X (z) zc X (0 )
代入原式得
z 2 X c ( z ) z 2 X c ( 0 ) z c ( 1 ) X 3 z c ( z ) X 3 z c ( 0 ) X 2 X c ( z ) 0
整理后得
X c(z) z2 3 zz 2 (z 1 )zz( 2 ) z z1 z z2
加零阶保持器的离散化状态方程
如果采用零阶保持器，那么， u(kT+t)=u(kT) 这样(3-2-7)可写成
x [k ( 1 )T ] e Ax T (k)T u (k)T T e A (T t)Bd t 0 (T )x (k)T m (T )u (k)T
kT记作第n点， (k+1)T记作第n+1点
Z[em atf(t)]F(zeaT)
初值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，如果Z→∞时F（z）的极限 存在，则函数的初值为
lim f(t)f(0)lim F(z) z
终值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，则函数的终值为
l i m f( t ) f( ) l i m ( z 1 ) F ( z ) l i m ( 1 z 1 ) F ( z )
所以
F(z)
z z1
z zeaT
z(1eaT) (z1)(zeaT)
例4-3-4 求F(z)Z[s in t]
s s 1
1
解： L[sint] 2 j 2 2 2 j 2 j 2 j
s2 2
s2 2
s j s j
因为 所以
L1
s
1
j
e
j
(t
)
F(z)
z
s2
2
4.2 连续系统的离散化模型
• 离散状态方程模型 • 脉冲传递函数模型
在数值积分法的计算中，只计算了采样点的 值，相当于是对系统模型进行了离散化处理， 所以从本质说，数值积分法也是离散化方法， 只不过它是从数值积分的角度出发，没有明 确提出“离散”这个概念，而本章则是从连 续系统离散化的角度来探讨数字仿真的方法。
脉冲传递函数在大多情况下是z的有理分 式，即可表示为
G (z) U Y ( (z z) )b 1 0 a b 1 1 z z 1 1 a b 2 2 z z 2 2 a b p m z z p m
已知，由前面计算得
上式改写为，Y(z)=(b0+b1z-1+b2z-2+....+bmz-m)U(z)(a1z-1+a2z-2+....+apz-p)Y(z)