七年级数学8.1幂的运算讲解与例题
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8.1 幂的运算
1.了解幂的运算性质,会利用幂的运算性质进行计算.
2.通过幂的运算性质的形成和应用,养成观察、归纳、猜想、论证的能力,提高计算和口算的能力.
3.了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律,体验和学习研究问题的方法,培养思维严谨性,做到步步有据,正确熟练,养成良好的学习习惯.
1.同底数幂的乘法
(1)同底数幂的意义
“同底数幂”顾名思义,是指底数相同的幂.如32与35,(-5)2与(-5)6,(a+b)4与(a+b)3等表示的都是同底数的幂.
(2)幂的运算性质1
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
用字母可以表示为:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).
(3)性质的推广运用
当三个或三个以上的同底数幂相乘时,也具有这一性质,如:a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p是正整数).
(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时,应注意以下几点:
①幂的底数a可以是任意的有理数,也可以是单项式或多项式;底数是和、差或其他形式的幂相乘,应把这些和或差看作一个“整体”.
②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式,若底数不同,则不能使用;注意:-a n 与(-a)n不是同底数的幂,不能直接用性质.
③不要忽视指数是1的因数或因式.
【例1-1】(1)计算x3·x2的结果是______;
(2)a4·(-a3)·(-a)3=__________.
解析:(1)题中的底数都是x,是两个同底数幂相乘的运算式子,只需运用同底数幂相乘的性质进行运算,即x3·x2=x3+2=x5;(2)应先把底数分别是a,-a的幂化成同底数的幂,才能应用同底数幂的乘法性质,原式=a4·(-a3)·(-a3)=a4·a3·a3=a4+3+3=a10.
答案:(1)x5(2)a10
正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论.例如同底数幂的乘法,条件是底数相同,且运算是乘法运算,结论是底数不变,指数相加.
【例1-2】计算:
(1)(x+y)2·(x+y)3;
(2)(a-2b)2·(2b-a)3.
分析:(1)把(x+y)看作底数,可根据同底数幂的乘法性质来解;(2)题中(a-2b)2可转化为(2b-a)2,或者把(2b-a)3转化为-(a-2b)3,就是两个同底数的幂相乘了.解:(1)原式=(x+y)2+3=(x+y)5;
(2)方法一:原式=(2b -a )2·(2b -a )3=(2b -a )5
;
方法二:原式=(a -2b )2·[-(a -2b )3]=-(a -2b )5
.
本题应用了整体的数学思想,把(x +y )和(a -2b )看作一个整体,(2)题中的
两种解法所得的结果实质是相等的,因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数. 2.幂的乘方
(1)幂的乘方的意义:幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如(a 5)3是指三个a 5
相乘,读作
“a 的五次幂的三次方”,即有(a 5)3=a 5·a 5·a 5=a 5+5+5=a 5×3
;
(a m )n 表示n 个a m 相乘,读作“a 的m 次幂的n 次方”,即有(a m )n
=m m m n a a a ⋅⋅⋅个
=
m m m n a a a a a a a a a ⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅个
个个
个
=a mn
(m ,n 都是正整数)
(2)幂的运算性质2
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
用字母可以表示为:(a m )n =a mn
(m ,n 都是正整数).
这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算,即底数不变,指数相乘. (3)性质的推广运用
幂的乘方性质可推广为: [(a m )n ]p =a mnp
(m ,n ,p 均为正整数).
(4)注意(a m )n 与am n
的区别 (a m )n 表示n 个a m 相乘,而am n 表示m n 个a 相乘,例如:(52)3=52×3=56,523=58
.因此,(a m )n ≠am n .
【例2】(1)计算(x 3)2
的结果是( ).
A .x 5
B .x 6
C .x 8
D .x 9
(2)计算3(a 3)3+2(a 4)2
·a =__________.
解析:(1)根据性质,底数不变,指数相乘,结果应选B ;(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算,再合并同类项得到结果.
3(a 3)3+2(a 4)2·a =3a 3×3+2a 4×2·a =3a 9+2a 8·a =3a 9+2a 9=5a 9.
答案:(1)B (2)5a 9
防止“指数相乘”变为“指数相加”,同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”.如(a 4)2=a 4+2=a 6与(a 2)3=a 23=a 8
都是错误的.
3.积的乘方
(1)积的乘方的意义:积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如(2ab )3,(ab )n
等.
(2ab )3
=(2ab )·(2ab )·(2ab )(乘方意义)
=(2×2×2)(a ·a ·a )(b ·b ·b )(乘法交换律、结合律) =23a 3b 3.
(ab )n =n ab ab ab ()()()个
=n a a a (⋅⋅⋅)个
n b b b (⋅⋅⋅⋅)个
=a n b n
(n 为正整数).
(2)幂的运算性质3
积的乘方等于各因式乘方的积.
也就是说,先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘.
用字母可以表示为:(ab )n =a n b n
(n 是正整数). (3)性质的推广运用
三个或三个以上的乘方也具有这一性质,如(abc )n =a n b n c n
(n 是正整数).
【例3】计算:(1)(-2x )3;(2)(-xy )2
;
(3)(xy 2)3·(-x 2y )2
;(4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫-12ab 2c 34.
分析:(1)要注意-2x 含有-2,x 两个因数;(2)-xy 含有三个因数:-1,x ,y ;(3)
把xy 2看作x 与y 2的积,把-x 2y 看作-1,x 2
,y 的积;(4)-12ab 2c 3含有四个因数-12
,a
,