弧长和扇形面积-学案

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人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》学案及同步作业(含答案)

人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》学案及同步作业(含答案)

24.4弧长和扇形面积(第1课时)【学习目标】了解扇形的概念,理解 n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.【学习重点】n°的圆心角所对的弧长 L= n R,扇形面积S扇= n R2及其它们的应用.180360【学习过程】(教师寄语:勤动脑,多动手,体验收获!)自主探究(教师寄语:学会独立思考,自主学习是最重要的!)一、任务一:探究弧长公式1、圆的周长公式是什么?什么叫弧长?2、圆的周长可以看作 ______度的圆心角所对的弧.1°的圆心角所对的弧长是 _______; 2°的圆心角所对的弧长是 _______;4°的圆心角所对的弧长是 _______;n°的圆心角所对的弧长是 _______。

任务二:探究扇形面积公式3、圆的面积公式是什么?什么叫扇形?4、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积;设圆的半径为R,1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形 =_______; 2°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______; 5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______;n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形 =_______。

5、比较扇形面积公式和弧长公式,如何用弧长表示扇形的面积?二、合作学习(教师寄语:学会与别人合作是一种能力!)例 1、(教材 121 页例 1)例 2:如图,已知扇形 AOB的半径为 10,∠ AOB=60°,求AB的长( ?结果精确到 0.1)和扇形 AOB的面积结果精确到 0.1)三、课时小结(教师寄语:及时总结能使人不断进步!)四、自我测评(教师寄语:细心思考,必定成功!)1、已知扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的弧长是().A . 3B . 4C . 5D . 62、如图所示,把边长为 2 的正方形 ABCD的一边放在定直线L 上,按顺时针方向绕点 D 旋转到如图的位置,则点 B 运动到点 B′所经过的路线长度为()A.1B.C.2D.2B C(A')B'AlD C'A BCO(第 2 题图)(第 3 题图)(第 4 题图)(第 6 题图)3、如图所示, OA=30B,则AD的长是BC的长的 _____倍.4、如图,这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案,它是一扇形图形,其中AOB 为120,OC 长为8cm, CA 长为12cm,则阴影部分的面积为。

弧长和扇形面积(教案)

弧长和扇形面积(教案)

教案:弧长和扇形面积教学目标:1. 理解弧长的概念及计算方法。

2. 掌握扇形面积的计算公式。

3. 能够运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。

教学重点:1. 弧长的计算。

2. 扇形面积的计算。

教学难点:1. 弧长的计算公式的应用。

2. 扇形面积的计算公式的应用。

教学准备:1. 课件或黑板。

2. 教学卡片。

3. 练习题。

教学过程:一、导入(5分钟)1. 引导学生回顾圆的周长公式:C = 2πr。

2. 提问:如果我们知道圆的半径,如何计算圆的周长呢?二、新课:弧长(10分钟)1. 引入弧长的概念:在圆上,弧长是指连接圆上两点之间的部分的长度。

2. 解释弧长的计算方法:弧长= 圆心角/ 360°×2πr。

3. 示例:给定一个半径为5cm的圆,圆心角为90°,计算弧长。

三、练习:弧长的计算(10分钟)1. 学生独立完成练习题,老师巡回指导。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。

四、导入扇形面积的概念(5分钟)1. 引入扇形面积的概念:扇形面积是指圆心角所对应的圆弧与半径所围成的区域的面积。

2. 提问:扇形面积与圆的面积有何关系?五、新课:扇形面积的计算(10分钟)1. 解释扇形面积的计算公式:扇形面积= (圆心角/ 360°) ×πr²。

2. 示例:给定一个半径为5cm的圆,圆心角为90°,计算扇形面积。

3. 强调扇形面积与圆心角的关系:圆心角越大,扇形面积越大。

教学反思:本节课通过引入弧长和扇形面积的概念,让学生掌握了弧长和扇形面积的计算方法。

在教学过程中,通过示例和练习题的讲解,帮助学生理解和应用知识点。

在今后的教学中,可以结合实际问题,让学生更好地运用弧长和扇形面积的知识。

六、练习:弧长和扇形面积的综合应用(10分钟)1. 学生独立完成综合练习题,老师巡回指导。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。

七、课堂小结(5分钟)1. 回顾本节课所学内容:弧长的计算方法和扇形面积的计算方法。

24.4 弧长和扇形面积 导学案(含答案)

24.4 弧长和扇形面积 导学案(含答案)

24.4 弧长和扇形面积 导学案第1课时 弧长和扇形面积1、教学目标1.了解扇形的概念,复习圆的周长、圆的面积公式.2.探索n°的圆心角所对的弧长l =n πR 180、扇形面积S =n πR 2360和S =12lR 的计算公式,并应用这些公式解决相关问题.2、预习反馈阅读教材P 111~113,完成下列知识探究. 1.在半径为R 的圆中,1°的圆心角所对的弧长是πR 180,n°的圆心角所对的弧长是n πR180. 2.在半径为R 的圆中,1°的圆心角所对的扇形面积是πR 2360,n°的圆心角所对的扇形面积是n πR 2360. 3.半径为R ,弧长为l 的扇形面积S =12lR .3、名校讲坛例1 制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算如图所示的管道的展直长度L (结果取整数).【思路点拨】 先根据弧长公式求出100°所对的弧长,再加上两边的长度. 【解答】 由弧长公式,得AB ︵的长 l =100×900×π180=500π≈1 570(mm).因此所要求的展直长度L =2×700+1 570=2 970(mm).【跟踪训练1】 如图,用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点P 旋转了108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(C)A .π cmB .2π cmC .3π cmD .5π cm【点拨】 重物上升的高度就是108°所对的弧长.【跟踪训练2】 如图,点A ,B ,C 在半径为9的⊙O 上,AB ︵的长为2π,则∠ACB 的大小是20°.【点拨】 先根据弧长公式求出AB ︵所对的圆心角,再根据圆周角定理求出∠ACB 即可.例2 如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m ,其中水面高0.3 m .求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位).【思路点拨】 有水的部分实际上是一个弓形,弓形的面积可以通过扇形的面积与相应三角形面积的和或差求得.【解答】 如图,连接OA ,OB ,作弦AB 的垂直平分线,垂足为D ,交AB ︵于点C ,连接AC .∵OC=0.6 m,DC=0.3 m,∴OD=OC-DC=0.3 m.∴OD=DC.又∵AD⊥DC,∴AD是线段OC的垂直平分线.∴AC=AO=OC.从而∠AOD=60°,∠AOB=120°.有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB=120π360×0.62-12AB·OD=0.12π-12×0.63×0.3≈0.22(m2).【跟踪训练3】已知:如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且BC=6 cm,AC =8 cm,∠ABD=45°.(1)求BD的长;(2)求图中阴影部分的面积.解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°,∠BDA=90°.∵BC=6 cm,AC=8 cm,∴AB=10 cm.∵∠ABD=45°,∴△ABD是等腰直角三角形.∴BD=AD=22AB=5 2 cm.(2)连接DO,∵∠ABD=45°,∠BDA=90°,∴∠BAD =45°. ∴∠BOD =90°. ∵AB =10 cm , ∴OB =OD =5 cm.∴S 阴影=S 扇形OBD -S △OBD =90π×52360-12×52=(25π4-252)cm 2.4、巩固训练1.已知扇形的圆心角为120°,半径为2,则这个扇形的面积S 扇=43π;已知扇形面积为43π,圆心角为120°,则这个扇形的半径R =2. 2.已知扇形的半径为5 cm ,面积为20 cm 2,则扇形弧长为8cm .3.如图,已知C ,D 是以AB 为直径的半圆周上的两点,O 是圆心,半径OA =2,∠COD =120°,则图中阴影部分的面积等于23π.4.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 cm ,其中水面高0.9 cm ,则截面上有水部分的面积为0.91__cm 2.(结果保留小数点后两位)5.如图,已知P ,Q 分别是半径为1的半圆圆周上的两个三等分点,AB 是直径,则阴影部分的面积为π6.【点拨】 连接OP ,OQ ,利用同底等高将△BPQ 的面积转化成△OPQ 的面积.6.如图,圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起,连接AC ,BD. (1)求证:AC =BD ;(2)若图中阴影部分的面积是34π cm 2,OA =2 cm ,求OC 的长.解:(1)证明:∵∠AOB =∠COD =90°, ∴∠AOC =∠BOD. 又∵AO =BO ,CO =DO , ∴△AOC ≌△BOD(SAS ). ∴AC =BD.(2)根据题意,得S 阴影=90π×22360-90π·OC 2360=34π,解得OC =1. ∴OC 的长为1 cm .5、课堂小结1.n°的圆心角所对的弧长公式l =n πR180.2.n°的圆心角所对的扇形面积公式S =n πR 2360.3.阴影部分面积的求法.第2课时圆锥的侧面积和全面积1、教学目标1.理解圆锥的相关概念,会计算圆锥的侧面积和全面积.2.进一步培养学生综合运用相关知识解决问题的能力.4、预习反馈阅读教材P113~114,完成下列知识探究.1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体,连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线,连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高.2.圆锥的侧面展开图是一个扇形,其半径为圆锥的母线,弧长是圆锥底面圆的周长.3.圆锥的母线l,圆锥的高h,底面圆的半径r,存在关系式:l2=h2+r2,圆锥的侧面积S=πrl;圆锥的全面积S全=S底+S侧=πr2+πrl.3、名校讲坛例蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2,高为3.2 m,外围高1.8 m的蒙古包,至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142,结果取整数)?【解答】如图是一个蒙古包的示意图.根据题意,下部圆柱的底面积为12 m2,高h2=1.8 m;上部圆锥的高h1=3.2-1.8=1.4(m).圆柱的底面圆的半径r=12π≈1.954(m),侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10(m 2). 圆锥的母线长l = 1.9542+1.42≈2.404(m), 侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28(m), 圆锥的侧面积为12×2.404×12.28≈14.76(m 2).因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10+14.76)≈738(m 2).【跟踪训练1】 如图,用一个半径为30 cm ,面积为300 π cm 2的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计损耗),则圆锥的底面半径r 为(B )A .5 cmB .10 cmC .20 cmD .5π cm【跟踪训练2】 一个几何体由圆锥和圆柱组成,其尺寸如图所示,求该几何体的全面积(即表面积)是多少?(结果保留π)解:圆锥的母线长是:32+42=5. 圆锥的侧面积是:12×8π×5=20π.圆柱的侧面积是:8π×4=32π. 几何体的下底面面积是:π×42=16π. 所以该几何体的全面积(即表面积)为: 20π+32π+16π=68π.6、巩固训练1.已知圆锥的底面半径长为5,侧面展开后得到一个半圆,则该圆锥的母线长为(C) A.2.5 B.5 C.10 D.152.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18 cm,圆心角为240°的扇形,则这个圆锥的底面半径长是(C)A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.18 cm 3.已知圆锥的底面半径长为3,母线长为4,则它的侧面积是(B)A.24πB.12πC.6πD.124.圆锥体的底面周长为6π,侧面积为12π5.如图,一个圆锥的高为3 3 cm,侧面展开图是半圆.求:(1)圆锥的母线长与底面半径之比;(2)求圆锥的底面圆的半径.解:(1)设此圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为l.∵2πr=πl,∴lr=2.(2)由图可知l2=h2+r2,h=3 3 cm,∴(2r)2=(33)2+r2,即4r2=27+r2.解得r=3.∴r=3 cm.5、课堂小结1.圆锥的母线长等于扇形的半径;扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长.2.圆锥侧面展开图的有关计算.。

《弧长和扇形面积》学案

《弧长和扇形面积》学案

5.9弧长及扇形的面积使用人:使用时间:2017年12月11 日【教师寄语】学习可以是一件轻松愉快的事,也可以是一件很吃力的事,这就看你拿什么样的心态,什么样的方法来应对它。

一、学习目标知识与技能:理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式,会利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长。

过程与方法:通过小组讨论,合作探究,将弧长和扇形面积问题转化为圆周长面积问题。

情感态度价值观:通过图形的转化,体会转化在数学解题中的妙用,通过合作探究,培养团队合作意识。

二、学习重点难点理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式。

三、学习过程活动一(复习巩固)1、我们之前学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式,那公式分别是什么?圆的周长C=__________________________________________________________圆的面积S=__________________________________________________________2、回想一下弧的定义,扇形的定义:弧:圆上_____________之间的部分叫做圆弧,简称弧。

扇形:________________和___________________________所围成的图形叫扇形。

活动二(合作探究)如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?解:2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?解:3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?解:在半径为R的圆中,n°的弧的弧长计算公式为:l=________________________________________例1、制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算下图中管道的展直长度,即AB的长(结果保留π).变式训练(1):时钟的分针长5cm,经过15分钟,它的针尖转过的弧长是多少cm?解:活动三(合作探究)在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条3m长的绳子,绳子的另一端拴着一只狗。

弧长与扇形的面积关系导学案

弧长与扇形的面积关系导学案

ABBA B§3.7 弧长及扇形的面积课型:新授课 主备人:吴自惠 审核:肖生俊 学习目标1.了解扇形的概念,理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.2.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式,并能熟练的运用公式解题。

一、课前预习1.请你写出圆的周长计算公式: ;并求半径为3cm 的圆的周长: 。

请你写出圆的面积计算公式: ;并求半径为3cm 的圆的面积: 。

2.弧长的概念:弧的长度;弧长的表示方法:弧AB 的长记作3.扇形的概念:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形;4.扇形表示方法:阴影部分扇形可记作 ; 探究活动(一)独立思考 解决问题 5.探究扇形面积公式若将360°的圆心角分成360等份,这360条半径将圆分割成 个小扇形,每个小扇形的圆心角等于6.如果圆的半径为R ,那么,圆心角1°的扇形面积等于 ; 如果圆的半径为R ,那么,圆心角30°的扇形面积等于 ; 如果圆的半径为R ,那么,圆心角n°的扇形面积等于 ; 因此,扇形面积公式为:S 扇形=_ ____(其中r 为扇形的半径,n 是圆心角)7.探究弧长公式设圆的半径为r ,求圆心角分别为90︒、1︒、n ︒所对的弧长。

90°圆心角所对的弧占整个圆的_______,弧长=_______ 1°圆心角所对的弧占整个圆的_______,弧长=_______ n ︒圆心角所对的弧占整个圆的_______,弧长=_______ 因此,弧长的计算公式为:Al =_ ____(其中r 为扇形的半径,n 是圆心角)(二)师生探究 合作交流8.如果扇形的半径为R ,弧长为l .那么,扇形面积等于 ;由此,得到扇形面积计算公式: S 扇形= .理解窍门:图形:扇形OAB 类比△OAB ;公式:扇形面积公式类比三角形面.(三)推理归纳·畅谈收获在你得到的半径为R 的圆中,n °圆心角所对的弧长计算公式和扇形面积计算公式中,n 的意义是什么?哪些量决定了弧长?哪些量决定了扇形的面积? 三、达标检测9.在半径为24的圆中,60°的圆心角所对的弧长l = ; 10.75°的圆心角所对的弧长是2.5π,则此弧所在圆的半径为 . 11.若扇形的圆心角n 为50°,半径为R=1,则这个扇形的面积S 扇= ; 12.若扇形的圆心角n 为60°, 面积为π32,则这个扇形的半径R= ;13.若扇形的半径R=3, S 扇形=3π,则这个扇形的圆心角n 的度数为 ; 14.若扇形的半径R=2㎝,弧长π34=l ㎝,则这个扇形的面积,S 扇=四、拓展延伸15.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为2cm ,其中最高水深CD 为1cm ,求截面上有水部分的面积。

九年级数学弧长及扇形的面积导学案

九年级数学弧长及扇形的面积导学案

3.9弧长及扇形的面积导学案小组名称:姓名:得分:学习目标:1、理解扇形的概念,探索弧长及扇形面积计算公式并会应用n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式解决问题;2、经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程,锻炼自己的合作、交流能力;3.应用弧长和扇形面积计算公式解决实际问题,体验数学与生活的密切联系.学习流程:一、课前预习:2.圆的面积公式是3. 概念:如图,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。

二、探究学习:任务一:小组合作探索弧长公式问题探索:圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧.如果圆的半径为R,那么,①圆心角是1°,它所对的弧长________;②圆心角是2°,它所对的弧长_________;③圆心角是3°,它所对的弧长________;④圆心角是n°,它所对的弧长________;如果弧长为L,那么弧长的计算公式为: L=__________________________任务二:自主探究扇形面积的计算公式(1)圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积;(2)如果圆的半径为R,那么,圆心角1°的扇形面积等于;圆心角2°的扇形面积等于;圆心角3°的扇形面积等于;圆心角n°的扇形面积等于;总结:如果扇形圆心角度数为n,半径为R,那么扇形面积的计算公式为:S=__________________________任务三:你能结合弧长公式把扇形面积公式进行简化,用含L的式子表示扇形面积吗?(小组内展示交流)因此扇形面积的计算公式为:S=______________三、课后自我反思本节课的收获是什么?达标检测1.在半径为12的⊙O 中,150°的圆心角所对的弧长等于2.已知扇形的圆心角为60°,半径为5,则扇形有周长为3.半径为3cm ,圆心角为120°的扇形的面积为4.扇形的圆心角为120°,弧长为6πcm面积为c ㎡5.如图所示,⊙A 、⊙B 、⊙C 均相离,且半径均为1,则三个扇形的的面积之和为 ;家庭作业:1.弧长等于半径的圆弧所对应的圆心角是( ) 2.正三角形ABC 内接于半径为2cm 的圆,则AB 所对弧的长为( )3.已知圆弧的半径为50,圆心角为60○,则此弧的弧长为 ;4. 如图,在两个同心圆中,两圆半径分别为2,1,∠AOB=120°,则阴影部分面积是( )5.已知圆的周长是6π,那么60°的圆心角所对的弧长是( )6.如右图,已知AB 为⊙O 的直径,BC 为弦,若∠A=30°,BC=2,则弧BC 的长为 ,扇形COB 的面积为7、一个扇形的弧长为20πcm ,面积是240πc ㎡,则该扇形的圆心角为 .。

九年级数学上册 弧长和扇形面积学案 (新版)新人教版

九年级数学上册 弧长和扇形面积学案 (新版)新人教版

弧长和扇形面积【学习目标】1.以圆的周长和面积为基础,探究弧长和扇形的面积公式,并会用来计算弧长和扇形面积.2.能利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长和面积.【学习重点】经历探究弧长和扇形面积公式的过程.【学习难点】 用公式解决实际问题. 情景导入 生成问题中国是世界上最早使用扇子的国家.自扇子传世以来,相关的趣闻轶事多不胜数;随着时代的发展,扇子不仅仅是一种纳凉工具,更是一种备受人们喜爱的工艺品.如图,扇子面的纸张面积如何计算,外围弧长又如何计算? 自学互研 生成能力知识模块一 弧长的计算【自主探究】阅读教材P 111,完成下面的内容:1.你还记得圆周长的计算公式吗?写出来:C =2πR2.圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长?答:360°3.1°的圆心角所对的弧长是多少?答:2πR 360n °的圆心角所对的弧长是多少?答:n πR 1804.由此不难得出:半径是R ,所对圆心角是n °的弧的弧长是:n πR 180. 归纳:弧长的计算公式为:l =n πR 180范例:如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠ABC =30°,AB =2,将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A′B′C,则点B 转过的路径长为( B )A .π3B .3π3 C .2π3 D .π 【合作探究】变例:一个扇形的半径为8cm ,弧长为163πcm ,则扇形的圆心角为( B )A .60°B .120°C .150°D .180°知识模块二 扇形面积的计算【自主探究】阅读教材P 112例2之前的内容,完成下面各题:1.你还记得圆面积的计算公式吗?写出来:S =πR 2.2.圆的面积可以看作360度的圆心角所对的扇形的面积.3.那么,1°的圆心角所对的扇形面积是πR2360;n °的圆心角所对的扇形面积是n πR2360.4.由此不难得到:半径为R ,圆心角为n °的扇形面积的计算公式是S =n πR 2360.5.结合弧长公式,你还能推导出扇形面积公式的其他表示方法吗? 能.S =n πR 2360=12×n πR 180×R =lR2.归纳:扇形面积有两个计算公式,分别是:S =n πR 2360,S =lR2.范例:已知扇形的圆心角是150°,弧长是25π,求扇形的面积.解:由l =n πR 180得R =180l n π=180×25π150π=30,所以S =lR 2=25π×302=375π.(或者S =n πR 2360=150π×302360=375π).知识模块三 阴影部分的面积【合作探究】范例:如图,矩形ABCD 中,AB =1,AD = 2.以AD 的长为半径的⊙A 交BC 边于点E ,则图中阴影部分的面积为24. 交流展示 生成新知1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.知识模块一 弧长的计算知识模块二 扇形面积的计算知识模块三 阴影部分的面积当堂检测 达成目标【当堂检测】 1.已知扇形的半径为3cm ,扇形的弧长为πcm ,则该扇形的面积是32πcm 2,扇形的圆心角为60°.2.已知扇形的半径为3cm ,面积为3πcm ,则扇形的圆心角是120°,扇形的弧长是2πcm .(结果保留π)3.如图,半圆的直径AB =10,P 为AB 上一点,点C 、D 为半圆的三等分点,则阴影部分的面积为256π.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1.收获:________________________________________________________________________2.存在困惑:________________________________________________________________________。

弧长及扇形面积导学案

弧长及扇形面积导学案

我们可以把扇形看做是“曲边三角形”故S=21×底×高=21LR【学习课题】 第13课时 弧长及扇形面积【学习目标】1、经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程。

2、会应用弧长及扇形面积计算公式。

【学习重点】1、经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程。

2、会应用弧长及扇形面积计算公式。

一、学习准备回忆圆的周长公式:C= , 圆的面积公式:S= 二、解读教材 1、 弧长公式的推导如图,90°圆心角所对的弧长是圆的周长的几分之几?圆的周长是C= 那么,90°圆心角所对的弧长是L= 60°圆心角所对的弧长是圆的周长的几分之几? 那么,60°圆心角所对的弧长是L= 1°圆心角所对的弧长是圆的周长的几分之几? 那么,1°圆心角所对的弧长是L=同理,n °圆心角所对的弧长是圆的周长的几分之几? 那么,n °圆心角所对的弧长是L= 所以我们可以得到弧长的公式:L=即时练习:已知扇形AOB 的半径为12cm ,AOB ∠=120°,求 的长。

2、扇形的面积公式的推导同学们,可根据弧长公式的推导类比得到扇形的面积公式。

如图,圆心角是30°的扇形面积是圆的面积的几分之几?圆的面积是S= 那么,圆心角是30°的扇形面积是扇形S = 同理,圆心角是n °的扇形面积是圆的面积的几分之几? 那么,圆心角是n °的扇形面积是扇形S = 3、弧长公式和扇形面积公式的关系比较弧长公式和扇形的面积公式,你能找到它们的区别和联系吗? 你能用弧长来表示扇形的面积公式吗?扇形S =所以扇形的面积公式有两个:扇形S = =即时练习:已知扇形AOB 的半径为12cm ,AOB ∠=120°,求扇形AOB 的面积。

注:①要求弧长必须知道: 和②要求扇形面积必须知道: 和 或 和 三、挖掘教材例1、 如右图,折线AOB 是一段围墙,一根5m 长绳子的一端栓在O 点处的柱子上,另一端栓着一只小羊, OA=7m ,OB=8m ,AOB ∠=120°,求小羊活动的最大区域面积。

弧长和扇形的面积导学案

弧长和扇形的面积导学案

BOPAB 'B''CA B九年级数学学科新授课学案课题 弧长和扇形面积学习 目标1. 1.认识扇形,会计算弧长和扇形的面积2.通过弧长和扇形面积的发现与推导,培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。

3.通过对弧长和扇形的面积的运用,培养学生运用数学解决问题的成功经验和方法,树立学习数学的自信心。

重点 弧长和扇形面积的发现与推导. 难点 弧长和扇形的面积的运用. 预 习 导 引 1、圆周长的计算公式、圆面积计算公式2、弧长是它所对应的圆周长的一部分,扇形面积是它所对应的圆面积的一部分,那么弧长、扇形面积应怎样计算呢? 学生:疑惑的问题问 题 导 学活动一 探索弧长计算公式 圆弧形状的铁轨,其中铁轨的半径为100米,圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗? 请同学们计算半径为3cm ,圆心角分别为180︒、45︒、1︒、所对的弧长。

若圆心角为n ︒,如何计算它所对的弧长呢? 因此弧长的计算公式为 l =__________________________ 练习:已知圆弧的半径为50厘米,圆心角为60°,求此圆弧的长度。

活动二 探索扇形的面积公式如图,_________________________所围成的图形叫做扇形 学 生 备 用 栏 教 师 复 备 栏交流拓展问:怎样求扇形面积同求弧长的思维一样,要求扇形的面积,应思考圆心角为1︒的扇形面积是圆面积的几分之几?进而求出圆心角n 的扇形面积。

如果设圆心角是n °的扇形面积为S ,圆的半径为r ,那么扇形的面积为S = __ . 因此扇形面积的计算公式为S =________ 或 S =_________活动三练习:1、如果扇形的圆心角是230°,那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________;2、扇形的面积是它所在圆的面积的32,这个扇形的圆心角的度数是_________°.3、扇形的面积是S ,它的半径是r ,这个扇形的弧长是_____________4、如图,PA 、PB 切⊙O 于A 、B ,求阴影部分周长和面积。

人教版-数学-九年级上册- 24.4弧长和扇形面积 学案

人教版-数学-九年级上册- 24.4弧长和扇形面积 学案

24.4弧长和扇形面积学习目标:1、扇形与圆锥的定义;2、弧长与扇形面积的计算公式;3、圆锥的侧面积与全面积的计算公式;学习重、难点:1、扇形与圆锥的定义;2、弧长与扇形面积的计算公式;3、圆锥的侧面积与全面积的计算公式;一、知识概览图扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形扇形与圆锥的定义 圆锥:可以看成一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周而形成的图形 弧长公式:180n rl π= 弧长和扇形面积 弧长与扇形面积的计算公式 扇形面积公式:①2360n R S π扇=②12S lR 扇=(l 为扇形弧长) =S rl π侧圆锥的侧面积与全面积的计算公式 2S rl r ππ=+全二、探究新知,合作交流:某大学修建了一个塑胶体育场,在体育场内有一8道的跑道,跑道分直道和弯道,直道为相等的平行线段,弯道为同心的半圆形,弯道与直道连接,已知第一跑道每圈400m ,直道长85m ,跑道宽1m.你知道第二跑道的长吗?【解析】 由于跑道的直道互相平行且相等,均为85m ,故要求第二跑道的长,只要求出两个半圆弯道之和即可,而由第一跑道和400m,可求出第一跑道的半径,再根据跑道宽1m ,可求出第二跑道的半径,从而可求出第二跑道的长,故第二跑道的长为85×2+(40085212π-⨯+)×2π=(400+2π)m.教材精华知识点1 弧长的计算公式在半径为R 的圆中,n ︒的圆心角所对的弧长的计算公式=.180n Rl π 拓展(1)圆心角为1︒的弧长等于圆周长的1360,所以圆心角是n ︒的弧长2==,360180R n Rl nππ其中表示1︒的圆心角的倍数,不带单位. (2)在弧长公式=180n Rl π中有三个量,,l n R ,已知其中的任意两个量,可以求出第三个量.知识点 2 扇形的定义及面积公式(1)扇形的定义:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. (2)扇形的周长,包括两条半径和一条弧,如图所示,扇形的周长是2R l +. (3)在半径为R 的圆中,圆心角为n ︒的扇形的面积公式是:①2;360n R S π阴影=②12S lR 扇形=(其中l 为扇形的弧长). 规律方法小结 (1)当已知半径长圆心角的度数求扇形的面积时,选用公式①;当已知半径和弧长求扇形的面积时,选用公式②.(2)根据扇形面积公式和弧长公式,已知,,S l n R 扇形,四个量,就可以求出另外两个量.知识点3 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的相关概念.圆锥可以看做是一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而形成的图形,这条直线叫做圆的轴,垂直于轴的边旋转一周而形成的面叫做圆锥的底面,我们把连接圆锥顶点和底面周上任意一点的线段叫做圆锥的母线,连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面周长、半径为圆锥的一条母线长的扇形面积.圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和,即S S S 侧全底=+. 与圆锥有关的计算公式. (1)圆锥的侧面积.12=2S l R rl ππ侧=(l 为母线长,r 为底面圆的半径).(2)圆锥的表面积(全面积).=()S S S r l r π+侧全底=+(l 为母线长,r 为底面圆的半径).拓展 (1)不要把圆锥的底面半径当成其侧面展开图(扇形)的半径,有效的纠错办法是加强对概念的理解,区分圆锥侧面展开图中的各元素与圆锥的各元素的对应关系. (2)在计算有关圆锥的侧面积和全面积的问题中,常需求由圆锥的高、母线与底面半径所围成的三角形的面积.(3)掌握好弧长公式和扇形面积公式是求圆锥侧面积和全面的关键.规律方小结 在本节的学习中,渗透了“从特殊到一般”的数学思想方法,应注重培养归纳推理能力和类比方法的运用.探究交流1、你还记得圆周长的计算公式吗?圆的周长可以看做是多少度的圆心角所对的弧长?由此出发,1︒的圆心角所对的弧长是多少?n ︒的圆心角呢?解析 圆周长的计算公式是2C R π=,圆的周长可以看做是360︒的圆心角所对的弧长,由此出发可以得到1︒的圆心角所对的弧长是2=,360180R n Rππn ︒的圆心角所对的弧长是 =.180180Rn Rnππ三、达标测试,效果反馈:基本概念题1、在半径为10的圆中,60︒的圆心角所对的弧长为 .2、已知扇形的弧长为20cm ,半径为5cm ,求扇形的周长及面积.基础知识应用题3、如果圆锥的底面半径为3cm ,母线长为4cm ,那么它的侧面积等于( )A.24πcm 2B.12πcm 2C.2cm 2D.6πcm 2四、展示提炼,拓展延伸:4、如图24-1532cm 的圆形纸片,从中剪出一个最大的圆心角是90︒的扇形ABC .(1)求被剪掉的阴影部分的面积;(2)用所剪出的扇形纸片围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?(3)求圆锥的全面积.探索创新题A B C D E相互5、如图24-156所示,,,,,外离,它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,则这五个扇形(阴影部分)的面积之和为()A.πB.1.5πC. 2πD. 2.5π五、知识点播,中考链接:1、120︒的圆心角所对的弧长是12πcm,则此弧所在的圆的半径是cm.2、如图所示,为拧紧一个螺母,将板手顺时针转60︒,板手上一点A转至点1A处.若OA长AA的长为cm.(结果留π)为25cm,则'3、如图24-164所示的圆锥的底面半径为5cm,母线长为20,一只蜘蛛从底面圆周上一A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A处的最短路程是()A.8 222学后反思附: 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 本题考查弧长公式的应用.601010===.1801803n R l πππ故填10.3π2、分析 本题主要考查的是扇形的周长与面积公式的应用.已知扇形的弧长l 和半径R ,可利用公式1=2S lR 求面积. 解: 扇形的周长为2×5+20=30(cm ).扇形的面积为1205=502⨯⨯(cm 2). 3、分析 解答本题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图的意义,圆锥的侧面展开图为扇形,该扇形的半径为圆锥的母线,其弧长为圆锥底面圆的周长,故运用公式11=234=1222S lR ππ=(cm 2),也可以直接应用圆锥的侧面积公式S rl π=(l 为圆锥母线长,r 为底面圆半径),即=34=12S ππ(cm 2).故选B.4、分析 本题主要考查扇形的面积的应用,阴影部分的面积可转化为圆的面积与一个圆心角为90︒的扇形面积的差,解决本题的关键是求出扇形的半径.由弧长等于圆锥底面圆的周长可求出圆半径. 解:(1)连接BC ,A=90,BC ∠︒∴是O 的直径,在Rt ABC 中,222,,AB ACAB AC BC =+=22222,1cm,BC AB AC BC AB AC ∴==∴===∴==∴O ABCS S S 阴影扇形=-222901cm 2360244πππππ⨯=()-=-=().(2)设圆锥底面圆的半径为r ,则BC 的长为2r π,9011=2,=cm.1804r r ππ⨯∴∴ (3)S 圆椎全=25cm 416ABC S S πππ++⨯2扇形底1=()=().4 规律·方法 扇形面积公式的直接应用有三方面:①计算扇形或弓形的面积;②已知,,S n R 中的任意两个求第三个;③计算简单组合图形的面积.5、分析 图中五个扇形的圆心角的度数和就是五边形ABCDE 的五个内角的度数和.我们不妨设,,,,,A B C D E ∠∠∠∠∠的大小分别为,,,,,αβθγσ︒︒︒︒︒由五边形的内角和公式可知++++,=(52)180540αβθγσ︒︒︒︒︒︒︒-=,则阴影部分的面积和为2222211111=()360360360360360360S απβπθπγπσππαβθγσ++++++++阴==540=1.5.360ππ故选B.体验中考1、分析 本题考查弧长公式的应用,设半径是r ,由弧长公式得,12012180rππ=,所以r =18cm.故填18.2、分析 本题考查弧长公式的应用,'AA 的长为602525.1803ππ⨯=故填25.3π3、分析 最短路程的求解要在侧面展开图上进行.设侧面开图的圆心角为n ︒,则22025360nππ⨯=⨯,所以90n =,画出展开图,圆心角为90︒,半径为20,如图所示,最短距离就是'AA 的长度,为2.故选D.。

九年级数学上册《弧长及扇形面积的计算》教案、教学设计

九年级数学上册《弧长及扇形面积的计算》教案、教学设计
2.扇形面积的计算是另一个重点,学生需要理解扇形面积的定义,掌握扇形面积的计算公式,并能够应用于解决实际问题。
3.教学的难点在于如何引导学生将实际问题中的弧长和扇形面积问题转化为数学模型,以及如何在实际情境中进行单位换算。
(二)教学设想
1.引入环节:通过生活实例,如弯道的长度测量、园林设计中扇形花坛的面积计算等,引起学生对弧长和扇形面积的兴趣,自然导入新课。
2.新课展开:
a.通过动态演示或实物模型,让学生直观感受弧长的概念,引导他们发现弧长与圆周长之间的关系。
b.以小组合作的形式,让学生探索弧长和扇形面积的计算方法,鼓励他们从不同角度提出问题,解决问题。
c.教师适时进行引导和讲解,澄清学生的疑问,强调计算过程中的注意事项,如单位换算等。
3.实践应用:
a.设计具有挑战性的实际应用问题,让学生独立或合作完成,培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
3.拓展题:选择一道具有挑战性的问题,如计算不规则图形中包含的弧长或扇形面积。鼓励学生运用所学知识,结合其他数学工具(如三角函数)解决问题。
4.小研究:要求学生调查生活中应用弧长及扇形面积计算的实际例子,如建筑设计、园林规划等,并撰写一份小报告,分享他们的发现和体会。
5.小组作业:分配一个小组任务,让学生共同探讨弧长和扇形面积在体育运动中的应用,例如计算田径场上的弯道长度或足球场草坪的扇形修剪面积。
2.学生回答:学生可能会提到使用测量工具、步测等方法,教师给予肯定并引导:“今天我们将学习一种更精确的方法来计算弯道长度,那就是弧长的计算。”
(二)讲授新知
1.教学活动:教师通过动态演示或板书,向学生介绍弧长的概念,强调度量和非度量弧长的区别,并引导学生发现圆的周长与弧长之间的关系。

弧长和扇形面积教学设计(共12篇)

弧长和扇形面积教学设计(共12篇)

弧长和扇形面积教学设计(共12篇)第1篇:《弧长和扇形面积》教学设计24.4 弧长和扇形面积第二课时一、教学目标(一)学习目标1.了解圆锥母线的概念,探索并理解圆锥侧面和全面积计算公式;2.会灵活应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题.(二)学习重点探究圆锥侧面积和全面积的计算公式.(三)学习难点应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题二、教学设计 1.自主学习(1)弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾师问:上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式,你们还记得它们是怎样的吗?生答:弧长l=半径)生答:扇形面积S=(2)圆锥的再认识(教师出示一组生活中含圆锥形物体的图片)n⨯πR2,(其中n 表示扇形圆心角的度数,R表示扇形所在圆的半径)360nnπR⨯2πR=,(其中n表示弧所对的圆心角的度数,R表示弧所在圆的360180 师问:上面的物体中,有你熟悉的立体图形吗?生答:圆锥体师问:非常好,它们都含有圆锥体(如下图),那么什么是圆锥体呢?生答:圆锥是由一个底面和一个侧面组成的,它的底面是一个圆,它的侧面是一个曲面.师问:我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线,那么一个圆锥有多少条母线呢?它们在数量上有什么关系?生答:有无数条,它们是相等的.师问:为什么是相等的呢?生答:由勾股定理,每条母线l=h2+r2,h表示圆锥的高,r表示底面半径,对于同一个圆锥体,h和r的长是固定的,因此母线的长也是固定的.师:非常好!我们不仅知道母线长度是相同的,而且还了解了有关母线的一条非常重要的性质:母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足:l2=h2+r2【设计意图】本节课探究的圆锥的侧面积和全面积,因此有必要重新认识圆锥,另外,本节课必须使用到上节课学习的弧长计算公式和扇形面积计算公式,因此也有必要回顾这两个公式,为本节课教学内容顺利进行做铺垫.二、合作交流师:大家分析得非常好,接下来请大家以小组为单位,完成下列问题串:如图,沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平,容易得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形,(1)设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,如图所示,那么这个扇形的半径为________;(2)扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的,所以扇形弧长为________;(3)因此圆锥的侧面积为________,圆锥的全面积为________l(学生先独立思考,再小组合作完成,并展示)归纳:①如上图,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,根据上节课学习的扇形面积公式S 扇形=半径)可知:该圆锥的侧面展开图的面积是S侧=1lR(其中l表示扇形的弧长,R表示扇形21⨯2πr⨯l=πrl;2②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积,表示为:S全=S侧+S底=πrl+πr2=πr(l+r)③通过上面两个公式,我们可以看到,只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积. 3.展示提升如图,玩具厂生产一种圣诞老人的帽子,其帽身是圆锥形,母线SB=15 cm,底面半径OB=5 cm,要生产这种帽身10000个,你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗?(π取3.142)【知识点】圆锥侧面积在生活问题中的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解:∵母线SB=15 cm,底面半径OB=5 cm ∴一顶圣诞帽需要的材料是π⨯5⨯15=75πcm²∴生产这种帽身10000个,需要75π⨯10000=750000πcm²=75πm²≈235.65 m².∴玩具厂至少需235.65平方米的材料【思路点拨】已知底面半径和母线长,可以直接套用圆锥侧面积公式即可,但实际问题需要注意单位问题.【答案】235.65m2四、课堂巩固1、在Rt△ABC中,∠ACB=90o,AC=8,BC=6,将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的侧面积为()A.30πB.40πC.50πD.60π2、已知圆锥的底面半径为3,母线为4,则它的侧面积是_______,全面积是________.【知识点】圆锥侧面积的计算【解题过程】解:∵母线l=4,底面半径r=3 ∴由圆锥侧面积计算公式得:S侧=πrl=π⨯3⨯4=12π由圆锥全面积计算公式得:S全=πr(l+r)=π⨯3⨯(3+4)=21π【思路点拨】已知底面半径和母线长,可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得.【答案】12π21π练3、已知圆锥的底面半径为3,高为4,则它的侧面积是_______,全面积是_______.4、已知圆锥的母线长是5cm,侧面积是20πcm²,则这个圆锥的底面半径是________.【知识点】圆锥侧面积计算公式的逆用【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积,可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径,实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”.【解题过程】解:∵母线长l=5cm,圆锥侧面积S侧=20πcm2 ∴圆锥侧面积计算公式:S侧=πrl=π⨯r⨯5=20π解得:r=4 ∴底面半径为4cm 【答案】4cm5、圆锥的底面半径是4,母线长是12,则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______.【知识点】圆锥侧面积的计算,扇形面积的计算【解题过程】解法一:∵圆锥的底面半径是4,母线长是12 ∴圆锥侧面积=S侧=πrl=π⨯4⨯12=48π设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n 所以展开图的面积还可以表示为:∴nπ⨯122 360nπ⨯122=48π解得:n=120 3604 ∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°.解法二:∵圆锥的底面半径是4 ∴底面周长=2π⨯4=8π设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n ∵圆锥的母线长是12 ∴侧面展开图的弧长=∴8π=nπ⨯12 180nπ⨯12解得:n=120 180∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°.【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径来求,即S=πrl;另一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求,即S=解这个方程即可得到圆锥侧面展开图的圆心角n=nnπl2,这样就得到πrl=πl2,360360360r,其中r表示圆锥底面半径,l表示圆lnnπl,这样就得到πl=180180锥母线.还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系,一方面圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长2πr;另一方面圆锥侧面展开图的弧长等于2πr,同样可以得到圆锥侧面展开图的圆心角n=360r. l【答案】120° 五.课堂小结(1)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线,圆锥有无数条母线,它们的长度都相等,每条母线l=h2+r2(h表示圆锥的高,r表示底面半径).(2)设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则该圆锥的侧面展开图的面积是1⨯2πr⨯l=πrl.2(3)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为S侧=r,则S全=S侧+S底=πrl+πr2=πr(l+r).5第2篇:弧长和扇形的面积教学设计弧长和扇形的面积教学设计姜永娜教学目标知识与技能:1.会计算弧长及扇形的面积。

《24.4 弧长和扇形面积》教案、导学案

《24.4 弧长和扇形面积》教案、导学案

《24.4 弧长和扇形面积》教案【教学目标】1.经历弧长和扇形面积公式的探求过程.2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.【教学过程】一、情境导入在我们日常生活中,弧形随处可见,大到星体运行轨道,小到水管弯管,操场跑道,高速立交的环形入口等等,你有没有想过,这些弧形的长度怎么计算呢?二、合作探究探究点一:弧长【类型一】求弧长在半径为1cm的圆中,圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.解析:根据弧长公式l=nπr180,这里r=1,n=120,将相关数据代入弧长公式求解.即l=120·π·1180=23π.方法总结:半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l=nπR180,要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义.如图,⊙O的半径为6cm,直线AB是⊙O的切线,切点为点B,弦BC∥AO.若∠A =30°,则劣弧BC ︵的长为________cm.解析:连接OB 、OC ,∵AB 是⊙O 的切线,∴AB ⊥BO .∵∠A =30°,∴∠AOB =60°.∵BC ∥AO ,∴∠OBC =∠AOB =60°.在等腰△OBC 中,∠BOC =180°-2∠OBC =180°-2×60°=60°.∴BC ︵的长为60×π×6180=2π.方法总结:根据弧长公式l =n πR 180,求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R 和它所对的圆心角n 的大小.【类型二】利用弧长求半径或圆心角(1)已知扇形的圆心角为45°,弧长等于π2,则该扇形的半径是________; (2)如果一个扇形的半径是1,弧长是π3,那么此扇形的圆心角的大小为________.解析:(1)若设扇形的半径为R ,则根据题意,得45×π×R 180=π2,解得R =2.(2)根据弧长公式得n ×π×1180=π3,解得n =60,故扇形圆心角的大小为60°.方法总结:逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径. 【类型三】求动点运行的弧形轨迹如图,Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上,AC =3,∠ACB =90°,∠A =30°.若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A 第3次落在直线l 上时,点A 所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示).解析:点A 所经过的路线的长为三个半径为2,圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3,圆心角为90°的扇形弧长之和,即l =3×120π×2180+2×90π×3180=4π+3π.故填(4+3)π.方法总结:此类翻转求路线长的问题,通过归纳探究出这个点经过的路线情况,并以此推断整个运动途径,从而利用弧长公式求出运动的路线长.探究点二:扇形面积 【类型一】求扇形面积一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的面积为________.(结果保留π)解析:把圆心角和半径代入扇形面积公式S =n πr 2360=120×32π360=3π.方法总结:公式中涉及三个字母,只要知道其中两个,就可以求出第三个.扇形面积还有另外一种求法S =12lr ,其中l 是弧长,r 是半径.【类型二】求运动形成的扇形面积如图,把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC 绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A 1B 1C ,则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )A .π B. 3 C.3π4+32 D.11π12+34解析:在Rt △ABC 中,∵∠A =30°,∴BC =12AB =1,由于这个三角板扫过的图形为扇形BCB 1和扇形ACA 1,∴S 扇形BCB 1=90·π·12360=π4,S 扇形ACA 1=90·π·(3)2360=3π4,∴S 总=π4+3π4=π.故选A.【类型三】求阴影部分的面积如图,半径为1cm 、圆心角为90°的扇形OAB 中,分别以OA 、OB 为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为( )A .πcm 2 B.23πcm 2C.12cm 2D.23cm 2 解析:设两个半圆的交点为C ,连接OC ,AB ,根据题意可知点C 是半圆OA ︵,OB ︵的中点,所以BC ︵=OC ︵=AC ︵,所以BC =OC =AC ,即四个弓形的面积都相等,所以图中阴影部分的面积等于Rt △AOB 的面积,又OA =OB =1cm ,即图中阴影部分的面积为12cm 2,故选C.方法总结:求图形面积的方法一般有两种:规则图形直接使用面积公式计算;不规则图形则进行割补,拼成规则图形再进行计算.三、板书设计【教学反思】教学过程中,强调学生应熟记相关公式并灵活运用,特别是求阴影部分的面积时,要灵活割补法、转换法等.《24.4 弧长和扇形面积(第1课时)》教案【教学内容】1.n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2.扇形的概念;3.圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π;4.应用以上内容解决一些具体题目. 【教学目标】了解扇形的概念,理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式,并应用这些公式解决一些题目.【重难点、关键】1.重点:n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ,扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用.2.难点:两个公式的应用.3.关键:由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程. 【教具、学具准备】小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板. 【教学过程】 一、复习引入(老师口问,学生口答)请同学们回答下列问题.1.圆的周长公式是什么? 2.圆的面积公式是什么? 3.什么叫弧长?老师点评:(1)圆的周长C=2πR (2)圆的面积S 图=πR 2(3)弧长就是圆的一部分. 二、探索新知(小黑板)请同学们独立完成下题:设圆的半径为R ,则: 1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧. 2.1°的圆心角所对的弧长是_______. 3.2°的圆心角所对的弧长是_______. 4.4°的圆心角所对的弧长是_______. ……5.n °的圆心角所对的弧长是_______.(老师点评)根据同学们的解题过程,我们可得到: n °的圆心角所对的弧长为360n Rπ 例1制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,•试计算如图所示的管道的展直长度,即AB 的长(结果精确到0.1mm )分析:要求AB 的弧长,圆心角知,半径知,只要代入弧长公式即可. 解:R=40mm ,n=110 ∴AB 的长=180n R π=11040180π⨯≈76.8(mm ) 因此,管道的展直长度约为76.8mm .问题:(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长5m•的绳子,绳子的另一端拴着一头牛,如图所示:(1)这头牛吃草的最大活动区域有多大?(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?学生提问后,老师点评:(1)这头牛吃草的最大活动区域是一个以A(柱子)为圆心,5m为半径的圆的面积.(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形,如图:像这样,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.(小黑板),请同学们结合圆心面积S=πR2的公式,独立完成下题:1.该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积.2.设圆的半径为R,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.3.设圆的半径为R,2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.4.设圆的半径为R,5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.……5.设圆半径为R,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.老师检察学生练习情况并点评1.360 2.S扇形=1360πR2 3.S扇形=2360πR2 4.S扇形=25360Rπ5.S扇形=2360n Rπ因此:在半径为R的圆中,圆心角n°的扇形例2.如图,已知扇形AOB的半径为10,∠AOB=60°,求AB的长(•结果精确到0.1)和扇形AOB的面积结果精确到0.1)分析:要求弧长和扇形面积,只要有圆心角,半径的已知量便可求,本题已满足.解:AB 的长=60180π×10=103π≈10.5 S 扇形=60360π×102=1006π≈52.3 因此,AB 的长为25.1cm ,扇形AOB 的面积为150.7cm 2. 三、巩固练习 课本P122练习. 四、应用拓展例3.(1)操作与证明:如图所示,O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处,并将纸板绕O 点旋转,求证:正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a .(2)尝试与思考:如图a 、b 所示,•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处,并将纸板绕O 旋转,,当扇形纸板的圆心角为________时,正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a ;当扇形纸板的圆心角为_______时,正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a .(a) (b)(3)探究与引申:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长ECB O为a 的正n 边形的中心O 点处,若将纸板绕O 点旋转,当扇形纸板的圆心角为_______时,正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ,这时正n•边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n 边形面积S 之间的关系(不需证明);若不是定值,请说明理由.解:(1)如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD•分别交于点M 、N ,连结OA 、OD .∵四边形ABCD 是正方形∴OA=OD ,∠AOD=90°,∠MAO=∠NDO , 又∠MON=90°,∠AOM=∠DON ∴△AMO ≌△DNO ∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特别地,当点M 与点A (点B )重合时,点N 必与点D (点A )重合,此时AM+AN 仍为定值a .故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a . (2)120°;70° (3)360n ︒;正n 边形被纸板覆盖部分的面积是定值,这个定值是Sn. 五、归纳小结(学生小结,老师点评) 本节课应掌握:1.n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2.扇形的概念.3.圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π4.运用以上内容,解决具体问题. 六、布置作业1.教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7. 2.选用课时作业设计.第一课时作业设计一、 选择题1.已知扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的弧长是( ). A .3π B .4π C .5π D .6π2.如图1所示,把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上,按顺时针方向绕点D 旋转到如图的位置,则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为( )A .1B .πCD π(1) (2) (3)3.如图2所示,实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为( )A .12πmB .18πmC .20πmD .24πm 二、填空题 1.如果一条弧长等于4πR ,它的半径是R ,那么这条弧所对的圆心角度数为______,• 当圆心角增加30°时,这条弧长增加________.2.如图3所示,OA=30B ,则AD 的长是BC 的长的_____倍. 三、综合提高题1.已知如图所示,AB 所在圆的半径为R ,AB 的长为3πR ,⊙O ′和OA 、OB 分别相切于点C 、E ,且与⊙O 内切于点D ,求⊙O ′的周长.2.如图,若⊙O 的周长为20πcm ,⊙A 、⊙B 的周长都是4πcm ,⊙A 在⊙O•内沿⊙O 滚动,⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动,⊙B 转动6周回到原来的位置,而⊙A 只需转动4周即可,你能说出其中的道理吗?3.如图所示,在计算机白色屏幕上,有一矩形着色画刷ABCD ,AB=1,AD=3,将画刷以B 为中心,按顺时针转动A ′B ′C ′D ′位置(A ′点转在对角线BD 上),求屏幕被着色的面积.答案:一、1.B 2.D 3.D 二、1.45°16πR 2.3 三、1.连结OD 、O ′C ,则O ′在OD 上 由AB l =3πR ,解得:∠AOB=60°, 由Rt △OO ′C•解得⊙O ′的半径r=13R ,所以⊙O ′的周长为2πr=23πR .2.⊙O 、⊙A 、⊙B 的周长分别为20πcm ,4πcm ,4πcm , 可求出它的半径分别为10cm 、•2cm 、2cm , 所以OA=8cm ,OB=12cm ,因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离, 所以⊙A 滚动回原位置经过距离为2π×8=16π=4π×4, 而⊙B 滚动回原位置经过距离为2π×12=24π=4π×6. 因此,与原题意相符. 3.设屏幕被着色面积为S ,则S=S △ABD +S 扇形BDD`+S △BC`D`=S 矩形ABCD +S 扇形BDD`, 连结BD ′,在Rt△A′BD′中,A′B=1,A′D′∴BD′=BD=2,∠DBD′=60°,∴S=16π·22+1+23π.《24.4.1 弧长和扇形面积》教案R.布置作业:A组:P122页练习:1,2,P124页习题24.4:1.(1)、(2),2,6,7.B组:P122页练习:1,2,P 124页习题24.4:2,3,5,6.学生课下独立完成.教师对学生的作业在批改后及时反馈.B组补充作业:已知:如图,矩形ABCD中,AB=1cm,BC=2cm,以B为圆心,BC为半径作14圆弧交AD于F,交BA延长线于E,求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积.让学生逐渐的学会总结。

3、6弧长和扇形的面积计算导学案

3、6弧长和扇形的面积计算导学案

§弧长和扇形面积的计算 学习目标 :1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题. 学习重点: 1.经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程. 2.会用公式解决问题. 学习难点: 用公式解决实际问题 学习过程: 一、新知探究 (一) 弧长公式 1、自主探究 已知⊙O 的半径为r ,思考下列问题: (1)⊙O 的周长是 ⊙O 的周长可以看做是 的圆心角所对的弧 (2)在⊙O 中,1°圆心角所对弧的长度是 (3)在⊙O 中,2°圆心角所对弧的长度是 (4)在⊙O 中,3°圆心角所对弧的长度是 (5)在⊙O 中,n °圆心角所对弧的长度是 所以,在半径为r 的⊙O 中,n °圆心角所对弧的长度是 2、典例分析:例1. 制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,•试计算如图所示的管道的展直长度,即弧AB 的长(用含π的代数式表示) 3、新知应用: (1)半径为10厘米的圆中,60o 的圆心角所对的弧长是 ___。

(2) 已知圆的周长是6π,那么60°的圆心角所对的弧长是 (3)一条圆弧所在的圆的半径为9,弧长为25π,则这条弧所对的圆心角是 (二)扇形的面积 1、自主探究: 已知⊙O 的半径为r ,思考下列问题: (1)⊙O 的面积是 ⊙O 的面积可以看做是 的圆心角所对的扇形(2)在⊙O 中,1°圆心角所对的扇形的面积是(3)在⊙O 中,2°圆心角所对扇形的面积是 (4)在⊙O 中,3°圆心角所对扇形的面积是 (5)在⊙O 中,n °圆心角所对扇形的面积是所以,在半径为r 的⊙O 中,n °圆心角所对的扇形的面积是思考:扇形的面积和弧长之间有什么关系?2、典例分析: 例2、如图,这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案,它是一扇形图形,其中∠AOB 为120°,OC 长为8cm ,AC 长为12cm ,则阴影部分的面积是多少?3、新知应用: (1)扇形的圆心角是120°,半径为2cm ,则扇形的面积是 (2)已知扇形的圆心角为150°,弧长为20π,则扇形的面积为 (3)扇形的弧长是2π,半径是10cm ,则此扇形的面积是 方法总结:当已知圆心角和半径,求扇形的面积,应选用 当已知弧长和半径,求扇形的面积,应选用 二、能力提升: 1、如图.在△ABC 中,∠B=90°, ∠A=30°,AC=4cm ,将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置,且A 、C 、B′三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为( ) A.43cm B. 8cm C. 163cm π D. 83cm π 2、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,CA =CB =4,分别以A 、B 、C 为圆心,以21AC 为半径画弧,三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是 . 3、在扇形OAB 中,∠AOB=90°,以AB 为直径作半圆,所得月牙形面积为( ) A.大于S △OAB B.等于S △OAB C.小于S △OAB D.以上都有可能 三、课堂小结: 通过本节课的学习,你有什么收获还有什么疑惑 四、达标测评: 1、在半径为6cm 的圆中,60°的圆心角所对的弧等于 . 2、设圆的半径为r ,60°的圆心角所对的弧长为L ,则L 与r 的关系是( ). A .L=r B .L=3πr C .L=23πr D .L=πr 3、半径为3cm, 弧长为20πcm 的扇形的面积为 __ . 4、 如图,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离,它们的半径是1,顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ,则中四 四个个扇形的面积和是 。

弧长和扇形面积导学案

弧长和扇形面积导学案
(n是圆心角的度数,R是半径)
(2) ( 是弧长)
通实际问题导入新课
明确学习目标
任务一:设圆的半径为R,
(1)圆的周长可以看作___度的圆心角所对的弧.
(2)90°的圆心角所对的弧长是.
(3)60°的圆心角所对的弧长是_.
(4)1°的圆心角所对的弧长是_.
策略:学生互相补充
研习
24.4.1弧长和扇形面积
1.知道扇形的概念;
2.会n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式.
弧长公式:
(n是圆心角的度数,R是半径)
通过亲自动手实践、探究感受有特殊到一般的学习方法,培养学生的探究能力以及数学结论的确定性.
通过解决实际问题,培养学生的应用意识
扇形面积公式:
(1)
多边会议
学生先独立探究,然后小组讨论、交流、报告.给出弧长公式.
学生解决情境问题,与同学交流答案及思路.
学生通过多边会议解决任务二给出扇形面积的两个计算公式.
问题:有部分学生探究补充n°.圆心角所对的弧长.
策略:先小组讨论,讨论不出的通过组间交流解决.
问题:忽略了两
段直管部分
策略:教师点拨
问题:扇形面积的第二个公式有得学生推导不出来.
时习
1弧长公式的应用
2.扇形面积公式的应用
题后巩固1、教材112页第2题
课后提高2、教材112页第3题
圆心角n°的扇形面积等于;
多媒体给出问题板书课题
教师解读目标
教师参与小组活动,指导、倾听学生交流,并鼓励学生大胆的去尝试.
教师点拨:
要明确公式中的n的含义.
教师点拨:
展直长度还有剩余两段直管部分.
教师根据学生的回答补充总结.

弧长和扇形面积导学案

弧长和扇形面积导学案

2.7弧长及扇形的面积导学案学习目标:1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;2、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题。

教学重点、难点:重点:弧长与扇形的计算公式的推导与应用难点:弧长与扇形的计算公式的应用教学过程:一、情境创设1、小学里我们已经学习过圆的周长计算公式为__________、圆面积计算公式为_________。

2、我们知道,弧长是它所对应的圆周长的一部分,扇形面积是它所对应的圆面积的一部分,那么弧长、扇形面积怎样计算呢?二、探索活动活动一、探索弧长计算公式因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=_________,所以1°的圆心角所对的弧长是_________,即_________。

这样,在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为:l =_________。

.(1)已知圆弧的半径为12,所对的圆心角为60°,它的弧长为__________.(2)已知一弧长为12πcm,此弧所对的圆心角为240°,则此弧所在圆的半径为_________.活动二、探索扇形面积计算公式什么是扇形?请画图说明.如下图,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.圆心角是1°的扇形面积是圆心角是n°的扇形面积是圆面积的如果用字母S表示扇形的面积,n表示圆心角的度数,r 表示圆半径,那么扇形面积的计算公式是:请你想一想扇形的面积公式与弧长公式有联系吗?2、扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式,可以发现:可以将扇形面积的计算公式: S=360n πR 2化为S=_______·21R=_______·21R ,从面可得扇形面积的另一计算公式: S 扇=_______。

因此扇形面积的计算公式为:3602r n S π=或lrS 21= 三、小试牛刀(1)圆的周长为12π,这个圆的直径为_______。

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24.4 弧长和扇形面积(第1课时)教学内容1.n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2.扇形的概念;3.圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π;4.应用以上内容解决一些具体题目. 教学目标了解扇形的概念,理解n •°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式,并应用这些公式解决一些题目.重难点、关键1.重点:n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ,扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用.2.难点:两个公式的应用.3.关键:由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程. 教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板. 教学过程一、复习引入(老师口问,学生口答)请同学们回答下列问题. 1.圆的周长公式是什么? 2.圆的面积公式是什么? 3.什么叫弧长? 老师点评:(1)圆的周长C=2πR (2)圆的面积S 图=πR 2(3)弧长就是圆的一部分. 二、探索新知(小黑板)请同学们独立完成下题:设圆的半径为R ,则: 1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧. 2.1°的圆心角所对的弧长是_______. 3.2°的圆心角所对的弧长是_______. 4.4°的圆心角所对的弧长是_______. ……5.n °的圆心角所对的弧长是_______.(老师点评)根据同学们的解题过程,我们可得到: n °的圆心角所对的弧长为360n Rπ 例1制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,•试计算如图所示的管道的展直长度,即AB 的长(结果精确到0.1mm ).c分析:要求AB 的弧长,圆心角知,半径知,只要代入弧长公式即可.解:R=40mm ,n=110 ∴AB 的长=180n R π=11040180π⨯≈76.8(mm ) 因此,管道的展直长度约为76.8mm .问题:(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长5m •的绳子,绳子的另一端拴着一头牛,如图所示:(1)这头牛吃草的最大活动区域有多大?(2)如果这头牛只能绕柱子转过n °角,那么它的最大活动区域有多大? 学生提问后,老师点评:(1)这头牛吃草的最大活动区域是一个以A (柱子)为圆心,5m 为半径的圆的面积.(2)如果这头牛只能绕柱子转过n °角,那么它的最大活动区域应该是n °圆心角的两个半径的n °圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形,如图:5.cn ︒像这样,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. (小黑板),请同学们结合圆心面积S=πR 2的公式,独立完成下题: 1.该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积. 2.设圆的半径为R ,1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______. 3.设圆的半径为R ,2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______. 4.设圆的半径为R ,5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______. ……5.设圆半径为R ,n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______. 老师检察学生练习情况并点评1.360 2.S 扇形=1360πR 2 3.S 扇形=2360πR 24.S 扇形=25360R π 5.S 扇形=2360n R π因此:在半径为R 的圆中,圆心角n °的扇形S 扇形=2360n R π例2.如图,已知扇形AOB 的半径为10,∠AOB=60°,求AB 的长(•结果精确到0.1)和扇形AOB 的面积结果精确到0.1)分析:要求弧长和扇形面积,只要有圆心角,半径的已知量便可求,本题已满足.解:AB 的长=60180π×10=103π≈10.5 S 扇形=60360π×102=1006π≈52.3 因此,AB 的长为25.1cm ,扇形AOB 的面积为150.7cm 2.三、巩固练习 课本P122练习. 四、应用拓展例3.(1)操作与证明:如图所示,O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处,并将纸板绕O 点旋转,求证:正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a .(2)尝试与思考:如图a 、b 所示,•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处,并将纸板绕O 旋转,,当扇形纸板的圆心角为________时,正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a ;当扇形纸板的圆心角为_______时,正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a .EB(a) (b)(3)探究与引申:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正n 边形的中心O 点处,若将纸板绕O 点旋转,当扇形纸板的圆心角为_______时,正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ,这时正n •边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n 边形面积S 之间的关系(不需证明);若不是定值,请说明理由.解:(1)如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD •分别交于点M 、N ,连结OA 、OD . ∵四边形ABCD 是正方形∴OA=OD ,∠AOD=90°,∠MAO=∠NDO , 又∠MON=90°,∠AOM=∠DON ∴△AMO ≌△DNO ∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特别地,当点M 与点A (点B )重合时,点N 必与点D (点A )重合,此时AM+AN 仍为定值a . 故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a . (2)120°;70° (3)360n ︒;正n 边形被纸板覆盖部分的面积是定值,这个定值是Sn. 五、归纳小结(学生小结,老师点评)本节课应掌握:1.n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2.扇形的概念.3.圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π4.运用以上内容,解决具体问题. 六、布置作业1.教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7.2.选用课时作业设计.第一课时作业设计一、选择题1.已知扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的弧长是().A.3πB.4πC.5πD.6π2.如图1所示,把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上,按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置,则点B运动到点B′所经过的路线长度为()A.1 B.πCDπ(1) (2) (3)3.如图2所示,实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为()A.12πm B.18πm C.20πm D.24πm二、填空题1.如果一条弧长等于4πR,它的半径是R,那么这条弧所对的圆心角度数为______,•当圆心角增加30°时,这条弧长增加________.2.如图3所示,OA=30B,则AD的长是BC的长的_____倍.三、综合提高题1.已知如图所示,AB所在圆的半径为R,AB的长为3πR,⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E,且与⊙O内切于点D,求⊙O′的周长.2.如图,若⊙O的周长为20πcm,⊙A、⊙B的周长都是4πcm,⊙A在⊙O•内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动,⊙B转动6周回到原来的位置,而⊙A只需转动4周即可,你能说出其中的道理吗?3.如图所示,在计算机白色屏幕上,有一矩形着色画刷ABCD,AB=1,将画刷以B为中心,按顺时针转动A′B′C′D′位置(A′点转在对角线BD上),求屏幕被着色的面积.答案:一、1.B 2.D 3.D二、1.45°16πR 2.3三、1.连结OD、O′C,则O′在OD上由ABl=3πR ,解得:∠AOB=60°, 由Rt △OO ′C •解得⊙O ′的半径r=13R ,所以⊙O ′的周长为2πr=23πR .2.⊙O 、⊙A 、⊙B 的周长分别为20πcm ,4πcm ,4πcm ,可求出它的半径分别为10cm 、•2cm 、2cm , 所以OA=8cm ,OB=12cm ,因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离,所以⊙A 滚动回原位置经过距离为2π×8=16π=4π×4, 而⊙B 滚动回原位置经过距离为2π×12=24π=4π×6. 因此,与原题意相符. 3.设屏幕被着色面积为S ,则S=S △ABD +S 扇形BDD`+S △BC`D`=S 矩形ABCD +S 扇形BDD`, 连结BD ′,在Rt △A ′BD ′中,A ′B=1,A ′D ′=AD=3, ∴BD ′=BD=2,∠DBD ′=60°, ∴S=16π·22+1·3=3+23π. 24.4 弧长和扇形面积(第2课时)教学内容1.圆锥母线的概念.2.圆锥侧面积的计算方法. 3.计算圆锥全面积的计算方法. 4.应用它们解决实际问题. 教学目标了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积计算公式,理解圆锥全面积的计算方法,并会应用公式解决问题.通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题. 重难点、关键1.重点:圆锥侧面积和全面积的计算公式. 2.难点:探索两个公式的由来.3.关键:你通过剪母线变成面的过程. 教具、学具准备直尺、圆规、量角器、小黑板. 教学过程一、复习引入1.什么是n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式,并请讲讲它们的异同点.2.问题1:一种太空囊的示意图如图所示,•太空囊的外表面须作特别处理,以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热,那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的.老师点评:(1)n °圆心角所对弧长:L=180n Rπ,S 扇形=2360n R π,公式中没有n °,而是n ;弧长公式中是R ,分母是180;而扇形面积公式中是R ,分母是360,两者要记清,不能混淆.(2)太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成;圆锥上的侧面积,•圆柱的侧面积和底圆的面积. 这三部分中,第二部分和第三部分我们已经学过,会求出其面积,•但圆锥的侧面积,到目前为止,如何求,我们是无能为力,下面我们来探究它. 二、探索新知我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形,同理道理,我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.(学生分组讨论,提问二三位同学)问题2:与圆柱的侧面积求法一样,沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平,容易得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形,设圆锥的母线长为L ,•底面圆的半径为r ,•如图24-115所示,那么这个扇形的半径为________,扇形的弧长为________,•因此圆锥的侧面积为________,圆锥的全面积为________.老师点评:很显然,扇形的半径就是圆锥的母线,•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此,要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=2360n l π,其中n 可由2πr=2180n l π求得:n=360rl,•∴扇形面积S=2360360r ll π=πrL ;全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的,所以全面积=πrL+r 2.例1.圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽,已知纸帽的底面周长为58cm ,高为20cm ,要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?(结果精确到0.1cm 2)分析:要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸,只要计算纸帽的侧面积. 解:设纸帽的底面半径为rcm ,母线长为Lcm ,则r=58L=22.03 S 纸帽侧=πrL ≈12×58×22.03=638.87(cm )638.87×20=12777.4(cm 2)所以,至少需要12777.4cm 2的纸.例2.已知扇形的圆心角为120°,面积为300πcm 2. (1)求扇形的弧长;(2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积为多少?分析:(1)由S 扇形=2360n R π求出R ,再代入L=180n Rπ求得.(2)若将此扇形卷成一个圆锥,•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长,就可求圆的半径,其截面是一个以底是直径,•圆锥母线为腰的等腰三角形.解:(1)如图所示:∵300π=2120360R π∴R=30 ∴弧长L=12030180π⨯⨯=20π(cm )(2)如图所示: ∵20π=20πr∴r=10,R=30∴S 轴截面=12×BC ×AD=12×2×10×(cm 2)因此,扇形的弧长是20πcm 卷成圆锥的轴截面是cm 2.三、巩固练习教材P124 练习1、2. 四、应用拓展例3.如图所示,经过原点O (0,0)和A (1,-3),B (-1,5)•两点的曲线是抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0).(1)求出图中曲线的解析式;(2)设抛物线与x 轴的另外一个交点为C ,以OC 为直径作⊙M ,•如果抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ,切点为D ,且与y 轴的正半轴交点为E ,连结MD ,已知点E 的坐标为(0,m ),求四边形EOMD 的面积(用含m 的代数式表示).(3)延长DM 交⊙M 于点N ,连结ON 、OD ,当点P 在(2)的条件下运动到什么位置时,能使得S 四边形EOMD =S △DON 请求出此时点P 的坐标. 解:(1)∵O (0,0),A (1,-3),B (-1,5)在曲线y=ax 2+bx+c (a ≠0)上∴035ca b c a b c =⎧⎪-=++⎨⎪=-+⎩解得a=1,b=-4,c=0∴图中曲线的解析式是y=x 2-4x(2)抛物线y=x 2-4x 与x 轴的另一个交点坐标为c (4,0), 连结EM ,∴⊙M 的半径为2,即OM=DM=2 ∵ED 、EO 都是⊙M 的切线 ∴EO=ED ∴△EOM ≌△EDM ∴S 四边形EOMD =2S △OME =2×12OM ·OE=2m (3)设点D 的坐标为(x 0,y 0) ∵S △DON =2S △DOM =2×12OM ×y 0=2y 0 ∴S 四边形ECMD =S △DON 时即2m=2y 0,m=y 0 ∵m=y 0∴ED ∥x 轴 又∵ED 为切线 ∴D (2,2)∵点P 在直线ED 上,故设P (x ,2) ∵P 在圆中曲线y=x 2-4x 上∴2=x 2-4x 解得:x=42±=2∴P 1(,0),P 2(,2)为所求.五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握:1.什么叫圆锥的母线.2.会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题. 六、布置作业1.教材P124 复习巩固4 P125 综合运用8 拓广探索9、10. 2.选用课时作业设计. 第二课时作业设计 一、选择题1.圆锥的母线长为13cm ,底面半径为5cm ,则此圆锥的高线为( ) A .6cm B .8cm C .10cm D .12cm2.在半径为50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮,•用剩余部分制作成一个底面直径为80cm ,母线长为50cm 的圆锥形烟囱帽,则剪去的扇形的圆心角度数为( ) A .228° B .144° C .72° D .36°3.如图所示,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A 是底面圆周上一点,•从点A出发绕侧面一周,再回到点A的最短的路线长是()A.63B.33C.33D.3二、填空题1.母线长为L,底面半径为r的圆锥的表面积=_______.2.矩形ABCD的边AB=5cm,AD=8cm,以直线AD为轴旋转一周,•所得圆柱体的表面积是__________(用含π的代数式表示)3.粮仓顶部是一个圆锥形,其底面周长为36m,母线长为8m,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,如果按用料的10%计接头的重合部分,那么这座粮仓实际需用________m2的油毡.三、综合提高题1.一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm,母线长是120cm,•需要加工这样的一个烟囱帽,请你画一画:(1)至少需要多少厘米铁皮(不计接头)(2)如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽,那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少?2.如图所示,已知圆锥的母线长AB=8cm,轴截面的顶角为60°,•求圆锥全面积.3.如图所示,一个几何体是从高为4m,底面半径为3cm•的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的,圆锥的底面就是圆柱的上底面,圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上,•求这个几何体的表面积.答案:一、1.D 2.C 3.C二、1.πr2+πrL 2.1 30πcm23.158.4三、1.(1)2400πcm2(2)3cm2.48πcm23.S表=S柱侧+S柱底+S锥侧=2π×3×4+π×32+π×3×5=24π+9π+15π=48πcm2。

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