(塑性成形力学)5极限分析原理

上界定理：运动许可的速度场 运动许可的vi* →σij* 二者满足列维-密赛斯流动法则，
所形成的塑性功率最大。
按最大塑性功原理：
式(5.24)
式(5.20)
式(5.24)
σij*≥ σij
上界定理： pi*≥p
上界定理(定义)： 与虚拟的运动许可的应力场相平衡的外力所提供的功(率)大于或等
于与真实应力场相平衡的外力所提供的功(率)。 按运动许可速度场所确定的功率，对实际所需功率给出上界(上限)
虚功原理是极为重要的力学研究手段。
虚位移必须与结构的支承不相矛盾，还必须保持结构的连续性。 虚功原理不涉及材料特性，适用于所有结构。
应用虚功原理时，所有作用力在虚位移中都当作常量。
T
5.3.1 虚功原理表达式
在平面变形状态下，应力和速度连续时：
虚功率
式(5.4)
式（5.4）中应力与应变速率、表面力与位移速度没有物理上的因果关系， 即与塑性变形是否发生无关，但要满足力平衡方程、应力边界条件、几何方程及 连续性。
几何方程
式(1.27)
物理方程
式(2.37)
屈服准则和边界条件、体积不变、假设（理想刚－塑性模型等）
5.3 虚功原理
参考书： 徐秉业，陈森灿编著，“塑性理论简明教程”，清华大学出版社，1981
虚功(率)：在产生虚位移的过程中，真实力所做的功(率)。 虚位移：不一定是实际的位移。
载荷系：力、力矩、分布载荷 虚位移：平移、旋转、平移＋旋转
值。
式(5.9)
τ
具体分析：
τ
式(5.25)
可忽略
式(5.26)
内部塑性变形功率 Wi 剪切功率 Ws 附加外力功率 Wb
px σb
后滑区 px
式(5.28)
式(5.29)
式(5.30)
y
o
x
前滑区
图4.22(a)
(重要假定)材料是由速度不连续面分割的许多刚性块所组成，并 认为材料的塑性变形仅是由各刚性块相对滑动引起的。
上界法：上限中求最小值。其计算结果大于实际的数值。应用更广泛。 下界法：下限中求最大值。其计算结果小于实际的数值。
真实解介于二者之间。
式(2.4)
塑性变形方程小结：
1. 力平衡方程：方程数3个，未知数6个
力平衡方程
2. 几何方程（应变与位移）：方程数6个，未知数9个
3. 本构方程（应力与应变）：方程数1个（6个关系式） （列维－密塞斯流动法则）
应变速率与位移速度的几何方程：
式(1.27)
应变速率与位移速度关系的
几Βιβλιοθήκη Baidu方程
式(1.39)
应变速率张量
5.2 极限分析的基本概念
金属成形要得到应力与应变的真实解必须满足很多条件。(P145)
运动许可：只要求满足几何方程、体积不变、速度边界条件。 (上界法)
静力许可：只要求满足静力平衡、应力边界条件、不违背屈服条件。 (下界法)
式(5.4)
应力场存在应力不连续线时对虚功原理式（5.4）无影响。
对一般三维变形问题，虚功原理也成立。 表达式：
式(5.9)
5.4 最大塑性功原理
式(2.33)
弹性势：
塑性势：
Mises屈服准则：
式(5.10) 式(5.11)
dεx = 由式（5.10）、式（5.11）得：
列维-密赛斯流动法则：式(2.39)
虚位移原理：当一个质点（或刚体）在力系（或载荷系）的作用下处于 静力平衡时，可以给该质点（或刚体）沿任何方向的一个虚位移，在产 生此虚位移的过程中，外力所作的虚功必须等于零。
虚功原理：在载荷系作用下处于静力平衡的变形结构，若给一微 小的虚变形（位移），那么由于外力（或载荷）所做的虚功必等 于内力（或应力合力）所做的虚功。
把屈服函数作为塑性塑性势时，
的几何意义
式(5.12)
(满足列维-密赛斯流动法则时) 塑性应变增量的矢量应与通过屈服曲面上该点位置的外法线方向一致。
最大塑性功原理表达式：
σ
最大塑性功原理表达式：
功 功率
5.5 下界定理
式(5.9) 式(5.21)
下界定理： pi*≤pi
5.6 上界定理
dλ’’= dλ/6
若适合列维-密赛斯流动法则，屈服函数就是塑性势。
列维－密塞斯方程
假设：A）总应变增量=塑性应变增量 忽略弹性变形
B）在加载过程任一瞬间，塑性应变增量与相应的偏差应力分量及剪应力分量成 正比；
列维－密塞斯流动法则：
式(2.37)
式(2.39)
增量理论适用于简单加载和 复杂加载，适用性广。
虚功率
应用虚功原理时，所有作用力在
Q
虚位移中都当作常量。
P
5.3.2 存在不连续时的虚功原理
速度不连续时：（平面变形）
F1区
F2区
F区
应力在F区内、速度在B线上是连续的。
式(5.6)
速度不连续时：
速度不连续线L上：
式(5.6)
式(5.7)
式(5.8)
（存在多条速度不连续线时）
应力不连续时：（平面变形）
式5.25可简化为：
式(5.34)
式(5.25)
真实外力功率J：
镦粗、挤压和拉拔： J＝Pv
式(5.35)
轧制：
J=Mω
式(5.36)
上界法：其计算结果大于实际的数值。 下界法：其计算结果小于实际的数值。
极限分析法的适用范围远超过工程法和滑移线法。
5.1 极限分析的数学基础(自学)
自由下标：
a13
a23
应变与位移关系的几何方程：
（直角坐标系）
相关规定： (P24)
式(1.27)
y
式(1.25)
应变与位移关系的
几何方程
5 极限分析原理
前言
极限分析法：
图1.28 理想刚-塑性材料
极限状态：即使载荷不再继续增加，塑性变形也可自由地发展的状态。
极限载荷：使材料或构件达到极限状态时的载荷。
极限状态的开始也就是塑性变形的开始。
求极限载荷的问题一般只限于理想刚塑性体。
上界法（上限法）：上限中求最小值。 下界法（下限法）：下限中求最大值。