(塑性成形力学)5极限分析原理
塑性理论 第五章 应变分析
u y x
dx
u y y
dy
u y z
dz
x
uz
'
uz
(x
dx,
y
dy,
z
dz)
uz (x,
y, z)
uz x
dx
uz y
dy
uz z
dz
z
ui
M
' 1
ui ui
M1
uz
M(xi)
uy
ux
0
u
' z
u'
M (x dxi )
y
u
' x
y
变形体内无限接近两点的位移分量
——M’点位移到M’1点
z
第五章 应变分析
radius 3/8 in.
diameter, 0.5 in.
diameter, 0.75 in.
gauge length, 2 in.
reduced section, 2.25 in.
主要内容
5.1 应变的基本概念 5.2 几何方程 5.3 一点附近的应变分析 5.4 主应变、应变张量不变量 5.5 主剪应变，最大剪应变 ５.6 应变速率 5.7 变形表示法 5.8 应力一应变曲线 5·9 变形体模型 5.10 变形协调方程 5.11 平面变形问题和轴对称问题
crack propagation
(in shear)
单元体均匀变形：直线—→直线，平行—→平行
小变形：
大变形：
103 ~ 102
102 ~ 101
例：将矩形六面体在千锤下进行撤粗，其塑性变形前后物体的形状：
图 矩形件塑性变形前后形状
第一类变形：诸棱边的相对变化，其下标表示伸长的方向或与棱边平行的轴向。
塑性成形原理知识点总结
塑性成形原理知识点总结一、塑性成形的基本原理1. 塑性成形的基本原理是通过施加外部应力使材料受力，发生形变，从而改变其形状和尺寸。
外部应力可以是拉伸、压缩、弯曲等形式，材料受到应力后发生塑性变形，达到所需的形状和尺寸。
2. 塑性成形的基本原理还包括在一定的温度条件下进行成形。
材料在一定温度范围内会发生晶粒的滑移和再结晶等变化，使材料更容易流动和变形，这对于塑性成形的效果非常重要。
3. 塑性成形的基本原理还涉及到应变硬化和材料流动等方面的知识。
应变硬化是指材料在形变过程中发生的一种增加抗力的现象，材料流动则是指材料在应力作用下发生的形变过程，通过流动来实现所需的成形效果。
二、材料在塑性成形过程中的变形规律1. 材料在塑性成形过程中会发生各种形式的变形，包括平面应变变形、轴向应变变形、弯曲应变变形、扭曲应变变形等。
不同的成形方式会引起不同形式的变形，需要根据具体情况进行分析和处理。
2. 材料在塑性成形过程中的变形还受到横向压缩和减薄等因素的影响。
横向压缩会导致材料沿其厚度方向出现侧向膨胀的现象，减薄则是指材料在成形过程中产生的减小尺寸和厚度的现象。
3. 材料在塑性成形过程中还会出现显著的硬化现象。
随着形变量的增加，材料的硬度和抗力会逐渐增加，这对于成形过程的控制和调整非常重要。
三、材料在塑性成形过程中的流变规律1. 材料在塑性成形过程中会发生流变，即在应力的作用下发生形变的过程。
材料的流变规律是指在应力条件下材料的变形规律和流动规律，这对于塑性成形技术的研究和应用非常重要。
2. 材料在塑性成形过程中还会出现应力和应变的分布不均匀、表面变形、壁厚变化等现象。
这些现象会导致成形件质量的不稳定性和变形过程的复杂性，需要进行合理的控制和调整。
3. 材料在塑性成形过程中还会受到局部热和化学变化的影响。
局部热和化学变化会影响材料的微观结构和性能，对于成形过程的控制和调整也具有重要的参考意义。
四、塑性成形的热变形和冷变形1. 塑性成形通常分为热变形和冷变形两种方式。
塑性成形原理-金属塑性加工过程的力学分析方法
1.定径区
坯料进入该区后，塑性变形刚好终结。坯料在该区
内只是发生弹性回复，力图径向涨大。因而受到定径带
给予的正压力 与摩擦力 n1 的作用，此外还受到来 自锥形塑性变形区的径向压力 的作用，a金属在该区
忽略高阶微分项，上式整理得
d 2 d 2m k d cot （0a）
式中，m为锥面上得摩擦因子，通常取1。
k T
3
将近似塑性条件 T 代入（a）式得
d 2 T 1
m 3
cot
d
将上式积分得
T 1
33
小结
本章主要介绍了计算塑性加工变形力的一种解 法——工程法的概念及其要点。举例解析了直角坐标 平面应变问题，极坐标平面应变问题，圆柱坐标轴对 称问题以及球坐标轴对称问题。
这里重点要掌握的是工程法的要点，直角坐标平 面应变问题、极坐标平面应变问题、圆柱坐标轴对称 问题以及球坐标轴对称问题的解析，且能够运用工程 法简单分析变形力。
X 0即Rx-Tx-Qx＝0
式中Rx d d sin 2 sin 2 Tx k4 sin d sin d cos Qx sin d sin d sin
3. 采用近似的塑性条件。工程法把接触面上的正应力 假定为主应力，于是对于平面应变问题，塑性条件
( x
y )2
4
2 xy
4k 2
可简化为
第5章-上限法及其应用0
另选变形模式如下图：
例二 板条平面应变挤压
5.4 Aviztur上限模式及应用
基本思路：
用一个连续速度场vi = fi(x, y, z)来描述整个变形区内金属质点的流动
考虑塑性区与刚性区界面上速度的 间断性及摩擦功率的影响
基本能量方程
N = Nd + Nt + Nf + Nq
w Su
V* duS Su
注意2： 通常塑性加工中力面为
自由表面，所以有：
STTidui*dST 0
5.2 速度间断面及速度特性
若塑性区与刚性区之间或相邻的塑性区之间有相对滑动， 即速度发生跳跃，称速度间断。产生相对滑动的交界面称速 度间断面。
据材料的连续和不可压缩性，间断线上法向速度必须相 等，否则将发生开裂或重叠，但切向速度可以间断。
动可容场模式： 1) 间断速度场、刚性块模式。 2) 局部连续、边界间断速度场模式。 3) 单元模式。
例一：平冲头压入半无限体
各块间的剪切功率 p•(W/2)·vo = k(OB·ΔvOB+ AB·ΔvAB+ BC·ΔvBC+ AC·ΔvAC+ CD·ΔvCD)
若取
dp* d
0
得 54.74
p* 5.66K 仍大于滑移线解
对真实应力场、动可容位移 增量场，据虚功和最大散逸功原 理有：
SP P i v i d S vi j id j V St v i d S N k
物理意义： 在位移边界面上，由动可容位移增量场对应的表面力所
做功的增量总是大于或等于真实表面力在真实位移场上所做 功的增量。
总结： 在真应变场中，真应力场与虚应力场相比，由于真应力场所消
考虑材料塑性的极限分析.ppt
2
a
FN 2
A (a)
1 a FN1 1m
B
F
2.计算荷载F的大小
1 s 240MPa
O 1.2 103
240MPa
(b)
FN1 A s 100 240 24kN
2 E2
FN 2
2 A E 2 A
18k2N40 1.2 103
0.9
103
100
M A 0，
F 2a FN1 2a FN2 a
第一节 塑性变形·塑性极限分析的假设
I. 塑性变形的特征
导致
① 塑性变形是永久变形
受力构件内的残余应力
② 应力超过弹性范围后，应力应变呈非线性关系
P
O
△L
③ 塑性变形与加载
的历程有关
卸载规律
1
s
s
s
s
O 12
O 12 3
O 12 3
同一应力σ对应不同的应变值ε
O
1
1
1
s
2
2
O
O
O
同一应变值ε 对应不同的应力σ
A
B
C 杆与固定端接触前为
静定问题,且BC段不受
F
250
250
1.屈服荷载 ΔLB∠δ时为静定问题
力.接触后为超静定问
题,只有当AB.BC段同 时屈服时,杆件达到极
限状态.
lAB
FLAB
EA
F EA1 200103 200 0.02 160kN
LAB
250
AB
F A1
160103 200
d 3
12
s
d 3
16
s
4 3
塑性成型原理.ppt
塑性加工力学
1 应力分析
1.1 应力张量
物体所承受的外力可以分成两类： 一类是作用在物体表面上的力，叫做面力或接触力，它可 以是集中力，但更一般的是分布力； 二类是作用在物体每个质点上的力，叫做体力。
内力： 在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作 用的力。
应力：单位面积上的内力。
现以单向均匀拉伸为例（如图4-1）进行分析。
塑性加工力学
1 应力分析
1.3 主平面、主应力、主方向
主剪应力和最大剪应力
剪应力有极值的切面叫做主剪应力平面，面上作用的剪应力叫做主剪 应力。 取应力主轴为坐标轴，则任意斜切面上的剪应力可求得：
S1 1l S2 2m S3 3n
2 S2 2
12l 2
2 2
m
2
2 3
n
2
(1l 2 2m2 3n2 )2
塑性加工力学
1.1 应力张量——单向拉伸
S F0
P
cos
P F0
cos
0
cos
S cos 0 cos2
S sin
1 2
0
sin
2
当 45时，取 max 0.5 0
1 应力分析
塑性加工力学
1.1 应力张量
1 应力分析
xx yx zx 在x方向 xy y zy 在y方向 xz yz z 在z方向
微分面上的应力就是质点在任意切面上的应力，它可通过四面体QABC的静 力平衡求得。
l cos(N, x), m cos(N, y), n cos(N, z) l2 m2 n2 1
dF ABC dFx QBC ldF dFy QAC mdF dFz QAB ndF
PS x SdF cos(S, x) SxdF
塑性极限分析
按几何方程求得运动场的应变率 ij ， 然后根据屈服条件和流动
法则，求出应力，这个应力称之为运动可能场的应力。
上限定理
• 对于任意运动可能场
~ ~ m Fi vi d Ti vi dS d s vt d ij ij S ~ ~ m Fi vi d Ti vi dS ij d vt d ij S
Q
0 ij dQ Ti vi dS Fi vi dQ 0 vt d ij S Q
S+ Q+ n 速度间断面
t
QS-
上、下限定理
作如下假定： （1）所有外荷载按某个单一参数m>0成比例地单调增大
~ Fi mFi
~ Ti mTi
• 不可压缩条件要求
r z
v(r ) A r
dv v 0 dr r
外力功率=
S
Ti vi ds 2tapv r a 2tp A
max
A r2
Q
dQ ij ij
/ 4 b / cos dr s A s max dQ t 2 rdrd 8t s A d Q 0 0 r r
l A
p
B
II I
D
C
分成两个几何全等的均匀应力区，中间由一应力间断线AC隔开， 区域I: AD是自由边界，对应K点
AC面的法线方向是从AD面的法线方向顺时针旋转450+，
对应M点的坐标 区域II: AB面上的应力对应于Mohr圆II的N点 = (1+sin2)
第二章 考虑材料塑性的极限分析
第二章考虑材料塑性的极限分析知识要点1.塑性变形在常温下，与时间无关的不可恢复的永久变形称为塑性变形。
塑性变形是不可逆的永久变形，应力超过了材料的线弹性范围，胡克定律不再成立，其应力-应变关系一般呈非线性关系。
塑性变形与加载历程有关，其应力与应变间的对应关系呈多值性。
2.塑性极限分析（1）塑性极限分析的假设①荷载为单调增加的静荷载。
若有多个荷载同时作用，则各个荷载按比例同时由零增至终值。
②结构（或荷载）在达到极限状态前，保持几何不变体系。
③材料的应力-应变关系理想化为刚塑性模型或理想弹塑性模型，如图2-1（a）(b)所示。
（2）屈服荷载，极限荷载结构（或构件）开始出现塑性变形的荷载，称为屈服荷载，记为F；s结构（或构件）开始出现大的塑性变形成为几何可变机构，而处于极限状态时的荷载，称为极限荷载，记为F。
u（3）屈服扭转（或弯矩），极限扭矩（或弯矩）圆轴（或梁）横截面上的最大应力达到材料的屈服极限而开始出现塑性变形时，横截面内的扭矩（或弯矩）称为屈服扭矩（或弯矩）记为T（或s M）；圆轴（或梁）横截面上的应力全部达到材料的屈服极s限，此时横截面各点均发生塑性变形，整个截面进入完全塑性状态达到极限状态时的扭矩（或弯矩）称为极限扭矩（或弯矩）记为T（或uM）。
u（4）塑性铰当梁的某截面达到极限状态时，该截面两侧的两段梁将绕其中性轴作相对转动，犹如在该截面处安另了一个铰链，故称其为塑性铰。
塑性铰并不等同于真实的铰链，而是由于截面达到完全塑性引起的，它能承受弯矩，即截面上的极限弯矩。
（5）残余应力当结构或构件达到极限状态后，卸除荷载至零，构件截面上的应力，称为残余应力。
由于卸载后外荷载为零，故残余应力必自相平衡。
残余应力最大值为材料的屈服极限。
习题详解2-1 一组合圆筒，承受荷载F，如题图（a）所示。
内筒材料为低碳钢，横截面面积为A，弹性模量为1E，屈服极限为1s ；外1筒材料为铝合金，横截面面积为2A ，弹性模量为2E ，屈服极限为2s σ。
金属板材塑性成形的极限分析
金属板材塑性成形的极限分析一、金属板材塑性成形的基本概念与重要性金属板材塑性成形是一种利用金属材料的塑性变形能力，通过外力作用使其发生形状变化的加工技术。
这种技术广泛应用于汽车、航空航天、家电制造等多个领域，对于提高材料利用率、降低成本、提升产品性能具有重要意义。
1.1 金属板材塑性成形的基本定义塑性成形是指在一定的温度和压力条件下，金属板材在塑性状态下发生形变，最终形成所需形状和尺寸的过程。
这一过程涉及到材料的力学行为、变形机理以及加工工艺等多个方面。
1.2 金属板材塑性成形的重要性金属板材塑性成形技术是现代制造业的基石之一。
它不仅能够提高材料的成形精度和生产效率，还能有效降低生产成本，满足现代工业对高性能、轻量化产品的需求。
二、金属板材塑性成形的关键技术与工艺金属板材塑性成形包含多种关键技术与工艺，这些技术与工艺直接影响成形质量、生产效率和成本。
2.1 金属板材的塑性变形机理金属板材的塑性变形机理是塑性成形的基础。
它涉及到材料内部的微观结构变化，如位错运动、晶粒变形等。
了解这些机理有助于优化成形工艺，提高成形质量。
2.2 塑性成形的主要工艺方法塑性成形的主要工艺方法包括轧制、拉伸、冲压、弯曲等。
每种方法都有其特定的应用场景和优势，选择合适的工艺方法对于保证成形效果至关重要。
2.3 塑性成形过程中的缺陷控制在塑性成形过程中，可能会出现裂纹、起皱、回弹等缺陷。
有效的缺陷控制技术可以显著提高成形件的质量和可靠性。
2.4 塑性成形工艺的数值模拟随着计算机技术的发展，数值模拟已成为塑性成形工艺设计的重要工具。
通过模拟可以预测成形过程中的应力、应变分布，优化工艺参数。
三、金属板材塑性成形的极限分析与应用极限分析是研究金属板材在塑性成形过程中达到极限状态的条件和行为，对于提高成形工艺的安全性和可靠性具有重要意义。
3.1 极限分析的理论基础极限分析的理论基础包括材料力学、塑性力学和断裂力学等。
这些理论为分析金属板材在成形过程中的应力、应变状态提供了科学依据。
塑性极限分析
内杆进 入塑性
外杆仍 为弹性
外杆“回弹力” 和内杆“抵抗 力”平衡
内杆弹性阶 段已卸完
二、塑性极限分析的概念与假设
1.单调加载：荷载由零开始，按比例同时加到最后值
（避免加载路径的影响）
2.几何线性：结构局部产生塑性变形，整体变形仍足够小
3.几何不变体系与几何可变体系
屈服区小
外力基本不变时，变形 也基本不变的结构体系， 称为几何不变体系。
5. 极限荷载
三根杆均达到 屈服状态时
Fu 2 s Acos s A
1 2cos s A
§3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
T
T
一、极限扭矩
1. 弹性—理想塑性模型 2. 屈服扭矩
τ τs
γ
TS
S
WP
d 3
16
S
τs
3. 极限扭矩
T
T
τ τs
γ
可继续加载，已屈服部分应力不变，屈服区向里发展， 直至整个截面全部屈服。
AC AD
例：已知E、A、θ、σs，材料为弹性— B 理想塑性。求Fs、Fu
F
cos2 F
FAD 1 2cos 3 FAC 1 2cos 3
4. 屈服荷载
D
C
θθ A F
FAD A
Fs
1 2cos 3
A s
Fs 1 2cos 3 s A
Mu
s
bh 2
h 4
bh 2
h 4
s
bh2 4
At
Ms
塑性分析之结构极限分析原理与方法
四、极限分析方法
（一）静力法
步骤： 1.选择多余力，以静定结构为基本结构； 2.求基本结构在荷载、多余力共同作用下的 弯矩； 3.令足够多的截面弯矩=塑性弯矩，使结构形 成破坏机构； 4.由平衡方程求极限荷载； 5.复核M≤Mu
• 结构要同时满足平衡条件、几何条件、 物理方程、边界条件，对于复杂问题， 由于数学上的困难，很难得到完全解。
三、塑性分析
• 假设材料为刚塑性，按塑性变形规律研究结构 达到塑性极限状态时的行为。
• 基于塑性分析的设计，只要控制工作荷载与极 限荷载的比例，即可保证结构、构件安全可靠 使用，所确定安全系数较弹性设计更能反映结 构的实际安全程度，也更能充分利用材料的塑 性性能。
一、四角点承板 二、线承矩形板 三、点线支承板
3.3 其它形状板的塑性分析
一、三角形板 二、等边多边形板 三、圆平板
3.4 对相关问题的讨论
一、角部效应 二、集中荷载作用 三、组合荷载作用 四、平衡法
第四章
钢筋混凝土壳塑性极限分析
2.机构法
步骤： 1.确定塑性铰位置，使结构成为机动体系； 2.运用虚功原理，计算结构极限荷载； 3.所有可能的破坏机构中，极限荷载最小者 为所求； 4.复核M≤Mu
思考题：
1.塑性分析较弹性分析、弹塑性分析有何优点 及不足之处？ 2.什么是结构的内力重分布？为什么只有超静 定结构会产生内力重分布现象？ 3.举例说明在塑性极限分析与设计中保证塑性 铰转动能力的必要性。 4.确定结构塑性极限荷载需要满足哪些条件？ 5.结构极限分析的上、下限定理及其应用（机 构法和静力法）。
塑性极限分析
Pu
i
i
dS 0
s l
2. 上限定理：
机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何方程和位移、 速度边界条件），外力做功为正的位移（速度）场。 [ 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上做功为正] 破坏载荷：机动允许的位移场所对应的载荷。k P
k ：机动允许载荷系数
ij :
*
* ui :
体力为零时：
ST
F i u i dS
*
ij dV
0
ij
*
V
塑性极限分析方法
1. 静力法
（1）取满足平衡条件且不违背屈服条件（极限条件）的应力（内力） 场。（建立静力允许的应力场）
（2）由静力允许的应力（内力 ）场确定所对应的载荷，且为极限载荷 的下限：Pl- = sP （3）在多个极限荷的下限解中取： Plmax-
下限解－－静力法。
l k ：上限解－－机动法。
ij
s
ij
虚功率原理： F u * dS i i
ST
ij dV
* V
ij
0
ij
0
ij
ST
l
s
P u
i
dS i
V
ij
0
ij
ij
dV
由Druker 公设：极限曲面是外凸的。
ST
ij
0ij源自ij 0Pi 在真实位移速度上的功率为正
下限定理：任何一个静力允许的内力场所对应的载荷 是极限载荷的下限。
[ 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l ]
塑性力学第五章(5)-塑性铰和极限分析
C
Mu
2θ 2θ
Mu Mu
θ
P
θ
第一种： A, B处出现塑性铰
P
Mu P • 2a •θ − P • aθ = Mu • 2θ + Mu • 2θ + Mu •θ P = 5 a
P
第二种： A, C处出现塑性铰
P
P • 2a •θ − P • aθ = Mu •θ + Mu •θ + Mu • 2θ
P
h
(+)
Pl 4
σs
σ
b
整截面屈服
σ =σs
h2 2 2 M = ( − e )bσs + bσse2 4 3 2 h e=0 Mu = bσs 4
ε
理想弹塑性模型
Mu 6 = = 1.5 Me 4
塑性铰（plastic hinge)的力学模型
Mu
Mu
与普通铰相比，塑性铰 是个概念或力学模型 能承受弯矩Mu 单向铰
P
Mu P=4 a
第三种： B, C处出现塑性铰
P
P • aθ = Mu •θ + Mu •θ + Mu •θ
Mu P =3 a
比较知，三种情况中，最小者为
Mu P =3 u a
P
A C
B
需要2个塑性铰， 才能成可动机构 只有A,C可能成为 塑性铰Mu Nhomakorabeaθ
Mu
Pu
Mu
θ
C
θ θ
只有一种可能的 可动机构情况
l P •θ • = Mu •θ + Mu •θ + Mu •θ 根据虚功原理 u 2 内力虚功 外力虚功 Mu P =6 u l
第五章 极限分析法全
V Fiuip* dV
V
p* p* ij ij
dV
SD c vtp* d S
反证法：
假设由上式确定的荷载Ti，Fi小于极限荷载，则可找 到与之平衡的静力场σijE，于是可得到虚功率方程
S Tiuip* d S
V Fiuip* dV
E p*
V ij ij
dV
SD
n tan
vtp* d S
虚功原理表明：对于一个连续的变形体，静力容许的应 力场在机动容许的位移场上所作的外(虚)功。虚功率方程可 表示为：
静力容许
S Ti*vi* d S
V Fivi* dV
V
* *
ij ij
dV
机动容许 左端表示外力(面力和体力)的虚功率，右端表示虚变形功率。
现证明如下： 将应力边界条件 Ti* i*jnj 代入虚功率方程左端的面积分 部分，并利用高斯积分公式，可得
W Dlh n tanlh p n tanlvcos
v cos 就是间断面相对速度在切线方向的分量，可记为 vt
于是可以得到Coulomb材料沿速度间断面Sl的能量消散率
W Si n tan vt d Si
当φ=0，上式就蜕化成
W
Si
vit
d Si
当速度间断面上的应力为屈服应力时：
由于真实应力场一定是静力容许的应力场，所以极限
状态时的虚功率公式
S Tivi d S
V Fivi dV
V ij ij dV
c
SD
vt
dS
S Ti*vi* d S
V Fivi* dV
* *
V ij ij
dV
Si n tan vt d Si
成形极限图的原理及应用
成形极限图的原理及应用引言成形极限图是在金属材料的成形加工过程中常用的一种分析工具。
它通过对金属材料在拉伸过程中的变形行为进行实验和数学建模，可以帮助工程师们更好地了解材料的成形极限，从而进行优化设计和预测形变过程中可能出现的问题。
本文将介绍成形极限图的原理以及在工程实践中的应用。
原理成形极限图是通过实验和数学模型得到的一种图表，它描述了金属材料在成形过程中的变形特性。
在金属材料的拉伸过程中，会发生两种类型的变形：弹性变形和塑性变形。
弹性变形弹性变形是指金属材料在受力后能恢复到原来形状的一种变形方式。
在弹性变形阶段，应力与应变之间呈线性关系，称为胡克定律。
弹性变形的应变是可逆的，即一旦去掉作用力，材料会恢复到原来的形状。
塑性变形塑性变形是指金属材料在受力后不能完全恢复到原来形状的一种变形方式。
在塑性变形阶段，应力与应变之间的关系不再呈线性，而是呈现出非线性的行为。
塑性变形的应变是不可逆的，一旦发生变形，材料的形状就会永久改变。
成形极限图成形极限图是描述金属材料塑性变形特性的图表。
它以应力和应变为坐标轴，绘制材料在拉伸过程中的应力-应变曲线。
通过实验获得材料的应力-应变数据，可以绘制出成形极限图。
成形极限图通常是一条曲线，其中包含了两个重要的参数：屈服强度和断裂强度。
屈服强度屈服强度是指金属材料在拉伸过程中开始发生塑性变形时的应力值。
在成形极限图上，屈服强度位于曲线的起点处。
屈服强度通常用屈服强度值或屈服点标记表示，是衡量材料抗拉强度的一个重要参数。
断裂强度断裂强度是指金属材料在拉伸过程中完全断裂时的应力值。
在成形极限图上，断裂强度位于曲线的终点处。
断裂强度是衡量材料脆性和韧性的一个重要指标，一般来说，断裂强度越高，材料的韧性越好。
应用成形极限图在工程实践中有着广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用领域：1.材料选择与优化：通过绘制成形极限图，工程师们可以比较不同材料的成形性能，选择最合适的材料进行工程设计。
材料力学考虑材料塑性的极限分析
则极限弯矩为
由
bh2 Mu s s 4
bh2 ss Mu 42 1.5 M s bh ss 6
可见，考虑了材料塑性，
矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大 50％。
几种常用截面的 Mu/Ms 比值见下表。
表 1 几种常用截面的 Mu/Ms 比值
截面形状
M u / Ms
1.15-1.17
1.27
πd 3 Ts Wp s s 16
s
(a)
若继续增大扭矩，则随着切应变增大，此直径上 各点处的切应力将从周围向中心逐渐增大到 s 。
s
(b)
当截面上各点处的切应力均达到 s , 整个截面进 入完全塑性状态。这时不需要再增大外力偶矩，圆杆 将继续扭转变形，即扭杆达到极限状态。对应的极限 扭矩为：
q (a) A
l
解：先按弹性分
B
4l 9
8 ql 2 81
l 3
C b (b) ql 2 18
h
析的方法作出梁
的弯矩图 （图c） 得出最大弯矩为
8ql2 M max 81
(c)
当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩， 梁上的荷载达到极限值。 即
8qu l 2 bh2 Mu s sWs s s 81 4
塑性变形的特征:
(1)变形的不可恢复性是塑性的基本特征。
(2)应力超过弹性范围后,应力应变呈非线性关系, 叠加原理
s
s1
不再适用。
(3)塑性变形与加载历程有关,应 力与应变之间不再是单值关系。 (4)通常所指的塑性变形,忽 略了时间因素的影响(常温、 低应变率）。
ss
O
e p ee
e
s 's
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虚功原理：在载荷系作用下处于静力平衡的变形结构，若给一微 小的虚变形（位移），那么由于外力（或载荷）所做的虚功必等 于内力（或应力合力）所做的虚功。
几何方程
式(1.27)
物理方程
式(2.37)
屈服准则和边界条件、体积不变、假设（理想刚－塑性模型等）
5.3 虚功原理
参考书： 徐秉业，陈森灿编著，“塑性理论简明教程”，清华大学出版社，1981
虚功(率)：在产生虚位移的过程中，真实力所做的功(率)。 虚位移：不一定是实际的位移。
载荷系：力、力矩、分布载荷 虚位移：平移、旋转、平移＋旋转
式(5.4)
应力场存在应力不连续线时对虚功原理式（5.4）无影响。
对一般三维变形问题，虚功原理也成立。 表达式：
式(5.9)
5.4 最大塑性功原理
式(2.33)
弹性势：
塑性势：
Mises屈服准则：
式(5.10) 式(5.11)
dεx = 由式（5.10）、式（5.11）得：
列维-密赛斯流动法则：式(2.39)
5 极限分析原理
前言
极限分析法：
图1.28 理想刚-塑性材料
极限状态：即使载荷不再继续增加，塑性变形也可自由地发展的状态。
极限载荷：使材料或构件达到极限状态时的载荷。
极限状态的开始也就是塑性变形的开始。
求极限载荷的问题一般只限于理想刚塑性体。
上界法（上限法）：上限中求最小值。 下界法（下限法）：下限中求最大值。
把屈服函数作为塑性塑性势时，
的几何意义
式(5.12)
(满足列维-密赛斯流动法则时) 塑性应变增量的矢量应与通过屈服曲面上该点位置的外法线方向一致。
最大塑性功原理表达式：
σ
最大塑性功原理表达式：
功 功率
5.5 下界定理
式(5.9) 式(5.21)
下界定理： pi*≤pi
5.6 上界定理
dλ’’= dλ/6
若适合列维-密赛斯流动法则，屈服函数就是塑性势。
列维－密塞斯方程
假设：A）总应变增量=塑性应变增量 忽略弹性变形
B）在加载过程任一瞬间，塑性应变增量与相应的偏差应力分量及剪应力分量成 正比；
列维－密塞斯流动法则：
式(2.37)
式(2.39)
增量理论适用于简单加载和 复杂加载，适用性广。
上界定理：运动许可的速度场 运动许可的vi* →σij* 二者满足列维-密赛斯流动法则，
所形成的塑性功率最大。
按最大塑性功原理：
式(5.24)
式(5.20上界定理： pi*≥p
上界定理(定义)： 与虚拟的运动许可的应力场相平衡的外力所提供的功(率)大于或等
于与真实应力场相平衡的外力所提供的功(率)。 按运动许可速度场所确定的功率，对实际所需功率给出上界(上限)
值。
式(5.9)
τ
具体分析：
τ
式(5.25)
可忽略
式(5.26)
内部塑性变形功率 Wi 剪切功率 Ws 附加外力功率 Wb
px σb
后滑区 px
式(5.28)
式(5.29)
式(5.30)
y
o
x
前滑区
图4.22(a)
(重要假定)材料是由速度不连续面分割的许多刚性块所组成，并 认为材料的塑性变形仅是由各刚性块相对滑动引起的。
式5.25可简化为：
式(5.34)
式(5.25)
真实外力功率J：
镦粗、挤压和拉拔： J＝Pv
式(5.35)
轧制：
J=Mω
式(5.36)
上界法：其计算结果大于实际的数值。 下界法：其计算结果小于实际的数值。
极限分析法的适用范围远超过工程法和滑移线法。
5.1 极限分析的数学基础(自学)
自由下标：
a13
a23
应变与位移关系的几何方程：
（直角坐标系）
相关规定： (P24)
式(1.27)
y
式(1.25)
应变与位移关系的
几何方程
上界法：上限中求最小值。其计算结果大于实际的数值。应用更广泛。 下界法：下限中求最大值。其计算结果小于实际的数值。
真实解介于二者之间。
式(2.4)
塑性变形方程小结：
1. 力平衡方程：方程数3个，未知数6个
力平衡方程
2. 几何方程（应变与位移）：方程数6个，未知数9个
3. 本构方程（应力与应变）：方程数1个（6个关系式） （列维－密塞斯流动法则）
应变速率与位移速度的几何方程：
式(1.27)
应变速率与位移速度关系的
几何方程
式(1.39)
应变速率张量
5.2 极限分析的基本概念
金属成形要得到应力与应变的真实解必须满足很多条件。(P145)
运动许可：只要求满足几何方程、体积不变、速度边界条件。 (上界法)
静力许可：只要求满足静力平衡、应力边界条件、不违背屈服条件。 (下界法)
虚功率
应用虚功原理时，所有作用力在
Q
虚位移中都当作常量。
P
5.3.2 存在不连续时的虚功原理
速度不连续时：（平面变形）
F1区
F2区
F区
应力在F区内、速度在B线上是连续的。
式(5.6)
速度不连续时：
速度不连续线L上：
式(5.6)
式(5.7)
式(5.8)
（存在多条速度不连续线时）
应力不连续时：（平面变形）
虚功原理是极为重要的力学研究手段。
虚位移必须与结构的支承不相矛盾，还必须保持结构的连续性。 虚功原理不涉及材料特性，适用于所有结构。
应用虚功原理时，所有作用力在虚位移中都当作常量。
T
5.3.1 虚功原理表达式
在平面变形状态下，应力和速度连续时：
虚功率
式(5.4)
式（5.4）中应力与应变速率、表面力与位移速度没有物理上的因果关系， 即与塑性变形是否发生无关，但要满足力平衡方程、应力边界条件、几何方程及 连续性。