随机过程-3

当t=0时,即有 ϕ ( k ) (0) = i k E ( X k ) (1 ≤ k ≤ n ) 这样由此性质 若已知X的特征函数 运算方便地求出X的k阶矩
3
E ( Z ) = E ( X ) + iE (Y )
例3.1 设复随机变量 Z = 2 X + iY N (µ,σ 2 ) 其中X, Y均服从正态分布 试求E(2Z)
2
解
E (2Z ) = 2 E ( Z ) = 2( E (2 X ) + iE (Y 2 ))
= 4 E ( X ) + 2iE (Y )
所以对一切
概率分布为
P( X = xk ) = p k 则其特征函数为
k = 1,2, L
∞
ϕ X (t ) = E (e itX ) = ∑ e itxk p k
k =1
若X为连续型随机变量 数为
概率密度为f(x)
+∞ −∞ itx
则其特征函
ϕ X (t ) = E (e ) = ∫
itX
e f ( x)dx
itX
b itx
∫
+∞ −∞
e itx f ( x )dx
1 1 1 itx b 1 =∫ e dx = ⋅ e |a= ⋅ (e ita − e itb ) a b−a b − a it (b − a)t
11
指数分布 Z( )
设X服从Z( )分布 则其概率分布为
⎧α e −αx x > 0 α > 1 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪0 x≤0 ⎩ α2 αt 其特征函数为 ϕ (t ) = +i 2 2 X 2 2 α +t α +t +∞ itX 因为 ϕ X (t ) = E (e ) = e itx f ( x)dx
得C=1, 代入可得标准正态分布的特征函数 对于一般的正态分布的特征函数,我们是利用 特征函数的特殊性质去得到的.
15
四 特征函数的基本性质
设ϕ X (t ) = E (e itX ) 为随机变量X的特征函数 则它具有以下性质
1 ϕ X (0) = 1,
o
| ϕ X (t ) |≤ ϕ X (0), ϕ X (−t ) = ϕ X (t )
k = 0, 1
it
0 < p <1
ϕ X (t ) = 1 − p + pe
itX it ⋅0
ϕ X (t ) = E (e ) = e (1 − p) + e
it ⋅1
⋅p
8
二项分布 B(n,p)
设X服从B(n,p)分布 则其概率分布为
P ( X = k ) = C p (1 − p )
k n k
k =0
k n
k
n−k
9
泊松分布
设X服从 (
(
) 则其概率分布为
)分布
λk e − λ P( X = k ) = k!
其特征函数为
k = 0, 1, 2, L , λ > 0
λ ( e it −1)
∞ k −λ
ϕ X (t ) = e
itX
λ e 因为 ϕ X (t ) = E (e ) = ∑ e ⋅ k! k =0 it k ∞ (λe ) −λ −λ λe it λ ( e it −1) =e ∑ = e ⋅e = e k! k =0
5
例3.2 设随机变量X具有概率分布为
X pk 0 1/2 1 1/3 2 1/6
试求其特征函数 ϕ X (t )
解
ϕ X (t ) = E ( e
itX
)=e
it ⋅0
1 1 it 1 2it = + e + e 2 3 6 1 1 1 1 ⎞ ⎛1 = + cos t + cos 2t + i⎜ sin t + sin 2t ⎟ 2 3 6 6 ⎠ ⎝3 i 1 1 1 = + cos t + cos 2t + sin t (1 + cos t ) 2 3 6 3
其概率密度f(x)
ϕ (t ) = E (e
itX
) = ∫ −∞ e f ( x )dx
itx
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+∞
d k itx 而 k (e ) =| i k x k e itx |≤| x | k dt +∞ k 且由条件E ( X )存在, 知∫ | x | k f ( x)dx < +∞
−∞
因而特征函数的k (1 k
n−k
, k = 0, 1, L , n. 0 < p < 1
n
其特征函数为 ϕ (t ) = ( pe it + 1 − p ) n X 因为
ϕ X (t ) = E (e ) = ∑ e C p (1 − p )
itX itk
k = ∑ C n ( pe it ) k (1 − p ) n − k k =0 n
0
显然 ϕ X (0) = E ( e ) = 1
| e itx |= 1 而对于任意的t
则有
+∞ itx
不妨设X具有概率密度f(x)
| ϕ X (t ) |=| E (e
≤∫
+∞ −∞
|e
itx
∫ | f ( x)dx = ∫
itX
) |=|
−∞ +∞
−∞
e f ( x )dx |
f ( x)dx = 1 = ϕ X (0)
这由于X与Y相互独立 因此其函数eitX与eitY也相 互独立 故由数学期望的性质知
ϕ X +Y (t ) = E (e
it ( X +Y )
) = E (e
itX
⋅e
itY
= E (e itX ) E (e itY ) )
= ϕ X (t )ϕ Y (t )
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一般地
若 X 1 , X 2 , L , X n 相互独立
+∞
α ( it −α ) x + ∞ = ∫ e ⋅ αe dx = e |0 0 α α (α + it ) it − α = = 2 2 α − it α + t
itx
12
∫
−∞ −αx
标准正态分布N(0,1)
设X服从N(0,1)分布 则其概率分布为
x2 − e 2
f ( x) =
其特征函数为
itx
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均匀分布 U(a,b)
设X服从U(a,b) 分布
⎧ 1 ⎪b − a f ( x) = ⎨ ⎪0 ⎩ a<x<b
则其概率分布为 其特征函数为
其它
(sin ta − sin tb) i ϕ X (t ) = (cos ta − cos tb) − (b − a )t (b − a )t 因为 ϕ X (t ) = E ( e ) =
⎤ 2 ⎡ − ie it 1 it = 2⎢ + 2 (e − 1)⎥ = 2 − ite it + e it − 1 t ⎦ t ⎣ t 2 = 2 [− it (cos t + i sin t ) + (cos t + i sin t − 1)] t
7
1 itx 1 1 e ⋅ 2 xdx = 2 x ⋅ e |0 −2 = 0 it it 2 it 2 it (e − 1) = e − 2 it (it )
6
1 it ⋅1 1 it ⋅2 1 ⋅ +e ⋅ +e ⋅ 2 3 6
例3.3
⎧2 x 0 ≤ x < 1 ⎪ f ( x) = ⎨ 试求X的特征函数 ϕ X (t ) ⎪0 其它 ⎩
itX +∞ −∞
设随机变量X具有概率密度为
解 ϕ X (t ) = E (e ) = ∫
e itx f ( x)dx
ϕ X ( −t ) = E ( e
−itX
)=
∫
+∞ −∞
e
−itx
f ( x )dx =
∫
+∞ −∞
e itx f ( x )dx
16
=
∫
+∞ −∞
e f ( x )dx = ϕ X (t )
itx
2 o ϕ X (t )为
− ∞,+∞)上的连续函数
则Y=aX+b的特征函数为
ibt
3° 设a, b为常数
x2 − 2
x2 itx − 2
且有
ixe
x2 itx − 2
≤| x | e
∫
+∞ −∞
|x|
x2 − e 2 dx
x2 itx − 2
=2
∫
x2 +∞ − xe 2 dx 0
=
x2 − 2( − e 2Βιβλιοθήκη Baidu
+ ) |0 ∞ = 2 < +∞
即e
绝对可积分
ϕ ′ (t ) = X 1 2π
再注意
∫
x2 +∞ itx − ixe 2 dx −∞
ibt i ( at ) X
17
ϕ Y (t ) = e
t2 − 2
因为X = σY + µ
由上述性质可得X的特征函数为
ϕ X (t ) = e ϕ Y (σt ) =
iµ t
σ 2t 2 − iµ t e ⋅e 2
=
σ 2t 2 iµt − 2 e
4° 若随机变量X与Y相互独立
则有
ϕ X +Y (t ) = ϕ X (t )ϕ Y (t )
2
= 4µ + 2i ( D(Y ) + ( E (Y )) )
2
= 4µ + 2i(σ + µ )
2 2
二 特征函数的定义
定义3.4 设X为随机变量 称复随机变量eitX的数学 期望为X的特征函数 记为 即
ϕ X (t ) = E (e
itX
)
t ∈ (−∞,+∞)
4
由于对任意的实数t 总有|eitX|=1 随机变量 其特征函数总是存在的 易见 若X为离散型随机变量
∫
1
itx
∫
1 0
e itx dx
[
]
2 = 2 [(t sin t + cos t − 1) + i (−t cos t + sin t )] t
三 常见分布的特征函数 两点分布((0-1)分布)
设X服从(0-1)分布 则其概率分布为
P ( X = k ) = p k (1 − p )1− k
其特征函数为 因为
1
关于随机变量的特征函数定义及性质,我们主 要介绍以下几方面内容: 一 复随机变量定义 二 特征函数的定义 三 常见分布的特征函数 四 特征函数的基本性质 五 n 维随机变量的特征函数
2
一 复随机变量定义
定义3.1 若X与Y为实随机变量 为复随机变量 其中i = − 1 则称Z=X+iY
由于复随机变量与二维随机变量(X, Y)紧密相关 故其相关概率特性如下定义 定义3.2 若二维随机变量( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ), L , ( X n , Yn ) 相互独立 则称复随机变量 Z 1 = X 1 + iY1 , Z 2 = X 2 + iY2 , L , Z n = X n + iYn 是相互独立的 定义3.3 若E(X), E(Y)存在 则称 为复随机变量Z 的数学期望
在一般情况下 随机变量的数学期望与方差只 能粗略地反映分布函数的某些特征性质 不能完整 地刻画分布函数 因此 为深入研究随机变量的分 布特性 产生了特征函数的概念 可以证明 不同 的分布函数对应着不同的特征函数 而特征函数具 有简单实用的特点 例如 矩的计算对分布函数是 积分 对特征函数则是微分 求独立随机变量和的 分布时 用分布函数需求卷积 用特征函数则化为 简单的乘法 因此 在研究随机变量的分布特性 时 特征函数起着重要的工具作用
14
itϕ X (t ) + iϕ ′ (t ) = X
1 (e 2π
itx − x 2
2
1 2π
∫
+∞ −∞
(it − x)e
x2 itx − 2
dy =
)| = 0
tϕ (t ) + ϕ ′(t ) = 0
t2 − Ce 2
+∞ −∞
故需解微分方程
易得带有任意常数形式的解
ϕ X (t ) =
ϕ X (0) = E (e i⋅o⋅ X ) = E (1) = 1 此时代入初始条件
ϕ Y (t ) = e ϕ X ( at )
因为ϕ Y (t ) = E (e itY ) = E (e it ( aX +b ) ) = E (e itaX +itb )
= e ibtϕ X (at ) = e E (e ) 例3.4 设X N( , 2) 试求X的特征函数 X −µ 解 设Y = 则Y N(0, 1) 故其特征函数为 σ
1 2π
ϕ X (t ) =
因为 ϕ X (t ) = E ( e
itX
t2 − e 2
)=
∫
+∞ −∞
e itx f ( x )dx
= 1 2π
=
∫
+∞ −∞
e
itx
⋅
1 2π
x2 − e 2 dx
∫
x2 + ∞ itx − e 2 dx −∞
13
而导数
d (e dt
x2 itx − 2
) = ixe
则和 Yn =
∑X
k =1
n
k
的特征函数等于各个特征函数的乘积:
ϕ Yn (t ) = ϕ X 1 (t )ϕ X 2 (t ) Lϕ X n (t )
5° 若随机变量X的n阶矩存在 分n次 且当1 k n时 有 则它的特征函数可微
k
ϕ
(k ) X
(0) = i E ( X )
k
因为: 若设X为连续型随机变量 则其特征函数为
ϕ ( k ) (t ) =
=
n)阶导数存在
且有
dk dι k
(
∫
+∞ −∞
e itx f ( x)dx) =
∫
k
+∞ −∞
dk dι k
(e itx ) f ( x) dx
∫
+∞ −∞
i x e f ( x)dx = i
k k itx
∫
+∞ −∞
x k e itx f ( x)dx
就可通过微分
20