凸函数几个等价定义

合集下载

凸函数几个等价定义

本科生毕业论文题目凸函数的几个等价定义系别班级姓名学号答辩时间年月学院目录摘要 (4)1凸函数的定义 (6)2凸函数的等价定义和性质 (6)2.1凸函数的等价定义 (6)2.2凸函数的性质 (7)3凸函数等价定义和性质的应用举例 (10)3.1一些集合上的凸函数举例 (10)3.2运用凸函数等价定义证明不等式 (11)总结 (16)参考文献 (17)谢辞 (18)凸函数的几个等价定义摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。

它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。

为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。

本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。

关键词：凸函数；等价性；不等式Several equivalent of convex function definedAbstractConvex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application. [Key wards]Convex functions; Equivalence; Inequality.凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。

凸函数详细论文

目录一、凸函数的定义及其关系 (3)（一）凸函数的几种不同定义 (3)（二）不同定义之间的相互联系 (4)二、凸函数的性质 (4)（一）凸函数的一些简单运算性质 (4)（二）凸函数的其他性质 (7)三、函数凸性的判断方法 (11)四、凸函数的应用 (14)（一）有关凸函数的两个重要不等式 (14)（二）凸函数的性质在证明几个经典不等式中的应用 (15)（三）凸函数在初等不等式证明中的应用 (17)（四）凸函数在积分不等式中的应用 (19)五、总结 (20)参考文献 (18)凸函数的性质及应用马志霞（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070）摘要:凸函数是一类非常重要的函数，它的概念最早见于Jensen著作中在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划等学科的理论基础和有力工具。

本文由凸函数的定义出发，给出了凸函数的七种等价定义，讨论了凸函数的有关性质,研究了函数凸性的判定方法，以及它在证明不等式中应用.关键词: 凸函数；不等式；性质；判别；证明；应用The properties and application of convex functionMa Zhixia(School of mathematical and statistical Northwest Normal University，Gan Su LanZhou 730070) Abstract: Convex function is a kind of very important function, the concept of the earliest it can be found in Jensen writings in pure mathematics and applied mathematics has extensive application in many fields, has become the basic theory of mathematical programming disciplines and powerful tool. In this paper, starting from the definition of convex function, seven equivalent definition of convex function are given, some properties of convex function are discussed, the methods for judging the convex function, and its application in proving inequality in.Key words：Convex function；inequalitye；property；distinction；proof；application一、凸函数的定义及其关系（一）凸函数的几种不同定义定义 1 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意两点12,x x 和任意实数(0,1),λ∈有()()()21211)()1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 是区间I 上的凸函数.定义2 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意不同的两点12,x x ，有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+ ,则称)(x f 是I 上的凸函数. 定义3 设函数)(x f 定义在区间I 上,对于任意的I x x x n ∈,,21 ，,有()()nx f x f x f n x x x f n n +++≤+++ 2121)()(，则称)(x f 是区间I 上的凸函数. 定义4 设函数)(x f 定义在区间I 上，对于I 上任意三点123x x x <<，下列不等式中任何两个组成的不等式成立，()()()232313131212)()(()x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--，则称)(x f 是区间I 上的凸函数.定义5 利用二阶导数判断曲线的向来定义函数的凸性：设函数()f x 在区间(,)a b 内存在二阶导数,则在(,)a b 内有 ()0()f x f x ''>⇒在(,)a b 内严格凸数。

凸函数的等价命题及其应用举例

凸函数的等价命题及其应用举例一、凸函数的定义及其等价命题定义1：f 在区间I 上有定义，如果对[]1,0,,,2121∈∀<∈∀t x x I x x ，有)()()1())1((2121x tf x f t tx x t f +-≤+-，则f 称在I 上为凸函数。

这个一般定义下，我们得到了凸函数的几个等价命题：命题1：下面几个命题等价：（1）)(x f 为区间上的凸函数；（2）对,,,2121x x I x x <∈∀令21)1(tx x t x +-=，则1221211;x x x x t x x x x t --=---=于是有)()()(21211122x f x x x x x f x x x x x f --+--≤；（3）对,,,,321321x x x I x x x <<∈∀，有232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--；（4）对),2(0,,,,,,2121≥>∈∀n t t t I x x x n n ∑==ni it11，有;)()(11∑∑==≤ni i ini i i x f tx t f ；（5）对,,00R I x ∈∃∈∀α，使得I x x x x f x f ∈-≥-),()()(00α。

引理:若f 为定义在)(0x U +上的单调有界函数,则左极限)(lim 0x f x x +→存在.下面给出凸函数的一个重要性质:性质:)(x f 是[]b a ,上的凸函数,则)(x f 上()b a ,连续. 证明:本证明分两步:首先证明)(x f 是()b a ,上的凸函数,则)(x f 在()b a ,内任一点0x 都存在左右导数.下面只证明凸函数)(x f 在0x 存在右导数,同理可证明也存在左导数.事实上,由命题1(3),设2031020121,,0h x x h x x x x h h +=+==<<,(这里取充分小的2h ,使()b a h x ,20∈+).则,)()()()(20201010h x f h x f h x f h x f -+≤-+令hx f h x f h F )()()(00-+=,由上式可见)(h F 为递增函数,现取0),,(x x b a x <'∈',则对任何0≥h ,只要),,(0b a h x ∈+,由命题1(3)也有)()()()()(0000h F hx f h x f x x x f x f =-+≤-''-,于是上面不等式左端为定数,因而函数)(h F 在0>h 上有上界,根据引理得)(lim 0h F h +→存在.即)(0x f +存在.再证明)(x f 在0x 存在左右导数,则)(x f 在0x 连续.事实上,在0x 存在右导数,则)(x f 在0x 右连续)(x f 在0x 存在左导数,则)(x f 在0x 左连续故, )(x f 在0x 连续.综上,性质得证.命题2[：如果)(x f 在I 上任一闭区间上有上界，则它是凸函数的充分条件是：（6）2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +≤+∈∀推论1：将上一命题中“在I 上任一闭区间上有上界”换成“在I 上连续”，结论仍然成立。

凸函数的几个定义及关系

＝＾厂（１）＋（１一Ａ），（２）
Ａ为有理数的情况获证．
事实上，Ｖ，，，
，，由式（１．２），我们有
若Ａ∈（０，１）为无理数，则存在有理数Ａ ∈（０，１），（ｎ＝１，２， …）使
对于有理数Ａ ∈ （０，１），（ｎ＝１，２， …），上面已证明有Ａ１＋１一Ａ）２］≤ ＾ √ Ｉ）＋（１一Ａ２）此式中令ｎ一＊取极限，联系上式，有Ａ＋（１一Ａ）２］≤＾厂（。）＋（１一Ａ）即式（１．１）对任意无理数也成立ＡＥ（０，１）也成立．这就证明了定义１．１．２、１．１．３蕴涵定义１．１．１．注上述证明里可以看到从定义１．１．１ｊ定义１．１．２、１．１．３无需连续性，定义１．１．２、１．１．３定义１．１．１才需要连续性。可见定义１．１．１强于定义１．１．２、１．１．３．定理ｌ＿２３若｜，（）处处可导，则定义１．１．Ｉ，定义１．１．２，定义１．１．３，定义１．１．４等价．（作者单位：西安汽车科技职业学院）参考文献：［１］华东师范大学数学系编，数学分析（上）［Ｍ］．北京：高等教
凸函数的几个定义及关系
程双青
摘要：凸函数是一重要的概念，它在许多学科里有重要的应用，在研究生入学试题中，也时有涉及．本文主要是概述凸函数的几种

凸函数的几种定义

凸函数的几种定义凸函数在优化和数学分析中有广泛的应用，其有多种定义，本文将介绍凸函数的几种定义。

1. 凸函数的一阶定义凸函数的一阶定义是指，定义域上的任意两个点之间的割线上，函数值的下凸性。

即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果对于所有的x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，那么f(x)为凸函数。

2. 凸函数的二阶定义凸函数的二阶定义是指，定义域上的所有点都满足函数的二阶导数大于或等于零。

即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果f''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。

3. 凸函数的三阶定义凸函数的三阶定义是指，定义域上的所有点的曲率大于或等于零。

即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其曲率f'''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。

4. 凸函数的凸集定义凸函数的凸集定义是指，函数图像的下方区间所形成的区间也是凸集。

即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其图像下方区间S={(x,y)| y≤f(x)}是凸集，并且S 在[a,b]上是凸的，那么f(x)为凸函数。

综上所述，凸函数的几种定义都指向了函数图像呈现的下凸性，即直线割过函数图像后位于函数图像下方的性质，其不同的定义方式体现了不同的性质和求解方法。

无论采用哪种定义方式，都需要考虑实际问题的特征和函数的定义域，以得到准确可靠的结果。

凸函数的性质有很多，例如在区间[a,b]上凸函数f(x)上，对于任意的x1,x2∈[a,b]和0≤λ≤1，都有f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，即凸函数的凸组合仍为凸函数。

此外，凸函数也有一些应用，例如在最优化问题中，将问题转化为凸函数求解可以更优effective。

然而，有些函数仅在部分定义域内为凸函数，而在另一部分定义域内则不是，因此在实际应用中必须慎重选择凸函数进行求解。

凸函数的性质及其应用

即证f在（上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １， x ＝（∨x３得x∈ ［ａ，ｂ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２２) －－ fx （１ x １) ，
３、应用举例：
例１：用凸函数方法证明ｙｏｕｎｇｅｒ不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ｙ）≥２f（ x ）f（ y ），故（Ｄ）式成立，结论得证。另：设 f （ x )=e－２x＞０为Ｒ上的凸函数，但 f（１x ） =e－２x 仍为凸函数定理６：若 f （ x )为区间Ｉ上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为Ｉ的内点，则单侧导数f （＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间Ｉ上的凸函数，则f（ x ）在区间Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ，有 n f （ ∑ i＝１ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１）推论１：若 f （x ）在区间Ｉ上为凸函数，则对Ｉ上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２）注：若 f （x ）在Ｉ上连续，则上述定义１，２，３等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ）为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １）＋
１－λ f （x２）
………

函数凸性定义的等价性及其判别方法研究

函数凸性定义的等价性及其判别方法研究吴文虎(陕理工数学与计算科学学院数学与应用数学 092班，陕西汉中 723000)指导教师：雍龙泉【摘要】凸分析是数学中相对年轻的一个分支。

凸函数作为凸分析的主要研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具被加以使用。

本文深入地讨论了凸函数的几种不同定义的等价性,判别方法及凸函数的应用。

首先给出了凸函数的六个不同方式的定义。

然后探究出定义之间的关系，得出定义的等价性，在前三个定义中下（上）凸函数的本质是连接函数图形上任意两点的线段，处处都不在函数图形的下方（或上方）。

后三个定义中下（上）凸函数的本质是左差商不大于(不小于)右差商，左右差商当自变量差分减小时是不减（不增）的。

然后给出凸函数的判别方法的研究及其证明。

最后举例说明凸函数的相关结论在不等式的证明、验证级数的收敛性等方面的应用。

【关键词】凸函数；等价定义；判定方法1、引言凸分析，或称凸集和凸函数理论，是数学中相对年轻的一个分支，在本世纪三十年代才出现比较系统的研究凸集的著作，40至50年代，特别是在优化领域发现了凸集的许多应用以后，更进一步促进了这一理论的发展，随着数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论等学科发展的需要，凸分析日益受到大家的重视，60年代后期出现凸分析的奠基之作，即R.T.Rockafellar 的“Convex Analysis”,无穷维空间中凸分析的理论在这一时期也得到了充分的发展，到现在，凸分析已经成了解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这方面问题的主要手段。

凸分析包括凸集、凸函数、凸锥、赋范空间的凸性、正解理论等方面的内容，其基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理，而这些概念和定理都可以纯代数的研究，即在一个不引入拓扑的线性空间中来研究。

微积分中凸函数概念的等价性

苏护厂
引理2 设f(x)在区间[a ,b]上连续， [ 在开区间(a,b) 内单侧可导，则必存在t e (a,b) ，使得弦斜率F(b,a)介于H C )和f+(g)之间。
这是推广的微分中值定理。
可使有些叙述和证明过程变得较为简便。显然F(x,y)=F(y,x)，两
者不必加以区别。
、导数(切线倾角) 的单增性也可作为下凸函数的定义，它与定义的等价性不必附加条件，只需对切线、导数作一些广泛的理解即可。
参考文献
任意点x0，存在单侧导数，并且对任意x e D, 以下不等式成立 { - f(xo + f+'(xo xo (x)) )(x- ) (6) Ax)- f(xo + f- ,(xo X ) )(x- .) (7) 在严格下凸意义下， (6)(7)为严格不等式。
这里给出充分性证明和严格下凸意义下的必要性证明。
充分性对任意x,<xo ， <x, 在(6)式中取x=x，可得F(xo,x1)- f+(xo , ) 取x=x: 可得F(xo,x}- f+(xo 于是(2)式得证， )，故f(x)下凸。得F(xo,y)<F(xo 仿照一般下凸的必要性证明， ,x)。可得f- (x,)- f+(xo - F )(X,y)， . 结合起来即f- (xo - f+(xo ))<F(xo 将此不等式乘以(x- xo)即得对 ,x)， ( 应于(6 ) , (7)的严格不等式。类似可证x<x,〕的情形。不等式(6) , (7) 的几何意义是“ 曲线位于左、右切线的上方”所以，
37对象访问策略对象访问策略用来确定一个角色可以具有哪些访问权限可以表示为一个二元组角色权限列表其中权限列表包含了所有的角色可以拥有的权限而权限又可以表示为一个二元组对象操作列表其中操作列表包含所有的角色所具有的可以对该目标进行的操作

21第二十一讲凸函数的等价条件,例

数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
例 2 讨论函数 f ( x) = arctan x 的凹凸区间.
解因为
f
′(
x)
=
1
1 + x2
,
x ∈ (−∞, + ∞),
= f ′′( x)
−2 x (1 + x2 )2 ,
x ∈ (−∞, + ∞).
所以当 x ∈ (−∞, 0)时, f ′′( x) > 0 , f ( x) 为凸函数；当 x ∈ (0，+ ∞) 时, f ′′( x) < 0, f ( x) 为凹函数 .
= f ( x2 )
f= +′( x2 )
f ′( x2 ),
所以 f ′( x1 ) ≤ 故 f ′( x) 递增.
f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ x2 − x1
f ′( x2 ),
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
y
O x1 − h x1
x2 x2 + h x
对于 x1 > x2 ,仍可得到相同的结论.
(ii) f ′( x) 为 I 上的增函数 ; (iii) 对于 I 上的任意两点 x1, x2 , 有
f ( x2 ) ≥ f ( x1 ) + f ′( x1 )( x2 − x1 ).
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
将(6)式乘以λ，(7) 式乘以(1 − λ )作和，并注意到
λ x1 + (1 − λ ) x2 − x0 =0, 得 λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x 2 ) ≥ f ( x=0 ) f (λ x1 + (1 − λ ) x2 )

凸(凹)函数的3种定义及其等价关系研究

ＪｕｎｌｆａｇｅＵｉｅｓｙ（ａｃＥｉＪｎ２１．Ｖｏ７Ｎｏ２ｃ＆ＥｇｏｒａｏｎｔｎｖｒｉＮｔｉｄｔＹｚｔＳ）ｕ．００１．：Ｓｉ．ｎ
长江大学学报（然科学版）２１年６第７第２：自００月卷期理工
（（ｘ＋（－，２ ≥ ，ｚ）（－Ａｆｘ）ｆＡｌ１Ｄｘ）ｌ１＋１）（２）ｆ（
则称，ｚ为Ｊ的凸（（）上凹）函数。定义２。设函数厂ｚ在区间Ｊ连续，Ｖｚ，。∈ ，：（）上若ｚ有
１凸（凹）函数的３种定义
凸（凹）函数的曲线具有如下特征（图１：如）
ｒ
１）凸（凹）函数的曲线上任意２点间的弧
度总在２点连线的下（上）方；
．
ｊ（）
２）凸（凹）曲线总位于该曲线上任意点切线的上（）方。下由曲线的特点可以得到如下３种定义。定义１］设，ｚ口（）为定义在区间Ｊ上的函
（）函数ａ凸
／。｝
Ｏ一
（）ｂ凹函数
图１凸（）函数的曲线特征凹
数，Ｙｚ，２∈ ， ∈ （，）有：若１ｚＶＯ１，
厂（＋（－Ａｘ）１）ｚ ≤ （＋（－Ａｆ（ｚｚ）１）ｘ）
— 一一
）ｔ一） ≤
Ｚ１
！．二
Ｚ２一Ｚ１
２
令 ห้องสมุดไป่ตู้

凸性与凹性的定义与判定方法

凸性与凹性的定义与判定方法在数学中，凸性与凹性是重要的概念。

它们被广泛应用于优化理论、凸优化、经济学、工程学等领域。

本文将为读者介绍凸性与凹性的定义以及判定方法。

一、凸性的定义与判定方法凸性是指一个函数、集合或者其他数学对象的性质，它有以下两种等价的定义：1. 凸性的定义：设X是一个实数集，f: X → R是定义在X上的函数。

如果对于任意的x1,x2∈X和0≤λ≤1，有：f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)则f是凸函数。

2. 极端点法判定凸性：对于一个连续的函数f(x)，可以通过以下两步判断它是否是凸函数：(1) 寻找函数的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)；(2) 根据f''(x)的符号判断函数是否为凸函数。

- 当f''(x)≥0时，函数f(x)为凸函数；- 当f''(x)≤0时，函数f(x)为凹函数。

二、凹性的定义与判定方法凹性是凸性的一种特殊情况，定义如下：1. 凹性的定义：设X是一个实数集，f: X → R是定义在X上的函数。

如果对于任意的x1,x2∈X和0≤λ≤1，有：f(λx1+(1−λ)x2)≥λf(x1)+(1−λ)f(x2)则f是凹函数。

2. 极端点法判定凹性：与判定凸函数的方法类似，对于一个连续的函数f(x)，可以通过以下两步判断它是否为凹函数：(1) 寻找函数的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)；(2) 根据f''(x)的符号判断函数是否为凹函数。

- 当f''(x)≤0时，函数f(x)为凹函数；- 当f''(x)≥0时，函数f(x)为凸函数。

三、凸性和凹性的应用1. 优化理论：在优化问题中，凸性和凹性是重要的性质。

对于凸优化问题，其目标函数和约束条件一般是凸函数，这保证了优化问题的全局最优解是唯一的。

凸函数的一个等价性质

凸函数的一个等价性质：
凸函数的一个等价性质是：凸函数的图像永远不会凹下去。

具体来说，如果一个函数是凸的，那么它的图像在任意一段区间内都是一条上凸的曲线，也就是说，在这段区间内，函数的值永远不会下降。

这意味着，如果我们从这段区间的任意一点出发，向左或向右走，函数的值都不会下降。

这个等价性质对于我们分析凸函数具有很大的意义。

因为如果我们知道了凸函数的图像不会凹下去，那么我们就可以很容易地判断出凸函数的单调性。

例如，如果函数的图像在某一段区间内是上凸的，那么在这段区间内函数的值是单调递增的。

反之，如果函数的图像在某一段区间内是下凸的，那么在这段区间内函数的值是单调递减的。

此外，这个等价性质还可以帮助我们求解凸函数的最值问题。

因为凸函数的图像永远不会凹下去，所以如果我们求解的是凸函数的最大值，那么只需要找到函数图像在某一段区间内的最高点就可以了。

如果求解的是凸函数的最小值，那么只需要找到函数图像在某一段区间内的最低点就可以了。

这样，我们就可以很容易地求解凸函数的最值问题。

对数性凸函数的性质及应用解读

对数性凸函数的性质及应用王传坚(楚雄师范学院数学系2003级1班)指导老师郎开禄摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。

关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用.The research and application on some properties oflogarithmatic convex functionWang Chuanjian(Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000)Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function bystudying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic.Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application.导师评语：凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性质的一些应用.受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用.王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.对数性凸函数的性质及其应用前言凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文[1]的启发,在文[1]的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。

关于凸函数性质的总结

在这部分内容中课前我搜集了石家庄有关环境污染的视频和图片资料学生在观看这些视频和图片的时候不断发出感慨甚至还有愤怒的谴责声顿时激起了学生感情上的共鸣认识到环境污染的严重性和环境保护的重要性
科技教育
关于凸函数性质的总结
王
=摘 =关键词 >凸函数连续可导
华
石家庄理工职业技术学院
下凸性质几何意义
河北石家庄
f( x0 ) - f( x2 ) f ( x0 ) - f( x1 ) , 又据其几何意义, 函数 F( x) = 是单调函 x0 - x2 x0 - x1 f( x0 ) - f( x1 ) f ( x0 ) - f ( x2 ) 单调有上界 ; x2 y x0 + 时单调 x0 - x1 x0 - x2 f( x0 ) - f( x2 ) f( x0 ) - f( x1 ) 及 li m 存在 , 而这两 x0 - x2 x0 - x1 x 2y x0 +
f '(
x1 + x2 x2 - x1 x1 + x2 ) ( x2 - x3 ) + f( x3 ) = f '( ) + f 2 2 2
称 f ( x) 在 I上下凸。 1 . 根据文 [ 1 ] 中所得到的定义 , 可知当 f在 I上一阶可导时 , 由 f' 在 I 单增 , 可推出等价不等式 f( x) \ f( ' x0 ) ( x- x0 ) = ( f( 'N ) - f( ' x0 ) ) ( x- x0 ) ( N 介于 x和 x0 之间 ) 由于 f 在 ' I 单增 , 可知上面两个因子同号 , 故有 f( x) \ x0 ) + f ( x0 ). 充分性 : 设 P x , x0 I I有 f( x) \ f( ' x0 ) ( x- x0 ) + f( x0 ), 当 x1, x2 I I 而 x1 < x2 时就有 f( x1 ) \ f( ' x2 ) ( x1 - x2 ) + f( x2 )及 f( x2 ) \ f( ' x1 ) ( x2 x1 ) + f ( x1 ), 两式相加即有 0\ [ f( ' x2 ) - f( ' x1 ) ] ( x1 - x2 ) 。由 x1 < x2 可见 f( ' x1 ) [ f( ' x2 ), 即 f' 在 I上单增。性质 1 设 f在 I 上可导 , f 在 I下凸 Z P x , x0 I I , f( x) \ f( ' x0 ) ( x- x0 ) + f( x0 ) , , , ( 2) 由于 f = f( ' x0 ) ( ( x- x0 ) + f( x0 )是过点 ( x0 , f( x0 ) ) 的曲线的切线 , 由于上面不等式的几何意义是: 下凸曲线总在曲线上任一点的切线之上。 2 . 当 f在 I 上二阶可导时 , 则可得性质 2 f在 I 上二阶可导 , f在 I下凸 Z P xI I , f'( ' x) \ 0, ( 3 ) 证明 : 必要性 : 据文 [ 1] 定义 6 , f在 I 上二阶可导 , 在下凸 ] f( ' x) 在 I单增 ] f '( x) \ 0, P xI I 充分性 : P x1, x2 I I, 有 f( x2 ) f( x1 ) + x1 ) 2 ( N 介于 x1, x2 之间 ) 由 f '( ' x) \ 0 可见有 f( x2 ) \ f( ' x1 ) ( x2 - x1 ) + f ( x1 ) 。据文 [ 1 ] 定义 7 , f 在 I下凸。据性质 2 及性质 1证明中的充分性 , 可知已做了下面证明链的证明: f ( x) 在 I单增 ] f '( x) \ 0, P xI I ] P x1, x2 I I , f( x2 ) \ f( ' x1 ) ( x2 x1 ) + f ( x1 ) ] f' 在 I上单增。 x1 + x2 f( x1 + x1 3 . 文 [ 1 ]第三段中式 ( 3 ) ': P x1, x2 I , I f( [ ), 是由 2 2 式 ( 2 ) f[ fx1 + ( 1 - t) x2 ] [ tf( x1 ) + ( 1- t) x2 中令 t= 本段来证明 1 而得。似乎它 2 f( ' x1 ) f'( 'N ) ( x2 - x1 ) + ( x2 1 ! 2! f( ' x0 ) ( x f( ' x0 ) ( x- x0 ) + f ( x0 ) 。证明 : 必要性 : 计算 f( x) - f( ' x0 ) ( x- x0 ) - f ( x0 ) = f( ' N) ( x- x0 ) -

论文-凸函数的定义和性质

凸函数的定义和性质摘要中文摘要内容：在已有的凸函数研究结果上，讨论了凸函数的8种常见定义和13种常见性质，对各种定义之间的等价关系进行了推导，对性质定理进行了证明和分析，并举例应用了凸函数的定义和性质。

关键词：凸函数凹函数严凸等价性可导增函数目录预备知识.............................................................................................................................. - 3 - 定义1 ............................................................................................................................. - 3 -定义2 ............................................................................................................................. - 3 -1凸函数的等价定义........................................................................................................... - 4 - 1.1凸函数的等价定义 (4)定义3 ............................................................................................................................. - 4 -定义4 ............................................................................................................................. - 5 -定义5 ............................................................................................................................. - 5 -定义6：......................................................................................................................... - 7 -定义7 ............................................................................................................................. - 7 -定义8 ............................................................................................................................. - 7 -1.2利用凸函数的等价定义判断函数的凹凸性 .. (7)例1 ................................................................................................................................. - 8 -例2 ................................................................................................................................. - 8 -2凸函数的性质................................................................................................................... - 9 - 2.1凸函数的性质及其证明 . (9)性质1 ............................................................................................................................. - 9 -性质2 ........................................................................................................................... - 10 -性质3 ........................................................................................................................... - 10 -性质4 ........................................................................................................................... - 10 -性质5 ............................................................................................................................ - 11 -性质6 ........................................................................................................................... - 12 -性质7 ........................................................................................................................... - 12 -性质8 ........................................................................................................................... - 12 -性质9 ........................................................................................................................... - 12 -性质10 ......................................................................................................................... - 13 -性质11 ......................................................................................................................... - 14 -2.2凸函数性质的应用 . (14)例1 ............................................................................................................................... - 14 -例2 ............................................................................................................................... - 15 -3结束语............................................................................................................................. - 15 -预备知识凸函数是用来区分增减函数的增减方式是不同两种类型的函数；即使一个函数是增函数，也有如图1所示的两种方式，于是我们规定)(1x f 的增加方式叫做凹函数，反之把)(2x f 规定为凸函数。

凸函数的三种典型定义及其间的等价关系

Ｖ０１．１５Ｎｏ．３ＪｏｕｍａｌｏｆＨ衄ｄａＪｌＶ确ａｔｉｏｎａｌａＩｌｄＴｅｃｈｎｉｃａｌＣ０１ｌｅｇｅＳｅｐｔ．２００２凸函数的三种典型定义及其问的等价关系花树忠（邯郸市职工大学基础教学部邯郸０５６００１）摘要：凸函数是一类常见的重要函数，有着十分广泛的应用。

但是，不同数学教材中常常会给出不同的定义。

本文给出三种比较多见的凸函数定义并就三者间的等价性进行证明。

关键词：凸函数；等价；定义凸函数是一类重要的函数，笔者在多年的学习及教学过程中发现，不同数学教材中对凸函数的定义有多种形式，典型的有本文给出的三种，但教材中在理论上对它们间的等价关系的证明很少见到，下面笔者就常见的三种凸函数定义及其间的等价关系给予介绍和证明。

一、凸函数的三种典型定义及其几何意义定义ｌ若函数八茹）对于区间（口，６）内的任意ｚｌ，菇２以及Ａ∈（ｏ，１），恒有，［Ａ算ｌ＋（１一Ａ）菇２］≤Ｖ（石１）＋（１一Ａ）八髫２）则称八茹）为区间（口，６）上的凸函数。

其几何意义为：凸函数曲线ｙ＝“菇）上任意两点（ｚ。

，厂（省１））、（菇２，，（菇２））问的割线总在曲线之上。

定义２若函数，（菇）在区间（ｏ，６）内连续，对于区间（ａ，６）内的任意菇ｌ，并２，恒有，（半）≤如，（髫。

）＋以并２）］则称厂（髫）为区间（口，６）上的凸函数。

其几何意义为：凸函数曲线，，＝“石）上任意两点（茗。

，八菇。

））、（戈：，“石２））问割线的中点总在曲线上相应点（具有相同横坐标）之上。

定义３若函数．厂（菇）在区间（口，６）内可微，且对于区间（口，６）内的任意茹及粕，恒有／．（戈）≥，（菇ｏ）＋厂（菇ｏ）（菇一茗ｏ）则称，（茗）为区间（口，６）上的凸函数。

其几何意义为：凸函数曲线，，＝．厂（菇）上任一点处的切线，总在曲线之下。

二、凸函数的两个重要推论推论１设八并）是定义ｌ下的凸函数，则对于区间（口，６）内的任意三点髫ｌ＜戈２＜ｚ３，有—ｉ＝百一≤—ｉ＝百一≤一ｉｉ一／．（菇２）一，（髫１）以菇３）一八茗。

微积分中凸函数概念的等价性

微积分中凸函数概念的等价性［摘要］分析了微积分中各种凸函数概念的差异以及在某些条件下的等价性，并给出了某些等价性结论的新证明。

［关键词］凸函数等价性在微积分中，函数下凸的概念的定义大多不相同，归纳起来有四种。

即“弦在曲线的上方”，“弦的中点在曲线的上方”，“曲线在切线的上方”和“曲线的切线倾角单增”。

本文不仅对凸函数的概念作了些归纳，还对某些结论给出了新的或补充性的证明。

1 弦的定义定义１设函数f(x)在区间Ｄ上有定义，若对Ｄ上任意两点x1、x2，恒有成立，则称f(x)在Ｄ上是下凸的。

若当x1≠x2时，(1)式为严格不等式，则称f(x)严格下凸。

对于函数f(x)，引入弦斜率。

可使有些叙述和证明过程变得较为简便。

显然F(x,y)＝F(y,x)，两者不必加以区别。

引理１设x0 =λx1 +(1-λ)x2 ，λ∈(0，1),若x1<x2 ,则下列关于弦斜率的不等式与（１）式相互等价F(x0,x1)≤F(x0,x2)(2)F(x1,x0)≤F(x1,x2)(3)F(x2,x1)≤F(x2,x0)(4)这里x1<x0<x2 ,等价性可通过变形得到。

定义２设函数f(x)在区间Ｄ上有定义，若对Ｄ上任意两点x1,x2，恒有成立，则称f(x)在Ｄ上是半下凸的，若当x1≠x2时，（５）式为严格不等式，则称f(x)严格半下凸。

２弦定义与切线定义的等价性。

定理1函数f(x)在区间Ｄ上是下凸的充分必要条件是对Ｄ内任意点x0，存在单侧导数，并且对任意x∈Ｄ，以下不等式成立f(x)≥f(x0) + f＋′(x0)(x-x0) (6)f(x)≥f(x0) + f-′(x0)(x-x0) (7)在严格下凸意义下，（6）（7）为严格不等式。

这里给出充分性证明和严格下凸意义下的必要性证明。

充分性对任意x1＜x0＜x2，在（6）式中取x=x1可得F(x0,x1)≤f+(x0)，取x=x2可得F(x0,x2)≥f+(x0)，于是（2）式得证，故f(x)下凸。

凸函数定义的等价性证明_赵丹.caj

n k=1
'
'
∑[f-(xk-1)(xk-xk-1)]≤∑[f(xk)-f(xk-1)]≤∑[f-(xk)(xk-xk-1)]
k=1 k=1
'
n
n
'
图 2.1 凸函数 13 种定义之间的关系由图 2.1 可知，要得到凸函数 13 种定义之间的等价关系，只需对部分关系进行证明。定理 2.1 若 f 在 I 内任意一点单侧可导，则由定义
' ' f+(x1)=lim f(x3)-f(x1) ≤lim f(x2)-f(x3) =f-(x2) x3-x1 x2-x3 x →x x →x
3 1 3 2
'
'
f(x1)+f(x2)+…+f(xn) (n∈N+)，则 f 为 I 内的凸函数。 2 定义 2.10[6] 若 f 在 I 内可导，坌x， y∈I 有 f(x)≥f'(y)(xy)+f(y)，则称 f 为 I 内的凸函数。定义 2.11[6] 设函数 f 在 I 内可导，且 f'(x)单调递增，则称 f 为 I 内的凸函数。定义 2.12 [6] 设函数 f 在 I 内连续，且二次可导， f''(x) ≥0，则称 f 为 I 内的凸函数。定义 2.13 [7] 坌x1， x2 ∈I，准 (λ)=f[λx1 +(1-λ)x2] 为 [0， 1] 上的凸函数，则称 f 为 I 内的凸函数。
[4]
0 引言
凸性是一个十分重要的概念，在数学规划，最优化理经济管理等领域中有十分重要作用。 20 世论，变分不等式、纪 60 年代以来，凸函数的概念通过不同的途径被推广，提出了伪凸函数，严格伪凸函数，强伪凸函数，拟凸函数，半严格拟凸函数，严格拟凸函数，强拟凸函数等概念。 80 年代提出的预不变凸函数，预不变拟凸函数等概念是对凸性概念的重要推广，但却保留了凸函数的很多优秀的性质特征。在文献 [1]、 [2]、 [4]、 [7] 中，作者给出了凸函数的 9 种定义，讨论了它们之间的关系。文献中，作者在可导条件给出并给出了其定义之间的强弱关系以了凸函数的 3 种定义，及凸函数的连续性等。文献[6]、 [7]、 [8]、 [15]、 [20]中，作者给出了其中 3 种定义之间的等价性证明。文献[5]、 [14]、 [16]、 [18]、 [19] 中，作者讨论了凸函数在不等式证明及求解等方面的应用。本文在已有文献的基础上，总结了凸函数的 13 种不从定义 13 出发，采用循环同形式的定义。在一定条件下，的方式导出它们之间的完整的等价性关系。

凸函数几个等价定义