6-2交互作用双因子方差分析ppt课件

i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
j 1
j 1
j 1
所以，如果
H
成立，那么因素
02
B
各效应的水平皆为零；
如果 H 03成立，那么 ij 0 i 1,2, , r; j 1,2, , s .
12
以上 3 个假设H01 、H02 、H03 中的三组参数i 、 j 、 ij 都是未知的，为了对三个假设成立与否进行检验， 仍只能依据试验观测值
例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想 了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区， 销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不 同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地 区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低 的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、 接受该生产线。
2
双因 素方 差分 析的 类型
因素均没有发生变化，试验结果 xij1 , xij 2 , , xijt 的差异
纯粹是由随机因素引起的，故可将数据 xij1 , xij 2 , , xijt
看成是来自正态总体
X ij ~ N uij , 2
（6.19）
的t 个样本观测值.
对不同的水平组合 Ai , B j ，假定各总体的方差相
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于是 X ij ~ N uij , 2 可以等价的表示为：
X ij uij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
， i 1,2, , r; j 1,2, , s
这表明，在因素 A, B 的不同水平组合下，试验结果的相对差异
uij u （视为总效应）是由如下四部分组成：
x221, x222 , , x22t
……
……
Ar
xr11 , xr12 , , xr1t
xr21, xr22 , , xr2t
…… …… …… …… ……
Bs
x1s1 , x1s2 , , x1st x2s1 , x2s2 , , x2st
……
xrs1 , xrs2 , , xrst
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在水平组合Ai , B j 下的t 次试验，由于所有可控制
检验假设
H01 : 1 2 r 是否成立。
（6.28）
10
类似地，要鉴别因素B 是否对结果有显著影响，
等价于检验假设
H 02 : 1 2 s 是否成立。
（6.29）
要鉴别因素 A 与因素B 是否存在交互效应，等价于
检验假设 H 03 : ij i 1,2, , r; j 1,2, , s 全相等
等，但均值uij 可能存在差异。
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2.双因素试验的方差分析的数学模型
Xij uij ij , i 1, 2L r(因素A的水平），j 1, 2L s因素B的水平，
ij相互独立同分布N(0, 2)
记：u
1 rs
r i1
s
uij ——理论总均值
j 1
记：ui•
1 s
s
uij —因素A在i水平下的理论平均
su
0
r
r
ij uij ui• u• j u =0
i1
i1
s
s
Leabharlann Baidu
ij uij uio u• j u =0 9
j 1
j 1
因此，要鉴别因素 A 是否对结果有显著影响，只
需鉴别因素 A 水平的改变是否导致试验结果的明显变
化，这等价于检验因素A 各水平的效应是否相等，即
是否成立。
（6.30）
11
r
r
由于 i
i 1
i 1
ui• u
1 s
r i 1
s
uij
j 1
ru
0，
因此，如果
H
成立，那么因素
01
A各水平的效应必皆为
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
它是水平 B j 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平 B j 下的效应；
记：rij uij ui• u• j u uij u i j
所以 rij 是总效应 uij u 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j
后的剩余部分，称为水平组合 Ai , B j 的交互效应。
第二节 双因素方差分析
➢ 双因素方差分析的类型 ➢ 数据结构 ➢ 离差平方和的分解 ➢ 应用实例
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一、 双因素方差分析的类型
如果在试验中有两个可控制因素 A, B ，同时发生变 化，而其它可控制因素均保持不变，这样的试验称为
双因素试验。
双因素试验方差分析的作用是同时鉴别两个因素
对结果可能产生的影响。
Ai , B j i 1,2, , r; j 1,2, , s
都安排tt 2次试验（称为等重复试验），假
定各次试验是相互独立的，得到如下试验结 果：
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1.双因素方差分析的数据结构如表所示：
B1
B2
A1
x111 , x112 , , x11t
x121, x122 , , x12t
A2
x211 , x212 , , x21t
xijk （i 1,2, , r; j 1,2, , s; k 1, , t ） 并且仍是从分析这组数据的离散性着手。
（1）水平Ai 下的效应i ；
（2）水平Bj 下的效应 j ；
（3）水平组合 Ai , B j 的交互效应ij ；
（4）随机因素引起的随机波动ij .
r
r
1r s
i
i 1
i 1
ui• u
s
i 1
uij
j 1
ru
0
s
j
j 1
s
u• j u
j 1
1 r
s j 1
r
uij
i 1
j 1
记：u• j
1 r
r i 1
uij —因素B在j水平下的理论平均
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显然
uij u ui• u u• j u uij ui• u• j u
记：i =ui• u
它是水平 Ai 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平Ai 下的效应；
记： j = u• j u
无交互作用的 双因素方差分析
有交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素 B的效应之间是相 互独立的，不存在 相互关系
假定因素A和因素B 的结合会产生出一 种新的效应
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二、数据结构
设因素 A 有r 个不同的水平A1, , Ar ， 因素B 有s 个不同的水平B1, , Bs ，
现对因素 A 、B 的每一种不同的水平组合: