高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)
高中数学 专题1.3.1 函数的单调性与导数测试(含解析)新人教A版选修2-2(2021年整理)
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函数的单调性与导数（时间：25分,满分50分）班级姓名得分1．(5分）函数f(x）＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数,当a2－3b<0时,f（x）是( ）A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数【答案】A2．（5分）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是（）A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x【答案】B【解析】显然y＝sin x在（0，＋∞）上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝x e2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝x e2在（0，＋∞）内为单调增函数；对于C，y′＝3x2－1＝3（x＋错误!)（x－错误!），故函数在（－∞，－错误!)，（错误!，＋∞)上为单调增函数，在（－错误!，错误!）上为单调减函数；对于D，y′＝错误!－1 (x〉0)．故函数在（1,＋∞)上为单调减函数，在(0,1)上为单调增函数．故选B.3．(5分）如果函数f(x）的图象如图，那么导函数y＝f′(x）的图象可能是（）【答案】A【解析】由f(x）与f′（x)关系可选A。
4．（5分）设f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是（) A．b2－4ac〉0 B．b>0,c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac〈0【答案】D5。
高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵f（x）=x3+ax-2，∴f′（x）=3x2+a，∵函数f（x）=x3+ax-2在区间[1，+∞）内是增函数，∴f′（1）=3+a≥0，∴a≥-3．故选B．.【考点】利用导数研究函数的单调性．.2.已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；【答案】(1)详见解析（2）.【解析】（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；（2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．试题解析：解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是． 4（2）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究函数的单调性．.3.已知函数f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R．（1）若a＝－4，求函数f(x)的单调区间；（2）求y＝f(x)的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）．【答案】（1）f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。
（2）ⅰ. 7分ⅱ.当时，若,由函数的单调性可知f(x)有极小值点；有极大值点。
若时， f(x)有极大值点,无极小值点。
【解析】（1）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。
所以，，故，f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。
（2）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。
完整版)函数的单调性练习题及答案
完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。
[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。
[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。
4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。
b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。
y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。
1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。
0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。
3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。
证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。
11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。
《函数的单调性与导数》专题训练及答案解析
《函数的单调性与导数》专题训练1.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是下列选项中的( )2．如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．在区间(3,5)上f (x )是增函数 3．函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( )A ．(－∞，e －2) B ．(0，e －2) C ．(e －2，＋∞)D ．(e 2，＋∞)4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3， 3) 5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 7．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．9．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R. (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(1，m＋12)上是单调函数，求实数m的取值范围．《函数的单调性与导数》专题训练答案解析1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的()【答案】C【解析】题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．故选C.2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数【答案】C【解析】由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C. 3．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是()A．(－∞，e－2)B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)【答案】B【解析】因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3)∪[3，＋∞) B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，3)【答案】B【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.] 5．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)【答案】D【解析】f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝e x (x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 【答案】－32－6【解析】f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.7．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________． 【答案】(1,2)【解析】[f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解析】f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 9．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R. (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)若a ＝－1，求f (x )的单调区间． 【解析】f ′(x )＝(ax ＋2a ＋1)x e x .(1)若a ＝1，则f ′(x )＝(x ＋3)x e x ，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(1)＝4e ，f (1)＝e. 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0. (2)若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)x e x .令f ′(x )＝0解x 1＝－1，x 2＝0. 当∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0；所以f (x )的增区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8，∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)∵f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(1)(3)(0)x x x x--> ∴当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗↘↗∴f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)， f (x )的单调递减区间为(1,3)．要使函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数， 则⎩⎨⎧1＜m ＋12，m ＋12≤3，解得12＜m ≤52，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，52.。
高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)
高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac0 B．b0，c0C．b＝0，c D．b2－3ac0[答案] D[解析]∵a0，f(x)为增函数，f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0.2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋)[答案] D[解析]考查导数的简单应用．f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋) B．(－，2]C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋)[答案] B[解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]．4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案] C[解析]当01时xf(x)0f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是()A.－，－2和0，2B.－2，0和0，2C.－，－2，D.－2，0和[答案] A[解析]y＝xcosx，当－x2时，cosx0，y＝xcosx0，当02时，cosx0，y＝xcosx0.6．下列命题成立的是()A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0B．若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在D．若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数[答案] B[解析]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．7．(2019福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()A．f(x)0，g(x) B．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x) D．f(x)0，g(x)0[答案] B[解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0时，f(x)0，g(x)0. 8．f(x)是定义在(0，＋)上的非负可导函数，且满足xf(x)＋f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有()A．af(a)f(b) B．bf(b)f(a)C．af(b)bf(a) D．bf(a)af(b)[答案] C[解析]∵xf(x)＋f(x)0，且x0，f(x)0，f(x)－f(x)x，即f(x)在(0，＋)上是减函数，又0＜a＜b，af(b)bf(a)．9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1) B．f(0)＋f(2)2f(1)C．f(0)＋f(2)2f(1) D．f(0)＋f(2)2f(1)[答案] C[解析]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单调递增，在(－，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)2f(1)．故应选C.10．(2019江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S(t)的图像大致为[答案] A[解析]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案]b－1或b2[解析]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒成立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，由题意b＜－1或b＞2.12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案]a1[解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒成立．设g(x)＝1＋lnxx，则g(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)，g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋)内单调递减，g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，1＋lnxx＜1在区间(1，＋)内恒成立，a1.13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案](－，－1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f(x)＝2x－10，得x12，函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－，－1)．14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案][3，＋)[解析]y＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，即a32x在区间(0,2)上恒成立，a3.三、解答题15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)求导得f(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f(x)0，解得x－1或x3；又令f(x)0，解得－13.所以当x(－，－1)时，f(x)是增函数；当x(3，＋)时，f(x)也是增函数；当x(－1,3)时，f(x)是减函数．16．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.[证明]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，则f(x)＝1－12cosx＞0，f(x)在(－，＋)上是单调递增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.17．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[分析]可先由函数y＝ax与y＝－bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[解析]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a ＜0，b＜0.由y＝ax3＋bx2＋5得y＝3ax2＋2bx.令y＞0，得3ax2＋2bx＞0，－2b3a＜x＜0.当x－2b3a，0时，函数为增函数．令y＜0，即3ax2＋2bx＜0，x＜－2b3a，或x＞0.在－，－2b3a，(0，＋)上时，函数为减函数．18．(2019新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围．[解析](1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x(－，－1)时，f(x)0；当x(－1,0)时，f(x)0；当x(0，＋)时，f(x)0.故f(x)在(－，－1]，[0，＋)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g(x)＝ex－a.“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e)【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·)＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0，令y′>0，则1－ln x>0，所以0<x<e.2.已知函数f(x)＝(ax＋1)e x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值．【答案】（1）见解析（2）当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.【解析】解：依题意，函数的定义域为R，f′(x)＝(ax＋1)′e x＋(ax＋1)(e x)′＝e x(ax＋a＋1)．(1)①当a＝0时，f′(x)＝e x>0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>－，由f′(x)<0，解得x<－，则f(x)的单调递增区间为(－，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－∞，－)；③当a<0时，由f′(x)>0，解得x<－，由f′(x)<0解得，x>－，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)．(2)①当时，)上是减函数，在(－，0)上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－)＝－a·；②当时，即当0<a≤1时，f(x)在[－2,0]上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－2)＝.综上，当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.3.函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.【答案】1【解析】f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，1<x<3，f′(x)<0；x<1或x>3，f′(x)>0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.4.设，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若对于任意的，恒成立，求的范围；(3)求证：【解析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−)，设g(x)＝lnx−m(x−)，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时，m＝时，lnx＜(x−)成立．不妨令x＝，k∈N*，得出[ln(2k+1)−ln(2k−1)]＜，k∈N*，再分别令k=1，2，，n．得到n个不等式，最后累加可得．(1) 2分由题设，∴，. 4分(2),，，即设，即.6分①若，，这与题设矛盾. 7分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立. 8分当时，方程，设两根为，当,单调递增，，与题设矛盾.综上所述， . 10分(3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以，11分12分累加可得∴∴ ---------------14分【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数在最大值、最小值问题中的应用．5.已知函数.（1）当时，证明：当时，；（2）当时，证明：.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当时，转化为，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将转化为且，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.(1)时，，令，，∴在上为增函数 3分，∴当时，，得证． 6分(2)令，，时，，时，即在上为减函数，在上为增函数 9分∴①令，，∴时，，时，即在上为减函数，在上为增函数∴②∴由①②得． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.6.已知函数.（1）当a=l时，求的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；（3）令，是否存在实数a，当(e是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；（3）存在实数.【解析】（1）把代入函数解析式得，且定义域为，利用导数法可求出函数的单调区间，由，分别解不等式，，注意函数定义域，从而可求出函数的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数在上是减函数，则其导函数在上恒成立，又因为，所以函数，必有，从而解得实数的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得，则，令，解得，通过对是否在区间上进行分类讨论，可求得当时，有，满足条件，从而可求出实数的值.（1）当时，. 2分因为函数的定义域为，所以当时，，当时，.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分（2）在上恒成立.令，有， 6分得，. 8分（3）假设存在实数，使有最小值3，. 9分当时，在上单调递减，，（舍去）； 10分②当时，在上单调递减，在上单调递增.，解得，满足条件； 12分③当时，在上单调递减，，（舍去）. 13分综上，存在实数，使得当时，有最小值3. 14分【考点】1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.7.设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，则m的取值范围为()A．[0，]B．(0，)C．(0，]D．[0，)【答案】A【解析】∵f(x)在区间(0，π)上是增函数，∴f′(x)＝1－2mcos x＋2(m－)cos 2x＝2[(2m－1)cos2x－mcos x＋1－m]＝2(cos x－1)[(2m－1)cos x＋(m－1)]＞0在(0，π)上恒成立，令cos x＝t，则－1＜t＜1，即不等式(t－1)[(2m－1)t＋(m－1)]＞0在(－1,1)上恒成立，①若m＞，则t＜在(－1,1)上恒成立，则只需≥1，即＜m≤，②当m＝时，则0·t＋－1＜0，在(－1,1)上显然成立；③若m＜，则t＞在(－1,1)上恒成立，则只需≤－1，即0≤m＜．综上所述，所求实数m的取值范围是[0，]．8.已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xe x，则（）A．1是f（x）的极小值点B．﹣1是f（x）的极小值点C．1是f（x）的极大值点D．﹣1是f（x）的极大值点【答案】B【解析】f（x）=xe x⇒f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0⇒x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞）；令f′（x）＜0⇒x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），故﹣1是f（x）的极小值点．故选：B．9.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.10.已知函数f(x)＝x2－mlnx＋(m－1)x，当m≤0时，试讨论函数f(x)的单调性；【答案】当－1<m≤0时单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；当m≤－1时，单调递增区间是和，单调递减区间是【解析】函数的定义域为，f′(x)＝x－＋(m－1)＝.①当－1<m≤0时，令f′(x)>0，得0<x<－m或x>1，令f′(x)<0，得－m<x<1，∴函数f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；②当m≤－1时，同理可得，函数f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是.11.若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是________．【答案】a≥3【解析】f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令g(x)＝－2x，求导可得g(x)在上的最大值为3，所以a≥3.12.函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是()A．(-∞,0)B．(0,+∞)C．(-∞,-3)和(1,+∞)D．(-3,1)【答案】D【解析】y'=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)>0x2+2x-3<0-3<x<1,∴函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是(-3,1).13.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．【答案】-4【解析】∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4.14.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为 ()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．15.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有一个解，求实数m的取值范围；（3）当且，时，若有，求证：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为和；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；（2）若方程有解有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域内即可，由（1）知，，方程有且只有一个根，又的值域为，;（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即，同理，又，，且在上单调递减，，即.试题解析：（1），令，即，解得，令，即，解得，或，的递增区间为，递减区间为和. 4分（2）由（1）知，， 6分方程有且只有一个根，又的值域为，由图象知8分（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即， 11分，又，，且在上单调递减，，即. 13分【考点】1.导数在函数单调性上的应用；2. 导数与函数最值.16.某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。
导数与函数的单调性练习含答案
第2讲导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性一、选择题1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为() A．(0,1) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以单调递减区间是(0,1)．答案 A2．(2015·陕西卷)设f(x)＝x－sin x，则f(x)() A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数解析因为f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.答案 B3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是()A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，由a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )． 答案 C4．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立． 令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52. 答案 D5．(2017·上饶模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 解析 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增．又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.答案 B二、填空题6．已知函数f(x)＝(－x2＋2x)e x(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________．解析因为f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．答案(－2，2)7．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－(x－1)(x－3)x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.答案(0,1)∪(2,3)8．(2017·武汉模拟)已知f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，则m的取值范围为________．解析 由f (x )＝2ln x ＋x 2－5x ＋c ，得f ′(x )＝2x ＋2x －5，又函数f (x )在区间(m ，m ＋1)上为递减函数， ∴f ′(x )≤0在(m ，m ＋1)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2m －5≤0，2m ＋1＋2(m ＋1)－5≤0，解得12≤m ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1三、解答题 9．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －ke x ，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0， 即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立，只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0， 则f (x )在(－∞，1)上为增函数； 又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1， 因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b .答案 C12．(2016·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立． 令t ＝cos x ，t ∈[－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0.在t ∈[－1,1]上恒成立．∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立．令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝－3a －1≤0，g (－1)＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13. 答案 C13．(2017·合肥质检)设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________． 解析 令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2>0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又g (－x )＝f (－x )－x＝－f (x )－x＝f (x )x ＝g (x )， 则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)． 则f (x )＝xg (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，g (x )<0，解得x >2或－2<x <0，故不等式f (x )>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)． 答案 (－2,0)∪(2，＋∞)14．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2. 又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1. (2)∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，∴x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)， ∵x ＋1x ∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2. 故实数m 的取值范围是(－∞，2].。
高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数在上单调递增即在恒成立,则有在恒成立即,构造函数,,当时, ,当时, ,所以当时,因此,答案为.【考点】1.导数与函数的单调性;2.不等式的恒成立问题;3.函数的最值问题2. .定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，由于，所用在上是增函数，【考点】函数的单调性与导数的关系.3.已知函数f(x)= -ax(a∈R,e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在区间（0，+）上为增函数，求整数m 的最大值.【答案】(1)所以在为减函数，在为增函数;(2)最大值为1【解析】(1)利用函数的单调性与导数的关系；(2)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题.(4)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（Ⅰ）定义域为，，当时，，所以在上为增函数； 2分当时，由得，且当时，，当时，所以在为减函数，在为增函数． 6分（Ⅱ）当时，，若在区间上为增函数，则在恒成立，即在恒成立 8分令，；，；令，可知，，又当时，所以函数在只有一个零点，设为，即，且； 9分由上可知当时，即；当时，即，所以，，有最小值， 10分把代入上式可得，又因为，所以，又恒成立，所以，又因为为整数，所以，所以整数的最大值为1． 12分【考点】（1）利用导数求函数的单调性；（2）利用导数求函数的最值问题.4.设函数(其中).（1）当时,求函数的单调区间;（2）当时,求函数在上的最大值.【答案】（1）函数的递减区间为,递增区间为,；（2）【解析】（1）由，利用导数的符号判断函数的单调性和求单调区间；（2）试题解析：解：（1）当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:单调递增极大值单调递减极小值单调递增右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.（2）,令,得,, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以所以当时,;当时,；所以令，则，令，则在上递减，而所以存在使得，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，所以在上恒成立，当且仅当时取得“=”.综上，函数在上的最大值.【考点】1、导数在研究函数性质中的综合应用；2、等价转化的思想.5.直线与函数的图像有三个相异的交点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】得列表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )++y画出大到图象可得：-2<a<2,故选A.【考点】函数的极值.6.函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a＜1C．a＜0D．a≤1【答案】【解析】当时,在上为减函数,成立;当时, 的导函数为,根据题意可知, 在上恒成立,所以且,可得.综上可知.【考点】导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.7.已知f(x)=e x-ax-1．（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围.【答案】（1）若，的单调增区间为 , ,的单调增区间为；（2）.【解析】（1）对f(x)求导得，解可得单调增区间，解不等式过程中要对进行讨论；(2) 在R上单调递增，则在R上恒成立 ,即恒成立,即,求出的最小值即可.试题解析：解：（1） 1分若，则，此时的单调增区间为 2分若，令，得此时的单调增区间为 -6分（2）在R上单调递增，则在R上恒成立 -8分即恒成立即，因为当时，所以 -12分-0 +【考点】求导，函数的单调性与导数的关系.8.在区间内不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项中，时都有，所以在上为单调递增函数，所以在是增函数；选项在，而在上为增函数，所以在是增函数；选项，令得或，所以在为增函数，而，所以在上增函数；选项，令，得。
高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.设函数、，且f（x）存在两个极值点、，其中.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的最小值；（Ⅲ）证明不等式：.【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】（1）f（x）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点；（2）先找出（x1－x2）的取值范围，再利用g（x）的导函数可找出最小值；（3）适当构造函数，并注意x1与x2的关系，转化为函数求最大值问题，证明相关不等式.试题解析：（Ⅰ）由题：∵函数存在两个极值点、，且∴关于的方程即在内有不等二实根令、，则由图像可得即∴实数的取值范围是（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∴∴由得∴当时，，即在单调递减；当时，，即在单调递增∴（Ⅲ）由（Ⅰ）知∴令，则且令，则∴∵∴即在上是减函数∴∴在上是增函数∴即【考点】导函数，函数的单调性，最值，不等式证明2.已知为定义在(0，+∞)上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为______ _____．【答案】【解析】由可得.即函数在(0，+∞)上递减.由可得.所以.又因为.所以即.【考点】1.函数导数.2.构建新函数的思维.3.函数的单调性.3.设．（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）当时，求的单调区间与极值．【答案】（1），（2）单调增区间是，减区间是，极小值求导可得．【解析】（1）由，，解得，．（2）函数的定义域是．当时，，．令，求导可得．当时，，则，是减函数；当时，，则，是增函数．故的单调增区间是，减区间是，当时，有极小值．4.若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．【答案】（1）a＝0，b＝－3.（2）－2.【解析】(1)由题设得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以，解之得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.5.已知函数．若存在实数，，使得的解集恰为，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意得方程有两个不等的非零根，方程变形得，则由得，因此当时，当时，因此的取值范围为【考点】利用导数求参数取值范围6.已知函数的单调递减区间是，则实数.【答案】【解析】∵=，由题知不等式=≤0的解集{x|2≤≤3},即方程=0两根为2,3，根据根与系数关系得2+3=，∴.【考点】函数单调性与导数关系.7.已知函数f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝a ln x，a∈R.(1)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范围；(2)设F(x)＝若P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y＝F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．【答案】（1）(－∞，－1]（2）(－∞，0]【解析】(1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x..由于x∈[1，e]，ln x≤1≤x，且等号不能同时取得，所以ln x＜x，x－ln x＞0..(4分)从而a≤恒成立，a≤min设t(x)＝，x∈[1，e]．求导，得t′(x)＝.(6分)x∈[1，e]，x－1≥0，ln x≤1，x＋2－2ln x＞0，从而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数．所以t(x)＝t(1)＝－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]．(8分)min(2)F(x)＝设P(t，F(t))为曲线y＝F(x)上的任意一点．假设曲线y＝F(x)上存在一点Q(－t，F(－t))，使∠POQ为钝角，则＜0.(10分)①若t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，a ln(－t))，＝－t2＋a ln(－t)·(－t3＋t2)．由于＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1.当t＝－1时，a(1－t)ln(－t)＜1恒成立．当t＜－1时，a＜恒成立．由于＞0，所以a≤0.(12分)②若－1＜t＜1，且t≠0，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，t3＋t2)，则＝－t2＋(－t3＋t2)·(t3＋t2)＜0，即t4－t2＋1＞0对－1＜t＜1，且t≠0恒成立．(14分)③当t≥1时，同①可得a≤0.综上所述，a的取值范围是(－∞，0]．(16分)8.设函数f(x)＝ax n(1－x)＋b(x＞0)，n为正整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的最大值．【答案】(1) a＝1，b＝0. (2)【解析】(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.因为f′(x)＝anx n－1－a(n＋1)x n，所以f′(1)＝－a.又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.(2)由(1)知，f(x)＝x n(1－x)＝x n－x n＋1，f′(x)＝(n＋1)x n－1.令f′(x)＝0，解得x＝，在上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增；而在上，f′(x)＜0，故f(x)单调递减．故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f＝n·＝.9.已知实数满足，，设函数（1）当时，求的极小值；（2）若函数（）的极小值点与的极小值点相同，求证：的极大值小于等于【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）把代入原函数先得解析式，再求导数，列表判断单调性求函数的极小值；（2）先分别求函数的导函数，再分两种情况讨论，根据条件函数的极小值点相同分别求的极大值，从而进行判断得结论试题解析：（Ⅰ）解: 当a＝2时，f ′（x）＝x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）列表如下：（－，1）（2，＋）＋＋所以，f （x）极小值为f （2）＝ 5分（Ⅱ）解：f ′（x）＝x2－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）g ′（x）＝3x2＋2bx－（2b＋4）＋＝令p（x）＝3x2＋（2b＋3）x－1，（1）当 1＜a≤2时，f（x）的极小值点x＝a，则g（x）的极小值点也为x＝a，所以pA＝0，即3a2＋（2b＋3）a－1＝0，即b＝，此时g（x）极大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b＝－3＋＝由于1＜a≤2，故≤2－－＝ 10分（2）当0＜a＜1时，f（x）的极小值点x＝1，则g（x）的极小值点为x＝1，由于p（x）＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，所以0＜x1＜1，即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－此时g（x）的极大值点x＝x1，有 g（x1）＝x13＋bx12－（2b＋4）x1＋lnx1＜1＋bx12－（2b＋4）x1＝（x12－2x1）b－4x1＋1（x12－2x1＜0）＜－（x12－2x1）－4x1＋1＝－x12＋x1＋1＝－（x1－）2＋1＋（0＜x1＜1）≤＜综上所述，g（x）的极大值小于等于 14分【考点】利用导数求函数的单调性及极值10.已知函数上为增函数，且，，．（1）求的值；（2）当时，求函数的单调区间和极值；（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）函数的单调递增区间是，递减区间为，极大值；（3）的取值范围为．【解析】（1）利用在上恒成立，转化成在上恒成立，从而只需，即，结合正弦函数的有界性，得到，求得；（2）研究函数的单调性、极值，一般遵循“求导数，求驻点，讨论区间导数值的正负，确定单调性及极值”，利用“表解法”，往往形象直观，易于理解.（3）构造函数，讨论，时，的取值情况，根据在上恒成立，得到在上单调递增，利用大于0，求得.试题解析：（1）由已知在上恒成立，即，∵，∴，故在上恒成立，只需，即，∴只有，由知； 4分（2）∵，∴，，∴，令，则，∴，和的变化情况如下表：+0极大值即函数的单调递增区间是，递减区间为，有极大值；7分（3）令，当时，由有，且，∴此时不存在使得成立；当时，，∵，∴，又，∴在上恒成立，故在上单调递增，∴，令，则，故所求的取值范围为． 12分【考点】应用导数研究函数单调性、极值11.已知函数．（I）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，试解答下列两小题．（i）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；（ii）若是两个不相等的正数，且以，求证：．【答案】（I）①当时，递增区间是；②当时，递增区间是，递减区间为；（Ⅱ）（i）实数的取值范围为；（ii）详见试题解析．【解析】（I）首先求函数的定义域，再求的导数，令下面分和讨论求函数的单调区间；（Ⅱ）（i）先由已知条件，将问题转化为设求函数的导数：，由此讨论可得在上为减函数，从而求得实数的取值范围；（ii）先根据已知条件把化简为，只要证设，构造函数利用导数可得在上单调递减，在上单调递增，最终证得．试题解析：（I）解：函数的定义域为令①当时，在上恒成立，∴递增区间是；②当时，由可得，∴递增区间是，递减区间为．（6分）（Ⅱ）（i）解：设则．∵在上恒成立，∴在上为减函数，∴实数的取值范围为．（10分）（ii）证明：．设，则．令，得，在上单调递减，在上单调递增．（15分）【考点】1．导数与函数的单调性；2．利用导数求恒成立问题中的参数取值范围问题参数；3．利用导数证明不等式．12.已知函数f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．（I）求实数a的取值范围；（II）若x1∈（0，），x2∈（2，+∞）且a∈[，2]时，求证：f（x1）﹣f（x2）≥ln2+．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性及最值、不等式等基础知识，考查函数思想，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，先对求导，由函数定义域可知，的分母为正数，设的分子为新函数，判断，所以或，解得的取值范围；第二问，对求导，令，设出方程的两根，利用韦达定理得到两根之和、两根之积，判断导函数的正负，决定函数的单调性，求出最大值和最小值，代入求证的式子的左边，化简，得到，再求函数的最小值，通过不等式的传递性得到求证的表达式.试题解析：（I）由（），得：，∵a≠0，令，∴．令或，则．(II）由（I）得：，设（）的两根为，则，得．当和时，，函数f（x）单调递增；当和时，，函数f（x）单调递减，则，，则==（利用）令，则，则函数单调递增，，∴，∵，则，∴．【考点】1.二次函数的性质；2.零点问题；3.利用导数判断函数的单调区间；4. 利用导数判断函数的最值；5.不等式的性质.13.设函数.(I)求函数的单调递增区间;(II) 若关于的方程在区间内恰有两个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围是【解析】（Ⅰ）求出导数，根据导数大于0求得的单调递增区间.（Ⅱ）令.利用导数求出的单调区间和极值点，画出其简图，结合函数零点的判定定理找出所满足的条件，由此便可求出的取值范围.试题解析：(Ⅰ)函数的定义域为,∵,∵,则使的的取值范围为,故函数的单调递增区间为(Ⅱ)∵,∴令,∵,且,由得，由得.∴在区间内单调递减,在区间内单调递增,故在区间内恰有两个相异实根即解得:.综上所述,的取值范围是【考点】1、导数及其应用；2、函数的零点.14.已知函数f（x）的定义域为R，对任意，有，且，则f（x）＜3x＋6的解集为( )A．（－1, 1）B．（－1，+）C．（－，－1）D．（－，＋）【答案】C【解析】构造函数，则，所以函数是增函数，又，所以的解集是，即的解集是.【考点】利用导函数判断函数的单调性.15.已知函数（Ⅰ）若试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数求证：.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是,单调递减区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于零解得单调增区间，令导数小于零得单调减区间；（Ⅱ）先可得知是偶函数，于是对任意成立等价于对任意成立，令导数等于零得，然后对在处断开进行讨论；（Ⅲ）先求得，并证明，然后列举累乘即可证明.试题解析：（Ⅰ）由得，所以．由得，故的单调递增区间是， 3分由得，故的单调递减区间是． 4分（Ⅱ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立． 5分由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意． 6分②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在依题意，，又，所以．综合①，②得，实数的取值范围是． 9分(Ⅲ)， 10分，12分得，故． 14分【考点】利用导数求函数的单调区间、利用导数求函数的极值、不等式证明.16.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在单调递减，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递增.（2）.【解析】(1)通过“求导数，求驻点，分区间讨论”，可得函数的单调区间.也可利用导数大于0或小于0 ，解不等式，得到单调区间.（2）问题转化成在上恒成立，由，对进行分类讨论，求得其范围.试题解析：(1) 1分,,,,, 4分在上单调递增 5 分（2）在上恒成立，①时，在是增函数，其最小值为0，不合题意； 7分②时，，函数有最大值，不合题意； 9分③时，，函数在单调递增，在处取到最小值0； 11分综上： 12分【考点】应用导数研究函数的单调性、最值.17.已知函数（1）当时，试讨论函数的单调性；（2）证明：对任意的，有.【答案】（1）①时，在（0,1）是增函数，在是减函数；②时，在（0,1），是增函数，在是减函数；③时，在是增函数.（2）见解析.【解析】（1）求导数得到，而后根据两个驻点的大小比较，分以下三种情况讨论.①时，在（0,1）是增函数，在是减函数；②时，在（0,1），是增函数，在是减函数；③时，在是增函数.（2）注意到时，在是增函数当时，有.从而得到：对任意的，有通过构造，并放缩得到利用裂项相消法求和，证得不等式。
高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析
高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析1.奇函数的定义域为，且满足，已知，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为根据已知可知f(x)在(-1,1)上递减，那么则满足a-2>3-2a,同时a-2,和2a-3都要满足在区间(-1,1)内，那么可以解得为选项D.2.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为由图可知，函数单调递减，并且导数值都为读书，变量越大利用导数的几何意义可知，那么成立的为f’(-2)<f(-2)<f(-3)<f’(-3)<03.已知函数满足，且在区间和区间上分别单调。
（Ⅰ）求解析式；（Ⅱ）若函数求的值。
【答案】解：（Ⅰ）∵，∴。
① 1分又∵在区间和区间上分别单调，∴的对称轴为，即。
②由②得，。
2分把代入①得，。
3分（Ⅱ）∵∴4分，5分∴。
6分【解析】本试题主要是考查了函数的单调性质和函数的求值的运用。
（1）根据已知f(-1)=-5,那么得到a.b的关系式，并结合对称性可知参数啊，b的值。
（2）由函数为分段函数可知函数的对应的自变量的值。
4.设函数，，则的最大值为____________，最小值为_________。
【答案】【解析】解：因为，利用导数符号与函数单调性关系可知道f(x)的最大值，最小值分别为5.已知函数，其中.（Ⅰ）若函数为奇函数，求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）解：因为是奇函数．所以，其中且. ………… 2分即, 其中且.所以. ………………………… 6分（Ⅱ）解：. ………………………… 8分因为在区间上单调递增,所以在上恒成立，……… 9分即在上恒成立，因为在上的最小值，所以．验证知当时，在区间上单调递增. … 13分【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数的性质中的运用，奇偶性和单调新的综合运用。
（1）根据奇偶性的定义先判定的定义域再看f(x)和f(-x)的关系得到结论。
导数运算及函数单调性（有答案）
导数及函数单调性班级班级 姓名姓名1．下列求导运算正确的是（．下列求导运算正确的是（ ）''22'2'3111.()1 B.(log )ln 2.(3)3log .(cos )2sin x x A x x x x x C e D x x x x+=+===-2．已知32'()32,(1)4, f x ax x f a =++-=若则的值等于（）19101613. B. C. D.3333A3．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则（，则（ ）A ．f ’(x 0)>0 B ．f ’(x 0)<0 C ．f ’(x 0)=0 D ．f ’(x 0)不存在不存在4．下列函数中，在x =0处的导数不等于零的是处的导数不等于零的是 （ ）A ．)1(x x y -=B ．xe x y -+= C ．y=l n （1－x 2） D．x e x y ×=2 5．若y =32x lg (1－co s2x )，则x y ¢为 （ ）A ．4·9x [2ln 3lg (1－co s2x )+lge ·co t x ] B . 4·9x[2ln 3lg (1－co s2x )+lg 10·co t x ] C . 2·9x[ln 3·lg (1－co s2x )+lge ·co t x ] D . 以上皆非以上皆非6. （05湖北卷）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4p的点中，坐标为整数的点的个数是数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 7．设()f x ¢是函数()f x 的导函数的导函数,,()y f x ¢=图象如下左图图象如下左图,,则()y f x =图象最有可能是图象最有可能是 （ ））8．若函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（的取值范围是（ ）A ．),31(+¥B ．)31,(-¥C ．),31[+¥D ．]31,(-¥9. 已知抛物线y 2=2px (p >0)与一个定点M (p ,p ),则抛物线上与M 点的距离最小的点为( ) A.(0,0) B.(2p,p ) C.(p p 2,2) D.(p p 332,2) 1010．函数．函数f(x)=x(x －1)(x －2)·…·(x －100)在0x =处的导数值（处的导数值（ ）A.0 B.2100 C.200 D.100！O 1 2 y xy=f /(x)O1 2 yxO 12 yxO1 2 yx O 12 yxA B C D 1111．若．若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2)()(lim000--® =_________.12．设函数),,())()(()(是两两不等的常数c b a c x b x a x x f ---=，则)()(b f ba f a ¢+¢ =¢+)(c f c . .13．设P 点是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为a ，则角a 的取值范围是______________。
高中数学--函数的单调性与导数-Word版含答案
函数的单调性与导数选择题1、函数f(x)=xlnx的单调递增区间是( )A(01) B(1+∞)C D【解析】选D因为f(x)=xlnx(x>0)所以f′(x)=lnx+1令f′(x)>0得lnx+1>0即x>所以函数f(x)的单调递增区间是2、下列函数中在(0+∞)内为增函数的是( )Ay=sinx By=xe2Cy=x3-x Dy=lnx-x【解析】选B对于Ay=sinx在(0+∞)内有增有减对于By′=(xe2)′=e2>0故y=xe2在(0+∞)内是增函数;对于Cy′=3x2-1=3当x∈时y′<0;故y=x3-x在上是减函数对于Dy′=-1=当x∈(1+∞)时y′<0故y=lnx-x在(1+∞)上是减函数3、(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一且其导函数y=f′(x)的图象如图所示则该函数的图象是( )【解析】选B由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的且先由“平缓”变“陡峭”再由“陡峭”变“平缓”观察图象可得B正确4、若f(x)=e<a<b则( )Af(a)>f(b) Bf(a)=f(b)Cf(a)<f(b) Df(a)f(b)>1【解题指南】先判断f(x)的单调性再比较f(a)与f(b)的大小【解析】选A因为f′(x)==当x∈(e+∞)时1-lnx<0所以f′(x)<0所以f(x)在(e+∞)内为单调递减函数故f(a)>f(b)5、(2016·烟台高二检测)若a>0且f(x)=x3-ax在B(-11]C(-11) D上是单调函数求a的取值范围【解析】f′(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x=e x令f′(x)=0即x2+2(1-a)x-2a=0解得x1=a-1-x2=a-1+其中x1<x2当x变化时f′(x)f(x)的变化情况见下表:x (-∞x1) x1(x1x2) x2(x2+∞) f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗↘↗因为a≥0所以x1<-1x2≥0f(x)在(x1x2)上单调递减由此可得f(x)在上是单调函数的充要条件为x2≥1即a-1+≥1解得a≥故所求a的取值范围为10(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(02)且在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0(1)求函数y=f(x)的解析式(2)求函数y=f(x)的单调区间【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(02)知d=2所以f(x)=x3+bx2+cx+2f′(x)=3x2+2bx+c由在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0知-6-f(-1)+7=0即f(-1)=1f′(-1)=6所以即解得b=c=-3故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2(2)f′(x)=3x2-6x-3令f′(x)>0得x<1-或x>1+;令f′(x)<0得1-<x<1+故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞1-)和(1++∞)单调递减区间为(1-1+)1已知对任意实数x有f(-x)=-f(x)g(-x)=g(x)且当x>0时有f′(x)>0g′(x)>0则当x<0时有( )Af′(x)>0g′(x)>0 Bf′(x)>0g′(x)<0Cf′(x)<0g′(x)>0 Df′(x)<0g′(x)<0【解析】选B由题知f(x)是奇函数g(x)是偶函数根据奇偶函数图象特点知当x<0时f(x)的单调性与x>0时相同g(x)的单调性与x>0时恰好相反因此当x<0时有f′(x)>0g′(x)<0 2(2016·南昌高二检测)设f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x<0时f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A(-30)∪(3+∞) B(-30)∪(03)C(-∞-3)∪(3+∞) D(-∞-3)∪(03)【解析】选D因为′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)所以当x<0时′>0所以f(x)·g(x)在(-∞0)上是增函数又g(-3)=0所以f(-3)g(-3)=0所以当x∈(-∞-3)时f(x)g(x)<0;当x∈(-30)时f(x)g(x)>0又因为f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数所以f(x)g(x)在R上是奇函数其图象关于原点对称所以当x∈(03)时f(x)g(x)<0综上选D【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数f(-1)=0当x>0时xf′(x)-f(x)<0则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A(-∞-1)∪(01) B(-10)∪(1+∞)C(-∞-1)∪(-10) D(01)∪(1+∞)【解析】选A记函数g(x)=则g′(x)=因为当x>0时xf′(x)-f(x)<0故当x>0时g′(x)<0所以g(x)在(0+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数故函数g(x)是偶函数所以g(x)在(-∞0)上单调递增且g(-1)=g(1)=0当0<x<1时g(x)>0则f(x)>0;当x<-1时g(x)<0则f(x)>0综上所述使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞-1)∪ (01)二、填空题(每小题5分共10分)3(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1k+1)上不是单调函数那么实数k的取值范围是【解析】显然函数f(x)的定义域为(0+∞)y′=4x-=由y′>0得函数f(x)的单调递增区间为;由y′<0得函数f(x)的单调递减区间为由于函数在区间(k-1k+1)上不是单调函数所以解得1≤k<答案:4(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)e x在(0+∞)上单调递增则实数m的取值范围是【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)e x由题意得f′(x)≥0在(0+∞)上恒成立令g(x)=mx+m-1则解得m≥1答案:令f′(x)=0得x1=1x2=a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以4≤a-1≤6解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为方法二:f′(x)=x2-ax+a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以即解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为6(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)e x其中e是自然对数的底数a∈R(1)若a=1求曲线f(x)在点(1f(1))处的切线方程(2)若a=-1求f(x)的单调区间【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)e x所以f′(x)=(2x+1)e x+(x2+x-1)e x=(x2+3x)e x所以曲线f(x)在点(1f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e又因为f(1)=e所以所求切线方程为y-e=4e(x-1)即4ex-y-3e=0(2)f(x)=(-x2+x-1)e x因为f′(x)=-x(x+1)e x令f′(x)<0得x<-1或x>0f′(x)>0得-1<x<0所以f(x)的减区间为(-∞-1)(0+∞)增区间为(-10)关闭Word文档返回原板块。
2022年高考数学利用导数研究函数的单调性专项练习含答案
专题10 利用导数研究函数的单调性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有 (x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是 ( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]2. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)<0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A. af(b)<bf(a)B. bf(a)<af(b)C. bf(b)<af(a)D. af(a)<bf(b)3. 已知函数f(x)=e x −ax 2(a ∈R)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (e4,+∞)B. (e2,+∞)C. (e 24,+∞)D. (e 22,+∞)4. 已知定义域为R 的奇函数y =f(x)的导函数为y =f′(x)，当x >0时，xf′(x)−f(x)<0，若a =f(e)e,b =f(ln2)ln2,c =f(−3)−3，则a,b,c 的大小关系正确的是( )A. a <b <cB. b <c <aC. a <c <bD. c <a <b5. 函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x −2)f′(x)>0的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−1)C. (−∞,−1) ∪(1,2)D. (−1,1)∪(2,+∞)6. 已知函数f(x)=e x−x 22−1，若f(x)≥kx 在x ∈[0,+∞)时总成立，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e 2]7. 设点P 为函数f(x)=12x 2+2ax 与g(x)=3a 2lnx +b(a >0)的图像的公共点，以P 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( )A. 23e 23B. 32e 23C. 23e 32D. 32e 328.已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f′(x)e x在区间[0,2]上的最小值为()A. −3eB. −2eC. eD. 2e9.已知函数f(x)=xe x−mx+m2(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m的范围是()A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)10.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)=a x g(x)(a>0,且a≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列{f(n)g(n)}的前n项和大于363，则n的最小值为()A. 4B. 5C. 6D. 7二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x−1)的解集为__________．12.若函数f(x)=xx2+a (a>0)在[1,+∞)上的最大值为√33，则a的值为________．13.已知函数f(x)=a−x2(0<x<√a)在其图象上任意一点P(t,f(t))处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设△OMN(O是坐标原点)的面积为S(t)，当t=t0时，S(t)取得最小值，则√at0的值为．14.函数f(x)的定义域为R，f(0)=2，对于任意的x∈R，f(x)+f’(x)>1，则不等式e x f(x)>e x+1的解集为__________．三、解答题（本大题共3小题，共30分）15.已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx+1．(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．16.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=e x−1−1．(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)+a在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．17.已知函数f(x)=ax +lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．专题10 利用导数研究函数的单调性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）18. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有 (x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是 ( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]【答案】A【解析】解：因为对任意x 1<0，x 2<0，都有(x 2−x 1)[f (x 2)−f (x 1)]<0， 所以函数f (x )在(−∞,0]单调递减． 又因为f(x)=e |2x|−4ax 2=e −2x −4ax 2， 所以f′(x )=−2e −2x −8ax ，因此−2e −2x −8ax ≤0对(−∞,0]恒成立， 即4a ≤−e −2x x对(−∞,0]恒成立． 令ℎ(x )=−e −2x x，则ℎ′(x )=e −2x (2x+1)x 2，因此当x ∈(−∞,−12)时，ℎ′(x )<0，函数ℎ(x )是减函数； 当x ∈(−12,0)时，ℎ′(x )>0，函数ℎ(x )是增函数， 所以当x =−12时，函数ℎ(x )有最小值ℎ(−12)=2e ， 因此4a ≤2e ，即a ≤e2． 故选A ．19. f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)<0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A. af(b)<bf(a)B. bf(a)<af(b)C. bf(b)<af(a)D. af(a)<bf(b)【答案】C【解析】解：设g(x)=xf(x)，(x >0)， 则g′(x)=[xf(x)]′=xf′(x)+f(x)<0， ∴函数g(x)在(0,+∞)上是减函数， ∵a <b ，∴g(a)>g(b)即bf(b)<af(a)故选C．20.已知函数f(x)=e x−ax2(a∈R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (e4,+∞) B. (e2,+∞) C. (e24,+∞) D. (e22,+∞)【答案】C【解析】解：令f(x)=e x−ax2=0，当x=0时显然不成立，故a=e xx2，令g(x)=e xx2，则问题转化为直线y=a与g(x)=exx2的图象有三个交点，∵g′(x)=(x−2)e xx3，令g′(x)=0，解得x=2，∴当x<0或x>2时，g′(x)>0，g(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，当0<x<2时，g′(x)<0，g(x)在(0,2)上单调递减，g(x)在x=2处取极小值，g(2)=e24，作出g(x)的图象如下：要使直线y=a与曲线g(x)=e xx2有三个交点，，则a>e24，故实数a的取值范围是．故选C．21.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，若a=f(e)e ,b=f(ln2)ln2,c=f(−3)−3，则a,b,c的大小关系正确的是()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. c<a<b 【答案】D【解析】解：构造函数g(x)=f(x)x，∴g′(x)=xf′(x)−f(x)x 2，当x >0时，∵xf′(x)−f(x)<0， ∴g′(x)<0，∴函数g(x)在(0,+∞)单调递减． 又∵函数f(x)为奇函数， ∴g(x)=f(x)x是偶函数，∴c =f(−3)−3=g(−3)=g(3)，∵a =f(e)e=g(e)，b =f(ln2)ln2=g(ln2)，ln2<1<e <3，∴g(3)<g(e)<g(ln2)， ∴c <a <b ， 故选D ．22. 函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x −2)f′(x)>0的解集为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−1)C. (−∞,−1) ∪(1,2)D. (−1,1)∪(2,+∞)【答案】D【解析】解：由图知，f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，单调递减区间为(−1,1)，所以在区间(−∞,−1)及(1,+∞)上，f′(x)>0，在(−1,1)上，f′(x)<0， 又(x −2)f′(x)>0， 所以{x −2>0f′(x)>0或{x −2<0f′(x)<0, 得x >2或−1<x <1，即不等式(x −2)f′(x)>0的解集为(−1,1)∪(2,+∞)． 故选D ．23.已知函数f(x)=e x−x22−1，若f(x)≥kx在x∈[0,+∞)时总成立，则实数k的取值范围是()A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e2]【答案】A【解析】解：当x=0时，f(x)≥kx显然恒成立；当x>0时，f(x)≥kx即为e x−12x2−kx−1≥0，设g(x)=e x−12x2−kx−1(x>0)，则g′(x)=e x−x−k，令ℎ(x)=g′(x)=e x−x−k，ℎ′(x)=e x−1>0，∴函数g′(x)在(0,+∞)上为增函数，①当k≤1时，g′(x)>g′(0)=1−k≥0，故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴g(x)>g(0)=0，即f(x)≥kx成立；②当k>1时，g′(0)=1−k<0，g′(k)=e k−2k>0，故存在x0∈(0,k)，使得g′(x0)= 0，∴当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)<g(0)=0，即f(x)<kx，不符题意；综上所述，实数k的取值范围为(−∞,1]．故选：A．24.设点P为函数f(x)=12x2+2ax与g(x)=3a2lnx+b(a>0)的图像的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为()A. 23e23 B. 32e23 C. 23e32 D. 32e32【答案】B【解析】解：设P(x0,y0)，由于点P为两曲线的公切点，则12x02+2ax0=3a2lnx0+b．又在点P处的切线斜率相同，则f′(x0)=g′(x0)，即x0+2a=3a2x0，即(x0+3a)(x0−a)= 0．又a>0，x0>0，所以x0=a，于是b=52a2−3a2lna，其中a>0．设ℎ(x)=52x2−3x2lnx，其中x>0，则ℎ′(x)=2x(1−3lnx)，其中x>0，所以ℎ(x)在(0,e 13)内单调递增，在(e13,+∞)内单调递减，所以实数b 的最大值为ℎ(e 13)=32e 23．故选B ．25. 已知函数f(x)=13x 3+mx 2+nx +2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f′(x)e x 在区间[0,2]上的最小值为( )A. −3eB. −2eC. eD. 2e【答案】B【解析】f′(x)=x 2+2mx +n ， 要使导函数f′(x)为偶函数，则m =0， 故f(x)=13x 3+nx +2，则f(1)=13+n +2=−23，解得n =−3， 所以f′(x)=x 2−3，故g(x)=e x (x 2−3)，g′(x)=e x (x 2−3+2x)=e x (x −1)(x +3)， 当x ∈[0,1)时，g′(x)<0，当x ∈(1,2]时，g′(x)>0．所以函数g(x)在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增， 所以函数g(x)在区间[0,2]上的最小值为g(1)=e ×(1−3)=−2e ． 故选B ．26. 已知函数f(x)=xe x −mx +m 2(e 为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m 的范围是( )A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)【答案】D【解析】解：由f(x)=xe x −mx +m 2=0得xe x =mx −m 2=m(x −12)，当x =12时，方程不成立，即x ≠12， 则m =xe xx−12，设ℎ(x)=xe xx−12，(x >0且x ≠12)，则ℎ′(x)=(xe x )′(x−12)−xe x(x−12)2=e x (x 2−12x−12)(x−12)2=12e x(x−1)(2x+1)(x−12)2，∵x >0且x ≠12，∴由ℎ′(x)=0得x =1，当x >1时，ℎ′(x)>0，函数为增函数，当0<x <1且x ≠12时，ℎ′(x)<0，函数为减函数， 则当x =1时函数取得极小值，极小值为ℎ(1)=2e ，当0<x <12时，ℎ(x)<0，且单调递减，作出函数ℎ(x)的图象如图： 要使m =xe xx−12有两个不同的根，则m >2e 即可，即实数m 的取值范围是(2e,+∞)， 方法2：由f(x)=xe x −mx +m 2=0得xe x =mx −m 2=m(x −12)，设g(x)=xe x ，ℎ(x)=m(x −12)，g′(x)=e x +xe x =(x +1)e x ，当x >0时，g′(x)>0，则g(x)为增函数，设ℎ(x)=m(x −12)与g(x)=xe x 相切时的切点为(a,ae a )，切线斜率k =(a +1)e a ， 则切线方程为y −ae a =(a +1)e a (x −a)， 当切线过(12,0)时，−ae a =(a +1)e a (12−a)，即−a =12a +12−a 2−a ，即2a 2−a −1=0，得a =1或a =−12(舍)，则切线斜率k =(1+1)e =2e ，要使g(x)与ℎ(x)在(0,+∞)上有两个不同的交点，则m >2e ， 即实数m 的取值范围是(2e,+∞) 故选：D ．27. 已知f(x),g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)=a x g(x)(a >0,且a ≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列{f(n)g(n)}的前n 项和大于363，则n 的最小值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】解：∵f(x)=a x ⋅g(x)(a >0且a ≠1)，∴f(x)g(x)=a x ， 又∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x)， ∴(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g 2(x)>0，∴f(x)g(x)=a x 是增函数， ∴a >1， ∵f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103．∴a +a −1=103，解得a =13或a =3， 综上得a =3．∴数列{f(n)g(n)}是等比数列，f (n )g (n )=3n ． ∵数列{f(n)g(n)}的前n 项和大于363， ∴3+32+33+⋯+3n =3(1−3n )1−3=12(3n+1−3)>363，即3n+1>729，∴n +1>6，解得n >5． ∴n 的最小值为6． 故选C ．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）28. 设定义域为R 的函数f (x )满足f′(x )>f (x )，则不等式e x−1f (x )<f (2x −1)的解集为__________． 【答案】(1,+∞) 【解析】解：设F(x)=f(x)e x，则F ′(x)=f ′(x)−f(x)e x，∵f ′(x)>f(x)，∴F ′(x)>0，即函数F(x)在定义域R 上单调递增， ∵e x−1f(x)<f(2x −1)， ∴f(x)e x<f(2x−1)e 2x−1，即F(x)<F(2x −1)，∴x <2x −1，即x >1，∴不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解集为(1,+∞)， 故答案为(1,+∞)．29. 若函数f(x)=xx 2+a (a >0)在[1,+∞)上的最大值为√33，则a 的值为________．【答案】√3−1【解析】解：f′(x)=x 2+a−2x2(x2+a)2=a−x2(x2+a)2，当x>√a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当−√a<x<√a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x=√a时，f(x)=√a2a =√33，√a=√32<1，不合题意．∴f(x)最大值=f(1)=11+a=√33，a=√3−1，经检验a=√3−1满足题意．故答案为√3−1．30.已知函数f(x)=a−x2(0<x<√a)在其图象上任意一点P(t,f(t))处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设△OMN(O是坐标原点)的面积为S(t)，当t=t0时，S(t)取得最小值，则√at0的值为．【答案】√3【解析】解：因为f(x)=a−x2(0<x<√a)，所以f′(x)=−2x，所以在点P处的切线的斜率为k=f′(t)=−2t，又f(t)=a−t2，所以在点P处切线方程为y−(a−t2)=−2t(x−t)，令x=0，得y N=a+t2，令y=0得x M=t2+a2t，所以是坐标原点)的面积为：S(t)=12(a+t2)·t2+a2t=14·t4+2at2+a2t=14(t3+2at+a2t)，所以S′(t)=14(3t2+2a−a2t2)=14·3t4+2at2−a2t2，由S′(t)=0，得t=√a3，当0<t<√a3时，S′(t)<0，函数S(t)单调递增，当t>√a3时，S′(t)<0，函数S(t)单调递增，所以当t=√a3时，S(t)取得最小值，此时t0=√a3，所以√a t 0=√a √a 3=√3．故答案为√3．31. 函数f(x)的定义域为R ，f(0)=2，对于任意的x ∈R ，f(x)+f’(x)>1，则不等式e x f(x)>e x +1的解集为__________．【答案】(0,+∞)【解析】解：构造函数g (x )=e x ·f (x )−e x ，则g ′(x )=e x ·f (x )+e x ·f ′(x )−e x=e x [f (x )+f ′(x )]−e x >e x −e x =0，∴g (x )=e x ·f (x )−e x 为R 上的增函数，∵g (0)=e 0·f (0)−e 0=1，∴不等式e x ·f(x)>e x +1转化为g (x )>g (0)，∴x >0．则解集为(0,+∞)．故答案为(0,+∞)．三、解答题（本大题共3小题，共30分）32. 已知函数f(x)=12x 2−(a +1)x +alnx +1．(Ⅰ)若x =3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由题意知函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x −(a +1)+a x， ∵x =3是f(x)的极值点，∴f′(3)=3−(a +1)+a 3=0，解得a =3，当a =3时，f′(x)=(x−1)(x−3)x ，当x 变化时，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增；(Ⅱ)要使得f(x)≥1恒成立，即当x>0时，12x2−(a+1)x+alnx≥0恒成立，设g(x)=12x2−(a+1)x+alnx，则g′(x)=x−(a+1)+ax=(x−1)(x−a)x，(ⅰ)当a≤0时，由g′(x)<0得单减区间为(0,1)，由g′(x)>0得单增区间为(1,+∞)，故g(x)min=g(1)=−a−12≥0，得a≤−12；(ii)当0<a<1时，由g′(x)<0得单减区间为(a,1)，由g′(x)>0得单增区间为(0,a)，(1,+∞)，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意；(iii)当a=1时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意；(iv)当a>1时，由g′(x)<0得单减区间为(1,a)，由g′(x)>0得单增区间为(0,1)，(a,+∞)，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意．综上所述，a的取值范围为(−∞,−12]．33.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=e x−1−1．(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)+a在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)定义域是(0,+∞)，f′(x)=a+1x =ax+1x，当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)单调递增，无减区间；当a<0时，函数f(x)在(0,−1a )单调递增，在(−1a,+∞)单调递减，(2)由已知e x−1−lnx−ax−1+a≥0在x≥1恒成立，令F(x)=e x−1−lnx−ax−1+a，x≥1，则F′(x)=e x−1−1x−a，易得F′(x)在[1,+∞)递增，∴F′(x)≥F′(1)=−a，①当a≤0时，F′(x)≥0，F(x)在[1,+∞)递增，所以F(x)≥F(1)=0成立，符合题意．②当a>0时，F′(1)=−a<0，且当x=ln(a+1)+1时，F′(x)=a+1−1x−a=1−1x>0，∴∃x0∈(1,+∞)，使F′(x0)=0，即∃x∈(1,x0)时F′(x)<0，F(x)在(1,x0)递减，F(x)<F(1)=0，不符合题意．综上得a≤0．34.已知函数f(x)=ax +lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．【答案】解：的定义域是(0,+∞)，且 f′(x)=−ax2+1x=x−ax2；①若a⩽0，则f′(x)>0，f(x)的单调增区间是(0,+∞)，②若a>0，令f′(x)=0，得x=a，当0<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，∴f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；综上，当a⩽0时，f(x)的单调增区间是(0,+∞)，无单调减区间；当a>0时，f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；(2)a=0时，，∴ℎ′(x)=bx−2+1x =bx2−2x+1x ，∵ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，则ℎ′(x)=0在(0,1)上有唯一实数解，且两侧异号，由ℎ′(x)=0，得bx2−2x+1=0；令p(x)=bx2−2x+1，则p(x)在(0,1)上有且只有一个零点，易知p(0)=1>0，①当b =0，由p(x)=0，得x =12，满足题意;②当b >0时，由{Δ=4−4b >0p (1)=b −1<0，解得0<b <1；③当b <0时，{Δ=4−4b >0p (1)=b −1<0，得b <1，故b <0； 综上所述，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点时，b <1． 故实数b 的取值范围为(−∞,1)．。
高中数学导数应用练习题及参考答案2023
高中数学导数应用练习题及参考答案2023本文为高中数学导数应用的练习题及参考答案，旨在帮助学生深入理解和掌握导数的应用。
一、函数的单调性1.求以下函数的单调区间：（1）$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$（2）$g(x)=\frac{1}{x-2}+\ln(x-1)$答案：（1）$f'(x)=3x^2-6x+4=3(x-1)^2+1>0$所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增。
（2）$g'(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}+\frac{1}{x-1}=\frac{x-3}{(x-2)^2(x-1)}$当$x<1$或$1<x<2$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增。
当$x>2$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减。
所以$g(x)$的单调区间为$(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$。
二、函数的极值2.求以下函数的极值及其所在点：（1）$y=x^3-3x^2-9x+5$（2）$y=2\sin x+\cos 2x$答案：（1）$y'=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$令$y'=0$，解得$x=-1$或$x=3$。
又$y''=6x-6$，当$x=-1$时，$y''<0$，$y(x)$取极大值；当$x=3$时，$y''>0$，$y(x)$取极小值。
所以$y(x)$的极大值为$y_{max}=17$，其所在点为$x=-1$；极小值为$y_{min}=-19$，其所在点为$x=3$。
（2）$y'=2\cos x-2\sin 2x$，$y''=-2\sin x-4\cos 2x$令$y'=0$，解得$x=\frac{1}{4}\arctan\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{3}}+k\pi$，$k\in Z$。
导数与单调性训练题及答案
导数与单调性训练题及答案1、若函数bx x x f +-=334)(有三个单调区间，则b 的取值范围是 。
2、若函数)(3x x a y -=的递减区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,33，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜13、设函数)(x f y =是偶函数，若曲线)(x f y =在点（1，f(1)）处的切线的斜率为1，则该曲线在点（－1，f （－1））处的切线的斜率为（ ）A ．1B ．－1C ．不存在D ．24、已知函数ax x x x f 22131)(23++-=在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32上存在单调增区间，则a 的取值范围是 。
5、)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0<x 时，0)()(<'∙+x f x x f ，且0)4(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集是（ ）A ． ),4()0,4(+∞-B ．)4,0()0,4( -C ． ),4()4,(+∞--∞D ．)4,0()4,( --∞6、定义在R 上的可导函数)(x f ，已知)(x f ey '= 的图象如图所示，则)(x f y = 的增区间是( )A ．)1,(-∞B ．)2,(-∞C ．)1,0(D ．)2,1(7、已知e 为自然对数的底数，则函数y ＝xe x 的单调递增区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]8、已知函数f(x)＝12x 3＋ax ＋4，则“a>0”是“f(x)在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9、如果函数f(x)的导函数f ′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是()10、函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f(12)，c ＝f(3)，则()A ．a<b<cB ．c<a<bC ．c<b<aD ．b<c<a11、已知函数f(x)(x ∈R)的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x －x 0)，那么函数f(x)的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1，2)D ．[2，＋∞)12、已知函数y ＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )13、设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)14、已知函数f(x)的导函数为f ′(x)＝5＋cosx ，x ∈(－1，1)，且f(0)＝0，若f(1－x)＋f(1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．15、若函数f(x)的定义域为R ，且满足f(2)＝2，f ′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________．16、已知函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)．(1)实数k 的值为________；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________．17、若函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，求实数m 的取值范围。
高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)
高中数学函数的单一性与导数综合测试题(含答案 )选修 2-2 1.3.1 函数的单一性与导数一、选择题1．设 f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx＋d(a0)，则 f(x) 为 R 上增函数的充要条件是 ()A ．b2－ 4ac0 B．b0， c0C．b＝0，c D ． b2－ 3ac0[答案] D[ 分析 ]∵a0，f(x)为增函数，f(x) ＝3ax2＋ 2bx＋ c0 恒建立，＝(2b)2－ 43ac＝ 4b2－ 12ac0， b2－3ac0.2．(2009 广东文， 8)函数 f(x) ＝ (x－ 3)ex 的单一递加区间是() A ．(－， 2) B． (0,3)C．(1,4) D ． (2，＋ )[答案] D[ 分析 ]考察导数的简单应用．f(x) ＝(x－ 3)ex＋ (x－ 3)(ex) ＝ (x－ 2)ex，令 f(x)0 ，解得 x2，应选 D.3．已知函数y＝ f(x)(xR) 上任一点 (x0， f(x0)) 处的切线斜率k ＝(x0 －2)(x0 ＋ 1)2，则该函数的单一递减区间为 ()A ．[－1，＋ ) B．(－， 2]C．(－，－ 1)和 (1,2) D ． [2，＋ )[答案]B[ 分析 ]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单一减区间为 (－， 2] ．4．已知函数y＝xf(x) 的图象如图 (1)所示 (此中 f(x) 是函数 f(x)的导函数 )，下边四个图象中，y＝ f(x) 的图象大概是 ()[答案] C[ 分析 ]当01时xf(x)0f(x)0 ，故 y＝f(x) 在 (0,1)上为减函数当 x1 时 xf(x)0 ，f(x)0 ，故 y＝ f(x) 在(1，＋ )上为增函数，所以否认 A、B、D 应选 C.5．函数 y＝xsinx ＋ cosx， x(－)的单一增区间是()A. －，－ 2 和 0，2B.－ 2， 0 和 0，2C.－，－ 2，D.－ 2，0 和[答案]A[ 分析 ] y＝xcosx，当－ x2 时，cosx0， y＝xcosx0 ，当 02 时， cosx0，y＝ xcosx0.6．以下命题建立的是 ()A ．若 f(x) 在 (a，b)内是增函数，则对任何 x(a，b)，都有 f(x)0B．若在 (a， b)内对任何x 都有 f(x)0 ，则 f(x) 在 (a， b)上是增函数C．若 f(x) 在 (a， b)内是单一函数，则f(x) 必存在D ．若 f(x) 在 (a， b)上都存在，则f(x) 必为单一函数[答案]B[ 分析 ]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0 ，故 A 错； f(x)在(a，b)内是单一函数与 f(x) 能否存在无必定联系，故 C 错；f(x) ＝2 在 (a， b)上的导数为f(x) ＝ 0 存在，但f(x) 无单一性，故D错．7． (2019 福建理， 11)已知对随意实数 x ，有 f( － x) ＝－ f(x) ，g(－x) ＝ g(x) ，且 x0 时， f(x)0 ，g(x)0 ，则 x0 时 () A ．f(x)0 ，g(x) B ． f(x)0 ， g(x)0C．f(x)0 ，g(x) D ． f(x)0 ， g(x)0[答案 ]B[分析 ]f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，奇 (偶 )函数在对于原点对称的两个区间上单一性同样(反 )，x0 时， f(x)0 ，g(x)0. 8． f(x) 是定义在 (0，＋ )上的非负可导函数，且知足xf(x) ＋f(x)0 ，对随意正数 a、 b，若 ab，则必有 ()A ．af(a)f(b)B ． bf(b)f(a)C．af(b)bf(a) D ．bf(a)af(b)[答案 ]C[分析 ]∵xf(x) ＋ f(x)0 ，且 x0 ，f(x)0 ，f(x) －f(x)x ，即 f(x) 在(0，＋ )上是减函数，又 0＜ a＜ b， af(b)bf(a) ．9．对于 R 上可导的随意函数f(x) ，若知足 (x －1)f(x)0 ，则必有()A ．f(0) ＋ f(2)2f(1)B ． f(0) ＋ f(2)2f(1)C．f(0) ＋ f(2)2f(1) D ． f(0) ＋ f(2)2f(1)[答案] C[ 分析 ]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单一递加，在(－，1] 上单一递减或f(x) 恒为常数，故 f(0) ＋ f(2)2f(1) ．故应选 C.10．(2019 江西理， 12)如图，一个正五角星薄片( 其对称轴与水面垂直 )匀速地升出水面，记t时辰五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0) ＝0)，则导函数y＝ S(t)的图像大概为[答案]A[ 分析 ]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，此中恰露出一个角时变化不连续，应选 A.二、填空题11．已知 y ＝13x3 ＋ bx2＋ (b＋ 2)x＋ 3 在 R 上不是单一增函数，则 b 的范围为 ________．[ 答案 ] b－1 或 b2[ 分析 ]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒建立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，由题意 b＜－ 1 或 b＞2.12．已知函数f(x) ＝ax－ lnx ，若 f(x) ＞ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，实数 a 的取值范围为 ________．[ 答案 ] a1[ 分析 ]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒建立．设 g(x) ＝ 1＋ lnxx ，则 g(x) ＝－ lnxx2 ＜ 0(x＞ 1)，g(x) ＝ 1＋ lnxx 在区间 (1，＋ )内单一递减，g(x) ＜ g(1)，∵g(1)＝ 1，1＋ lnxx ＜ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，a1.13．函数 y＝ln(x2 － x－2)的单一递减区间为__________．[答案 ] (－，－ 1)[ 分析 ]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令 f(x) ＝ x2－x － 2， f(x) ＝ 2x－10，得 x12 ，函数 y＝ ln(x2 －x－ 2)的单一减区间为 (－，－ 1)．14．若函数y＝ x3 － ax2＋ 4 在 (0,2)内单一递减，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．[答案 ] [3，＋ )[ 分析 ] y＝3x2 － 2ax，由题意知3x2－ 2ax0 在区间 (0,2) 内恒建立，即 a32x 在区间 (0,2)上恒建立， a3.三、解答题15．设函数 f(x) ＝x3－ 3ax2＋ 3bx 的图象与直线12x ＋y－ 1＝0 相切于点 (1，－ 11)．(1)求 a、 b 的值；(2)议论函数f(x) 的单一性．[ 分析 ] (1)求导得 f(x) ＝ 3x2－6ax＋3b.因为 f(x) 的图象与直线12x＋y － 1＝0 相切于点 (1，－ 11)，所以 f(1) ＝－ 11，f(1) ＝－ 12，即 1－ 3a＋3b＝－ 113－6a＋3b＝－ 12，解得 a＝ 1，b＝－ 3.(2)由 a＝ 1， b＝－ 3 得f(x) ＝3x2－ 6ax＋3b＝ 3(x2－ 2x－ 3)＝3(x ＋1)(x － 3)．令 f(x)0 ，解得 x －1 或 x3；又令 f(x)0 ，解得－ 13.所以当 x(－，－ 1)时， f(x) 是增函数；当x(3 ，＋)时，f(x) 也是增函数；当 x( － 1,3)时， f(x) 是减函数．16．求证：方程x－ 12sinx＝ 0 只有一个根x＝ 0.[ 证明 ]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，则 f(x) ＝ 1－12cosx＞ 0，f(x) 在(－，＋ )上是单一递加函数．而当 x＝ 0 时， f(x) ＝ 0，方程 x－ 12sinx ＝0 有独一的根x＝ 0.17．已知函数y＝ ax 与 y＝－ bx 在(0，＋ )上都是减函数，试确立函数 y＝ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 剖析 ] 可先由函数 y＝ax 与 y＝－ bx 的单一性确立 a、b 的取值范围，再依据 a、 b 的取值范围去确立 y＝ ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 分析 ]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a ＜0，b＜0.由 y＝ ax3＋bx2＋ 5 得 y＝ 3ax2＋ 2bx.令 y＞ 0，得 3ax2＋ 2bx＞0，－ 2b3a＜ x＜ 0.当 x－ 2b3a， 0 时，函数为增函数．令 y＜ 0，即 3ax2＋ 2bx＜0，x＜－ 2b3a，或 x＞ 0.在－，－ 2b3a，(0，＋ )上时，函数为减函数．18． (2019 新课标全国文，21)设函数 f(x) ＝x(ex － 1)－ ax2.(1)若 a＝ 12，求 f(x) 的单一区间；(2)若当 x0 时 f(x)0 ，求 a 的取值范围．[ 分析 ] (1)a＝12 时， f(x) ＝x(ex － 1)－12x2，f(x) ＝ex－ 1＋ xex－ x＝ (ex－ 1)(x ＋ 1)．当 x( －，－ 1)时， f(x)0 ；当 x(－ 1,0)时， f(x)0 ；当 x(0 ，＋ )时， f(x)0.故 f(x) 在 (－，－ 1]， [0，＋ )上单一递加，在[ －1,0] 上单一递减．(2)f(x) ＝ x(ex － 1－ ax)．令 g(x) ＝ ex－ 1－ ax，则 g(x) ＝ex－ a.“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。
导数与函数的单调性测试题(含答案)
导数与函数的单调性测试题一、单项选择题（本大题共10小题，共50分） 1. 函数y =12x 2−lnx 的单调递减区间为( )A. (−1,1]B. (0,1]C. [1,+∞)D. (0,+∞)2. 设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )A. B.C. D.3. 函数y =(x −3)e x 的单调增区间是( )A.B. (0,3)C. (1,4)D.4. 已知函数f(x)=32x 2−4x +lnx ，则函数f(x)的单调递减区间是( )A. (0,13),(1,+∞)B. (0,1),(3,+∞)C. (0,13),(3,+∞)D. (13,1)5. 已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)=x 2+3xf′(3)，则f′(3)=( )A. −1B. −2C. −3D. −46. 函数f(x)=xlnx( )A. 在(0,5)上单调递增B. 在(0,5)上单调递减C. 在(0,1e )上单调递减，在(1e ,5)上单调递增 D. 在(0,1e )上单调递增，在(1e ,5)上单调递减7. 若函数f(x)=x 3−ax 2−x +6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a =1C. a ≤1D. 0<a <18. 函数f(x)=x 3+ax +b 在区间(−1,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，则( )A. a =1，b =1B. a =1，b ∈RC. a =−3，b =3D. a =−3，b ∈R9. 已知函数f(x)=x 3+mlnx 在区间[2 , 3]上不是单调函数，则m 的取值范围是( )A. (−∞,−81)B. (−24,+∞)C. (−81,−24)D. (−81,+∞)10.函数f(x)=x3+ax−2在区间(1,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()A. [3,+∞)B. [−3,+∞)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)二、填空题（本大题共2小题，共10分）11.若函数f(x)=e x(x2+ax+3)在R上单调递增，则实数a的取值范围为______ ．12.函数f(x)=x的单调递减区间为_______________．lnx三、解答题（本大题共4小题，共40分）−1．13.已知函数f(x)=lnxx(1)求函数在点(1,f(1))处的切线方程．(2)试判断函数f(x)的单调性；14.已知函数f(x)=x2−ax+lnx+b(a,b∈R)，(1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为x+y+2=0，求实数a，b的值;(2)若f(x)在其定义域内单调递增，求a的取值范围．15.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a−3)x−1．(1)若f(x)的单调递减区间为(−1,1)，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(−1,1)内单调递减，求实数a的取值范围．16.已知函数f(x)=x3+ax2−a2x+2．(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间．答案和解析1.解：令f(x)=12x2−ln x定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=x−1x=(x+1)(x−1)x≤0，得0<x≤1，函数的单调递减区间为(0,1]，2.解：由f(x)的图象知当x∈(−∞,1)时，f(x)单调递减，f′(x)<0当x∈(1,4)时，f(x)单调递增，f′(x)>0当x∈(4,+∞)时，f(x)单调递减，f′(x)<03.解：∵y=(x−3)e x，∴y′=e x+(x−3)e x=(x−2)e x，由y′>0得x−2>0，解得x>2，∴函数y=(x−3)e x的单调增区间是(2,+∞)．4.解：函数的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x)=3x−4+1x =3x2−4x+1x，由f′(x)<0得3x2−4x+1x<0，得3x2−4x+1<0，得(x−1)(3x−1)<0，得13<x<1，即函数的单调递减区间为(13,1)，5.解：∵f(x)=x2+3xf′(3)，∴f′(x)=2x+3f′(3)，令x=3，则f′(3)=2×3+3f′(3)，解得：f′(3)=−3，6.解：∵y=xlnx，∴y′=lnx+1，由y′=lnx+1=0，得极值点x=1e，∵x∈(0,5)，∴当x∈(0,1e)时，f′(x)<0，函数是单调递减函数．当x∈(1e,5)时，f′(x)>0，函数是单调递增函数．7.解：f′(x)=3x2−2ax−1，导函数为二次函数，∵f(x)在(0,1)内单调递减，∴结合导函数的性质可得不等式3x2−2ax−1<0在(0,1)内恒成立．∴f′(0)≤0，f′(1)≤0，∴a≥1．8.解：∵f(x)=x3+ax+b，∴f′(x)=3x2+a．∵f(x)在(−1,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，∴f′(1)=3+a=0．∴a=−3，b∈R．9.解：f′(x)=3x2+mx =3x3+mx，若f(x)在[2,3]不单调，则3x3+m=0在[2,3]有解，且在解的两边正负号不同，即y=m和y=−3x3在(2,3)有交点，而x∈(2,3)时，函数y=−3x3单调递减，y∈(−81,−24)，故m的取值范围为(−81,−24)．10.解：f′(x)=3x 2+a ，因为函数f(x)=x 3+ax −2在区间(1,+∞)内是增函数，所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，即a ≥−3x 2在(1,+∞)上恒成立， 易知函数y =−3x 2在(1,+∞)上单调递减，所以y <−3，所以a ≥−3． 即实数a 的取值范围是[−3,+∞)．11.解：由题知f′(x)=e x [x 2+(a +2)x +a +3]≥0恒成立，即x 2+(a +2)x +a +3≥0恒成立，∴△=(a +2)2−4(a +3)≤0， 即−2√2≤a ≤2√2，故答案为：[−2√2,2√2].12.解：因为函数，其定义域为(0,1)∪(1,+∞)．f ′(x )=lnx−x·1x(lnx )2=lnx−1(lnx )2， 令f ′(x )<0，则lnx <1,解得0<x <1或1<x <e ．所以函数f(x)=xlnx 的单调减区间为(0,1)，(1,e)．故答案为(0,1)，(1,e)．13.解：(1)由题可知：f′(x)=1−lnx x 2；所以：f′(1)=1，f(1)=−1；∴函数在点(1,f(1))处的切线方程为：y −(−1)=x −1即：y =x −2． (2)因为函数的定义域(0,+∞)且f′(x)=1−lnx x 2；令f′(x)=1−lnx x >0得0<x <e ，f′(x)=1−lnx x <0得x >e ，因此函数单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,+∞)．14.解：∵f(x)=x 2−ax +lnx +b ，∴f ′(x)=2x −a +1x ，∴f(1)=1−a +b ，f′(1)=3−a ，(1)∵函数f(x)在x =1处的切线方程为x +y +2=0∴{k =f ′(1)=3−a =−11+f(1)+2=0,解得：a =4，b =0；(2)f(x)=x 2−ax +lnx +b 的定义域为{x|x >0}∵f(x)在其定义域内单调递增 ∴f ′(x)=2x −a +1x ≥0在x ∈(0,+∞)恒成立(允许个别点处取到等号) ∵2x −a +1x ≥0(x >0)即a ⩽2x +1x (x >0)(允许个别值处取到等号)令g(x)=2x +1x (x >0)，则a ≤g(x)min ，因为g(x)=2x +1x≥2√2x ⋅1x=2√2，当且仅当2x =1x 即x =√22时取到等号．所以 g(x)min =2√2，所以a ≤2√2．15.解：(1)∵f(x)=x 3+ax 2+(2a −3)x −1，∴f′(x)=3x 2+2ax +2a −3=3(x +1)(x +2a−33)由于f(x)的单调减区间为(−1,1)，∴−1和1是方程f′(x)=0的两根，∴2a−33=−1，解得a =0;(2)由(1)可知，f′(x)=3(x+1)(x+2a−33)，∵f(x)在区间(−1,1)内单调递减，∴f′(x)≤0在(−1,1)内恒成立，又函数y=f′(x)为二次函数，且图象开口向上，方程f′(x)=0的一个根为−1，又方程f′(x)=0的另一个根为3−2a3，∴3−2a3≥1，∴a≤0，∴实数a的取值范围为(−∞,0]．16.解(1)∵a=1，∴f(x)=x3+x2−x+2，∴f′(x)=3x2+2x−1，∴f′(1)=4.又f(1)=3，∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0．(2)f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+2ax−a2=(x+a)(3x−a)，由f′(x)=0得x=−a或x=a3.又a>0，由f′(x)<0，得−a<x<a3，由f′(x)>0，得x<−a或x>a3，故f(x)的单调递减区间为(−a,a3)，单调递增区间为(−∞,−a)和(a3,+∞)．。
函数单调性测试题及答案
函数单调性测试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = -x^2 + 2x \) 在区间 (-∞, 1] 上是单调递增的，那么在区间[1, +∞) 上是单调递减的，这种说法是否正确？A. 正确B. 错误2. 函数 \( g(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \) 的导数 \( g'(x) \) 为：A. \( 9x^2 - 4x + 1 \)B. \( 9x^2 + 4x + 1 \)C. \( -9x^2 + 4x - 1 \)D. \( -9x^2 - 4x - 1 \)3. 如果 \( h(x) \) 是一个在区间(0, +∞) 上单调递增的函数，且\( h(2) = 4 \)，那么 \( h(4) \) 一定：A. 大于 4B. 等于 4C. 小于 4D. 无法确定二、填空题4. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) 的导数 \( f'(x) \)为 \( ________ \)。
5. 若 \( k \) 为正常数，函数 \( y = kx \) 在整个定义域上是单调递增的，那么 \( k \) 的取值范围是 \( ________ \)。
三、解答题6. 已知函数 \( f(x) = \frac{2}{x} \)，请讨论其在区间 (-∞, 0) 和(0, +∞) 上的单调性，并证明。
7. 函数 \( g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \)，请找出其在定义域上的极值点，并判断其单调性。
四、证明题8. 证明函数 \( h(x) = x^3 - 3x \) 在区间 (-∞, 1) 上是单调递减的。
答案：1. A2. A3. A4. \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)5. \( k > 0 \)6. 函数 \( f(x) = \frac{2}{x} \) 在区间 (-∞, 0) 上单调递增，在区间(0, +∞) 上单调递减。
高考文科数学题型复习《导数与函数的单调性》真题汇总含答案
高考文科数学题型复习《导数与函数的单调性》真题汇总含答案1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第6题)已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为( )．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -【答案】C解析：依题可知，()1e 0xf x a x '=-≥在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e x x a≥， 设()()e ,1,2xg x x x =∈，所以()()1e 0xg x x =+>'，所以()g x 在()1,2上单调递增，()()1e g x g >=，故1e a ≥，即11e ea -≥=，即a 的最小值为1e -． 故选：C ．2．(2014高考数学课标2文科·第11题)若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是 ( ) A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞- C ．[2,)+∞ D ．[1,)+∞ 【答案】D解析：∵函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴1()0f x k x '=-≥恒成立。
∴1k x≥恒成立，∵(1,)x ∈+∞，∴[1,)k ∈+∞。
∴选D 。
3．(2015高考数学陕西文科·第9题)设()sin f x x x =-，则()f x =( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 【答案】B解析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=- 又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数； ()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数． 故答案选B4．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第12题)若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析一】()21cos2cos 03f x x a x '=-+对x R ∈恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x --+，即245cos cos 033a x x -+恒成立，即245033t at -++对[]1,1t ∈-恒成立 构造()24533f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值， 故只需保证()()11031103f t f t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得1133a-．故选C ． 【解析二】用特殊值法：取1a =-，()1sin 2sin 3f x x x x =--，()21cos2cos 3f x x x '=-- 但()22011033f '=--=-<，不具备在(),-∞+∞单调递增，排除A ，B ，D ．故选C ．。
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高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)
选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数
一、选择题
1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()
A．b2－4ac0 B．b0，c0
C．b＝0，c D．b2－3ac0
[答案] D
[解析] ∵a0，f(x)为增函数，
f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，
＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0.
2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()
A．(－，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋)
[答案] D
[解析] 考查导数的简单应用．
f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex，
令f(x)0，解得x2，故选D.
3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜
率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()
页 1 第
A．[－1，＋) B．(－，2]
C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋)
[答案] B
[解析] 令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调
减区间为(－，2]．
4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是() [答案] C
[解析] 当01时xf(x)0
f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数
当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是()
A.－，－2和0，2
B.－2，0和0，2
C.－，－2，
D.－2，0和
[答案] A
[解析] y＝xcosx，当－x2时，
cosx0，y＝xcosx0，
当02时，cosx0，y＝xcosx0.
6．下列命题成立的是()
页 2 第
A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0
B．若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数
C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在
D．若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
[答案] B
[解析] 若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．
7．(2019福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时() A．f(x)0，g(x) B．f(x)0，g(x)0
C．f(x)0，g(x) D．f(x)0，g(x)0
[答案] B
[解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0时，f(x)0，
g(x)0.
8．f(x)是定义在(0，＋)上的非负可导函数，且满足xf(x)＋f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有()
A．af(a)f(b) B．bf(b)f(a)
页 3 第
C．af(b)bf(a) D．bf(a)af(b)
[答案] C
[解析] ∵xf(x)＋f(x)0，且x0，f(x)0，
f(x)－f(x)x，即f(x)在(0，＋)上是减函数，
又0＜a＜b，af(b)bf(a)．
9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有()
A．f(0)＋f(2)2f(1) B．f(0)＋f(2)2f(1)
C．f(0)＋f(2)2f(1) D．f(0)＋f(2)2f(1)
[答案] C
[解析] 由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单调递增，在(－，1]上单调递减或f(x)恒为常数，
故f(0)＋f(2)2f(1)．故应选C.
10．(2019江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S(t)的图像大致为
[答案] A
[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.
二、填空题
11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函页4 第
数，则b的范围为________．
[答案] b－1或b2
[解析] 若y＝x2＋2bx＋b＋20恒成立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，
由题意b＜－1或b＞2.
12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋)
内恒成立，实数a的取值范围为________．
[答案] a1
[解析] 由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒成立．
设g(x)＝1＋lnxx，则g(x)＝－lnxx2＜0 (x＞1)，
g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋)内单调递减，
g(x)＜g(1)，
∵g(1)＝1，
1＋lnxx＜1在区间(1，＋)内恒成立，
a1.
13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案] (－，－1)
[解析] 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f(x)＝2x－10，得x12，
函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－，－1)．
14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a页5 第
的取值范围是____________．
[答案] [3，＋)
[解析] y＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，
即a32x在区间(0,2)上恒成立，a3.
三、解答题
15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析] (1)求导得f(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f(1)＝－12，
即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，
解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f(x)0，解得x－1或x3；又令f(x)0，解得－13.
所以当x(－，－1)时，f(x)是增函数；
当x(3，＋)时，f(x)也是增函数；
当x(－1,3)时，f(x)是减函数．
页 6 第
16．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.
[证明] 设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，
则f(x)＝1－12cosx＞0，
f(x)在(－，＋)上是单调递增函数．
而当x＝0时，f(x)＝0，
方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.
17．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
[分析] 可先由函数y＝ax与y＝－bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
[解析] ∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a＜0，b＜0.
由y＝ax3＋bx2＋5得y＝3ax2＋2bx.
令y＞0，得3ax2＋2bx＞0，－2b3a＜x＜0.
当x－2b3a，0时，函数为增函数．
令y＜0，即3ax2＋2bx＜0，
x＜－2b3a，或x＞0.
在－，－2b3a，(0，＋)上时，函数为减函数．
18．(2019新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；
(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围．
页 7 第
[解析] (1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，
f(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x(－，－1)时，f(x)0；当x(－1,0)时，f(x)0；当x(0，＋)时，f(x)0.
故f(x)在(－，－1]，[0，＋)上单调递增，在[－1,0]上单
调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g(x)＝ex－a.
若a1，则当x(0，＋)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)
＝0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.
当a1，则当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)
＝0，从而当x(0，lna)时g(x)0，即f(x)0.
综合得a的取值范围为(－，1]．
页 8 第。