拓扑学A卷
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第 1 页 共 1 页 拓扑学 A 卷
注:一、二题答在试题上,三题答在答题纸上. 一、填空题(每小题2分,共20分)
1,实数空间R 的度量是 .
2,设X 是拓扑空间,则它的开集的个数最少为 . 3,拓扑学的中心任务是研究 .
4,设X ={ 0, 1},拓扑ℑ={φ,{0},X },则 1 的邻域系为 .
5,R 是实数空间,A ={
1
n
}n Z +∈,则()d A = . 6,设X 是拓扑空间,A X ⊂,若()A ∂={2,3},则('A ∂)= .
7,设{1,2,3,4}X =,拓扑{,{1},{2.3},}X φℑ=,{2,4}Y =,则Y
ℑ= .
8,平庸空间的任何一个商空间都是 空间.
9,设1C ,2C 是拓扑空间X 仅有的两个不同的连通分支,则12C C = .
10,设X 是拓扑空间,A X ⊂,A 的邻域的定义是 .
二、选择题(每小题4分,共32分)
1,下列( )不是R 中的开集.
A. [0, )+∞
B. (3,- 0)
C. (3,- 0) (0, )+∞
D. (,-∞ )+∞
2,设{,X a = }b ,则X 有( )个拓扑. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3,设X 是拓扑空间,D X ⊂,则下列关系正确的为( ).
A. ()d D D ⊂
B. D D ⊂
C. D D ⊂
D. ()D D ∂⊂
4,设X 是多于一点的平庸空间,{}i x 为X 中的序列,下列说法正确的是( ).
A. {}i x 不收敛
B. {}i x 收敛且极限唯一
C. {}i x 收敛但极限不唯一
D. {}i x 可能收敛也可能不收敛
5,设1{(,1)12}Y x x =-≤≤,2{(,1)}Y x x R =∈,3{(0,)}Y y y R =∈,下列( )是2R 的连通子集.
A . 12Y Y B. 23Y Y C. 31Y Y D. 123Y Y Y 6,设X 是离散拓扑空间,且{1,2,3}X =,则X 的连通分支的个数是( ).
A . 1 B. 2 C. 3 D. 4
7,下列( )可遗传.
A. 平庸空间
B. 连通空间
C. Lindeloff 空间
D. 4T 空间
8,设{1,2,3}X =,拓扑{,{1},{2.3},}X φℑ=,则(,)X ℑ不是( ).
A. 2A 空间
B. 可分空间
C. 1T 空间
D. 正则空间
三、证明题(每小题8分,共48分)
1,证明:仅含有有限个点的度量空间都是离散的度量空间.
2,设(,)X ℑ是拓扑空间,∞是任何一个不属于X 的元素, 令
{}X X *=∞ , {{}}{}A A φ*ℑ=∞∈ℑ .
证明: (,)X *
*
ℑ是拓扑空间.
3,设X , Y 是拓扑空间,证明:积空间X Y ⨯同肧于积空间Y X ⨯.
4,设Y 是多于一个点的离散空间,证明:若X 为连通空间,则每一个连续映射
:f X Y →都是常值映射。
5,设X 是一不可数集,拓扑{'u X u ℑ=⊂可数}{}φ . 证明:(,)X ℑ不是1A 空间.
6,设X 是0T 空间,Y 是拓扑空间. 证明:如果:f X Y →为同肧映射, 则Y 也是0T 空间.