拓扑学A卷
拓扑学2010 A答案
研究生试卷 2009─2010学年 第 2 学期拓扑学基础课程试卷(A 卷)答案与评分标准一、（10分）设B A 、都是拓扑空间X 的子集，并且A 是开集，证明：B A B A ⋂⊂⋂. 证：B A x ⋂∈，U 是x 的任一开邻域，则A U ⋂也是x 的开邻域，从而B A U ⋂⋂)(φ≠（因为B x ∈），………………………………………5分)(B A U ⋂⋂φ≠，于是B A x ⋂∈……………………………………………10分二、（10分）设Y X f →：是映射，证明以下条件等价：（1）f 是连续映射；（2）Y 的任一开集在f 下的原像是X 的开集；（3）Y 的任一闭集在f 下的原像是X 的闭集。
证：（1）⇒（2）设V 是Y 的开集，)(1V fU -=.任意V U x ，∈是)(x f 的邻域，由于x f 在连续，U x 是的内点，由x 的任意性，O U U =是开集。
………………………………………3分（2）⇒（3）设F 是Y 的闭集，则c F 是开集，因此)(1C F f -是X 的开集，于是c c F f F f ))(()(11--=是是X 的闭集。
………………………………………6分（3）⇒（1）设V 是)(x f 的邻域，)(1V f U -=,因为c c o o V f V f )))((()(11--=是开集（闭集c o V )(的原像))((1c o V f -是闭集），且U V f x o ⊂∈-)(1，所以U 是x 的邻域，有定义，连续。
在x f ……………10分三、（10分）设R 的子集族B }|){[b a b a <=，生成R 的下极限拓扑τ，证明：)[b a ，在拓扑空间（τ，R ）中既是开集，又是闭集。
证明：)[b a ，∈B ，从而是（τ，R ）中的开集. ………………………………………4分又因为 N n cn b b a n a b a b a ∈+⋃-=∞+⋃-∞=))()([)([)())([，，，，，也是开集，所以)[b a ，是闭集。
拓扑学考试题及答案
拓扑学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，开集的补集是：A. 闭集B. 既开又闭集C. 非开集D. 非闭集答案：A2. 以下哪个概念不是拓扑学中的基本元素？A. 开集B. 连续函数C. 极限点D. 线性方程答案：D3. 拓扑空间中，两个开集的交集仍然是：A. 开集B. 闭集C. 既开又闭集D. 非开集答案：A4. 拓扑空间中，一个集合是连通的，当且仅当它不能表示为两个非空不相交开集的并集。
以下哪个集合不是连通的？A. 一个区间B. 两个不相交的区间的并集C. 一个单点集D. 一个空集答案：B5. 拓扑空间中的紧致性意味着：A. 每个开覆盖都有有限子覆盖B. 每个闭覆盖都有有限子覆盖C. 每个开覆盖都有有限子覆盖或闭覆盖D. 每个闭覆盖都有有限子覆盖或开覆盖答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间X中的每个点都有一个邻域，该邻域与X同胚，则称X是________。
答案：局部连通的2. 拓扑空间X中的点x称为________，如果X中包含x的每个开集也包含该序列的某个项。
答案：序列极限点3. 拓扑空间X中的点x称为________，如果对于x的每个邻域U，都存在一个点y≠x，使得y也在U中。
答案：凝聚点4. 如果拓扑空间X中的每个序列都有一个收敛的子序列，则称X是________。
答案：序列紧致的5. 拓扑空间X中的点x称为________，如果对于x的每个邻域U，都存在一个不包含x的开集V，使得V⊆U。
答案：孤立点三、简答题（每题10分，共20分）1. 描述拓扑空间中的紧性与序列紧致性之间的关系。
答案：在Hausdorff空间中，紧性等价于序列紧致性。
这意味着如果一个Hausdorff空间中的每个序列都有一个收敛的子序列，则该空间是紧的，反之亦然。
2. 解释什么是同胚映射，并给出一个例子。
答案：同胚映射是两个拓扑空间之间的双射函数，它既是连续的，其逆映射也是连续的。
拓扑试题及答案
拓扑试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，任意两个开集的并集还是开集，这是拓扑空间的哪个公理？A. 任意并集公理B. 有限并集公理C. 有限交公理D. 任意交公理答案：A2. 连续映射的定义是？A. 映射的逆映射是连续的B. 映射的原像与像的连续性一致C. 映射的像与原像的连续性一致D. 映射的原像与像的连续性不一致答案：B3. 在拓扑学中，一个空间的基是什么？A. 空间中所有开集的集合B. 空间中所有闭集的集合C. 空间中所有单点集的集合D. 空间中所有有限集的集合答案：A4. 拓扑空间中，一个集合的闭包是指什么？A. 集合本身B. 集合的内部C. 包含集合的所有极限点D. 集合的外部答案：C5. 什么是紧致性？A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间中任意开覆盖都有无限子覆盖D. 空间中任意闭覆盖都有无限子覆盖答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 如果拓扑空间X的任意开覆盖都有一个有限子覆盖，则称X是________。
答案：紧致的2. 拓扑空间中，如果一个映射是连续的，那么它的逆映射也是________。
答案：连续的3. 在拓扑空间X中，如果存在一个开集U包含点x，使得x是U的极限点，则称x是X的________。
答案：累积点4. 拓扑空间X的基B，如果X中任意开集都可以表示为B中开集的并集，则称B是X的一个________。
答案：基5. 如果拓扑空间X的任意子集的闭包都是闭集，则称X是________。
答案：T1空间三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述什么是拓扑空间？答案：拓扑空间是一个集合X，配合一个定义在其上的拓扑结构，这个结构由X的子集构成，满足任意并集公理、有限交公理和空集与全集为开集的条件。
2. 什么是连续映射？答案：连续映射是指在拓扑空间X和Y之间定义的映射f，对于Y中的任意开集V，其原像f^(-1)(V)在X中也是开集。
拓扑期末试题及答案
拓扑期末试题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是拓扑的基本概念？A. 连通性B. 邻域C. 紧致性D. 可分性答案：B. 邻域2. 拓扑空间的定义中包括以下哪些要素？A. 集合B. 拓扑C. 运算D. 距离答案：A. 集合，B. 拓扑3. 以下哪个定理用于判断一个集合是否为紧致集？A. Heine-Borel定理B. Bolzano-Weierstrass定理C. 单调有界定理D. Cantor定理答案：A. Heine-Borel定理4. 一个空间若每个点都有至少一个可数邻域，则称该空间满足：A. 可分性B. 连通性C. 紧致性D. 完备性答案：A. 可分性5. 以下哪个不是拓扑空间上的基本拓扑？A. 离散拓扑B. 序拓扑C. 紧致拓扑D. Hausdorff拓扑答案：C. 紧致拓扑二、填空题1. 在连通空间中，_________只有一个子集，即空集和整个集合本身。
答案：极大连通子集2. 设X是一个度量空间，如果序列{an}在X中收敛到点x，则它的任意一个子列也在X中收敛到点x，这个定理称为_________定理。
答案：Bolzano-Weierstrass定理3. 设X、Y是两个度量空间，f:X→Y是一个映射，若对X中任意一致收敛的序列{an}都有序列{f(an)}一致收敛于f(a)，则称f是一个_________映射。
答案：连续映射4. 在一个度量空间中，若集合E能被包含在一列开集内，即E⊆∪(n=1)∞O(n)，则E称为_________集。
答案：可分集5. 在度量空间中，_________是指个别的点被聚集成簇，而某个区域内不能含有过多的点。
答案：Hausdorff性三、计算题1. 已知拓扑空间X为实数集R上的子集，其基本拓扑为以区间(a,b)为开集的集合族T，计算X中元素x=1的极限点。
解答：首先，极限点是指一个点周围存在无穷多的序列点。
对于x=1来说，我们可以构造一个序列{a_n}，其中a_n = 1+1/n。
考研拓扑学试题及答案
考研拓扑学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在拓扑学中，一个集合的子集被称为开集，如果它是全空间的开集。
以下哪个选项不是开集的特征？A. 包含空集B. 任意两个开集的交集是开集C. 任意有限个开集的并集是开集D. 任意无限个开集的并集不是开集2. 拓扑空间中的一个基本性质是连续性。
以下哪个选项不是连续函数的特征？A. 函数的逆像是开集B. 函数的值域是开集C. 函数的图像是连续的曲线D. 函数在其定义域内连续3. 以下哪个命题是正确的？A. 有限个连通空间的不交并仍然是连通的B. 任意个连通空间的不交并是连通的C. 任意个连通空间的并集是连通的D. 有限个连通空间的并集是连通的4. 在拓扑空间中，一个点的闭包是指包含该点的最小闭集。
以下哪个说法是错误的？A. 闭包是闭集B. 闭包包含该点的所有邻域C. 闭包是唯一的D. 闭包可能是开集5. 以下哪个选项不是紧空间的特征？A. 任意开覆盖都有有限子覆盖B. 任意序列都有收敛的子序列C. 任意闭区间是紧的D. 任意闭集在空间中是紧的6. 拓扑空间中的分离公理是描述空间中点和子集之间关系的一种性质。
以下哪个选项是错误的？A. T0空间中，每个点由其闭包唯一确定B. T1空间中，每个点由其开核唯一确定C. T2空间中，任意两个不同点都由不相交的开集分离D. T3空间中，任意闭集和任意开集都由不相交的开集分离7. 以下哪个命题是错误的？A. 任意两个拓扑空间的乘积空间是豪斯多夫空间B. 任意两个豪斯多夫空间的乘积空间是豪斯多夫空间C. 任意两个紧致空间的乘积空间是紧致的D. 任意两个可数紧空间的乘积空间是可数紧的8. 以下哪个选项不是局部紧空间的特征？A. 每个点都有一个紧致的邻域B. 空间本身是紧致的C. 每个点都有一个开集邻域，其闭包是紧致的D. 每个点都有一个紧致子集作为其邻域9. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个拓扑空间的和空间是豪斯多夫空间B. 任意两个豪斯多夫空间的和空间是豪斯多夫空间C. 任意两个紧致空间的和空间是紧致的D. 任意两个可数紧空间的和空间是可数紧的10. 在拓扑空间中，一个点的导集是指所有包含该点的序列的极限点的集合。
最新拓扑学基础试题及解答
“拓扑学基础”试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设{1,2,3}X =，则下列是X 的拓扑的是【 A 】A 、{,,{1}}X φB 、{,,{1,2},{2,3}}X φC 、{,,{2},{3}}X φD 、{,,{1},{2},{3}}X φ2、下列有关连续映射:f X Y →正确的是【 B 】A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集C 、Y 中的任何一个子集A ，有11()()f A f A --⊂D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射3、设X 和Y 是两个拓扑空间，A 是X 的一个子集，则下列错误的是【 C 】A 、若:f X Y →是连续的，则|:A f A X →也是连续的B 、若:f X Y →是一个同胚，则|:()A f A f A →也是一个同胚。
C 、:()f X f X →是一个连续映射，则:f X Y →不一定是一个连续映射D 、若X 可嵌入Y ，则X 的任何一个子空间也可嵌入Y4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=【 D 】A 、A A -'⋂B 、00A A ''⋃C 、0()A ∂D 、()X A ∂-5、下列有关连通性的命题正确的是【 C 】A 、若A 和B 是拓扑空间X 中的两个隔离子集，且X A B =⋃，则X 是不连通的。
B 、有理数集Q 作为实数空间子空间是一个连通空间C 、若12,Y Y 均为X 的连通子集，且12Y Y φ⋂≠，则12Y Y ⋃也是X 的一个连通子集D 、设Y 是X 的一个连通子集，Z X ⊂，若Y Z ⊂，则Z 也是X 的一个连通子集6、下列拓扑性质中，没有继承性的是【 D 】A 、1T 空间B 、2T 空间C 、3T 空间D 、4T 空间7、下列有关命题，正确的是【 B 】A 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是局部连通的B 、若拓扑空间X 是道路连通的，则X 一定是连通的C 、若拓扑空间X 是局部连通的，则X 一定是道路连通的D 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是道路连通的8、下列有关实数空间，不正确的是【 D 】A 、它满足第一可数性公理B 、它满足第二可数性公理C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D 、它的任何一个子空间都是连通的9、下列有关Lindel öff 空间的描述正确的是【 A 】A 、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Linde öff 空间B 、任何一个Lindel öff 空间都是第二可数性空间C 、Lindel öff 空间的子空间还是Linde öff 空间D 、满足第一可数性公理的空间的每一个子空间都是Linde öff 空间10、设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是【 C 】A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=二、填空题（每空2分，共20分）请将答案写在横线上。
答案-拓扑学基础
东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页一、填空题：（每空2分，共20分）1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ∅，{,,{1}}X ∅， {,,{2}}X ∅，{,,{3}}X ∅。
（注：答案不唯一，正确即可）2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。
3．字母Y 的割点个数为 无穷 。
字母T 中指数为3的点个数为 1 。
4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。
二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ）A 连通空间一定是道路连通空间B 道路连通空间一定是连通空间C 道路连通空间一定局部道路连通D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ）A 紧空间的闭子集紧致B 紧致空间未必局部紧致C 有限空间一定不紧致D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ）A 离散空间都是1T 空间B 2T 空间中单点集是闭集C ¡赋予余有限拓扑不是2T 空间D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ）A 紧致性B 连通性C 道路连通性D 商映射三、计算题：（共16分）1．在¡上赋予余有限拓扑，记¤为有理数集合，[0,1]I =。
试求'¤和I 。
（4分） 答：'=ぁ，I =¡。
2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。
（8分）答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。
拓扑学基础试题及答案
拓扑学基础试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，以下哪个概念不是基本的？A. 开集B. 闭集C. 连续函数D. 距离函数答案：D2. 以下哪个选项不是拓扑空间的性质？A. 空集和整个空间是开集B. 任意开集的并集是开集C. 有限个开集的交集是开集D. 任意集合的补集是闭集答案：D3. 在拓扑学中，两个拓扑空间之间的映射被称为？A. 同胚B. 连续映射C. 同伦D. 同调答案：B4. 拓扑空间中的邻域系统是指？A. 包含某点的所有开集的集合B. 包含某点的任意集合的集合C. 包含某点的有限个开集的交集D. 包含某点的任意开集答案：A5. 拓扑空间中的连通性是指？A. 空间不能被分割成两个不相交的非空开集B. 空间中的任意两点都可以通过连续路径相连C. 空间中的任意两点都可以通过直线相连D. 空间中的任意两点都可以通过曲线相连答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间中任意两个不同的点都存在不相交的邻域，则称该空间为________。
答案：豪斯多夫空间2. 拓扑空间中的紧致性是指该空间的任意开覆盖都有________。
答案：有限子覆盖3. 拓扑空间中的连通空间是指不能表示为两个不相交的非空开集的并集的空间，这种性质也称为________。
答案：不可分割性4. 拓扑空间中的基是指由开集构成的集合，使得空间中的每一个开集都可以表示为基中集合的________。
答案：并集5. 拓扑空间中的同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射的连续映射，并且其逆映射也是连续的，这种映射也称为________。
答案：同胚映射三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述拓扑空间中闭集的定义。
答案：在拓扑空间中，如果一个集合的补集是开集，则称该集合为闭集。
2. 请解释什么是拓扑空间中的同伦等价。
答案：如果存在两个拓扑空间之间的连续映射，使得这两个映射的复合与各自空间上的恒等映射是同伦的，则称这两个空间是同伦等价的。
拓扑学基础答案
拓扑学基础（数学教育本科）试卷参考答案一、单项选择题1、C2、A3、B4、A5、A6、C7、D 8、A 9、B 10、D二、填空题11、满射 12、同胚 13、A 的补集A '是一个开集 14 、Y B 15、可分 16、一 17、x 和y 连通18、X ，)(x f 19、Y 中每一个开集U 的原象)(1U f -是X 中的一个开集三、名词解释题1、如果存在一个从集合X 到正整数集Z +的单射，则称集合X 是一个可数集。
2、设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件：（1）∈φ,X T ，（2）若A ，∈B T ，则∈B A T ，（3）若T ⊂1T ，则1A ∈∈ T T ，则称T 是X 的一个拓扑。
偶对（X ，T ）是一个拓扑空间。
3、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1:Y →X 都是连续的，则称f 是一个同胚映射。
4、设X 是一个拓扑空间，如果对于任何x 、y ，存在X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），则称X 是一个道路连通空间。
5、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个A 1空间。
6、一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A 2空间。
7、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间。
8、设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交，则称拓朴空间X 是一个正则空间。
9、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。
10、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间。
四、判断题1、√2、√3、×4、×5、√6、×7、√ 8、× 9、√ 10、× 11、√ 12、×五、解答与证明题1、解：（1）1T 不是X 的拓扑，这是因为∈},{b a 1T ，∈},{d b 1T ，但∈/=}{},{},{b d b b a 1T（2）2T 是X 的拓扑，满足拓扑的定义2、证∵()()()()A B A B d A B A B d A d B ==B A B d B A d A ==))(())((3、证：∵B B A A B A ⊂⊂ ,，故A B A ⊂ ，B B A ⊂∴B A B A ⊂5、设Y 是紧致空间X 中的一个闭子集，如果A 是Y 的一个覆盖，它由X 中的开集构成，则B =A {Y '}是X 的一个开覆盖，设1B 是2B 的一个有限子族并且覆盖X ，则1B }{Y '-便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，这说明Y 是X 的一个紧致子集。
江西师范大学-拓扑学期末考试试卷
考 试 卷
年级级专业(学科)数学与应用数学2018—2019学年二学期
课程号：课程名称：拓扑学A卷
考试形式：闭卷其他要求：
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
A、若Card X小于等于Card Y，则X是Y的子集。
B、若X是Y的子集，则Card X小于Card Y。
C、若X是Y的子集，则Card X小于等于Card Y。
D、若X不等于Y，则Card X不等于Card Y。
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、设 ，下列集族中，（）是X上的拓扑。
A、 B、
C、 D、
2、设 ，拓扑 ，则 （）。
A、 B、XC、 D、
3、设 ，拓扑 ，则X中既开又闭的子集的个数是（）。
A、2B、3C、4D、5
4、离散空间的任一子集为（）
A、开集B、闭集C、既开又闭D、非开非闭
5、对于任意集合X, Y, Z，下面命题正确的是( )。
1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射。
2、集合X上任意两个拓扑的并还是X上的一个拓扑。
3、拓扑空间中收敛序列的极限是唯一的。
四、解答与证明题(本大题共2小题，每小题7分，共14分)
1、求平庸空间X中集合的导集及其闭包。
2、设X和Y是两个同胚的拓扑空间，且X是可度量化的。证明：Y也是可度量化的。
1、在实数空间中，区间[0，1]的内部是，边界为。
2、恰有2个元素的集合一共有个拓扑，恰有3个元素的集合一共有个拓扑。
拓扑考试题及答案
拓扑考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 拓扑空间中，以下哪个概念描述的是任意两个点之间都存在连续路径相连？A. 连通性B. 紧致性C. 完备性D. 可分性答案：A2. 在拓扑学中，闭集的定义是什么？A. 包含其所有极限点的集合B. 其补集是开集的集合C. 仅包含其自身点的集合D. 不包含任何极限点的集合答案：B3. 拓扑空间中的紧性与序列紧性之间有何关系？A. 紧性意味着序列紧性B. 序列紧性意味着紧性C. 两者之间没有必然联系D. 紧性等价于序列紧性答案：A4. 以下哪个性质不是拓扑空间的Hausdorff性质？A. 任意两个不同的点，都存在不相交的开集包含它们B. 任意两个不同的点，都存在包含它们的开集C. 任意两个不同的点，都存在不相交的邻域D. 任意两个不同的点，都存在不相交的开集包含它们答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 拓扑空间中，如果任意两个开集的交集都是开集，则称该拓扑空间满足__________公理。
答案：任意交集2. 拓扑空间中，如果任意有限个开集的并集都是开集，则称该拓扑空间满足__________公理。
答案：有限并集3. 拓扑空间中，如果空集和整个空间都是开集，则称该拓扑空间满足__________公理。
答案：空集和全集4. 在拓扑空间中，如果一个集合的补集是开集，则称该集合为__________。
答案：闭集三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述拓扑空间中连续函数的定义。
答案：拓扑空间中连续函数是指，对于任意一个开集的原像也是开集的函数。
2. 描述拓扑空间中紧致性的定义。
答案：拓扑空间中紧致性的定义是，该空间的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
3. 什么是拓扑空间中的分离公理，它有哪些级别？答案：分离公理是拓扑空间中描述点与点之间、点与集合之间、集合与集合之间分离程度的公理。
它包括T0、T1、T2（Hausdorff）、T3、T4（Normal）、T5（完全正则）和T6（完全正规）等级别。
拓扑测试题(1)
测试题一一、选择题（每小题2分，共10分）1.下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（）A. 列紧B. 序列紧C. 可数紧D. 紧致2.下列拓扑性质中，没有遗传性的是（）A. 空间B. 空间C. 空间D. 空间3.下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（）A. 空间B. 空间C. 空间D. 空间4.设X多于两点，是X的两个拓扑，则下列命题不成立的是（）(A) 是X的某个拓扑的基;(B) 是X的一个拓扑;(C) 是X的一个拓扑;(D) 是X的某个拓扑的基。
5.设A为度量空间的任一非空子集,则下列命题不成立的是（）(A) 为A的边界点当且仅当(B) 为A的聚点当且仅当(C) 为A的内点当且仅当;(D) 当且仅当.二、判断题（每小题5分，共25分）1.仿紧空间是度量空间.（）2.商映射一定是闭映射或开映射. （）3.局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （）4.连通空间一定是局部连通空间. （）5.若连续，则，使不可数. （）三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）1.举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.2.设，试写出上的所有拓扑.四、证明题（每小题10分，共40分）a)若满足公理，则中任一子集的导集都是闭集.b)证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.c)证明至少有两个点的T4空间的连通子集一定是不可数集.d)证明为Hausdorff空间当且仅当是的闭集.测试题二一、（15分）（1）叙述“T是集合X上的拓扑”的定义；（2）证明：T=是X上的一个拓扑.二、（15分）(1)叙述完备格的定义；（2）设是偏序集，证明：若L的每个子集有下确界，则L是一个完备格.三、（10分）设，，求分别在数直线T) 及可数补空间T)中的闭包和内部.四、（15分）（1）叙述空间的定义；（2）证明：若T)是的,则X内每个网至多有一个极限点.五、（10分）设T ), W) 是两个拓扑空间，,,(1)叙述是开映射的定义,(2)证明:是T W连续的当且仅当W, T六、（10分）（1）叙述紧空间的定义；（2）证明：空间的每个紧子集是闭的.七、（15分）（1）叙述：“是集合X上的一个度量”的定义；（2）证明：若度量空间是可分的，则它是第二可数的..测试题三一、（每题3分，共24分）1.任意多个连通空间的积空间一定是连通的.2.紧度量空间的每一个开覆盖都有Lebesgue数.3.局部连通空间的闭子集也是局部连通的.4.任意个道路连通空间的积空间一定是道路连通空间.5.任意个紧致空间的积空间一定是紧致空间.6.度量空间紧致的充要条件是上的任意一个连续函数都是有界的.7.若A在X中稠密，B在A中稠密，则B一定在X中稠密.8.可分空间一定满足公理二、（20分）设是一个度量空间。
上学期拓扑学考试试卷及答案
大学拓扑学考试试卷参考答案（A ）一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=TB. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=TC. {,,{},{,}}X a a b φ=TD. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43、在实数空间中，整数集Z 的内部Z o 是（ ）A. φB. ZC. R -ZD. R4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）A. 若A φ=,则d A φ=B. 若0{}A x =,则d A X =C. 若A={12,x x },则d A X A =-D. 若12{,}A x x =,则d A A =5、平庸空间的任一非空真子集为( )A. 开集B. 闭集C. 既开又闭D. 非开非闭二、简答题（每题3分，共15分）1、2 A 空间2、1T 空间：3、不连通空间4、序列紧致空间5、正规空间三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（ ）4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( )四、证明题（共50分）1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明:g f X Z →o 也是连续映射。
拓扑学期末考试题及答案
拓扑学期末考试题及答案一、选择题（共20题，每题2分，共40分）1. 拓扑学的基本研究对象是：A. 点B. 线C. 面D. 拓扑空间答案：D2. 拓扑学中的同胚关系是指：A. 相似但不完全相同的两个拓扑空间B. 可由连续映射建立起来的两个拓扑空间C. 有相同的拓扑结构的两个拓扑空间D. 具有同样的几何性质的两个拓扑空间答案：C3. 拓扑学中的紧集是指：A. 有界闭合集B. 无限集合C. 有限集合D. 开集答案：A4. 拓扑空间中的度量是用来衡量：A. 点的位置关系B. 集合的大小C. 集合的连接性D. 集合中元素之间的距离答案：D5. 拓扑学中的连通性是指：A. 一个集合内部的连接性B. 一个集合外部的连接性C. 一个集合与其他集合的连接性D. 一个集合内部和外部的连接性答案：A6. 拓扑空间中的完备性是指：A. 所有点都能找到相邻点B. 所有点都能找到非相邻点C. 不存在孤立点D. 所有柯西序列都有极限点答案：D7. 拓扑学中的邻域是指：A. 包含某点的开集B. 包含某点的闭集C. 与某点连通的集合D. 与某点不相交的集合答案：A8. 拓扑学中的连续映射是指：A. 映射后保持拓扑结构不变B. 映射后改变拓扑结构C. 映射前后的关系D. 映射的性质答案：A9. 拓扑学中的嵌入是指：A. 一种映射关系B. 一种集合运算C. 一种连通性D. 一种对应关系答案：A10. 拓扑学中的同伦是指：A. 具有相同基本形状的两个拓扑空间B. 可以通过连续变形相互转换的两个拓扑空间C. 有相同拓扑结构但不是同胚的两个拓扑空间D. 具有完全相同性质的两个拓扑空间答案：B11. 拓扑学中的欧拉示性数是指：A. 拓扑空间内部与外部连接性的关系B. 拓扑空间的维数C. 拓扑空间的曲率D. 拓扑空间的性质答案：A12. 拓扑学中的同调是指：A. 研究拓扑空间对某个场的影响B. 研究拓扑空间的连通性C. 研究拓扑空间的变形性质D. 研究拓扑空间的代数性质答案：D13. 拓扑学中的拓扑原则是：A. 基于几何形状的研究方法B. 基于其他学科的交叉研究方法C. 基于代数方程的研究方法D. 基于集合论的研究方法答案：D14. 拓扑学中的Hausdorff空间是指：A. 没有孤立点的拓扑空间B. 具有一定连通性的拓扑空间C. 任意两点都能分离的拓扑空间D. 具有完备性的拓扑空间答案：C15. 拓扑学中的同调群是指：A. 拓扑空间中某类映射的代数群B. 拓扑空间某类覆盖的代数群C. 拓扑空间中某类空间的代数表示D. 拓扑空间中某类链的代数群答案：A16. 拓扑学中的拓扑分类是指：A. 将拓扑空间按照某个特定的分类标准进行归类B. 利用拓扑变换将拓扑空间分类C. 将拓扑空间按照其代数性质进行分类D. 利用大数定律对拓扑空间进行分类答案：A17. 拓扑学中的拓扑基是指：A. 由拓扑空间的子集生成的拓扑结构B. 由拓扑变换生成的拓扑结构C. 由闭集生成的拓扑结构D. 由开集生成的拓扑结构答案：D18. 拓扑学中的拓扑核是指：A. 一种拓扑映射的特殊性质B. 一种拓扑空间的代数性质C. 一种连通性的性质D. 一种闭集的性质答案：A19. 拓扑学中的四色定理是指：A. 任何地图都可以用四种颜色进行染色B. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，但可能会有重叠部分C. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，且相邻区域颜色不同D. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，且相邻区域颜色不同且不重叠答案：D20. 拓扑学在实际应用中的一个重要领域是：A. 计算机科学B. 物理学C. 生物学D. 全部都是答案：D二、填空题（共10题，每题2分，共20分）1. 拓扑学最早由________ 提出。
拓扑学期末考试题及答案
拓扑学期末考试题及答案拓扑学是一门研究空间性质的数学分支，它关注的是空间中的对象在连续变换下保持不变的性质。
以下是一份模拟的拓扑学期末考试题及答案：# 拓扑学期末考试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是拓扑空间的公理？A. 空集和全空间是开集B. 有限个开集的并集是开集C. 任意个开集的交集是开集D. 任意两个集合的并集是开集答案：D2. 拓扑空间中的连续映射是指：A. 映射的逆像总是开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像总是交集D. 映射的逆像总是并集答案：A3. 以下哪个概念不是拓扑学中的基本概念？A. 邻域B. 极限点C. 稠密性D. 线性无关答案：D二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是紧致性，并给出一个紧致空间的例子。
答案：紧致性是拓扑空间中的一种性质，指的是空间中的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
一个典型的紧致空间的例子是闭区间 [0, 1]，它在实数线上的欧几里得拓扑中是紧致的。
2. 解释什么是连通性，并给出一个连通空间的例子。
答案：连通性是指拓扑空间不能被分为两个非空的分离的开子集。
实数线上的整个空间 R 就是一个连通空间，因为它不能被分为两个不相交的开子集。
3. 什么是同胚映射？请给出一个例子。
答案：同胚映射是一种特殊的连续双射映射，它和它的逆映射都是连续的。
一个典型的同胚映射的例子是单位圆盘与单位球面的同胚映射，它们在拓扑上是相同的。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个拓扑空间 X，证明如果 X 是紧致的，那么它的任意子空间也是紧致的。
答案：假设 X 是紧致的，我们需要证明 X 的任意子空间 Y 也是紧致的。
考虑 Y 的任意开覆盖{U_i ∩ Y}，其中 {U_i} 是 X 的开覆盖。
由于 X 是紧致的，存在有限个 U_i1, U_i2, ..., U_in 使得它们的并集覆盖了 X。
显然，这些 U_i 的交集覆盖了 Y，因此 Y 是紧致的。
拓扑学试题
拓扑学试题一、选择题1. 拓扑空间的下列哪项不是其基本性质？A. 任意两个开集的并集是开集。
B. 有限个开集的并集是开集。
C. 开集的任意交集是开集。
D. 空集和整个空间是开集。
2. 以下哪个拓扑是离散拓扑？A. 欧几里得拓扑。
B. indiscrete 拓扑。
C. 拓扑中只有空集和整个空间是开集。
D. 每个单点集都是开集的拓扑。
3. 在拓扑学中，紧致性的定义是什么？A. 每个开覆盖都有有限子覆盖。
B. 每个闭覆盖都有有限子覆盖。
C. 空间中的每个序列都有一个收敛的子序列。
D. 空间中任意两点之间存在连续路径。
4. 以下哪个概念是描述拓扑空间中点与集合之间关系的？A. 邻域。
B. 边界。
C. 内部。
D. 闭包。
5. 什么是连续函数？A. 保持拓扑结构不变的函数。
B. 使得预像和像在拓扑上同胚的函数。
C. 使得像集是连续集的函数。
D. 其逆映射也是连续的函数。
二、填空题1. 在拓扑空间中，一个集合是开集的充分必要条件是它的补集是__________。
2. 一个拓扑空间是连通的，当且仅当不能将其表示为两个__________的非空子集的并集。
3. 在度量空间中，两点之间的距离是指连接这两点的__________的长度。
4. 一个集合的闭包是包含该集合所有__________点的最小闭集。
5. 紧致性的一个重要性质是，紧致空间的任何__________都是有限的。
三、简答题1. 请简述拓扑空间中“开集”和“闭集”的定义及其之间的关系。
2. 描述紧致性在拓扑学中的重要性，并给出一个紧致性的应用实例。
3. 解释什么是邻域，并给出一个具体的例子来说明邻域的概念。
4. 讨论连续函数在数学分析中的应用及其重要性。
5. 阐述度量空间与拓扑空间之间的关系。
四、证明题1. 证明：在紧致空间中，有界闭集是紧致的。
2. 证明：连续函数的复合（两个连续函数的组合）也是连续的。
3. 证明：在度量空间中，Hausdorff 距离的三角不等式成立。
拓扑学A答案
研究生试卷 2009─2010学年 第 2 学期拓扑学基础课程试卷(A 卷)答案与评分标准一、（10分）设B A 、都是拓扑空间X 的子集，并且A 是开集，证明：B A B A ⋂⊂⋂. 证：B A x ⋂∈，U 是x 的任一开邻域，则A U ⋂也是x 的开邻域，从而B A U ⋂⋂)(φ≠（因为B x ∈），………………………………………5分)(B A U ⋂⋂φ≠，于是B A x ⋂∈……………………………………………10分二、（10分）设Y X f →：是映射，证明以下条件等价：（1）f 是连续映射；（2）Y 的任一开集在f 下的原像是X 的开集；（3）Y 的任一闭集在f 下的原像是X 的闭集。
证：（1）⇒（2）设V 是Y 的开集，)(1V fU -=.任意V U x ，∈是)(x f 的邻域，由于x f 在连续，U x 是的内点，由x 的任意性，O U U =是开集。
………………………………………3分（2）⇒（3）设F 是Y 的闭集，则c F 是开集，因此)(1C F f -是X 的开集，于是c c F f F f ))(()(11--=是是X 的闭集。
………………………………………6分（3）⇒（1）设V 是)(x f 的邻域，)(1V f U -=,因为c c o o V f V f )))((()(11--=是开集（闭集c o V )(的原像))((1c o V f -是闭集），且U V f x o ⊂∈-)(1，所以U 是x 的邻域，有定义，连续。
在x f ……………10分三、（10分）设R 的子集族B }|){[b a b a <=，生成R 的下极限拓扑τ，证明：)[b a ，在拓扑空间（τ，R ）中既是开集，又是闭集。
证明：)[b a ，∈B ，从而是（τ，R ）中的开集. ………………………………………4分又因为 N n cn b b a n a b a b a ∈+⋃-=∞+⋃-∞=))()([)([)())([，，，，，也是开集，所以)[b a ，是闭集。
拓朴学基础试题
四川理工学院宜宾教学点《拓朴学》考试A 卷(满分:100分 考试时间:120分钟)学号 姓名 专业 工作单位一、单项选择题（本题共5个小题,每小题2分，共10分）1、设{,,}X a b c =,那么( )是X 的一个拓扑.A.{,,{},{}}X a b φB.{,,{},{}}X a c φC.{,}X φD.{,,{,},{,}}X a b a c φ2、下列实数空间 中的区间同胚的一组是 ( )A.[,]a b ,(,]a bB.(,),(0,1)-∞+∞C.(,)a b ,[,]a bD.(,),(,]a b a b3、下列说法正确的是 ( )A.Lindeloff空间一定是2A 空间 B.度量空间一定是2A 空间 C.可分空间一定是2A 空间 D.2A 空间一定是可分空间4、在拓扑空间(,)X τ中,A X ⊂,若( ),则称x 是集合A 的一个边界点.A.对于x 的任何一个邻域U ,既有U A φ≠ ,又有U A φ'≠ ;B.x 有一个邻域U ,使得U A φ≠ ,而U A φ'= ;C.x 有一个邻域U ,既有U A φ≠ ,又有U A φ'≠ ;D.对于x 的任何一个邻域U ,使得U A φ≠ ,而U A φ'= .5、( )不一定是隔离的.A.离散空间中任何两个无交的子集B.两个不同的连通分支C.两个无交的闭子集D.两个无交的开子集二、填空题（本题共10个小题,每小题2分，共20分）1、设X 为由n 个互不相同的元素构成的集合,X 的幂集()X P 中有( )个 互不相同的元素.2、设X 和Y 是两个集合,:f X Y →,则对于任意B Y ⊂,B ( )1(())f f B -.3、如果存在一个从集合X 到正整数集+ 的( ),则称集合X 是一个可数集.4、拓扑学的中心任务便是研究( )性质.5、拓扑空间中的每一个开集都能表为( )中若干成员之并.6、如果拓扑空间X 是一个道路连通空间,则X 必然是一个( ).7、拓扑空间X 是一个( )空间当且仅当X 中任意两个不同的单点集有不同 的闭包.8、设X 是一个拓扑空间,如果X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖,则称X 是一个( )空间.9、Hausdorff 空间中的任何一个收敛序列只有一个( ). ( )是一个满的连续开映射.三、简述题（本题共4个小题,每个小题5分，共20分）2、简述拓朴学中的介值定理与不动点定理。
《拓朴学》题库及答案
《拓扑学》题库及答案一、单项选择1．关于笛卡儿积，下面等式成立的是（A ）)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯=-⨯- （B ）)()()()(D C B A D B C A I I I ⨯=⨯⨯ （C ）)()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y （D ）D B C A ⨯⊆⨯当且仅当D C B A ⊆⊆,2．设Y X f →:是映射，)(,,X B A P ∈，)(,Y D C P ∈，则下面结论不成立的是： （A ）)()()(111D f C f D C f ---=Y Y （B ）)()()(111D f C f D C f---=I I（C ）)()()(B f A f B A f Y Y = （D ）)()()(B f A f B A f I I =3．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }2{是：（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，也非闭集4．设R R →2:d 为映射，（R 表示实数集合），R ∈∀y x ,，下面关于d 的定义中是R 的度量的是：（A ）2(,)()d x y x y '=- （B ）22),(y x y x d -=（C ）||||),(y x y x d += （D ）⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 01),(5．设)T ,(X 是平庸拓扑空间，b a X b a ≠∈,,，则交错序列Λb a b a ,,,在拓扑空间)T ,(X 中的收敛点集合是： （A ）∅ （B ）}{a （C ）},{b a （D ）X6．设}},{},{,,{},3,2,1{},,,{1b a a X Y c b a X ∅===T ，}}2{},3,2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}{b A =，}1{=B ，则在积空间Y X ⨯中B A ⨯等于（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b7．设},,,{d c b a X =，{,,{,,},{,,},{,}}x a b c b c d b c =∅T ，},,{d c a Y =，},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部等于：（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a8．拓扑空间的Lindel öff 性，可分性，紧致性，完全正则性中是有限可积性质的有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 9．下列拓扑空间的蕴涵关系中，成立的有完全正则空间⇒正则空间，完全正则空间⇒正规空间，连通空间⇒局部连通空间， 度量空间⇒可分空间，度量空间⇒Lindel öff 空间（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个10．拓扑空间的可分性，紧致性，Lindel öff 性，连通性中在连续射下保持不变的性质有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 11．设X X R ⨯⊆是一个等价关系，则R 不满足的条件是（A ）R X ⊆∆)( （B ）R ∩R -1=∅ （C ）R R R ⊆ο （D ）1-=R R12．设Y X f →:是映射，)(}|{X J A P ⊆∈αα，)(}|{Y r B r P ⊆Γ∈则下面等式中不成立的是 （A ）)()(ααααA f A f JJ∈∈=Y Y （B ）)()(ααααA f A f JJ∈∈=II（C ）)()(11r r r r B f B f-Γ∈Γ∈-=Y Y （D ）)()(11r r r r B f B f -Γ∈Γ∈-I I13．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }1{是：（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集14．设},,{c b a X =，}},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间)T ,(X 中常值序列Λ,,a a 的 收敛点集合是 （A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ） X15．设},,{c b a X =，}3,2,1{=Y ，}{},{},{,,{c b a X ∅=1T ，}}3,2{},2{},2,1{,,{Y ∅=2T ，}2,1{},,{==B b a A ，则在积空间Y X ⨯中，0)(B A ⨯等于：（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(a a （C ）}{)2,(),1,(b b （D ）}{)2,(),1,(),2,(),1,(b b a a16.设},,,{d c b a X =，}},{},,,{},,,{,,{d c d c a d c b X ∅=T ，}{},,,{c A d c a Y ==，则在子空间Y 中，A 的闭包等于（A ）}{c （B ）},{a c （C ）},{b c （D ）},,{c d a17．设)T ,(X 是拓扑空间，)T ,(X 是可度量空间是指存在X 的度量R →2:X d 使得由d 诱导的拓扑d T 满足： (A)T T ⊆d (B)d T T ⊆ (C)d T T = (D))(X P T d = 18．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性, 正规性、完全正则性中是遗传性质的有 （A ）1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 19．下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有满足第二可数理空间⇒可分空间 度量空间⇒Lindel öff 空间 正规空间⇒完全正则空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个20．设),(T X 是拓扑空间，则对X 中任意两个不相交闭集B A ,存在连续映射]1,0[:→X f 使得}0{)(⊆A f ，}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：（A ）正则空间 （B ）完全正则空间 （C ）正规空间 （D ）4T 空间 21．设X 是全集，,()A B X ∈P ，A B ⊆则当且仅当（A ）∅='B A I （B ）∅='B A I （C ）A B A =Y （D ）B B A =I 22．设Y X f →:是映射，,()A B y ∈P ，则下面结论不成立的是（A ）)()()(111B f A f B A f ---=Y Y （B ）111()()()f A B f A f B ---=I I （C ）)()()(111B f A fB A f----=- （D ）()B B f f =-)(123．在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中，子集+⨯Z }2{是（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集 24．定义度量R R R →⨯22:d ，),(21x x x =∀，221),(R ∈=y y y ，}{|||,|m ax ),(2211y x y x y x d --=，则度量空间（d ,2R ）中的单位球是（A （B ）（C （D ）25．设)T ,(X 是离散拓扑空间，b a X b a ≠∈,,, 则在)T ,(X 中交错序列Λb a b a ,,,的收敛点集合是 （A ）∅ (B) }{a (C) },{b a (D)X26．设},,,,{d c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X T ∅=，},,{c b a Y =，}{b A =，则在子空间Y 中A 的闭包等于（A ）}{b （B ）},{b a （C ）},{c b （D ）},,{c b a27．设}3,2,1{},,,{==Y c b a X ，}{,,{,},{},{,}X a b b b c =∅1T ，}{}2,1{},1{,,2Y ∅=T ，},{c b A =，}3,1{=B 则在积空间Y X ⨯中()o A B ⨯等于（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(b b （C ）}{)1,(),1,(c b （D ）}{(,1),(,2),(,1),(,2)b b c c28．拓扑空间的连通性、紧致性、可分性、完全正则性，Lindel öff 性，满足第二可数公理性中是可遗传性质的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 29．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有：满足第二可数合理空间⇒可分空间， 度量空间⇒满足第一可数公理空间 完全正则空间⇒正则空间， 紧致空间⇒Lindel öff 空间 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个}0{)(⊆A f ，}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：（A ）正则空间 （B ）完全正则空间 （C ）正规空间 （D ）4T 空间 31．设f Y X f ,⨯⊆是映射，则f 满足的条件是 （A ）X Y f =-)(1；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21y y =（B ）X Y f=-)(1；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21x x =（C ）Y X f =)(；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21y y = （D ）Y X f =)(；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21x x =32．设,,(),,(),R X Y A B Y C D X ⊆⨯∈∈P P 则下面等式成立的是 （A ）)()()(111B R A R B A R---=Y Y （B ）)()()(111B R A R B A R ---=I I（C ）)()()(D R C R D C R I I = （D ）)()()(D R C R D C R -=- 33．在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中，子集+⨯Z }2{是（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集 34．设),(d X 是度量空间，d T 是X 的由d 诱导的拓扑，dU ∈T ，则下列关于U 的结论不正确的是（A ）存在0,>∈εX x 使得),(εx B U =（B ）+∈∃∈∀Z n U x ,使得U nx B ⊆)1,(（C ）0,>∃∈∀εU x 使得U x B ⊆),(ε（D ）存在}0,|),({>∈⊆εεX x x B U B 使得U U =U B35．设},,,{c b a X =}{},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间),(T X 中常值序列,,,a a a …的收敛点集合是 （A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ）X36．设},,,{c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X ∅=T ，},,,{d c a Y =},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部是（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a37．设},,,{c b a X =},3,2,1{=Y }},{},{,,{b a a X ∅=1T ，}}3,2{},2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}1{},{==B b A ，则在积空间Y X ⨯中，B A ⨯等于（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b38．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性，紧致性，正规性，连通性中是有限可积的性质有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 39．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 局部连通空间⇒连通空间 满足第二可数公理空间⇒可分空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 度量空间⇒可分空间}1{)(,0)(⊆=A f x f 当且仅当),(T X 是（A ）1T 空间 （B ）正规空间 （C ）完全正则空间 （D ）4T 空间二．证明题1.设Y X ,是两个拓扑空间，Y X f →:是映射，证明若f 是连续映射，则)(Y B Ρ∈∀，11()(())o o fB f B --⊆。
拓扑学智商测试题及答案
拓扑学智商测试题及答案一、选择题1. 拓扑学中的“邻域”概念是指：A. 一个点的集合B. 一个点的周围区域C. 一个点的极限点集合D. 一个点的开集答案：B2. 在拓扑空间中，以下哪个不是连续函数的性质？A. 函数的极限存在B. 函数的值域连续C. 函数的图像是连续曲线D. 函数的逆映射是开集答案：D3. 拓扑空间中的“紧致性”意味着：A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间是有限维的D. 空间是可数的答案：A二、填空题4. 拓扑空间中的“开集”是指满足_________条件的集合。
答案：任意有限个开集的并集仍然是开集5. 拓扑空间中的“闭集”是指其补集是_________的集合。
答案：开集6. 拓扑空间中的“连通性”是指空间不能被分解成至少两个非空的_________。
答案：开集三、简答题7. 简述拓扑空间中的“邻域基”概念。
答案：邻域基是指对于拓扑空间中的每一点x，存在一个邻域的集合，使得x的任何邻域都包含这个集合中的至少一个邻域。
8. 解释拓扑空间中的“分离性”。
答案：分离性是指在拓扑空间中，任意两个不同的点都存在不相交的开集，使得每个点都在其对应的开集中。
四、论述题9. 论述拓扑空间中的“同胚”概念及其在拓扑学中的重要性。
答案：同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射，这个双射及其逆映射都是连续的。
同胚是拓扑学中研究空间性质的一种等价关系，它允许我们通过比较同胚的空间来研究它们的共同性质，这在拓扑学的研究中具有基础性的重要性。
10. 讨论拓扑空间中的“紧致性”与“有限覆盖性质”之间的关系。
答案：紧致性是拓扑空间的一种性质，它表明空间中的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
有限覆盖性质是紧致性的一种表述，它说明了空间的“紧凑”程度。
在紧致空间中，任意的开覆盖都可以被缩减到有限的开覆盖，这在解决拓扑空间中的收敛问题和极限问题时非常有用。
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第 1 页 共 1 页 拓扑学 A 卷
注：一、二题答在试题上，三题答在答题纸上. 一、填空题（每小题2分，共20分）
1，实数空间R 的度量是 .
2，设X 是拓扑空间，则它的开集的个数最少为 . 3，拓扑学的中心任务是研究 .
4，设X ={ 0, 1}，拓扑ℑ={φ，{0}，X }，则 1 的邻域系为 .
5，R 是实数空间，A ={
1
n
}n Z +∈，则()d A = . 6，设X 是拓扑空间，A X ⊂，若()A ∂={2，3}，则('A ∂)= .
7，设{1,2,3,4}X =，拓扑{,{1},{2.3},}X φℑ=，{2,4}Y =，则Y
ℑ= .
8，平庸空间的任何一个商空间都是 空间.
9，设1C ，2C 是拓扑空间X 仅有的两个不同的连通分支，则12C C = .
10，设X 是拓扑空间，A X ⊂，A 的邻域的定义是 .
二、选择题（每小题4分，共32分）
1，下列（ ）不是R 中的开集.
A. [0, )+∞
B. (3,- 0)
C. (3,- 0) (0, )+∞
D. (,-∞ )+∞
2，设{,X a = }b ，则X 有（ ）个拓扑. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3，设X 是拓扑空间，D X ⊂，则下列关系正确的为（ ）.
A. ()d D D ⊂
B. D D ⊂
C. D D ⊂
D. ()D D ∂⊂
4，设X 是多于一点的平庸空间，{}i x 为X 中的序列，下列说法正确的是（ ）.
A. {}i x 不收敛
B. {}i x 收敛且极限唯一
C. {}i x 收敛但极限不唯一
D. {}i x 可能收敛也可能不收敛
5，设1{(,1)12}Y x x =-≤≤，2{(,1)}Y x x R =∈，3{(0,)}Y y y R =∈，下列（ ）是2R 的连通子集.
A . 12Y Y B. 23Y Y C. 31Y Y D. 123Y Y Y 6，设X 是离散拓扑空间，且{1,2,3}X =，则X 的连通分支的个数是（ ）.
A . 1 B. 2 C. 3 D. 4
7，下列（ ）可遗传.
A. 平庸空间
B. 连通空间
C. Lindeloff 空间
D. 4T 空间
8，设{1,2,3}X =，拓扑{,{1},{2.3},}X φℑ=，则(,)X ℑ不是（ ）.
A. 2A 空间
B. 可分空间
C. 1T 空间
D. 正则空间
三、证明题(每小题8分，共48分）
1，证明：仅含有有限个点的度量空间都是离散的度量空间.
2，设(,)X ℑ是拓扑空间，∞是任何一个不属于X 的元素, 令
{}X X *=∞ , {{}}{}A A φ*ℑ=∞∈ℑ .
证明: (,)X *
*
ℑ是拓扑空间.
3，设X , Y 是拓扑空间，证明：积空间X Y ⨯同肧于积空间Y X ⨯.
4，设Y 是多于一个点的离散空间，证明：若X 为连通空间，则每一个连续映射
:f X Y →都是常值映射。
5，设X 是一不可数集，拓扑{'u X u ℑ=⊂可数}{}φ . 证明：(,)X ℑ不是1A 空间.
6，设X 是0T 空间，Y 是拓扑空间. 证明：如果:f X Y →为同肧映射, 则Y 也是0T 空间.。