【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案

【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知集合A ＝{x||x|≤2，x ∈R }，B ＝{x|x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2) B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．若,,,,b a R c b a >∈则下列不等式成立的是( ) A ．b
a 11< B ．22
b a > C ．
1
122+>+c b
c a D ．c b c a >
3.下列函数为偶函数，且在)0,(-∞上单调递减的函数是( ) A ．3
2)(x x f = B ．3)(-=x x f
C ．x
x f )2
1()(=
D ．x x f ln )(=
4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β
C ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α
D ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β
5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ，且321,2,4a a a 依次成 等差数列，且11=a , 则10S =( )
A ．512 B. 511 C ．1024 D ．1023 6．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1
sin x 2cos x 2，则f(π
12)的值为( )
A.
83
3
B. 8 C ．4 D. 4 3 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，
x ＋3y ≤4，x ≥－2，
则z ＝x －3y 的最大值为(
)
A ．10
B ．8-
C ．6
D ．4 8．已知0,0>>y x ，且
11
2=+y
x ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取
值范围是（ ）
A ．24-≤≥m m 或 B. 42-≤≥m m 或 C ． 24<<-m D. 42<<-m
9. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )
A ．A ′C ⊥BD
B ．∠BA ′
C ＝90°
C ．CA ′与平面A ′B
D 所成的角为30°
D ．四面体A ′－BCD 的体积为1
3
10. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，,)2(log )(2b x x x f +++= 则3)(>x f 的解集为（ ）
A ．)2,(--∞ ∪ ),2(+∞
B . )4,(--∞∪ ),4(+∞
C ．)2,2(- D. )4,4(-
11. 若直线45π=
x 和4
9π
=x 是函数 )0)(sin(>+=w wx y ϕ 图象的两条相邻对称轴，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．
43π B. 4π C ．3π D. 2
π 12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，[)[)⎪⎩⎪
⎨⎧+∞∈--∈+=,
,1,31,
1,0),1(log )(21x x x x x f
则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（ ） A ．12-a B ．12--a C ．a --21 D ．a 21-
二、填空题（每题5分,共20分）
13. 已知),1,2(),4,1(),3,(===c b k a 且,)32(c b a
⊥-则实数=k _________。

14. 过点 )1,2(-P 且与原点的距离为2的直线方程为_____________。

15. 已知数列{}n a 满足,3,121==a a 且),,2()1()1(211*+-∈≥++-=N n n a n a n na n n n 则
n
a n
的最大值为_________。

16. 已知函数)(x f 的定义域为R,若存在常数k ，使得x k
x f 2017
)(≤对所有实数x 均成立，则称函数)(x f 为“期望函数”
，给出下列函数： （1）2)(x x f = (2)x xe x f =)( (3)1)(2+-=
x x x x f (4)1
)(+=x e x
x f
其中为期望函数的是: ______________(写出所有正确的序号) 。

三、解答题（共六道大题，共70分）
17．（10分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,。

且满足
,sin )(sin sin A b a B b C c -=-
(1) 求角 C 的大小； (2) 若5=c ，求ABC ∆的面积的最大值。

18. （12分）设直线l 的方程为).(02)1(R a a y x a ∈=--++。

（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；
（2）若1->a ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于N M ,两点，O 为坐标原点，求OMN ∆
面积取最小值时，直线l 对应的方程。

19．（12分）设向量 ),2cos ,2(sin wx wx m =→
),sin ,(cos ϕϕ=→
n 其中,0,2
><
w π
ϕ
函数→
→⋅=n m x f )(的图象在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为
)1,6(πP ，在原点右侧与x 轴的第一个交点为 )0,125(π
Q ． (1)求函数)(x f 的表达式；
(2)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.若,2
3,1)(-=⋅-=C f 且
,32=+b a 求边长c ．
20. （12分）正项数列{}n a 的前项和为n S ，)(1242
*∈--=N n a S a n n n
(1) 求数列{}n a 的通项公式；
(2) 若)1)(1()1(411
1++-=+++n n n n n a a a b ，数列{}n b 的前项和为n T ，求证：).(1212*-∈>>N n T T n n
21.（12分）已知函数)(x f =1-1
2+x a
（a 为常数）为R 上的奇函数． （1）求实数a 的值；
（2）对x ∈（0，1]，不等式12)(-≥⋅x x f s 恒成立，求实数s 的取值范围； （3）令)
(12
)(x f x g -=
，若关于x 的方程0)()2(=-x mg x g 有唯一实数解，
求实数m 的取值范围．
22.（12分）如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延
长线交 ⊙O 于N ，过点N 的切线交CA 的延长线于P ．
（1）求证： PN PC
PA PM = （2）若⊙O 的半径为3，OA =
3OM ，求MN 的长．
2018竞赛高一初试试题答案
1.D 2．C 3.A 4.B 5. D 6．B 7. D 8. C 9.B 10. A 11.B 1
2.D
13. 3 14. 010432=--=y x x 或 15.23
16.（3）（4）
17．解：（1）由正弦定理得：
3
,21cos 2)(222
2
2
222π
=
==-+-=--=-C C ab
c b a ab a b c R a
b a R b b R
c c
……………………………..4分。