数字信号处理习题解答1
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用FFT进行快速卷积对信号处理时间=2 x 0.1382s +512x50us =0.302s
实时处理时，信号采样的最高采样频率： =1695.36Hz
信号的最高频率=1695.36/2=847.68Hz
7.某运算流图如图所示，问：
（1）图示是按时间还是按频率抽取的FFT？
（2）把图示中未完成的系数和线条补充完整。
其结构图如下图：
第一章
第二章
第三章
6.设下列x(n)长度为N，求下列x(n)的DFT
Fra Baidu bibliotek(1) (2)
(3) (4)
(5)
(6) (7)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)设 ，则
，则
因为 ，
21.(1)模拟数据以10.24KHz速率取样，若已知1024个取样的离散傅立叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。
(2)以上数字数据经处理以后又进行了离散傅立叶反变换，求离散傅立叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？
通带心频率 ，
带宽 将频率对B归一化，得到相应归一化带通边界频率：
， ， ，
，
(3)由归一化带通性能确定相应模拟归一化低通性能
归一化阻带截频率为
归一化通带截频率为
(4)设计模拟归一化低通G(p)
，
取N=3.
查表得，
(5)频率变换，将G(p)转换成模拟带通Ha(s)
(6)用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)
10.设有一模拟滤波器 ，采样周期 ，用双线性变换法将其转换为数字系统函数 。
解
由变化公式
及 ,可得
所以
=
=
18.用双线性变换法设计巴特沃兹数字高通滤波器，要求通带边界频率为0.8rad，通带最大衰减为 ，阻带边界频率为0.5rad，阻带最小衰减为 。
解：已知
（1）将数字高通滤波器的边界频率转换为相应的模拟高通滤波器 的边界频率。（令T=2）
az2=1.0000 -0.7429 0.0857
7.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数 转变为数字传递函数 ，采样周期 。
结果：
bz1=0 0.8386 0
az1=1.0000 0.1181 0.1353
ba2=0.3333 0.6667 0.3333
az2=1.0000 0 0.3333
解：（1）频率间隔
（2）抽样点的间隔
整个1024点的时宽
第四章
1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复数乘法需要50us，每次复数加法需要5us。用它来计算N=512点DFT，问直接计算需要多少时间，用FFT计算需要多少时间？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。
（2）将 的指数转换为模拟低通归一化原型滤波器G（p）的指标
设计程序：
%调用函数buttord,butter,lp2hp和bilinear用双线性变换法设计巴特沃思数字高通滤波器程序：
ex623.m
wp=1;ws=1.6;rp=3;as=18;
[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,as,’s’);
第七章
7.画出下面系统函数的直接型结构图
解：
8.用级联方式画出下面系统的结构图
解：
6.已知FIR的系统函数为
画出该系统的直接型结构。
解：
9.已知FIR系统的16个频率采样值为：
， ， ， ， , ，
试画出其频率采样结构图，如果取r=0.95,画出其修正的采用实系数乘法的频率采样结构图。
解：
取修正半径r=0.95，将上式中互为复共轭得并联支路合并，得
Az=[1.0000 1.2604 1.1914 0.5375 0.1505 0.0166]
19.设计巴特沃兹数字带通滤波器，要求通带范围为 ，通带最大衰减为 ，阻带范围为 和 ，阻带最小衰减为 。
解：(1)确定数字带通滤波器性能
， ， ，
通带内最大衰减 ，阻带内最小衰减
(2)确定模拟滤波器性能。若T＝2s
[Bap,Aap]=butter(N,wc,’s’);
[BHP,AHP]=lp2hp(Bap,Aap,1.6);
[Bz,Az]=bilinear(BHP,AHP,0.5);
% N,Bz,Az为所设计巴特沃思数字高通滤波器的阶数和系统函数；
运行结果：
N=5
Bz=[0.0165-0.0824 0.1648-0.1648 0.0824-0.0165]
解：
（1）分析图示的流图结构，发现其中基本的蝶形运算单元是先加减后乘系数的，因此是按频率抽取的基2FFT
（2）
第五章
6.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数 转变为数字传递函数 ，采样周期 。
结果：
bz1=0 0.2876 0
az1=1.0000 -0.8297 0.1353
bz2=0.0857 0.1714 0.0857
复数加法： 512x9x5us =0.023s
用FFT计算的时间=0.1152s+0.023s=0.1382s
(3)用FFT进行快速卷积对信号处理时间：
假设IFFT也用FFT程序计算，则在实时计算中使用的时间是两次FFT时间（h(n)的FFT计算按照事先计算好存储备用），外加一次512点的复数乘法：
解：
(1)512点直接DFT计算的时间：
复数乘法： =512x512x50us=13.1072s
复数加法：N（N-1）=512x511x5us=1.308s
512点直接DFT计算的时间=13.1072s+1.308s=14.4152s
(2)用FFT计算的时间：
复数乘法： 0.5x512x9x50us=0.1152s
实时处理时，信号采样的最高采样频率： =1695.36Hz
信号的最高频率=1695.36/2=847.68Hz
7.某运算流图如图所示，问：
（1）图示是按时间还是按频率抽取的FFT？
（2）把图示中未完成的系数和线条补充完整。
其结构图如下图：
第一章
第二章
第三章
6.设下列x(n)长度为N，求下列x(n)的DFT
Fra Baidu bibliotek(1) (2)
(3) (4)
(5)
(6) (7)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)设 ，则
，则
因为 ，
21.(1)模拟数据以10.24KHz速率取样，若已知1024个取样的离散傅立叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。
(2)以上数字数据经处理以后又进行了离散傅立叶反变换，求离散傅立叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？
通带心频率 ，
带宽 将频率对B归一化，得到相应归一化带通边界频率：
， ， ，
，
(3)由归一化带通性能确定相应模拟归一化低通性能
归一化阻带截频率为
归一化通带截频率为
(4)设计模拟归一化低通G(p)
，
取N=3.
查表得，
(5)频率变换，将G(p)转换成模拟带通Ha(s)
(6)用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)
10.设有一模拟滤波器 ，采样周期 ，用双线性变换法将其转换为数字系统函数 。
解
由变化公式
及 ,可得
所以
=
=
18.用双线性变换法设计巴特沃兹数字高通滤波器，要求通带边界频率为0.8rad，通带最大衰减为 ，阻带边界频率为0.5rad，阻带最小衰减为 。
解：已知
（1）将数字高通滤波器的边界频率转换为相应的模拟高通滤波器 的边界频率。（令T=2）
az2=1.0000 -0.7429 0.0857
7.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数 转变为数字传递函数 ，采样周期 。
结果：
bz1=0 0.8386 0
az1=1.0000 0.1181 0.1353
ba2=0.3333 0.6667 0.3333
az2=1.0000 0 0.3333
解：（1）频率间隔
（2）抽样点的间隔
整个1024点的时宽
第四章
1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复数乘法需要50us，每次复数加法需要5us。用它来计算N=512点DFT，问直接计算需要多少时间，用FFT计算需要多少时间？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。
（2）将 的指数转换为模拟低通归一化原型滤波器G（p）的指标
设计程序：
%调用函数buttord,butter,lp2hp和bilinear用双线性变换法设计巴特沃思数字高通滤波器程序：
ex623.m
wp=1;ws=1.6;rp=3;as=18;
[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,as,’s’);
第七章
7.画出下面系统函数的直接型结构图
解：
8.用级联方式画出下面系统的结构图
解：
6.已知FIR的系统函数为
画出该系统的直接型结构。
解：
9.已知FIR系统的16个频率采样值为：
， ， ， ， , ，
试画出其频率采样结构图，如果取r=0.95,画出其修正的采用实系数乘法的频率采样结构图。
解：
取修正半径r=0.95，将上式中互为复共轭得并联支路合并，得
Az=[1.0000 1.2604 1.1914 0.5375 0.1505 0.0166]
19.设计巴特沃兹数字带通滤波器，要求通带范围为 ，通带最大衰减为 ，阻带范围为 和 ，阻带最小衰减为 。
解：(1)确定数字带通滤波器性能
， ， ，
通带内最大衰减 ，阻带内最小衰减
(2)确定模拟滤波器性能。若T＝2s
[Bap,Aap]=butter(N,wc,’s’);
[BHP,AHP]=lp2hp(Bap,Aap,1.6);
[Bz,Az]=bilinear(BHP,AHP,0.5);
% N,Bz,Az为所设计巴特沃思数字高通滤波器的阶数和系统函数；
运行结果：
N=5
Bz=[0.0165-0.0824 0.1648-0.1648 0.0824-0.0165]
解：
（1）分析图示的流图结构，发现其中基本的蝶形运算单元是先加减后乘系数的，因此是按频率抽取的基2FFT
（2）
第五章
6.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数 转变为数字传递函数 ，采样周期 。
结果：
bz1=0 0.2876 0
az1=1.0000 -0.8297 0.1353
bz2=0.0857 0.1714 0.0857
复数加法： 512x9x5us =0.023s
用FFT计算的时间=0.1152s+0.023s=0.1382s
(3)用FFT进行快速卷积对信号处理时间：
假设IFFT也用FFT程序计算，则在实时计算中使用的时间是两次FFT时间（h(n)的FFT计算按照事先计算好存储备用），外加一次512点的复数乘法：
解：
(1)512点直接DFT计算的时间：
复数乘法： =512x512x50us=13.1072s
复数加法：N（N-1）=512x511x5us=1.308s
512点直接DFT计算的时间=13.1072s+1.308s=14.4152s
(2)用FFT计算的时间：
复数乘法： 0.5x512x9x50us=0.1152s