数学思维方法

数学思维方法

第一节数学思维和思维过程

一、数学思维及其类型

1.思维概述

思维是人脑对客观现实概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映。思维是人类所特有的一种高级的心理活动。

2.思维的特征

数学思维的特征主要是概括性、间接性、目的性、问题性和复合性。

（1）概括性。思维能认识事物的本质及其内在规律性，主要来自抽象和概括，即思维是概括的反映，所以思维最显著的特点是概括性。概括是思维活动的速度、灵活迁移程度、广度和深度等智力品质的基础。

（2）间接性。思维是凭借知识经验对客观事物进行的间接的反映。间接性表现在能对没有直接作用于感知的事物的属性或联系加以反映，能对根本不能直接感知的事物及其属性或联系进行反映；能在对现实事物认识的基础上假设、想象等。

（3）目的性。思维具有目的性，是指思维具有解决问题或获得结果的能动性。人只有在客观实践活动中面临新的问题，新的活动要求和新的情况下，才可能进行思维。

思维的特性还包括广阔性、层次性、逻辑性、产生性等。

3.思维的分类

根据思维活动的目的性差异，思维有不同形式的分类。

（1）根据思维的抽象程度。思维可分为直观行动思维、直观形象思维和抽象逻辑思维。

（2）根据思维的目的性。思维分为上升性思维、求解性思维和决策性思维。上升性思维是依靠比较、分析、抽象等方法，从对事物的个性向共性的认识过程；求解性思维指解决具体问题的思维；决策性思维是以规范未来的实验过程和预测其效果为中心内容的思维活动。三种思维相互联系、彼此渗透，同时又是一个不断深化和发展的过程。

（3）根据思维的智力品质。思维可分为再现性思维和创造性思维。再现性思维是一般的思维活动，它是指对已有知识的再现，或将已有知

识按照通常的思维形式去解决问题的过程；创造性思维指独立思考出有社会价值的、具有一定新颖成分的思维，它是人类思维的高级阶段。

（4）根据思维的形式。思维可分为辐合思维和发散思维。

4.数学思维

数学思维既具有一般思维的共性，又具有自身的特性。数学思维是以认识数学对象为任务，以数和形为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。

数学思维主要具有概括性、整体性和问题性等特点。

（1）概括性。数学思维的概括性是指将某种事物已分出来的一般、共同的属性或特征结合起来，再把研究对象的本质特征推广为范围更广的包含这个对象的同类事物的本质特征。数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有的数学属性。

（2）整体性。数学思维的整体性主要表现

在它的统一性和对数学对象基本属性的准确把握。

（3）相似性。数学思维的相似性是思维相似规律在数学思维活动中的反映。

（4）问题性。数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。问题是数学的心脏，数学科学的起源与发展都是由问题引起的。由于数学思维是解决数学问题的心智活动，它总是指向问题的变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，使数学思维的结果形成问题的系统和定理的序列，达到掌握问题对象的数学特征和关系结构的目的。因此，问题性是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。

（5）复合性。数学思维的复合性是指数学思维活动中表现出的逻辑性和非逻辑性相结合的特征。

二、数学思维的类型

确定数学思维类型应该考虑的问题：

首先，数学思维既要体现一般思维的规律，又要结合数学学科的特点，反映出数学思维特有的规律。

其次，数学思维应是指数学活动过程中的思维，这种活动包括研究数学和学习数学的活动。

由上面分析可知，数学思维的成分主要包括形象思维、抽象逻辑思维和直觉思维。

1.形象思维

数学形象思维是指借助数学形象或表象，反映数学对象的本质和规律的一种思维。在数学形象思维中，表象与想象是两种主要形式，其中数学表象又是数学形象思维的基本元素。

（1）数学表象。数学表象是以往感知过的观念形象的重现。数学表象常常以反映事物本质联系的特定模式——结构来表现。如，数学中“球”的形象，已是脱离了具体的足球、篮球、排球、乒乓球等形象，而且与定点距离相等的空间内点的集合，显示了集合内的点（球面上的点）与定点（球心）之间的本质联系：距离相等。

（2）数学想象。数学想象是数学形象思维的一种重要形式，通常可分为再造性想象和创造性想象两种类型。

再造性想象是根据数学语言、符号、数学表达式或图形、图表、图解等提示，经过加工改造而形成新的数学形象的思维过程。

创造性想象是一种不依靠现成的数学语言和数学符号的描述，也不依据现成的数学表达式和数学图形的提示，只依据思维的目的和任务在头脑中独立地创造出新的形象的思维过程。

2.逻辑思维

逻辑思维包括形式逻辑思维和辩证逻辑思维。形式逻辑思维是依据形式逻辑的规则来反映数学对象、结构及其关系，达到对其本质特性和内在联系的认识过程。辩证逻辑思维是逻辑思维发展的高级阶段，它是从运动过程及矛盾相互转化中去认识客体，遵循质量互变、对立统一及否定之否定等规律去认识事物本质的过程。

3.直觉思维

数学直觉思维是以一定的知识经验为基础，通过对数学对象作总体观察，在瞬间顿悟到对象的某方面的本质，从而迅速做出估计判断的一种思维。数学直觉思维是一种非逻辑思维活动，是一种由下意识活动参与，不受固定逻辑规则约束，由思维主体自觉领悟事物本质的思维活动。因此，非逻辑性是数学直觉思维的基本特征，同时数学直觉思维还具有直接性、整体性、或然性、不可解释性等重要特征。

（1）直接性。数学直觉思维是直接反映数学对象、结构及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接感悟或洞察，是数学直觉思维的本质特征。

（2）整体性。整体性是指数学直觉思维的结果是关于对象的整体性认识，尽管这并非是一副毫无遗漏的“图画”，它的某些细节甚至可能是模糊的，但是却清楚地表明了事物的本质或问题的关键。

（3）或然性。数学直觉思维是一种跳跃式的思维，是在逻辑依据不充分的前提下做出的结论，具有猜测性。正因为如此，如何通过直觉思维“俘获来的战利品”就需要经过严格的逻辑验证。采用直觉思维的目的在于迅速找到事物的本质或内在联系，提出猜想，而不在于论证这个猜想。

（4）不可解释性。数学直觉思维在客观上往往给人以不可解释之感。由于直觉思维是在一刹那间完成的，略去了许多中间环节，思维者对其过程没有清晰的意识，所以要想对它的过程进行分析、研究和追忆，往往是十分困难的，这又使直觉思维给人一种“神秘感”。