培优专题4 无理数的整、小数部分的应用(含解答)

无理数的整、小数部分的应用

实数和数轴上的点是一一对应的，任何一个无理数都可用近似于它的有理数来表示，因而任何一个无理数的整数部分必为有理数．

例1 a

的整数部分，b

的小数部分，求a-b的值．

分析

根据算术平方根的概念可知：

从而有：

a=4，

-4．

即：

∴a=4，

-4．

故a-b=4-

-4）

．

练习1

1

，b是a的小数部分，试

用b的代数式表示a，并求a-b的值．

2

的小数部分为b，求（4+b）

b的值．

3

a

数部分是b，则a-b=_______．

例 2 若

5+的小数部分为a，

的小数部分为b，则a+b的值是多少？

分析无理数

和

是无限不循环小数，利用9<11<16，即

这一点，是解这类题的突破口．

解：∵

．

∴

的整数部分为8，

的整数部分为1．

则

-3，

的小数部分为

．

∴

=1．

练习2

1．若

别为a与b，则（a+3）（b-4）=________．2．已知

与

别为x、y，试求3x+2y的值．

例3

a，小数部分是b，则a2+（

）ab=________．分析先作分母有理化，将原式转化为a

±的形式，再分别确定其整数、•小数部分的取值，最后代入求值．

1

2

（

）

∵

<3．∴

<6．

∴2.5<1

2

（

）<3．

即a=2． b=1

2

（

）-2

=1

2

-1）

则：a2+（

ab

=22+（

）×

1

2

（-1）×2=10．

例4

a，

小数部分为b，试计算：a+b+2

b

=________．

分析将被开方数

配方，构造

成完全平方式（

）2，再化简根式，•

然后分析整数部分和小数部分．

.

∵

<2

∴a=1，

．

∴a+b+2 b

=5．

练习4

的整数部分是a，小数部分是b，则b a=_______．

例5 设

，那么m+

1

m

的整数部分是________．

分析将

代入式子m+

1

m

进行化简，进而确定其整数部分，但此题要注意无理数的取值范围．

解：∵

，

∴

1

m

=

1

4

-1）．

∴m+

1

m

=+1+

1

4

(

-1)= ．

∵2.22<5<2.32 故

∴

5 2.23

4

⨯+

<

5 2.33

4

⨯+即

14

4

1

m

<

14.5

4

．

因此m+

1

m

的整数部分是3．

答案:练习1

1．解：∵

，

4．

即a=4+b，故a-b=4．

2

即

<3

的整数部分为2．

∴

-2．

∴（4+b）b=（

-2）

-2）=

+2

）=3．

3

∴

．即a=5．

<<

∴

．

即b=5．故a-b=5-4=1．

练习2

1．解：∵

，

∴

12，

5．

∴

．

故（a+3）（b-4）=

（-3+3）

（

）=-13．

2．解：∵

<3，

∴

的整数部分是11，

的整数部分是6．

∴

的小数部分

-2，

的小数部分

．

故3x+2y=3

-2）+2（

．

练习4

，

∴a=2

，

∴b a

=（

2=．

培优专题5 平移与旋转

平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可

以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两

角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或

平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，

找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件

集中起来，收到事半功倍的效果．

旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决

问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条

件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的

情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形

错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这

时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，

使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题

途径．平移、旋转两种变换在使用中，一定要善

于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有

这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到

有效解决相关问题的目的．

1．如图，长方形花园ABCD中，AB=a，

AD=b，花园中建有一条长方形道路LMPQ•

及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，

2．如图，长方形花园ABCD中，AB=a，AD=b，

花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条