根据其它数学模型建立状态空间模型
2018线性系统理论课件03-第1章(2)由系统机理和框图建立状态空间模型
3. 一阶微分惯性环节 其传递函数为 G(s) Y (s) s b 1 b a
n1 r 0
s nr 1
f
(r)
(0)
（1.2.6）
式中 f (r) (0) 是 r 阶导数 dr f (t) 在 t 0 时的值。 dt r
特别地，如果 f (t) 及其各阶导数的所有初始值全都等于零，则有
L
dn f dt
(t)
n
sn
F
(s)
（1.2.7）
1.2.2.3 积分性质
试列写以电枢电压u(t)为输入，轴的角位移(t)为
输出的状态空间模型。
+
Ra
ia
La
u
M
J, f
f
-
图1-4 电枢控制的直流电动机原理图
解 ：设电动机励磁电流不变，铁心工作在非饱和区。
按照图1-4所描述的电动机系统，可以写出如下主 回路电压方程和轴转动动力学方程
u
Raia
La
dia dt
J
0
Ce La
1
La
0 1 x 0 u
0
f
0
J
y [0 1 0]x
1.2由系统框图建立状态空间描述
首先复习补充有关积分变换的知识。 拉氏变换的定义 拉氏变换的微分性质 拉氏变换的积分性质
1.2.1拉普拉斯变换的定义
本次课主要内容
1.2由系统框图建立状态空间描述 1.3由系统机理建立状态空间描述
为了讲解问题方便，我们先讲1.3 的内容，然后再介绍1.2的内容。 下面先复习上节课的主要内容。
【武汉大学】控制系统的状态空间模型【现代控制理论】
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x& ∫
x C(t)
y
+
+
A(t)
图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变 量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各 变量间的结构图。
或观测的量； – 可以是物理的,也可以是非物理的、没有实际物理量与之
直接相对应的抽象数学变量。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.1.1系统的状态和状态变量
状态变量与输出变量的关系: – 状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变
量。
– 而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化 与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非 系统的全部动态特性。
RiL
L
diL dt
uC
ui
iL
C
duC dt
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.2系统的状态空间模型
2. 选择状态变量。 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容) 的个数。 对本例
x1(t) iL , x2 (t) uC
3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式 的一阶矩阵微分方程组--状态方程。
武汉大学 自动化系 丁李
目录
2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形 2.5 传递函数阵 2.6 用MATLAB进行系统模型转换
2019-§2控制系统的状态空间模型-文档资料
（3）定义状态向量、控制向量和输出向量
x1 y
d2y dy m d2tfd tk yF i
x2 y x1
uFi ,
yy,
整理（2-2-2）式
mdd dxd2t 2yt2 f dxd2 ytkxy1 F u i （2-2-2）
（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分
（2）状态变量可以测量或不可测量。
2.2 状态空间方程的建立
例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。
k
M
y Fi
Ff Fk
M
y Fi
图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统
（1）确定输入变量：
系统入: Fi， 出：y
（2）基本定理：
§2 控制系统的状态空间模型
微分方程 → 单输入、单输出线性定常系统 状态空间方程 → 多变量系统，现代控制理 论的数学描述方法
两种表示方法可以互相转换。
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类：
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
u[u1,u2 ur]T
n 输出变量（被控变量）
y[y1,y2,ym]T
0
1
m
u
和
y1
0
x1 x2
得到
0 xm k
1m f xx1 2m 1 0u
y 1
0
x1 x2
状态方程 xAxBu 输出方程
y Cx
系数矩阵
0 1
A
现代控制工程-第2章状态空间数学模型
现代控制工程-第2章状态空间数学模型ModernControlEngineering教材：王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2022状态空间方法是基于状态空间模型分析与设计自动控制系统。
状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
本章首先介绍状态的概念以及状态空间模型的建立方法，然后介绍系统的状态空间模型的实现，为系统分析与设计奠定基础。
22.1状态与状态空间的概念2.2系统的状态空间模型2.3线性系统的状态空间模型与线性变换2.4控制系统的实现2.5多变量系统的传递矩阵2.6控制系统的离散状态空间模型32.1状态与状态空间的概念例：图2.1所示弹簧-阻尼器系统在外作用力F(t)已知的情况下，如果知道了物体在某一时刻的位移及速度,就能确定系统未来的动态响应。
如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响应。
物体的位移、速度及加速度这三个量显然是不独立的，可以根据其中两个量确定另外一个量，因此这个量对于描述系统状态是多余的。
可选择物体在某一时刻的位移及速度为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状42.1状态与状态空间的概念状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。
系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量称为状态变量。
以n个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空间。
状态轨迹：以某(t)某(t0)为起点，随着时间的推移，某(t)在状态空间绘出的一条轨迹。
52.2系统的状态空间模型2.2.1建立状态空间模型的方法描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。
描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。
系统的状态方程和输出方程组成系统的状态空间模型，或称为动态方程。
状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以又称为内部描述模型。
mpcc模型预测控制原理
mpcc模型预测控制原理MPCC模型预测控制原理概述模型预测控制(Model Predictive Control, MPC)是一种基于模型的控制策略，广泛应用于工业过程控制、机器人控制、交通流量控制等领域。
MPCC模型预测控制是MPC的一种改进形式，通过引入约束条件来优化系统的控制性能。
本文将介绍MPCC模型预测控制的原理、优势以及应用领域。
一、MPCC模型预测控制原理MPCC模型预测控制的基本原理是通过建立系统的数学模型，预测未来一段时间内的系统行为，并根据优化目标函数和约束条件确定最优控制输入。
其主要步骤包括以下几个方面：1. 建立系统模型：根据实际系统的特性，建立数学模型，通常采用离散时间状态空间模型或差分方程模型。
模型的准确性对于MPCC 的控制性能至关重要。
2. 预测未来状态：根据系统模型，使用当前状态和控制输入，预测未来一段时间内系统的状态。
这可以通过迭代计算系统模型的状态转移方程来实现。
3. 优化控制输入：通过优化目标函数和约束条件来确定最优控制输入。
目标函数通常包括系统的性能指标，如控制偏差的最小化、能耗的最小化等。
约束条件可以包括系统状态的约束、输入变量的约束等。
4. 执行控制输入：根据优化结果，执行最优控制输入。
在实际应用中，由于存在执行延迟和测量误差等因素，通常需要进行反馈校正，以实现精确的控制。
二、MPCC模型预测控制的优势MPCC模型预测控制相比传统的控制方法具有以下几个优势：1. 多变量控制能力：MPCC模型预测控制可以处理多变量系统，并考虑变量之间的相互影响，从而实现更精确的控制。
这在工业过程控制等领域尤为重要。
2. 鲁棒性：MPCC模型预测控制可以通过引入约束条件来确保系统在不确定性和扰动的情况下仍能保持稳定性。
这使得MPCC对于工业系统的鲁棒性要求更高。
3. 非线性控制能力：MPCC模型预测控制可以处理非线性系统，并通过在线优化来实现对非线性系统的精确控制。
这在机器人控制等领域尤为重要。
状态空间方程
系统方程
1 连续系统系统方程 ( t) = f( X(t),u (t), t) 状态方程
•
Y(Xt) =g(X(t), u(t),t) 输出方程
2离散系统系统方程 X(k+1) = F X(k)+ GU(k) 状态方程 Y(k) = CX(k) + DU(k) 输出方程 系统的阶数
离散系统建模实例
例1 某企业人才系统 例2 城市人口迁移 例3 宏观经济系统建模
例1 考虑企业人才系统。某企业基年有 技术员600人，助工800人，工程师200 人，高工20人。各类人员每年平均脱离
率（包括退休、调离、自然死亡等）分 别为0.05, 0.06, 0.1,和0.09。晋升率分别 为技术员每年晋升助工30%，助工晋升 工程师20%，工程师晋升高工5%，请建
第二节 状态空间系统方程
两类系统
连续系统 ：工程系统。（微分方程描述） 离散系统 ：如银行存款本利和（差分方程描
述）。社会经济系统大多为离散系统。
例 1 宏观经济系统模型 例2 银行储蓄
例1 宏观经济模型 变量说明: ) Z(t)为总需；C(t)为总消费；I(t)为 总投资；G(t)为政府支出；Y(t)为总供给；K(t) 为总资本存量；vy(t)为期望资本存量。
第四章 状态空间方程
（数学）模型建模概论
机理法建模 （人口预测模型） 拟合法建模 两类系统及其相应状态空间系统方程 离散系统 连续系统
状态空间方程实例
连续系统：宏观经济模型 离散系统：1 人才系统；2 宏观经济模型，教材P 114；
第2章 线性系统的状态空间描述
(t
t1
)dt
1
（2）对任何在 t1时刻连续的函数f(t),有
f (t) (t t1)dt f (t1)
12
第2章 线性系统的状态空间描述
➢非零初始条件与等价的脉冲输入 结论：非零初始条件对应的系统响应
等效于在初始时刻脉冲输入时的系统响应。 以后在建立系统的输入—输出描述
时，均假定系统的初始条件为零。
u p1
System
yq1
视系统为 black box
5
第2章 线性系统的状态空间描述
例如：
从输入—输出关系来看，它们具有相同的传递函数：
G(s) 1 s 1
实际上这两个系统是不等价的，一个是能观不能控的， 一个是能控不能观的。
表明:系统的内部特性比起由传递函数表达的外部特性 要复杂得多，输入—输出描述没有包含系统的全部信息， 不能完整的描述一个系统。
或
x(k 1) y(k) g
f [
[ x(k x(k ),
), u(k), k u(k), k ]
]
24
第2章 线性系统的状态空间描述
(4)．线性系统状态空间表达式：状态方程与输出方 程都是线性方程的系统是线性系统。线性系统的状态方 程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程。
1 非零初始条件与脉冲输入
➢ 系统的初始条件为零是指系统在初始时刻没有能 量储备，系统输出只由此后的输入唯一地确定 。
➢ 在建立线性系统的输入—输出描述 时，必须假设系统的初始条件为零。
初始条件不为零 时如何处理？
➢ 初始条件不为零时，可以将非零的初始条件 等效成在初始时刻的一个脉冲输入。
10
第2章 线性系统的状态空间描述
第四章状态空间模型
t)
=
f(
X(t),u
(t),
t)
状态方程
Y(t) =g(X(t), u(t),t) 输出方程
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
离散系统方程
离散系统系统方程 X(k+1) = F X(k)+ GU(k) 状态方程 Y(k) = CX(k) + DU(k) 输出方程 ห้องสมุดไป่ตู้统的阶数
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
(4)利用模型可研究以下问题： 1）死亡率变化的影响 2）人口扰动的影响 3）计划生育的影响
八、状态方程应用之三——预测产品销售量
第四章 状态空间模型（数学模型）
（数学）模型建模概论
机理法建模 （人口预测模型） 拟合法建模 两类系统及其相应状态空间系统方程 离散系统 连续系统
状态空间方程实例
连续系统：宏观经济模型 离散系统：1 人才系统；2 宏观经济模型； 3 人口迁移模型
第一节 数学模型建模方法概述
1数学模型定义
第二节 状态空间系统方程
两类系统
连续系统 ：工程系统。（微分方程描述） 离散系统 ：如银行存款本利和（差分方程描
述）。社会经济系统大多为离散系统。
例 1 宏观经济系统模型 例2 银行储蓄
m
图3-13 一般机
例3-4
例3-4
例3-5
例3-5
例3-5
连续系统方程
第八章状态空间数学模型
第八章 状态空间数学模型§8-1状态空间表达式一、状态、状态变量和状态空间1、状态变量：系统的状态变量就是确定系统状态的最小一组变量。
如果已知这些变量在任意初始时刻0t 的值以及0t t ≥的系统输入，便能完整地确定系统在时刻t 的状态，这样一组最小的变量称为系统的状态变量。
2、状态：任意时刻下系统的状态变量的值。
3、状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，称为状态空间。
例：R-L-C 电路)()(1)()()()(00t u dt t i Ct u t u t Ri dt t di L i ==++⎰二、状态空间表达式Du Cx y bu Ax x+=+=其中：A ：n×n 系数矩阵，B ：n×r 输入矩阵，C ：m×n 输出矩阵，D ：m×r 直接传输矩阵。
例1：R-L-C 电路[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+--=0000001001011111u i u u L u i CL L Rdt du dt di i cdt du u L u L i L R dt di ii例：直流电动机[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎩⎪⎨⎧--=+--===++==++ωωωωωωωωωωi T u J L i J c Jk L k L R dt d dt di T J J c i J k dtd u L L k i L R dt diik T T T c dt d J k e u e Ri dt di L l i te lt i e t l e i10100111§8-2由微分方程求状态空间表达式一、输入不含有导数项[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---========+++32132121032110213233221101200100100010x x x y u b x x x a a a x x x bu x a x a x a y x y x x y x xyx bu y a y a ya y二、输入含有导数项)()()()(:,:10213242211000312011202213001230011223011220210102132432104210310201333210422210311102010123012=+++---=--=-==+++=+++++++++++++++++=+++=++=+=-=----=-=---=-=--=-=+++=+++x a x a x a x a a a b a a b a b b u b u b u b u b u a a a ua a u a ux a x a x a x u u u ux y u u u x yu u x y u x y u x u u u u y x u x u u u yx u x u u yx uy x u b u b u b u b y a y a y a y βββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββ对应项系数相等整理得代入原方程得到[]u x x x u x y u x x x a a a x x x u x a x a x a xu x xu x x0321013213212132133221103232121001100010ββββββββ+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=+=+=§8-3传递函数矩阵一、传递函数矩阵Du Cx y Bu Ax x+=+=BA sI s G x x s Bu s x A sI s Bu s Ax x s sx xu 1][)(0)0()0()()(][)()()0()(--==+=-+=-Guy =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-=+-=+=--mrm m r r yuyu g g g g g g g g g G DB A sIC G s Du s Bu A sI C s Du s Cx s y21222211121111][)()(][)()()( 二、闭环系统传递函数矩阵)()]()([)()()()]()([)]()()()[()]()()[()()()()()()()()()()(1s G s H s G I G s u s G s y s H s G I s y s H s u s G s B s u s G s y s E s G s H s y s H s B s B s u s E close -+==+-=-===-=§8-4线性变换一、等价系统方程（状态变量的非唯一性）DD CP C u D x C Du x CP y PB B PAPA uB x A PBu x PAP PBu PAx Bu Ax P x P x x P x Pxx n n P Du Cx y Bu Ax x==+=+===+=+=+=+====⨯+=+=-----11111)(: 非奇异矩阵[]01101100101100110,11100222112110000====⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----D D CP C LC PB B L R LCPAP A C PCP u i Cu i P P P P u u u u C L R 为状态变量和若选电路为例以二、化系数矩阵为标准形的特征向量。
状态空间模型
Ce La 1
f
x1 x2 x3
1 La 0 0
u
J
x1
Y 0
1
0
x2
x3
最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
x2
Y(t)
dt
1
1
Cm
J
+ x3
+
dt
x3
f J
F3
第2讲
状态空间模型
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。
经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
x(t ) f x(t ) u(t )
y(t )
g
x(t
)
u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t
y(t )
g
x(t ),
u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：
由上可知，对任意阶次的线性系统，其状态 空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个 矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:
﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型
建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?
微分方程中包含输入量的导数项(2/11)
若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 则可得如下状态方程
... xn 1 xn x1 x2 xn a1 xn ... an x1 b0u ( n ) ... bn u
0 ... B 0 b
微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)
上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方 程(2-6)中的系数a1, a2,…, an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中 系数b之间的对应关系。 通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相 变量。 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最 后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1 个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。 该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态 空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中 可以看到。
其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。
微分方程中包含输入量的导数项(5/11)
因此,有
x1 y 0u x2 1u x2 1u 0 u x3 2 u y xn 1 y ( n 1) n 2 u n 3u 0 u ( n 1) xn n 1u xn y ( n ) n 1u n 2 u 0 u ( n ) a1 y ( n 1) an y b0u ( n ) b1u ( n 1) bn u n 1u n 2 u 0 u ( n )
根据系统机理建立状态空间模型
添加标题
建立输出方程 y=x2
机电能量转换系统(5/5)
经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型
根据系统机理建立状态空间模型--小结(1/3)
本节小结
由上述4个例子,可总结出由系统的物理机理建立状态空间模型的基本步骤为:
Step 1. 根据系统内部机理得到各物理量所满足的微分方程. 如: 回路电压和节点电流方程, 牛顿第二定律, 热量和物料平衡关系, 经济学中的投入产出方程等
化工系统中热量(或温度)和流量(或浓度) 等物理变量作为状态变量,是较方便的.
写状态空间模型的关键喔
Step 3. 将选择好的状态变量代换Step 1得到的各微分方程组,整理得一阶微分方程组. Step 4. 根据系统状态变量与输出变量得关系,建立输出方程. Step 5. 整理规范的状态空间模型. 基于上述机理建模方法对系统机理、结构和参数未知的系统可建立状态空间模型， 但对于系统机理、结构和参数未知的系统,其状态空间模型的建立,通常只能通过辨识的途径,即用实验建模的方法,通过对系统所作试验而得到的输入输出数据,用统计的方法确定其数学模型。
根据系统机理建立状态空间模型(5/5)
下面通过常见的 刚体力学系统、 流体力学系统、 典型化工(热工)过程 机电能量转换系统 讨论如何建立状态空间模型.
刚体动力学系统(1/4)
刚体动力学系统的状态空间描述 图2-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组成的刚体动力学系统的物理模型. 试建立以外力u(t)为系统输入,质量体位移y(t)为输出的状态空间模型.
02
对旋转运动,则相应的为转矩、角位移和角速度.
经济系统中的投入产出方程。
06
根据系统机理建立状态空间模型(4/5)
建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间模型的前提 状态变量的主要选取办法 系统储能元件的输出 系统输出及其输出变量的各阶导数 上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）
State-Space-Model-状态空间模型
B
m n×m m r×m
C
D
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
状态空间表达式与传递函数 表示的比较
信号表示的不同
传递函数为频域信号
状态空间模型为时域信号 反映系统的信息不同 传递函数只描述输入输出信息 状态空间模型还描述系统内部 状态信息
Ax b
12 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
质量—弹簧—阻尼模型
13
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
质量—弹簧—阻尼模型 ０
０
14
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆
x1 x2 x2 { 1m 2l 2 g}x3 { 1 ( I ml 2 )}u x3 x4 x4 { 1 ( M m)mgl}x3 { 1ml}u
2 2 U L ( s ) L C2 s U ( s ) ( R C s 1)( LC s R C s 1) R C s 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 U ( s ) R L C s L 1 2 U 2 ( s ) ( R1C1s 1)( LC2 s R2C2 s 1) R1C2 s
d 2 摆绕重心的转动： I 2 Vl sin Hl cos dt
8 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
d 2x M 2 uH dt d2 m 2 ( x l sin ) H dt d2 m 2 (l cos ) V mg dt d 2 I 2 Vl sin Hl cos dt
x Ax Bu y Cx Du
rc模型的状态空间方程
rc模型的状态空间方程RC模型的状态空间方程是描述RC电路动态行为的数学模型。
在电路理论中，RC电路是由电阻（R）和电容（C）组成的一种基本电路。
RC电路模型是通过描述电压和电流之间的关系来分析电路的性能和行为。
在RC电路中，电压和电流是两个重要的物理量。
电压（V）是电路中的电势差，表示电荷在电路中的能量变化。
电流（I）是电荷单位时间通过某一点的数量，表示电荷在电路中的流动情况。
通过建立RC电路的状态空间方程，可以描述电路中电压和电流的变化规律。
状态空间方程通常由两个方程组成：一是描述电容电压变化的方程，二是描述电流变化的方程。
描述电容电压变化的方程可以表示为：$$\frac{dV_c(t)}{dt} = \frac{1}{RC} \cdot (V_{in}(t) - V_c(t))$$其中，$$\frac{dV_c(t)}{dt}$$表示电容电压Vc随时间的变化率，RC是电阻和电容的乘积，Vin(t)是输入电压。
上述方程表示了电容电压随时间的变化率与输入电压和当前电容电压之间的关系。
当输入电压变化时，电容电压会随之变化，同时受到电阻和电容的影响。
描述电流变化的方程可以表示为：$$I(t) = C \cdot \frac{dV_c(t)}{dt}$$其中，I(t)表示电流的大小，C表示电容的电容量。
上述方程表示了电流与电容电压随时间变化率之间的关系。
电流的大小取决于电容电压的变化率以及电容的电容量。
通过以上两个方程，可以建立RC电路的状态空间方程，进一步分析电路的动态行为。
通过求解状态空间方程，可以得到电路中电压和电流随时间的变化情况，从而了解电路的响应和性能。
总结起来，RC模型的状态空间方程是描述RC电路动态行为的数学模型。
通过建立电容电压变化方程和电流变化方程，可以揭示电路中电压和电流的变化规律。
通过求解状态空间方程，可以进一步分析电路的响应和性能，为电路设计和分析提供理论基础。
东南大学自动控制原理控制系统的状态空间模型
对偶实现
g(s)
n1sn1
sn an1sn1
1s 0
a1s a0
d
则状态空间表达式可为
d=0时为严格真系统
0 0 0 a0
1
0
a1
A 0 0 ,
1
0
an2
0 0 1 an1
实现过程：
第一步：分解传递函数
g(s)
bn
(bn1
bnan1)sn1 (b1 sn an1sn1
bna1)s a1s a0
(b0
bna0
)
第二步：定义虚拟输出
~y (s)
sn
an1s n1
1
a1s a0
u(s)
则 y(s) ((bn1 bnan1)sn1 (b1 bna1)s (b0 bna0 )) ~y (s) bnu(s)
bnu(t)
第三步：取n个状态变量 x1 ~y, x2 ~y (1) , , xn ~y (n1)
x1 ~y (1) x2 ,
xn1
~y (n1)
xn ,
xn ~y (n) an1xn a0 x1 u
y(t) (b0 bna0 )x1(t) (b1 bna1)x2 (t) (bn1 bnan1)xn (t) bnu(t)
假设零初始条件（即x(0)=0)，进行拉普拉斯变换后得到系统的 传递函数矩阵为
G(s) C(sI A)1 B D
状态空间模型
y (t ) = [b0 bn a0 , b1 bn a1, L, bn 1 bn an 1 ]X (t ) + bnu (t )
Example
分别求传递函数
和 2）
4 s 2 + 3s 3 G(s) = 2 s + 7s + 5
s 3 G(s) = 2 1） s + 3s + 2
Example
设一线性系统的状态表示为
dx1 dt = x1 + x2 + u dx 2 = x2 u dt y = x1 x2 + 2u
{A, B, C , D}
试求其输入-输出微分方程.
解:
1 2 1 , , [1 1],2, = 0 1 1
1
代入公式(3)得
的状态模型表示。 解：1） m=1,n=2且 a0 = 2, a1 = 3, b0 = 3, b1 = 1.
0 A= a0 1 0 1 0 B = , = , a1 2 3 1 C = [b0 b1 ] = [ 3 1], D = 0
状态模型为：
1 x1 (t ) 0 d x1 (t ) 0 = + u (t ) dt x2 (t ) 2 3 x2 (t ) 1 x1 (t ) y (t ) = [ 3 1] x2 (t )
其中 H i 为待定向量,维数与 X 相同. 显然,由初始条件X (0) = X 0 可得 H 0 = X 0 , 并将(3)式代入(2)式得:
H1 + 2 H 2t + L + nH nt n 1 + L = AH 0 + AH1t + L + AH nt n + L
第1章控制系统的状态空间表达式
u
X
y
●状态方程的一般形式为：
x Ax Bu
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
五. 输出方程
在指定系统输出y 的情况下，输出y 与状态变量x 及系统输入u 的
函数关系式，称为系统的输出方程 。
●系统的状态和输入决定了系统输出的变化 。
2.根据给定的数学模型，画出相应的加法器和比例器。
3.用箭头将这些元件连接起来。
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例1 一阶标量微分方程x： ax bu
u
b+
x x
+
a
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例2 三阶微分方程 ： x a2 x a1x a0 x bu
值以及t≥t0时间的输入，就完全能够确定系统在任何t≥t0时间的动态行 为；
●状态变量的最小性，体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态
行为，而增加变量数则是完全表征系统动态行为所不需要的。
●状态变量在数学上是线性无关的。
●状态变量的选取不是唯一的。
●对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统独立储能元件的个数。
Kn
J2 x2
x1
Kb
x2
x1
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x2
x2
J2 Kb
x4
x3 K n x4
状态方程：
x4
1 J1
x3
Kp J1
线性系统的状态空间描述
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为n维状态向量。 状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态空间Rn。 状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程（※）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为： 或 线性系统的状态空间描述
对角型实现和约当标准型实现，需要计算系统的极点(特征值)和特征向量，很不方便。
总结：
由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409）
01
由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P405-407。 另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标准型和可观测标准型实现，例如我们在例1-2种所做的那样。
状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。
系统的状态空间描述
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。
状态变量是时间域的。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量不是所有变量的总和。
1.5 组合系统的状态空间描述
1.4 线性系统等价的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
2021
2023
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
1．几个基本定义
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a
2
2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型
本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统 的状态空间模型,分别讨论由
不含输入量导数项和 含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型.
本节关键问题: 如何选择状态变量 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
a
3
微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)
2. 微分方程中包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方 程的一般表达式为
y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu
➢ 本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系 统的如下状态空间数学模型--状态空间模型
x& Ax Bu
y
Cx
Du
➢ 建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量
分方程解的存在性和唯一性的条件不成立. ➢ 因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接
将输出y的各阶导数项取作状态变量.
a
14
微分方程中包含输入量的导数项(3/10)
为避免状态方程中显式地出现输入的导数,通常, ➢ 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组 成状态变量,其原则是: ✓ 使状态方程中不显含输入u的各阶导数 ➢ 基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面只介绍一 种
x& Ax Bu
y
Cx
Du
➢ 本节问题的关键是如何选择状态变量
a
4
微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)
由微分方程理论知, 若初始时刻t0的初值y(t0), y’(t0), …,
y(n1)(t0)已知, 则对给定的输入u(t), 微分方程(2.1)有唯一解, 也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定.
上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后 一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个 n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵.
a
9
微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)
上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示
u b
xn xn
-a1
xn-1 … x2
a
13
微分方程中包含输入量的导数项(2/10)
若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即 x1(t) y(t), x2(t) y’(t), …, xn(t) y(n-1)(t)
则可得如下状态方程
x x & & 1 n x 2a1xn. .....x & a nn 1 x1 xb n0u(n)...bnu ➢ 上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微
u
x1
y 1
-a2
…
2
-an-1
-an
x&1 x2
......
x&n 1
xn
y x1
x&n a1xn ... an x1 bu
a
10
微分方程中不包 y”’ 6y” 11y’ 6y 2u
解 本例中
a1 6, a2 11, a3 6, b 2 因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时, 可得状态空间模型如下
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
6 11 6 2
y [1 0 0]x
a
11
微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)
其系统结构图如下所示
u 6
x3 x3
x2
x1
y 1
-6 -11 2 -6
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
6 11 6 2
a
12
y [1 0 0]x
微分方程中包含输入量的导数项(1/10)
7
微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)
该状态空间模型可简记为:
其中
x& Ax Bu
y
Cx
0 1 0
A
0 0 1
an
an1
a1
0
B
0
b
C [1 0 0]
a
8
微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)
上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程 (2.1)中的系数a1, a2,…, an之间,输入矩阵B与方程(2.1)中系数 b之间的对应关系. 通常将上述取输出y及其各阶导数为状态变量称为相变量.
➢ 因此,选择状态变量如下 x1(t) y(t), x2(t) y’(t), …, xn(t) y(n-1)(t)
可完全刻划系统的动态特性
➢ 取输出 y 及其各阶导数为状态变量,物理意义明确,易于 接受
a
5
微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)
将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下 状态方程
1. 微分方程中不包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含 有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为
y(n) a1y(n-1) … any bu
(2.1)
其中y和u分别为系统的输出和输入, n为系统的阶次.
➢ 这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系 统的如下状态空间模型
a
15
微分方程中包含输入量的导数项(4/10)
根据上述原则,选择状态变量如下
x&1 x2
......
x&n 1
xn
x&n a1xn ... an x1 bu
y 1 0 0 0 x
其中x [x1, x2, , xn]T, u [u], y [y].
微分方程: y(n) a1y(n-1) … any bu
状态变量: x1 y, x2 y(1), …, xn y(n-a1)
Ch.2 控制系统的状态空 间模型
a
1
2.3 根据其它数学模型建立状态空间模型
本节讨论由描述线性定常系统的其它数学模型, 通过选择适当 的状态变量建立系统的状态空间模型.
由系统的输入输出关系模型求其状态空间模型的问题称为系 统的实现问题
本节的内容为： 由高阶常微分方程建立状态空间模型 由传递函数建立状态空间模型 由系统方框图建立状态空间模型
x&1 x2
......
x&n 1
xn
x&n a1xn ... an x1 bu
和输出方程
y x1
a
6
微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)
将上述状态方程和输出方程写 成矩阵形式有
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
x x u
0
0
0
1
0
a n a n 1 a n 2 a1 b