八年级数学上册第五章二次根式小结与复习学案新版湘教版
最新【湘教版】数学八年级上册：5.1《二次根式》教案
最新教学资料·湘教版数学5.1 二次根式5.1.1二次根式的概念及性质（第1课时）教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标：理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键： 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：由方差的概念得S= 46.二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，a有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x 、42、1x y +． 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 P157 练习1、四、应用拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业 1．P159 习题5.1 A 组1 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．-7 B ．37 C ．xD ．x 22．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5 B ．5 C ．15D ．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．4.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2D ．无数5.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．a （a ≥0） 2．a3．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义．3. 1 34． B5． a=5，b=-45.1.2二次根式的化简（1）（第2课时）教学内容 1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）．教学目标理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答） a （a ≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 a （a ≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；（13）2=______；（72）2=_______；（0）2=_______． 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（13）2=13，（72）2=72，（0）2=0，所以 （a ）2=a （a ≥0） 例1 计算1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72）2 分析：我们可以直接利用（a ）2=a （a ≥0）的结论解题．解：（32）2 =32， （35）2 =32·（5）2=32·5=45， （56）2=56， （72）2=22(7)724=． 三、巩固练习 P157 练习 2、计算下列各式的值：（18）2 ；（23）2 ；（94）2 ； （0）2 ；（478）2 ；22(35)(53)- 四、应用拓展例2 计算1．（1x +）2（x ≥0）2．（2a ）2 3．（221a a ++）2 4．（24129x x -+）2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0； （2）a 2≥0； （3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a ）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0 （1x +）2=x+1（2）∵a 2≥0，∴（2a ）2=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴221a a ++=a 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥0，∴（24129x x -+）2=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3五、归纳小结 本节课应掌握：1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）;反之:a=（a ）2（a ≥0）．六、布置作业 1．P 159 习题5.1 A 组 2、 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计一、选择题1．下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-，二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0D ．a=0二、填空题1．（-3）2=________． 2．已知1x +有意义，那么是一个_______数．三、综合提高题1．计算（1）（9）2（2）-（3）2（3）（126）2（4）（-323）2(5) (2332)(2332)+-2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3．已知1x y-++3x-=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数三、1．（1）（9）2=9 （2）-（3）2=-3（3）（126）2=14×6=32（4）（-323）2=9×23=6 (5)-62．（1）5=（5）2（2）3.4=（ 3.4）2（3）16=（16）2（4）x=（x）2（x≥0）3．103304x y xx y-+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩x y=34=81 4.（1）x2-2=（x+2）（x-2）（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3） (3)略5.1.2二次根式的化简（2）（第3课时）教学内容：2a＝a（a≥0）教学目标：理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键 1．重点：2a＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0时，2a ＝a 才成立． 教学过程一、复习引入： 老师口述并板书上两节课的重要内容；1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式；2．a （a ≥0）是一个非负数；3．(a )2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0时，2a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知 （学生活动）填空： 22=_______；20.01=_______；21()10=______； 22()3=________；20=________；23()7=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37． 因此，一般地：2a =a （a ≥0）例1 化简（1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）•去化简．解：（1）9=23=3 （2）2(4)-=24=4 （3）25=25=5 （4）2(3)-=23=3三、巩固练习 P157 练习 3．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？（2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？（3）2a >a ，则a 可以是什么数？分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2()a -，那么-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0；（2）因为2a =-a ，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -．五、归纳小结 本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展．六、布置作业 1．P159 习题 5.1 A 组 3 2．选作课时作业设计． 第三课时作业设计一、选择题1．2211(2)(2)33+-的值是（ ）． A ．0 B ．23 C ．423D ．以上都不对2．a ≥0时，2a 、2()a -、-2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A ．2a =2()a -≥-2aB ．2a >2()a ->-2aC ．2a <2()a -<-2aD ．-2a >2a =2()a -二、填空题1．-0.0004=________． 2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a │+2000a -=a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。
湘教版初中八年级数学上册第五章《二次根》教案
(3) 1225＝ 2152××33＝56 3；
2
2×3a 6a
(4) 3ab2＝ 3ab2·3a＝ 3ab .
方法总结：把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽
量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，
可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到
时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【类型二】 二次根式的化简
第 7 页 共 32 页
把下列各式化成最简二次根式． (1) 500；(2) 3a2b3；(3) 1225；(4)
2 3ab2.
解析：(1)先将 500 分解质因数，再根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因数
解析：由已知条件 y＝ x－2－ 2－x＋5 可知 x－2与 2－x都有意义，所以存在隐
x－2≥0，
含条件
故
x＝2.把
x＝2
代入
y＝
2－x≥0，
x－2－
2－x＋5，求得 y＝5，所以xy＝25.
方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负
第 2 页 共 32 页
性”，它往往是解答问题的突破口．
⑴ x2 −13;
⑵ 3x2 −12.
பைடு நூலகம்
第 5 页 共 32 页
第 2 课时 二次根式的化简
1．掌握积的算术平方根的性质，并会根据性质把二次根式化简；(重点) 2．理解最简二次根式的概念，并会把二次根式化为最简二次根式．(重点，难点)
一、情境导入 计算： (1) 4×9， 4× 9； (2) 16×25， 16× 25. 观察计算结果，上述每组式子计算结果有什么关系？由此你能猜想什么结论成立？
八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的除法学案湘教版(2021年整理)
2018年秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的除法学案（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的除法学案（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的除法学案（新版）湘教版的全部内容。
课题二次根式的除法【学习目标】1．掌握二次根式除法法则．2．理解商的算术平方根的性质错误!＝错误!(a≥0，b>0),能熟练进行二次根式的除法运算及化简．【学习重点】二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的探究．【学习难点】运用二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质进行二次根式的除法运算及化简．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示:教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题旧知回顾：1．积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则分别是什么?积的算术平方根的性质；错误!＝错误!·错误!(a≥0,b≥0）．二次根式的乘法法则：错误!·错误!＝错误!（a≥0，b≥0)．2．计算：（1)错误!×错误!；（2）错误!×错误!。
解：(1）原式＝错误!＝错误!＝3错误!；(2）原式＝6×12＝72＝62。
自学互研生成能力错误!（一)合作探究教材P162“动脑筋"．(1）错误!＝错误!，错误!＝错误!；(2)错误!＝错误!,错误!＝错误!．观察上面的式子，将得的结论用字母表示为错误!＝错误!(a>0,b≥0）．利用这个等式可以化简二次根式．知识链接：最简二次根式的条件是:（1)被开方数中不含开得尽方的因数；（2）被开方数中不含分母．行为提示：这一类题可以让学生展示时多出几个仿例进行巩固．方法指导：从两个方面考虑x的取值范围．一是被开方数是非负数;二是分母不能为零．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己,分析答案，提出疑惑，共同解决（可按结对子学—帮扶学-组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．（二）自主学习教材P163例4。
2019秋八年级数学上册第5章二次根式复习教案(新版)湘教版
第5章 二次根式【教学目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．【教学重点】含二次根式的式子的混合运算．【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．【教学方法】典例解析法【教学准备】小黑板、三角尺【教学过程】【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
（当a ≥0时，a ≥0；当a ≥0时，a 在实数范围内有意义。
） 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） ==a a 25.二次根式的运算：⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：ab =b a ∙（a ≥0,b ≥0）； ()0,0>≥=b a ba b a 【设计意图】通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间的联系，掌握注意的地方，加深对知识的全面理解。
【例题讲解】例1 1.x 的取值范围是 ．2.函数中，自变量的取值范围是 ．分析：第2题的分子是二次根式，分母是含x 的多项式，因此x 的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零。
例2下列根式中属最简二次根式的是（ ）a （a ＞0） a -（a ＜0）0 （a =0）；分析：B选项根式被开方数中中含有分母，CD选项中含有能开得尽方的因数（或式）。
例3下列各式中与是同类二次根式的是（）A．2 B． C． D．分析：判断是否是同类二次根式前，要对每个根式进行化简。
(= ；（2=_________。
例4 计算：（1）2)3分析：根据二次根式的性质可直接得到结论。
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的除法教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的除法教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
其中，课题二次根式的除法是本章的重要内容。
通过本节课的学习，学生需要掌握二次根式除法的运算方法，并能灵活运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的概念、性质和加减法运算。
但学生在进行二次根式除法运算时，容易混淆概念和运算规则，对分母中含有未知数的情况处理不够灵活。
因此，在教学过程中，需要引导学生清晰地理解二次根式除法的运算规则，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次根式除法的运算规则，并能熟练进行二次根式除法运算。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：二次根式除法的运算规则。
2.难点：分母中含有未知数时的二次根式除法运算。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次根式除法的实际意义。
2.小组合作学习：学生分组讨论，共同探究二次根式除法的运算规则。
3.引导发现法：教师引导学生发现二次根式除法的运算规律，培养学生独立思考的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式除法的运算过程。
2.练习题：准备相应的练习题，巩固学生对二次根式除法的掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例，如计算一个物体在空气中上升的高度，引入二次根式除法的学习。
提问：如何计算这个物体上升的高度？引发学生思考，引出本节课的主题。
2.呈现（10分钟）教师展示课件，介绍二次根式除法的运算规则。
通过举例，讲解二次根式除法的运算过程，让学生直观地理解二次根式除法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同探究二次根式除法的运算规则。
教师巡回指导，解答学生的问题。
八年级数学上册 第5章 二次根式章末复习教案 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中八年级上册数学教案
第5章二次根式【知识与技能】1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.2.用二次根式的意义和性质进行求取值X围、化简和运算.3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.【过程与方法】经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.【情感态度】通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.【教学重点】运用二次根式的意义和性质进行求取值X围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.【教学难点】运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.一、知识结构【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.二、释疑解惑，加深理解1.二次根式的概念：我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.二次根式的意义：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数X围内有意义.3.二次根式的性质：4.最简二次根式的概念：我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.5.二次根式乘法的运算公式：6.二次根式的除法运算公式：7.二次根式的加减运算方法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.下列式子一定是二次根式的是（C）m m能取的最小整数值是（B）31A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=33.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ A）4.化简：【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.四、复习训练，巩固提高【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.。
(湘教版)八年级数学上册教案：第五章课题 二次根式的概念及性质
课题二次根式的概念及性质【学习目标】1．了解二次根式的概念，能判断一个式子是否是二次根式．2．掌握二次根式有意义的条件．3．理解并掌握二次根式的两个基本性质：(a)2＝a(a≥0)，a2＝|a|.4．经历知识生成过程，渗透类比、转化的数学思想，培养由特殊到一般的思维能力．【学习重点】二次根式的概念以及二次根式的基本性质．【学习难点】根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．提示：(1)2的算术平方根用2表示，可以看作是22省略了根指数2；(2)2的立方根用32表示，根指数是3；(3)二次根式的根指数都是2且被开方数都是非负数．注意：(1)被开方数是整式的，只需列出整式非负的不等式．如果被开方数是完全平方式，则未知数的取值是任意数；(2)被开方数是分式的，除了非负，还要考虑分母不为0，因此有时要列不等式组；(3)注意书写格式．情景导入生成问题知识回顾：1．9的平方根是±3；9的算术平方根是3．2．5的平方根是±5；5的算术平方根是5．3．0的平方根是0；0的算术平方根是0．4.16的算术平方根是2．5.72＝7；(3)2＝3． 自学互研生成能力 知识模块一探究二次根式的概念及有意义的条件 (一)自主学习 认真阅读教材P 155内容，完成下面的填空： (1)形如a 的式子叫作二次根式，被开方数是指根号下的数． (2)当a 为正数时，a 是a 的算术平方根，而0的算术平方根是0，负数没有平方根，只有非负数才有算术平方根．所以，在二次根式a中，字母a 必须是非负实数，a 才在实数范围内有意义．练习：判断下列各式：3，－16，34，－5，x2＋1哪些是二次根式？哪些不是？为什么？解：3，－16，x2＋1是二次根式；34，－5不是二次根式．因为34的根指数不是2，－5的被开方数不是非负数． (二)合作探究求下列二次根式中字母x 的取值范围：(1)3x ＋1；解：由3x ＋1≥0，解得x ≥－13； (2)5－2x ；解：由5－2x ≥0，解得x ≤52； (3)2x －5. 解：由x －5>0，解得x>5.知识模块二二次根式的性质及其运用(一)合作探究1．因为2是2的一个平方根，所以(2)2＝2；因为3是3的一个平方根，所以(3)2＝3．根据上述结果，当a ≥0时，我猜测(a)2＝a ．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．2．由于22＝4，因此4＝2，即22＝4＝2；由于32＝9，因此9＝3，即32＝9＝3；根据上述结果，当a ≥0时，我猜测a2＝a ．3．当a<0时，a2＝a 是否还成立？为什么？计算（－2）2＝4＝2；（－3）2＝9＝3；根据上述结果，当a<0时，我猜测a2＝－a ．由此，我们可以概括：a2＝|a|＝⎩⎨⎧a （a≥0），－a （a<0）.(二)自主学习1．认真阅读教材P 156例2、例3，进一步巩固二次根式的性质．2．计算：(1)82＝8；(2)（－3）2＝3；(3)(－3)2＝3；(4)⎝⎛⎭⎫522＝54． 交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一探究二次根式的概念及有意义的条件知识模块一二次根式的性质及其运用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
湘教版(2012)初中数学八年级上册5.1二次根式 教案
展示课题：二次根式
（二）探究新知
探究1、二次根式的概念
（1）一个正数的平方根有个，它们是。
（2）当a>0时 ， 表示； 表示。
（3）当a=0时， 表示；
（4）4的算术平方根是， 的算术平方根是， 的算术平方根是
（教师出示问题，学生思考解决，并阐述做题依据和方法，之后教师总结归纳，师生达成一致，教师板书解题过程，给学生示范）
探究3、探究非负数的算术平方根平方后的结果规律
（1）根据算术平方根的意义填空
= =
通过上述计算，可归纳性质为：（ ）2=（a ）
探究3：被开方数含平方的二次根式的结论规律
填空：
= =
=
通过上述计算，可归纳性质为： =（a ）
教学片段标题：
《二次根式》 新授课
学情分析：
学生根据已有的知识经验，通过类比，讨论等亲身经历二次根式化简的过程。
教学目标：
1、了解并熟记二次根式的概念，理解二次根式的意义并能确定被开方数中字母的取值范围。
2、理解公式（ ）2=a, （a≥0）,并能利用公式进行一般的二次根式的化简,经历公式的推导过程,并能够总结出公式（ ）2=a（a≥0）.
= =
通过上述计算，（教师布置课堂限时训练，检测教学效果，之后师生订正答案，并根据解题情况进行针对性的评析）
（五）小结归纳
（教师组织学生回顾本节知识，学生谈个人收获，师生交流）
板书设计
二次根式
一、二次根式的定义
二、二次根式的性质
三、例题
教学重难点：
重点：二次根式的概念；
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的概念及性质教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的概念及性质教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍了二次根式的概念及性质。
这一章节的内容是学生学习二次根式的基础，对于后续学习二次根式的运算和应用具有重要意义。
教材从实际问题出发，引导学生认识二次根式，并探究其性质，使学生能够在理解的基础上掌握二次根式的基本概念和性质。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、代数式等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和推理能力。
但对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体实例和实际问题来引导学生理解和掌握。
同时，学生对于数学概念的理解往往需要从具体到抽象的过程，因此在教学过程中，需要注重从实际问题出发，引导学生逐步抽象出二次根式的概念和性质。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.能够运用二次根式的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念的理解。
2.二次根式的性质的掌握和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引出二次根式，使学生能够在具体的情境中理解和掌握二次根式。
2.引导发现法：引导学生通过观察、分析和归纳，自主发现二次根式的性质。
3.巩固练习法：通过大量的练习，使学生熟练掌握二次根式的概念和性质。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示二次根式的概念和性质。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如：一个正方形的对角线长为8cm，求正方形的面积。
引导学生思考如何表示这个对角线的长度，从而引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义，并用PPT展示一些二次根式的例子。
引导学生观察和分析这些例子，发现二次根式的共同特点，从而归纳出二次根式的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，互相出题，运用二次根式的性质进行解答。
八年级数学上册 第5单元 二次根式学案(新版)湘教版
二次根式学习目标：1.通过对本章知识的回顾与小结，形成系统的知识结构。
2.熟练掌握二次根式的化简及二次根式的概念和性质的应用。
重点：二次根式性质的应用及其混合运算。
教学过程：学一学：阅读教材P151小结与复习，补全知识结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=⎩⎨⎧<≥==≥=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥乘法公式仍适用，多项式的运算法则及混合运算：实数运算律相加减，再把被开方数相同的加减：先除法：乘法：运算（二次根式的性质的式子形如二次根式的概念二次根式_______)0,0_______()0,0_________(________)(_______,)0,0_________()0______()0______()0())0(0)0______(22b a b a b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a a 补充：1.最简二次根式必须满足的两个条件是：⑴________________________________________________;⑵______________________________________________.2.在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：移到根号外的数必须是__________).3.一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成_______.3.二次根式的和相乘，类似于____的乘法运算，注意利用乘法公式。
课堂展示：一、填空：1.式子：21、42-x 、39、4、a 6、2x 中，是二次根式的有_ .2.要使二次根式42-x 有意义，那么x 的取值范围是_______.3.化简：48=_____； 321=_______， 38x =_____。
4.计算：① =⨯3823_______; ② =⨯3532455_____③ =÷575_______; ④ xy yx 262=_______⑤ =--)27483(12____; ⑥ =+2)534(______二.先化简再求值： 215),6()3)(3(+=--+-a a a a a 其中 合作探究互动探究一：是否存在实数a 与b 使最简二次根式222+-b a 与22b a -是同类二次根式？若存在，求出22b a +的值；若不存在，请说明理由。
【最新湘教版精选】湘教初中数学八上《5.1.1 二次根式的概念及性质教案.doc
5.1.1 二次根式的概念及性质教学内容： 二次根式的概念及其运用教学目标： 理解二次根式的概念，并利用a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键： 1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S 2，那么S =_________．老师点评： 由方差的概念得 二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a ≥0）•的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0老师点评:（略）例11x x>0）、1x y +、（x ≥0，y•≥0）．分析；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x ≥0，y ≥0）；不是二次1x 1x y +．例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13 三、巩固练习 P 157 练习1、四、应用拓展例3．当x +11x +在实数范围内有意义？分析+11x +在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x +中的x+1≠0．五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业 1．P159 习题5.1 A 组1。
二次根式小结与复习-湘教版八年级数学上册优秀学案设计
第5章小结与复习【学习目标】回顾思考本章内容，进一步了解二次根式有意义的条件，熟练进行二次根式的运算． 【学习重点】梳理所学内容，形成知识体系．【学习难点】二次根式的化简与运算．行为提示：学生独立完成本章知识结构图．注意：1.二次根式a 在实数范围内有意义，必须满足a≥0；情景导入 生成问题本章知识结构图二次根式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧最简二次根式性质⎩⎪⎨⎪⎧（a ）2＝a （a≥0）a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a≥0）－a （a<0）积的算术平方根的性质a·b＝a ·b （a ≥0，b ≥0）商的算术平方根的性质b a ＝b a（a>0，b ≥0）加、减、乘、除运算 2.最简二次根式a 必须满足两个条件：①a 中不含有分母，②a 中不含有开得尽的因数(因式)；3．实数的运算律在二次根式的加、减、乘、除运算中仍然成立．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．自学互研 生成能力知识模块一 二次根式有意义的条件例1：写出下列各式中x 的取值范围．(1)2－3x ；(2)1x；(3)x 2＋4；(4)x －2＋3－x. 解：(1)由2－3x≥0，得x≤23； (2)由1x>0，得x>0；(3)由x 2＋4≥0，而x 2≥0，得x 为全体实数；(4)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3－x≥0，得2≤x≤3. 知识模块二 二次根式速算 例2：直接写出下列各式的结果：(1)(3)2＝3；(2)（－4）2＝4；(3)(－6)2＝6；(4)－0.5＝－2(5)56(6)(－32)2＝18．知识模块三 二次根式的混合运算例3：计算：1．(1)50×8＋18； (2)(3＋26)÷3； (3)(2－5)2；(4)(9＋7)(9－7)．解：(1)原式＝52×22＋32＝20＋32；(2)原式＝(3＋26)×33＝3×33＋26×33＝1＋22； (3)原式＝2－210＋5＝7－210；(4)原式＝9－7＝2.2．(1)212×34÷52； (2)12(2＋3)－34(2＋27)； (3)45＋18－(8－125)．解：(1)原式＝3÷52＝3210； (2)原式＝122＋123－342－943＝－142－错误!错误!； (3)原式＝35＋32－32－22＋55＝85＋ 2.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次根式有意义的条件知识模块二 二次根式速算知识模块三 二次根式的混合运算课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
最新湘教版八年级数学上册 第5章 二次根式 教案教学设计(含教学反思)
第5章二次根式5.1 二次根式 (1)第1课时二次根式的概念及性质 (1)第2课时二次根式的化简 (4)5.2 二次根式的乘法和除法 (8)第1课时二次根式的乘法 (8)第2课时二次根式的除法 (12)5.3二次根式的加法和减法 (15)第1课时二次根式的加减运算 (15)第2课时二次根式的混合运算 (19)章末复习 (23)5.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质【知识与技能】1.了解二次根式的概念.2.掌握二次根式的基本性质.3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.【过程与方法】经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.【情感态度】经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念及意义.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.一、情景导入，初步认知1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？3.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况. 二、思考探究，获取新知 1.说一说：（1）5的平方根是什么？正实数a 的平方根是什么？（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u 与地球半径R 之间存在如下关系：u 2=gR ，其中重力加速度常数g ≈9.5m/s 2.如已知地球半径R ，则第一宇宙速度v 是多少？我们已经知道：每一个正实数a 有且只有两个平方根，一个记作a ，称为a 的算术平方根，另一个是-a .【归纳结论】我们把形如a 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 2.思考二次根式“a ”中被开方数a 能取任意实数吗？【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 对于非负实数a,由于a 是a 的一个平方根，因此（a ）2=a(a ≥0)3.做一做：填空.22272 1.25，()，===⋯⋯根据上述结果猜想，当a ≥0时，2a = .【归纳结论】2a =a(a ≥0)4.议一议： 当a<0时，2a =a 是否依然成立？为什么?【归纳结论】二次根式的性质：【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.三、运用新知，深化理解1.教材P155例1、P156例2、例3.2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B ）A ．5B ．5C ．15D ．以上皆不对 3.使式子()25x --有意义的未知数x 有（B ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：5.当x 是多少时，31x - 在实数范围内有意义？【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，31x -才能有意义．6.当x 是多少时，223x x x++ 在实数范围内有意义？7.当x 1231x x ++在实数范围内有意义？ 1231x x ++23x +中的2x+3≥0和11x +中的x+1≠0．8.已知a 、b 为实数，且521024a a b -+-=+ ，求a 、b 的值． 答案：a=5，b=-4【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1 、2 题.学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.第2课时 二次根式的化简【知识与技能】1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断.2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式.3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用.【过程与方法】进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.【情感态度】通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.【教学重点】会把二次根式化简为最简二次根式.【教学难点】准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.一、情景导入，初步认知1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？2.当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？2.化简下列二次根式（1）18（2）20（3）72【教学说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）3.化简下列二次根式4.观察上面几个二次根式化简的结果，它们有什么特点？【归纳结论】我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后的结果化为最简二次根式.【教学说明】引导学生计算，观察计算结果，总结规律.三、运用新知，深化理解1.下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.，不是最简二次根式.因为解：最简二次根式有1545=⨯=⨯=，45595935被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式.16x (x>0)2.化简26.化简：7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．解：设正方形铁桶的底面边长为x，则10x2=30×30×20，x2=1800，解得x=302（厘米）．答：正方形铁桶的底面边长是302厘米．【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P160“习题5.1”中第4、5、8 题.学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动.正是在这一教育思想的指导下，促进学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动.互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振.5.2 二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法【知识与技能】=≥0,b≥0).1.a b ab2.2a（a≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式.【过程与方法】通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则.【情感态度】培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦.【教学重点】会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.【教学难点】二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.一、情景导入，初步认知一块正方形的木板面积为200cm2，已知2=1.414，你能不用计算器以最快的速度求出正方形木板的边长吗？【教学说明】通过实际问题引入新课.二、思考探究，获取新知1.积的算术平方根的性质是什么？=（a≥0,b≥0)a b a b··2.试一试：并观察结果，你能发现什么规律？⨯⋅⨯⋅（）与；（）与14949216251625【教学说明】让学生计算，由学生总结,（1）（2）两式均相等.【教学说明】组织学生计算，验证猜想.让学生自主探究，通过类比得到规律，让学生体验到成功的喜悦，激发学生学习的兴趣.⨯=（a≥0,b≥0)，老师应引导【归纳结论】二次根式乘法的运算公式：a b ab学生关注a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，上述法则不能成立．因为当a<0，b<0a b在实数范围内却没有意义，乘法法则显然不能成立．时，虽然ab有意义，而，3.计算.三、运用新知，深化理解1.教材P161例1、例2.2.下列各式正确的是（D）8.已知正方形A，矩形B,圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长L A,L B,L C解完本题后，你能得到什么启示？解：略.【教学说明】训练学生对待计算题也要认真分析，找出合理快捷的方法解决问题.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第1、4 题.这一堂课的教学对我的启发很大，好像又回到了初一年级，学生对数的认识是一个很难的问题，很多同学在数的认识中有着很大的欠缺.对根式的认识，特别是对根式的性质的认识总是转换不过来，没有办法只有花上很大的一段时间进行巩固学习，少数同学对负数中的符号问题容易出现错误.今后，应充分给学生训练时间，合理利用学案，让学生把知识掌握好.第2课时二次根式的除法【知识与技能】会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算.【过程与方法】经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法.【情感态度】培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值. 【教学重点】二次根式除法运算.【教学难点】探索二次根式除法法则.一、情景导入，初步认知1.积的算术平方根的性质是什么？2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？【教学说明】复习旧知，为学习新知做准备.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？【教学说明】发现规律，归纳出二次根式的除法公式.三、运用新知，深化理解1.教材P163例4、P164例5、例6.【教学说明】巩固提高.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第2、3、4 题.这节课原本希望学生能在一节课内就体会到先局部化简再计算起来比较简洁.但这节课并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想应当把这个问题延伸到下一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就可以.5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算【知识与技能】1.知道二次根式加减运算的步骤,2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.【过程与方法】经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.【情感态度】通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美.【教学重点】二次根式的加减法运算.【教学难点】被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.一、情景导入，初步认知1.下列根式中，哪些是最简二次根式？2.计算下列各式：(1)2x+3x (2)3x-2y+y【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.二、思考探究，获取新知1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想方法.2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.三、运用新知，深化理解1.教材P168例1、例2.2.下列二次根式中，能与127合并的二次根式是（B）7.有一艘船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）答案：()1031+【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2 题.将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.第2课时二次根式的混合运算【知识与技能】使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.【过程与方法】讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.【情感态度】培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.一、情景导入，初步认知1.二次根式有哪些性质？2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？3.怎样化简二次根式？【教学说明】进一步梳理和巩固已学过的知识，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横截面设计为上底宽42 m,下底宽62 m，高6m的梯形，这段路基长500 m,那么这段路基的土石方大小为多少立方米呢？路基的土石方大小等于路基横截面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：【教学说明】从上面的解题过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.2.计算：【教学说明】引导学生类比实数的运算进行计算.从上面的运算可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法教学简便运算.三、运用新知，深化理解1. 教材P170例4、P171例5.4.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数.答案：432【教学说明】学生先做，教师之后挑选部分进行点评.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第3、4、6题.本节课是二次根式加减的第二节课，它是在二次根式加减的基础上的进一步学习，利用二次根式加减法解决一些实际问题.在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则.2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力.本节课秉着以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.章末复习【知识与技能】1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.2.用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算.3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.【过程与方法】经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.【情感态度】通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.【教学重点】运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.【教学难点】运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.一、知识结构【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.二、释疑解惑，加深理解1.二次根式的概念：我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.二次根式的意义：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.3.二次根式的性质：4.最简二次根式的概念：我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.5.二次根式乘法的运算公式：6.二次根式的除法运算公式：7.二次根式的加减运算方法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.下列式子一定是二次根式的是（C）m 有意义，则m能取的最小整数值是（B）2.31A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=33.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ A）4.化简：【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.四、复习训练，巩固提高【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.。
八年级数学上册 第五章《二次根式》小结与复习教案 (新版)湘教版
第五章 二次根式有关二次根式的化简与运算是初中数学的重、难点之一，由于这类题目形式灵活，同时对整式、分式的运算和性质有着密切的联系，所以成为考察学生综合运用能力的“试金石”，现将一些常见的运算错误归纳如下，希望同学们加以注意，并引以为戒．一、概念不清例1．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？π都是二次根式；,π剖析：对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号，即为二次根式，忽视了二a ≥0的条件，所以同学们在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数．都是二次根式；,π二、违背运算顺序例22)÷⨯错解：原式1÷=剖析：由于乘除是同一级运算，因此按顺序除在前，就要先算除法．正解：原式2(27==-=-三、错用运算法则例3+．错解：原式11+=剖析：本题乱套乘法分配律，应注意：()a b c a b a c ÷+≠÷+÷．正解：原式4==．四、错用根式性质例4．计算：（1；（2错解：（1）原式1306664-=-=；（2）原式==0,0)a b =≥≥0,0)a b =≥>；=正解：（1）原式148112===⨯=．五、忽视字母范围 例5错解：原式a b=-．-a =b ，错在没有注意a =b 的情形．正解：（1）当a ≠b 时，原式a b=-；（2）当a =b 时，原式22ab=或．六、忽视隐含条件例6．化简：错解：原式=．剖析：本题隐含着10a->，所以a ＜0，这个条件．正解：原式==-七、忽视限制条件例7．已知a +b =-2,ab =1错解：原式)2a baba b+=+==-．剖析：应用二次根式的运算性质：0,0)a b =≥≥；0,0)a b=≥>时，必须这样括号里的条件，本题由a+b=-2,ab=1可知a ＜0，b ＜0，不满足性质的条件造成错误．正解：由条件可知a ＜0，b ＜0，所以原式=2aba b+=--=-=．八、忽视题设条件例8（32-≤x ≤52）．错解：原式232542x x x =++-=-．剖析：这里忽视了32-≤x ≤52这个条件，当有附加条件时，a =的应用．正解：因为32-≤x ≤52，所以-3≤x ≤5，所以2x +3≥0，2x -5≤0，所以，原式23258x x =+-+=．九、忽视分类讨论例9．2121x x x +=++-=+．。
湘教版八年级上册第5章二次根式复习教案
第5章二次根式复习教案课型：复习课授课人；唐绍宏，授课班级：八年级173班教学目标：(一)知识与技能1.巩固理解二次根式概念。
2.巩固理解二次根式的性质。
3.巩固理解二次根式的运算法则。
4.比较熟练地运用二次根式知识正确解题，培养分析问题与解决问题能力。
（二）过程与方法通过练习巩固二次根式基本知识并提高运用二次根式知识解决问题的能力，通过交流讨论培养合作品质与探究能力，通过易错题和较难题的讲解培养细致分析认真思考的习惯。
（三）情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生学会复习，发展学生观察、分析、发现问题的能力。
教学重点：二次根式的化简及计算。
教学难点：二次根式的化简及计算。
教学方法：练习、讨论、讲解。
课前准备：1.制作有针对性的“二次根式复习练习”题并打印提前发给学生。
2.针对二次根式复习练习可能出现的问题制作PPT课件，以方便讲解。
如果到时停电，则PPT展示改为黑板演示。
教学过程：一、导入课题，开始复习本期最后一章第5章二次根式，是在数的开方的基础上展开的,是算术平方根概念的抽象与拓展,这一章学得怎么样？二、知识回顾，巩固理解PPT展示下列问题，请学生回答完成填空。
（一）二次根式的概念：1.形如____(a≥0)的式子叫作二次根式；2.二次根式有意义的条件：被开方数为；3.最简二次根式：(1)被开方数不含；(2)被开方数不含 .4.同类二次根式：化为后被相同的二次根式。
（二）二次根式的性质性质1：a 具有双重非负性(1) ,(2) .性质2：(a )2=性质3： a 2= 性质4 ： ab =性质5 ：a b = （三）二次根式的运算1.乘法法则：2.除法法则：3.加法和减法方法：4.混合运算：三、课堂练习，运用知识做下列复习练习题，边做边讨论，教师参与讨论。
1-4题为基础练习，6-9题为提升练习。
（一）基础练习1.在①2,②π,③||x ,④1-x ,⑤12+m ,⑥38-,⑦35.0,⑧122++x x ，⑨12+x 中二次根式有___________________________.2..若3-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____________.3.计算：(1)_____,.916=+(2)______,1227=- (3)_____,312=⨯(4)____28=÷（二）提升练习1.目前我们主要遇到三种非负数：|a |≥0，a 2≥0, ___≥0，如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的方法。
新湘教版八级数学上册第五章小结与复习
8.在实数范围内把下列各式因式分解：
(1)4x2 5
(2)a4 9
(3)3a2 10
(4)a4 6a2 9
四、最简二次根式：(两个条件)
（1）被开方数不含分母或分母中不含根号； （2）被开方数中不含平方因子； 9.下列二次根式，哪些是最简二次根式,哪些不是？
(1) 3a2b √ (2) 1.5ab × (3) 15 √ (4) a b √
(1) x4 x2 y2 (2) 4a2b3
(3) a3 a 1 a
(4) 4m2
(7) 2 ; 7x
(5) 25x3 y4
(8)a 1 ; 8a
(6) 25y 9x2
(9) a3
(10) a2 2a 1
(11) a2 b
五、二次根式的乘、除法：
乘法： 二次根式积的算
术平方根的性质
(5) 3x 1 x 1
(3) x 3 x 1
(6) 2 1 x
(7) x 5 (x 6)0 (8) 1 x 3x 2 (9) 3
2x 1
3.已知y x 2 2 x 5,求 y 的值。 x
三、算术平方根的性质：
表达式
区
取值范围不同
a2
a为全体实数
a2
a为非负数
运算顺序不同
别
如果被开方数相同，这几个二次根就叫做同 类二次根式
（2）二次根式的加减
先化简； 再合并。
13.计算
(1)2 1 1 3 48 27
(3) a2b ab2 a2 b ab a
14. 计算：
( 1) 2- 3 8+2 7 ；
(3) 1 32x3 2x x x2 50
(1) 3 12
(2) x • x3
湘教版数学八年级上册 第5章 小结与复习
小结与复习
一、二次根式的概念 1. 形如___a_(a≥0)的式子叫作二次根式； 2. 二次根式有意义的条件：被开方数（或式） 为 非负数（或式）； 3. 最简二次根式：
(1) 被开方数不含 开得尽方的因数（或因式） ； (2) 被开方数不含 分母 .
二、二次根式的性质
性质1： a 具有双重非负性：(1) a _≥__ 0;(2)a _≥__ 0.
然后代入x 数y值计x 算y即可x. y
x y
当 x 1 2 3，y 1 2 3 时，
原式 1 2 3 1 2 3 2.
针对训练
5.
先化简，再求值：1
a a2
2 4
a2 a a2 4a 4
，其中
a
2.
a2 4 a 2 a(a 1) 解：原式 (a 2)(a 2) (a 2)2
∴ x－1 = 0，3x + y－1 = 0，解得 x = 1，y = －2. 则 5x y2 51 (2)2 3.
方法总结 初中阶段主要涉及三种非负式： a ≥0，| a |≥0，a2≥0. ຫໍສະໝຸດ 果若干个非负式的和为 0 ，那么这若干
个非负式都必为 0. 这是求一个方程中含有多个未
知数的有效方法之一.
2.除法法则：
b
b
___a__(a
0，b≥ 0)
a
四、二次根式的加法和减法
1. 先化简为最简二次根式；
2. 然后合并被开方数相同的二次根式. 五、二次根式的混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，
先算括号里面的.
考点一 二次根式有意义的条件
例1 使代数式 2x 1 有意义的 x 的取值范围是
2. 若 x x 3 x(x 3) ，则（ A ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【学习目标】
回顾思考本章内容，进一步了解二次根式有意义的条件，熟练进行二次根式的运算.
【学习重点】
梳理所学内容，形成知识体系.
【学习难点】
二次根式的化简与运算.
行为提示：学生独立完成本章知识结构图.
注意：1.二次根式• .a 在实数范围内有意义，必须满足
a >0;情景导入 生成问题 本章知识结构图
最简二次根式
< （也）2= a （a >0）
I I 后 |a| = —a （a<0） 二次根式 性质 ' 积的算术平方根的性质
①a 中不含有分母，②a 中不含有开得尽的因数（因式）; 除运算中仍然成
立.
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认
真探究，书写答案
教会学生落实重点. 行为提示：教会学生怎么交流.先对学，再群学.充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决
（可按结对子学一帮扶学一组内群学来开展
）•在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组
内演练的时间. 自学互研生成能力
知识模块一二次根式有意义的条件 例1:写出下列各式中x 的取值范围.
解：⑴ 由2 — 3x >0,得x w 2;
第5章小结与复习
a •
b = a • b (a >0, b >0) b b '(a>0, b >0) a
力口、减、乘、除运算 2.最简二次根式,a 必须满足两个条件:
3.实数的运算律在 二次根式的加、减、乘、 商的算术平方根的性质
⑴一 2 — 3x ;⑵
(3) ,x 2 + 4; (4) _x — 2 + 3 —
X.
,1 ZH
(2) 由—>0,得x>0;
X
(3) 由x2+ 4>0,而x2> 0,得x为全体实数；
x —2A0,
(4) 由* 得2< x w 3.
3 - x> 0,
知识模块二二次根式速算
例2 :直接写出下列各式的结果：
(1) ( ,3)2= 3; (2) (- 4) 2= 4; (3)( —6)2= 6; (4) —0.5 =-^2; (5) 56 = 2 .'^; (6)( —3 2) 2=
知识模块三二次根式的混合运算
例3:计算：
1. (1) 50X 8 + 18;
(2) ( 3+ 2 6)十,3;
(3) ( 2- 5)2;
⑷(9 + .7)( 9 —7).
解：⑴原式=5.2X 2 2+ 3 2= 20+ 3 2;
(2) 原式=(3+ 2 6) X -3 = 3X-3^+ 2 pX-^ = 1 + 2 2;
(3) 原式=2—2 10+ 5 = 7 —2 10;
(4) 原式=9—7= 2.
2. (1)2 12X-43十52;
(2) 1( 2+ 3) —4( 2+ 27);
(3) 45 + 18—( 8 —125).
解：(1)原式=3*5 2 = ;
(2) 原式= 1 -2 +； 34 2—9 3=—4 .2 —错误!错误！；
(3) 原式=3 5 + 3 2—3 ,2 —2 2 + 5 5 = 8 5+ 2.
交流展示生成新知
1•将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2 •各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”.
知识模块一二次根式有意义的条件
知识模块二二次根式速算
知识模块三二次根式的混合运算
课后反思查漏补缺
1收获：________________________________________________________________________________________________
2. 存在困惑： _______________________________________________________________________________________________。